de thi hoc sinh gioi cap tinh toan 11 nam 2020 2021 so gddt lang son

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/3/2021 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu) Câu (6,0 điểm)   a) Giải phương trình sin x  cos x   sin 3x  cos  x   4    y  1 x  y   x  y  1 y  x  b) Giải hệ phương trình  2  x y   y x   Câu (3,0 điểm) a) Giả sử P  x   1  3x   a0  a1x  a2 x   an x n , với n  n  x, y   * Biết a2  a3  405  n  1 , tính giá trị a6 b) Cho tập hợp A  0;1;2;3;4;5;6;7 Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lấy từ A Tính xác suất để lấy số tự nhiên mà tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối  u1  2021 Câu (3,0 điểm) Cho dãy số  un  xác định   un1  un  2021  n  1 1 Đặt Sn  Tính lim Sn    u1 u2  u2 u1 u2 u3  u3 u2 un un1  un1 un Câu (6,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác cạnh 2a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng  ABC  Gọi M trung điểm AB , H hình chiếu vng góc C lên SB góc tạo đường thẳng AB mặt phẳng  HCM  600 a) Tính diện tích tam giác HCM b) Tính sin góc tạo MH SC Câu (2,0 điểm) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a  b 1  a 1  b  trị nhỏ biểu thức P   ab  2 Tìm giá ba a  ab -Hết Họ tên thí sinh: ……………………………………………………… Số báo danh: ………… Chữ kí giám thị số 1:……………… ……Chữ kí giám thị số 2:… …………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN LỚP 11 THPT (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: Những cách giải khác HDC mà cho điểm theo thang điểm định Câu (6,0 đ) Nội dung Điểm   a) Giải phương trình sin x  cos x   sin 3x  cos  x   4  PT  sin x  cos x   sin3x  cos x  sin x 0,5  2sin 3x cos x  sin 3x  cos x    2cos x  1  0,5  sin 3x  2cos x  1  cos x  2cos2 x  0,5   2cos x  1 sin 3x  cos x   0,5 Với cos x    x    k 2 , k  0,5    x   k    Với sin 3x  cos x  sin 3x  sin   x    ,k  2   x    k    y  1 x  y   x  y  1 y  x  1 b)  2  2  x y   y x   Điều kiện x  y  0, y  0, x   Phương trình 1   y  1 x  y   x  y  1 y  y   x  y    y  1    x  y    x  y  1   y 1  1    y  1 x  y  1      x  y 1 y     y 1  y 1 1 (do   0)   x  y 1 y 1  x  y 1  y  x 1 Với y  vào   ta được:  x  3x  x      x3 9 x  48 x  64  x   0,5 y 1   y  1 x  y  1   x  y  1 y  1  x  y 1 0,5 0,5 0,5 0,5 Với y  x  vào   ta được: x x  x    x  1 x    x  x  x     x  1 x   8     x  x    x  1 x    x   x  0,5  0  x   x2   x    2  x    x    x  1 Với x   y  2    Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    3;1 ,  ;    2   (3,0 đ) 0,5 n a) Ta có P  x    Cnk 3k.x k  ak  Cnk 3k k 0 Theo giả thiết ta có a2  a3  405  n  1  9Cn2  27Cn3  405  n  1 Điều kiện n  3, n  9  n  n  1  n  n  1 n    405  n  1 2 0,5  n  10  n  n  90     n  9( L) Khi a6  C106 36 0,5 b) Số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lấy từ A n  S   8! 7! 0,25 Ta có         28 nên để tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối tổng chữ số phải 14 Ta lập số có tổng 14 có chứa chữ số là: 0,1,6,7,0,2,5,7,0,3,4,7,0,3,5,6 Với số có chứa chữ số tương ứng với cịn lại khơng chứa chữ số có tổng 14 TH1: Bộ có chữ số đứng trước: có có chữ số 0, ứng với có: +) Xếp số đầu có 3.3! cách +) Xếp số cuối có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4!  1728 số TH2: Bộ có chữ số đứng sau: có có chữ số , ứng với có: +) Xếp khơng có chữ số đứng trước có 4! cách +) Xếp có chữ số đứng sau có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4!  2304 số Gọi B biến cố mà số tự nhiên mà tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối nên n  B   1728  2304  4032 số thỏa mãn yêu cầu 0,25 0,5 0,5 0,5 toán Vậy xác suất biến cố B là: P  B   (3,0 đ) n B  n  S  35 Ta có un1  un  2021  un1  un  2021  nên  un  dãy số giảm Giả sử  un  bị chặn tức tồn lim un  a  2021 Qua giới hạn hai vế ta a  a  2021 (vô lý) tức lim un   1 Ta có  un un1  un1 un  unun1 un  un1   un  un1  unun1  un1  un  Khi Sn    1     2021  un un1  1     2021  u1 un1 Vậy lim Sn   (6,0 đ)        1       2021  2021 un1  1,0 0,5 0,5    0,5 0,5 2021 2021 a) Tính diện tích tam giác HCM CM  SA Ta có   CM   SAB   CM  SB 1 CM  AB Mặt khác CH  SB   Từ 1  2  SB   CMH  0,5   AB   HCM   M   AB,  HCM    BMH  600 Lại có    BH   HCM  0,5 Do CM   SAB   CM  MH hay tam giác HCM vng M 0,5 Có CM  a ; BM  a  MH  MB.cos 600  a a2 Vậy diện tích tam giác HCM SHCM  CM MH  b) Tính sin góc tạo MH SC 0,5 0,5 Trong tam giác SBC dựng HK / / SC  K  BC  0,5 Khi  MH , SC    MH , HK  Trong tam giác BMH có BH  MB.sin 600  a Ta có a SA AB AB.MH  2a SAB  MHB    SA   MH BH BH a 4a SB  SA2  AB   SC BH HK BK a 3a HK / / SC     HK  BH  ; BK  SB SC BC Trong tam giác MBK có a 13 MK  BM  BK  2BM BK cos600  MK  2 MH  HK  MK  Trong tam giác MHK có cos MHK  2MH HK 61 Vậy sin  MH , SC    cos MHK  Theo giả thiết ta b a 2  b  a    ab  ab    a b b Đặt t  , t  ta a 1 b a t  t    2  t a b 2 2a (2,0 đ) 1  a 1  b   b  a    ab  1 Ta có P  2 a  a  b 2 a a  b  ab  1 9.4ab Mặt khác    8a  a  b  8a  a  b  a    1 b  ,b  Vậy P   P   a  2  ab  1  8a  a  b  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 1    1 2  0,5 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN LỚP 11 THPT (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: Những... Khi Sn    1     2021  un un1  1     2021  u1 un1 Vậy lim Sn   (6,0 đ)        1       2021  2021 un1  1,0 0,5 0,5    0,5 0,5 2021 2021 a) Tính diện tích...  n  S  35 Ta có un1  un  2021  un1  un  ? ?2021  nên  un  dãy số giảm Giả sử  un  bị chặn tức tồn lim un  a  ? ?2021 Qua giới hạn hai vế ta a  a  2021 (vô lý) tức lim un   1