TÔN THÂN (Ghủ biên) VŨ HỮU BÌNH - TRẤN ĐÌNH CHÂU PHAM GIA BUC - PHAM DUC QUANG - NGUYEN DUY THUAN TAP MOT
(Túi bẵn lan thit musi bén)
Trang 2Chúng tôi hi vọng rằng với việc chỉnh lí và bổ sung như trên, bộ sách Bài tập Toán từ lớp 6 đến lớp 9 sẽ góp phần tích cực hơn nữa trong việc nâng cao chất lượng dạy và học mơn Tốn ở các trường THCS trong cA - nước, đáp ứng tốt hơn nữa nhu cầu đa dạng của các đối tượng học sinh
khác nhau ‘
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song bộ sách khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy,
Trang 3Sơn Bài tập bổ sung 11 1.2 §2 19 Làm tính nhân : 2x2@GxŸ ~ 4xÖy — Txy + 1) Rút gọn biểu thức : 2x(3x)— x) — 42 = X” + DF —3x2)x, Nhân đa thức với đa thức 'Thực hiện phép tính : a) (5x = 2y)GŒˆ — xy +1); b)Œ (x+ X+2); 1 © 2x?@x+y)@x~y) "Thực hiện phép tính : a) (š»-t]lœx-» b) @&— 7G =5); (1 c) [x - ia + Jenn I Chitng minh : a) (x — DO? +x4 hex 1; b) q + xy + xy + y yx ~ y) =x‘ y\
Cho a va b là hai số tự nhiên Biết a chia cho 3 du 1 ¡ b chia cho 3 dư 2 Chứng mình rằng ab chia cho 3 đư 2
Chứng mính rằng biển thức n(2n — 3) ~ 2nŒn + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n Bài tập bổ sung 2.1 2.2, Két qua cha phép tinh (x -5)(x +3): (A)x?~ 15; (B) x’ - 8x - 15; (C)x2+2x-15; -(Đ) x?—2x ~ 15 Hãy chọn kết quả đúng Chứng mình rằng biểu thức (n — 1)(2 — 2n) ~ n(n + 5) chia hét cho 3 với mọi giá trị của n §3, 4, 5 Những hằng đẳng thức đáng nhớ 11 Tinh: a) (x + 2y)"3 b) (x — 3y)(x + 3y); 9 ~xŸ 12 Tính: 2 a) (x1; b)@—y)”; o[x-Z) 13, Viét cdc biéu thttc sau du6i dang bình phương cha mét téng: - 8) X” + 6x +9: b) ee là) 2xy?+x2y?+1, 14 Rút gọn biểu thức : a) (X+y) +); b)2~y)%+y)+(ŒX+y)“+=y);
c) œ&-y+2! +œ-y? +2(x—y+z)y=?2
15 _ Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 Chứng minh rằng a” chia cho 5 du 1,
16, Tinh gid tri cha các biểu thức sau : ,
a) x” ~ y" tai x = 87 vay = 13; b) x? = 3x7 + 3x-1 taix= 101;
©) XỔ + 9x” + 2x + 27 tại x = 91,
17 Chứng minh rằng :
a) (a +.b)(4” — ab + b2) + (a — b)(4ˆ + ab +b) = 2a? boa eb =(a + b)[(a— ĐỀ + ab];
©) (82+ b2)(e? + đ?)= (ac+bđ)” +(ad— bo)”, _ 18 Chứng tổrằng:
a) x” ~ 6x + 10 > 0 với mọi x ; b) 4x — x” — 5 < 0 với mọi x 19 Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức :
a) P=x°-2x45; b) Q = 2x? — 6x;
©) M=x2+y?~x+6y +10, 20 Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức :
Trang 4Bai tap bổ sung 3.1 3.2 3.4 3.5 §6 21 22 23, 2Á, 25 Cho x”+ y” = 26 và xy = 5, giá trị của %— y) là : (A) 43° (B) 16; (21; (D) 36 Hãy chọn kết quả đúng Kết quả của tích (a^ +2a + 4)(a — 2) là : _(A)@+2; (@-2Ÿ; (Qa°+8; @®)đÌ~8 Hãy chọn kết quả đúng 3.3 Rút gọn các biểu thức : a) P= (Sx- 1) + 20 -5x)(4 + 5x) + (Sx + 4Ý B)Q=@Œ=y) + +x)” + (y= X)Ể — 3XyG +) Rút gọn biểu thức : P=1202+ D@` + D@Ể + )@'5 + 1) Chứng minh hằng đẳng thức - (a+b+ cy sa tb ro+ 3(a + b)(bồ +c)( +4)
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chưng Tính nhanh : a) 85.12,7 + 5.3.12,7 ; Phân tích thành nhân từ : a) 5x ~ 20y ; _b)Sx@~ D-3x- 1); €) xŒ& + y) ~ 5x ~ By : , “Tính giá trị của các biểu thức sau : b) 52.143 ~ 52.39 ~ 8.26 a) x7 xy FX tại x = 77 và y=22; b)xŒ&—ÿy)+y(W—X) tạix= 53 và y=3 Tim x, diet: / a) x +5x"=0; b)x+1l=Œœ+ ĐỂ; e) xŠ+x=0 Chứng minh rằng : n(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Bài tập bể sung 6.1 Phân tích đa thức (x + 1)~ xŒ + 1) thành nhân tử ta được kết nề là ¿ que (A) x; (B) x(x + 1); (C) x + 1x; (D) x ~ 1)Œ@& + 1) Hãy chọn kết quả đúng 6.2 Tinh nhanh giá trị các biểu thức a) 97.13 + 130.0,3 b) 86.153 ~ 530.8,6 §7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức 26 Phân tích thành nhân tử : a)x?~9; b) 4x? — 25; c) XỔ — vẺ, 27 Phân tích thành nhân tử: a) 9x + Oxy ty; 28, Phân tích thành nhân tử: 3) (%#y)~@=y): c) x3+ y3 +2 ~3xyz 29 Tính nhanh : a) 25° = 15"; - b)812+732~27° ~ 13” 30 Tìm x, biết: a) x ~0,25x =0; 2 2 2 bd) 6x -9-* cìx +4y“ + 4y b) Ox + D°- Gt; b) x? = 10x =—25 Bài tập bổ sung >
7.1 Phan tích đa thức 4x” — 9y” thành nhân tử ta có kết quả :
(A) (0x +39)”; (B) (2x ~ 4,Sy)(2x + 4,5y) ;
(C) (4x - 9y)(4x + 9y) 5 (D) (2x — 3y)(2x + 3y) Hay chon két qua ching
7.2 Tim x, biét: a) 4X” ~ Áx= -1,
Trang 5§8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử 31 Phân tích thành nhân tử ; 2 ax’ -x-y my; b) x? = 2xy +y?— 2, 32 Phân tích thành nhân tử ; 8) 5X — 5y + aX — ay ; b) a? — a’ ~ ay + xy ; C) XYŒ + y) + yzly + Z) + XZŒK + 2) + 2XYz
33 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức : a) x” ~ Ixy ~ 47? + VỶ tại x= 6; ý =— 4 và z= 45; b) 3Œ ~ 3X +7) +(X— %* + 48 tại x =0,5 Bài tập bể sung Phân tích thành nhân tử 8.1 a) 4x? - Y?+4x+1, b) xXÌ—x + ~y,
§9 Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 34 Phân tích thành nhân tử: a) x) + 2x7 4x7: b) x? ~x43x°y 4 3ny+y-y; c) 5x2 ~ 10xy + s? ~ 2077 35 Phân tích thành nhân tử : G} 7X — 6X” ~ 2, ax + 5x~6; b) 5x” + 5xy — x— Vị 36 Phân tích thành nhân tử : ax + 4x43; b)2x” + 3x— 5; ©) lốx — 5x” ~ 3, _ 37, Tìmx, biết: a) Sx(x~ LD =x—1; b)2( + 5) ~ x” —'5x = 0 38 Choa+b+c=0 Chứng mình a2+ bỂ + cỔ = Gabe 10 Bài tập bổ sung 91 - (A)xœ+2)07+4x+ 4); 9.2 9.3 §10 39 40 41 42, 43 Phân tích đa thức x" + 8x thành nhân tử ta được kết quả là : (Œ)xŒ+2)@+2x+4); (C) x(x + 2x? ~ 4x44); (D) x(x + 2? - 2x +4)
Hãy chọn kết qua ding ,
Phan tich da thie x” + x ~ 6 thanh nhan tit ta duge két qua la: (A) &+2)œ - 3); (B) (x + 3)(x -2); (C) &- 2)(K- 3)5 (D) (x + 2)(x +3) Hãy chọn kết quả đúng Tìm x, biết : a) x” ~ 2x — 3 =0 b) 2X” + ấx — 3 = 0 Chia đơn thức cho đơn thức Làm tính chia : a) xyz :XY£; b) xy! xy, Lam tính chia : a) Fy) K+); b) = y) y=)"; c)@-yt ae :ÁX—Y+ a
Lam tinh chia :
a) 18x7y"z : XVZ; b) 5a°b: (-2a’b) ; c) 2` : oxy
Trang 6Bài tập bổ sung 19.1 Làm tính chia : 5.) 3 a) (7s) : (5s) 10.2 Tinh giá trị biểu thito~(x"y°2)" : (-xy°z)? taix=1;y =-10:2= 101 b) âx y2): (xy22)), Đ11 Chia đa thức cho đơn thức 44 Thực hiện phép tính : a) (7.37 ~ 3' + 35) ;3': b) (16) ~ 642) ; 8, 45 Làm tính chia : 4 4)(x - 3x3 + x2 :32 3 b) (5xy? + Oxy -— xy) i (xy); (33 12a 432\)1 ©\Ix9wv)—x3v2 eV sey xYy |ạxY 3 ye 14,252
46 Tìm n để mỗi phép chia sau là phép chia hết (n là số tự nhiên) :
a) (Sx) ~ 7x? +x) : 34”:
b) (3x4y7 — s3? + 6x" y 2) 5x y% 47, Lam tinh chia :
) [5(a — b)” + 2(a - b)”] : (b — a)Ÿ ;
c) œ + gy?) 1 (X + 2y) b) 5Q ~ 2y)” : (5x ~ 10y); Bài tập bổ sung i 1 Kết quả của phép tính (6x? ~ 2x° + 8x°) : 2x” là: (A) 3x? _-# +4x; (B) 3x? -x7 44; (O 3x ~xÃ+4; Hãy chọn kết quả đúng (D) 3x ~ x” + 4x, 11.2 Tìm a Me nh) để mỗi phép chia sau đây là phép chia hết a) (x? -2x3 xX): 7x" b) (5x)y” — 2x39? ~ x77): any 12 a
§12 Chia đa thức một biến đã sắp xếp
48 Lam tinh chia: a) (6x” + 13x — 5) : (2x +5); e) (2xf+x1—5x”~3x~3):(x2 ~3) 49, Sắp xếp các đa thức sau theo luỹ thừa giảm của biến rồi thực hiện phép chia : a) (12x2~ 14x +3 — 6x) +x):(1— 4x + x9; b) (O — x7 ~ 3x44 3x + 5x” — 5) : (Š + X” = 34) ©) (2x2 ~5x) +2x+2x"=1):(x?—x= 1) ã0 Cho hai đa thức A=xf~ 2x +x2+ 13x — 11 và B=x — 2x + 3 Tim thuong Q va du R sao cho A = B.Q+R
$1 Tìm a sao cho đa thức x! - x + 6x" ~x-+achia hét cho đa thức X—x+5 b) @XỶ~ 3x2 +x— 3): œ—3);
52, Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 3n” + 10n” ~ 5 chia hết cho
giá trị của biểu thức 3n + 1 Bài tập bổ sung 12.1 Kết, quả của phép tính (8x? ~1):(~2x) là: (A) 4x" —2x—1; (®)~4x? —2xX— 1; (C) 4x7 42x41; (D) 4x? - 2x +1 Hay chon két qua ¬ 12.2 Kết quả phép tính Gỗ +8):(@x+2) là: (A)x?+4; B) +2); (O x? +2x+4; (D) —2x+4 Hãy chọn kết quả đúng
12.3 Cho hai da thitc A = 2x" — 10x? + 3x? - 3x +2; B= 2x” + 1 Tim da thitc du
R trong phép chia A cho Brdi viét A= B.Q+R :
Bai tập ôn chương ï 53 Làm tính nhân:
a) 3x(X? — 7x +9; b) Sxy(x"y—5x+ 10)
Trang 754 55, 56 37, 58 59, Lam tinh han : 2 2 a) GỖ -— 1” +24) ; b) Œ + 3y) ~ 2xy +y); ©) (2x — NOx + 2) — x), “Tính nhanh giá trị của mỗi biểu thức sau : a) 1,6°+4.0,8.3,443,42; b)3f 5~ (152 + nas?-1); ©) x~12x)+12x?~12x+111 tại x=11 — Rút gọn biểu thức : a) (6x + 1)" + (6x — 1)” ~2(1 + 6x)(6x~ 1); b) 307 + DĐ + D@Š+ ĐÓ '5 + Ð, Phân tích các đa thức sau thành nhân tử ; A)X?—3x2— 4x +12; b) x4 — 5x7 44; ©) (x+y +z ~x?-y? 23, Lam tinh chia : a) (2x2 + 587 ~2x +3): 2xX2~x+ 1); b) (2x? ~ 5x? + 6x — 15) : (2x ~ 5); ©) (x'~x~14):(x =2) Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sảu : 2 a)A=x°~6x411; b) B= 2x" + 10x—1; o) Cx Sx x2 Bai tap bé sung LL 12 13 14 Kết quả của phép tính (x + 2)( —1) là : 2 (A)x?~2; ()x?+2x—2; (Ox +x~2; — (@0)x?+2x Hãy chọn kết quả đúng , Rút gọn biểu thức x( — y) — y(y — X) ta được : 2,2 ’ (Ax +y?; By x?-y"; (C x~ xy; (D) «-yy’ Hãy chọn kết quả đúng , Phan tich các đa thức sau thanh nhan ti: a) 45+ x~ 5x2 ~— 9x, b) xÍ~2x” — 2x” ~ 2x — 3, 1.4 Lam tinh chia a) 0x0 ~ 5X) + x2 + 34 — 1207 =D b) (5x ~ 2x ~ 9x3 + 7x7 — 18x ~ 3) : 7 = 3), 1.5 Tinh giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau : a) A=2x? ~ 8x ~ 10 b) Ba 9x~ 3x" LỜI GIẢI - CHÍ DẪN - ĐÁP SỐ §1 Nhân đơn thức với đa thức 1 a) 15x” — 6x? ~3x ; b) - xy - 2x*y? + 3xy; c) xô oxy? -3¢ y 3 - 2 a)-3x°-3x; b)— 11x+24; 0) 2x? = x? 42
3 a) Rút gọn biểu thức, ta được P = —15x ; Tai x =~ 5 thi P= 75
b) Rút gọn biểu thức, ta được Q = xy ; Tại x = 1,5 và y = 10 thi Q=2,25 - 100=— 97,75
4 - a) Biểu thức rút gọn bằng -10 Vì vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
b) Tương tự câu a), biểu thức rút gọn bằng 5
5 _ Rút gọn vế trá7ta duge — 13x = 26 Vay x =—- 2
Trang 810 gXÊ— 2x93) b) x2— 12x +35; 3 2 1 4x? x? =x 45 c) 4x" -x i
Biến đổi vế trái thành vế phải
Đặt a=3q +1; b= 3p+2(q;p e N) Ta có ab = %pa + Oat Spe Vay ab chia cho 3 du 2 Biến đổi biểu thức, ta được ~ Sn Hién nhién ~ 5n : 5 v6i moi sé nguyén n Bài tập bổ sung 2.1 Chọn (Ð) 2.2 Biểu thức rút gọn cồn — 3n~3= ~3(n? +) luôn chia hết cho 3 §3, 4, 5 Những hằng đẳng thức đáng nhớ i 12 13 14 45 16 17 18 "16 a) X” + ÁXy+ Ay’; b) x’ oy"; c) 25 — 10% +x” A)X ~2x +1) b)9-6yt+y"; ox xts 2 1Ÿ a) (x+3)"3 b) (x+3) : ©) xy? +1 a) Urey’); b) ax’; c) Vi (2-y)" =(y—z)", do dé biéu thtfc da cho là bình phương của tổng, ta được [&«~y+z)+(y~2)Ÿ = x” Đặt a = 5q + 4(q 6 Ñ), ta có a? = 25q° + 40q + 16 = (25q” + 40g + 15) + 1 chia cho 5 dư 1 a) 7 400; b) 100° = 1 000 000; ©) 100” = 1000 000 HD a) Biến đổi vế trái thành vế phải
b) Có thể biến đổi vế này thành vế kia -
c) Biến đối cả hai vế, a) x” — 6x + 10 = (x— 3)” + 1 >0 với mọi x b)= @Ể ~ 4x +4) ~1=~ @= 2} ~ 1< 0 với mọi x 19, 20 a) (x- 1) +4 = 4; Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) là 4 tại x= 1 2 mm = b) 2œ ` 2] 2277" rà 21 2 2 Ị 2,353 š bại x= ˆ vay=3 © (-;) +(y+3) +775 : GINN la 7 ai x 2 vay a) (02 4x +4) #7 =-(K-2) +7 < 7; Vậy giá trị lớn nhất (GTLN) là 7 tại x = 2 Bài tập bổ sung 3.1 3.2 3.3 34 3.5 §6 21 2 23 Chon (B) Chon (D) a) P= 25x? + 15x + 23 bQex+y* 1 32 P==G7-Ð 5! )
Có thể biến đổi vế trái thành vế phải hoặc ngược lại
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a) 1270; b) 52 (143 ~ 39 ~ 4) = 5 200
2) 5Œ — 4y); b) (x — 1).2x; c) (& + yx — 3) a) Biến đổi thanh x(x+ y + 1) Giá trị cần tìm là 7700
b) Biến đổi thành (x — y)” Giá trị cần tìm là 2500
Trang 924, 25 a) Biến đổi thành x(1 + 5x) = 0 Vậy x=0; x=— > aie b)x=~l;x=0; c)x=0
Phân tích thành nhân tử, ta thấy n(n + 1)(n + 2) là tích ba số nguyên liên tiếp niên luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
‘Bai tap bổ sưng 61, 6.2 §7 26 27, 28 29 30 18 Chọn (D) a) 1300 b) 8600 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức a) (x - 3)(K +3); b) (2x — 5)(2x + 5) ; 9= y)Gˆ + xy +y 2Œ + y)GỞ ~ xy + y?), a) (3x +)”; b)-(x- 3); c) (+ 2y)”, a) 4xy ; b) 4xQx +1);
©) Có nhiều cách giải Có thể sử dụng bài 31 (SGK) Ta có
(oP ty = (x+y) ~3ay(x+y), do đó x”+ y +p 3xyz = [(x+ yy + z] +[-3xy(x+y)-3xyz] = = (&+y+2)I&+yŸỶ —Z(X+Y)+#2]—3XY(+Yy+7) = Œ%‡y+2)Œ2 +” + zẺ ~ xy —xz— y2) a) 400; b) (872~ 13) + (737 ~ 27?) = 7400 + 4600 = 12 000 a) “ tìm được ba giá trị là x = 0; xed ; x=1 4 2 2 b)x=5 Bài tập bổ sung 71 7.2 §8 31 32 33 Chọn (D) 2 1 2x-1 =0;x=~ 8) 2x ) K=O b)Qx+ IP =0;x=-5 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử 3)œ+y)œ%~y—Ù ¡ b)%~y~2)&=y +2) a) &—y)G +4); b) (4ˆ ~ y)(& =3);
c) Có nhiều cách giải, có thể thực hiện phép tính rồi nhóm lại thích hợp
Chẳng hạn, biểu thúc được biến đổi thành : ,
[xy(x + y) + xyz] + [yaQy + 2) + xyz] + x28 4+ Z)= = xy + y + Z) + yZ(X + Y + Z) + XZÁX + 2) = y(X + ÿ + Z)(X +-Z) + XZ(X + Z) =(K+z)(xy + y + YZ + XZ) =(x+z)Œ%-+ yy +2) a) Biến đổi thành (x y ~ 2z)(x — y + 2z) Gid tri cdn tim là ~ 8 000 b) (2x+41* Giá trị cần âm là 4 Bài tập bể sung 8.1 §9 34 Phân tích thàn nhân tử a) (2x +.1~ y)(2x + 1 + y) b) (x + yx? = xy Fy" = 1)
Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
a) x(x +1)"; b)(Œ+ÿ)@%X+y-D@&+y+D;
©) 5G — yŸ” 2072 = 5x — y ~222(% — ÿ +22)
Trang 103ã a)Œx—1)(x+6); b) Šx— Dixt+y); 6) 4x~6x” ~2+3x = (2x~ 1)(2~3X) 36 2)@+3)@4x+1); — bì Biến đổi thành 2x ~2x + 5x~ 5 =Œ~ DQx +5); ©) 15x~5x”~3+x=(5x~)~x).ˆ 37, a)x=L; = ; 38 C6 nhiéu céch dé ching minh Ching han, thay a° + b’ = (a + by’ ~ 3ab(a + b) vaa+b=~c, ta được b)x=-5;x=2 w +b° + = (a+ by — 3ab(a + b) + o =-¢ = 3ab.(c)+ es 3abc Bài tập bể sung 9.1 Chon (D) 9.2 Chọn (Bì, 9,3 a)x=3;xXx=~—l b)x=~3;x= 2, 2 §10 Chia đơn thức cho đơn thức 39, a)x; by’
40 a)x+y; b)x~y; â)xXơy+Z
41 a) 3xy; b) ~ 3a; c) Byz 42 aneNin<4; bnéNsn23; cìneNĐ;n>2; ®@đneN;n3»4 43 Thực hiện phép chia, ta được xy Giá trị cần fim + Bài tập bổ sưng 19.1 a) 1258” b)- wy"s 10.2 Rit gon duge -x!y" thay gid tii x= 1; y =~ 10, tinh duge — 10000 20 811 Chia da thuc cho đơn thức 44, 45 46 47, a) 29 ; bì @ˆ 8) — 89 : 8ˆ =0,
a) SP x43 b) — Sy ~-9 + xy; c) 3xy~ Sy-3x
Nhận xét Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu bậc của mỗi biến trong B
Trang 11Bài tập bổ sung 12.1, Chon (B) 12.2 Chọn (D) 12.3 A = (2x7 +1) ~ 5 +1) + 2x +1, Bài lập ôn chương I 58 a) 3x°~ 21x74 27%: b) ” y?~2x2y +4xy2, 54 8) X + 2X) x? 99; b) x * 4 xy 4 xy ~ 6xy? 4 3y?; ©) ~6x3 +17x2 45x 6, | 55 a) (1,6 +3,4)*=25; b)1; ©) Thay 12=x +1 hoặc phân tích đa thức thành nhân tử chứa các nhận tử X~ 11, ta được 100, l 56 a)4; b) HD Thay 3 = 2” — 1 rồi áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức (A~ Đ)( + b) = a2 ~ bể, ta được kết quả là 222 _ 1, 57 a)Œ%~2)%X+2)œ~3); b) %~ ĐÓ + D(x =2) +2);
©) Sử dụng (x +) axe 4 y° +3xy(x+y) thay
Trang 124 2 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau : A 6x7 43x | bỳ 4x2-3x~17 4x~7 | 2x-1 ay?” A _2x+3 ` Ax?~7x+3 A x?~2x x? +2x aaa 5d) Ss x*-1 X“+2x+l 2x?—3x—2 A
3 Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai Em hãy sửa chỗ sai cho đúng 2 5x+3_342+12x+6., xi x43 x~2 2 x-4 x‡3 x2+@x+0 x°-2 x2 2x7~5x+3 2x7-x-3 6) ape xÃ=1 X+Ỉ 0 Sẽ X°+3x—-4 x?+5x+4 Bài tập bổ sung 11 Tìm đathức Pđể _Š”— - X+x+1 XxÌ~1 (ŒìP=z2~4x+3; (D) P= x?-x-3, Phương án nào sau đây là đúng 2 (A)P=x2+3; (C)P=x+3: 41.2 Trong mỗi trường hợp sau hay tim hai đa thức P và Q thoả mãn đẳng thức : a) GF OP GW b) w+ 2P _ (x -2)Q ; x~2 x“=4 X—1_ x?-2x+1 * : ,P „ R no xố về 1.3*, Cho hai phân — và s; Chứng tô rằng : a)Néu = R yy TQ Rrề, Q s Q 8 _ POR P R b) Nếu — = + và Pz Q thì R # § và =——— Qs -Q-P S-R 24
§2 Tính chất cơ bản của phân thức
-4, — Dùng tính chất cơ bẩn của phân thức, hãy điển một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau : a) x-x? x, b) x2+8 3x2+24x 4 2x—1 HN
¢) “les 3x2 a 4) ~32+2xy TY” _ -
X-Y 3w- x+y yay?
§, Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước : a) SR*3 a = 10x74 9x; ""— x?~5 (4x~2)45—x) 6 Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức : -1 x45 x2 95 a) 3 vax +; bì ÝTẺ và Š 2s x+2 5x 4x 2x+3
Trang 13| | 2.2, 2.3, §3 10 11 26 Biến đổi mỗi phân thức sau thành phân thức có mẫu thức là x” ~ 9: 3x : x—l :x2 +9, x+3 x~3 Ding tinh chat cơ bản của phân thức chứng tỏ rằng các cặp phân (hức sau bằng nhau : a x? 43x42 và 2x? +x-1 3x +6 6x -3 15x — 10 , R= 5x45 aT AT" 3x“ +3x — (2x + 2) e+] Rút gọn phân thức Rút gọn các phân thức : = _ _ ns a) 14xy (2x—3y) „ b) 8xv(3x—1)” „ 21x2y(2x—3y)2 ` 12474-3x) LÊN 20 © 20x sẻ : 4) 5x sy : (2x+3) 2(2y ~x) °) 80x? 125% 9-445)? 3(K~3)— (x ~3)(8—4x)" x2+4x+4 32x—8x? +2x” 5x7 45x | 8) oe h) — ; x” +64 x1 X74 5K +6 ) x“+4x+4 Chứng mình các đẳng thức sau : xy +2xy? +y? _ xy+y? x? 43xy+2y? 1 a) = ; b) = ————= : 2x2 +xy-y? 2X-Y x°+2x2y-xy2~2y) X¬y : 32 cà v3 2 Cho hai phân thie “SAE Sx + AÐE +3, x7 2x7 41 | x343x7 43K 41 -
Số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phan thức đã cho Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất
Theo bài tập 8, có vô
12 Tìmx, biết:
a) a’x + x= 2a’ ~2 voi a là hằng số ;
b) ax +3ax 49a" với a là hằng số, a # Ö và a # —3 Bài tập bổ sung 3.1 Rút gọn phân thức :., xt~yf (2x - 4)(x ~ 3) ° 2x8 +x? -2x-1 9 yor! (x ~ 2)3x? = 27), xo 42x? ~x-2 3.2* Rút gọn phân thức Q x20 ~ xế —x? +xẾ + +xế xP - x? ad _ x29 + x?! + xI + x2 + xế +Ị
Trang 1418 Cho đathức B=2x”+3x”— 29x + 30 và hai phân thức
16
x x+2
2x2+7x~15- x2+3x~10
a) Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho
Cho hai phân thức =—=—- và =
X“ế=4X¬5ð - x“—2x-3
Chứng tô rằng có thể chọn đa thức XÃ > 7x” + 7x + 15 làm mẫu thúc chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho Hãy quy đồng mẫu thức Bài tập bổ sung 4.1 Quy đồng mẫu thức ba phân thức x y Zz x? ~2xy +? -'Ẻ y? ~2yz + z2 —x2 ` #2 —2øx + x? y? 4.2*, Cho hai phân thức ———— và 2 Hay xác định a và b biết §5 17 18 28 x" +ax-2 x7 45x +b
rang khi quy dong mẫu thức chúng trở thành những phân thức có mẫu thức chung là XỔ + 4Ö + x — 6 Viết tường minh hai phan thức đã cho và hai phân: thức thu được sau khi quy đồng với mẫu thức chung là xÌ+4x? +x—6 Phép cộng các phân thức đại số Cộng các phân thức cùng mẫu thức : : 2 — a= TH Re Ki b) x a 2 x 6x'y 6x°y 6x°y xŒx— “ - xx—]) 3x+1 x? 6x x7 438x4+4 3x2-4x~2 S2 xế-3x+1 x“-3x+I T2 ; Đ 3 2xX“+17x+l 2x”+l7x+1 aw) Cộng các phân thức khác mẫu thức : a) —+ —+ 11 : b) 4x+2 4202 AH 6x*y 12xy“” l8xy iSx3y 9x2y sxy? 2 ` =3 2x 2+1 AE, = + 1 - 2x 2x-1 4x? 2x" xX°+1 0 x?-x+1 x41 ì i † 19, 20 21 2 38, Đừng quy tắc đối dấu để tìm mẫu thức chung rôi thực hiện phép cộng : 4 2_.5x-6 8—>†+—~+d >> 2? x+2 X~2 dex l~3K 38-2 2-2 b › 2x 2X~l 2x—4x? ) i + i +—ỄŠ_ @)~>————†+—x—— ; 4649 ốx~-x?-0 x79 2 2 1 ad) x tt —tri xi~l x2+x+l Í~X x + x + 4xy : 9 X-2y X+2y dy? —x? Cộng các phân thức : 1 + 1 + 1 ; ®ằ%œ-=pg-2 0-26-) ø-x)&-y) 3 ) : + 3 + ; -x)@-x) G-*OY-2) 2-2) 1 1 1 + + 9 x&X-yÁx~Z2) YyỚ-2)@-X) Zz~X)Œ-ÿ) Lam tính cộng các phân thức : ' 2x+1 32x 2 1-2x a) 1ixr1l3, 15x+ l7 : b) : + + : : 34-3 4-4x Ne 2x2-x I~4x” 2x”+x ” 4 Ph Blo © tt d) APF RFR 41, eaxdd xx 1-x3 I-x Cho hai biểu thức : ai, )} x75 : B= x x+5 x(x+9) x+5 Chứng tô rằng A = B :
Con tau du lịch "Sông Hồng" đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì Sau đó, nó nghỉ lại tại Việt Trì 2 giờ rồi quay vẻ Hà Nội Độ dài khúc sông từ Hà Nội
29
Trang 15đến Việt Trì là 70km Vận tốc của dòng nước là 5 km/h Vận tốc thực của : Áp dụng điều này để làm các phép tính sau :
| con tàu (tức là vận tốc trong nước yên lặng) là x km/h : 1 1 3x6
a) Hãy biểu diễn qua x : | a) 3x2 2” 3x42 a2 4 oe
~ Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì ; : 18 3 x
i b) ——— 3 oe
- Thời gian xuôi từ Việt Tn về Hà Nội ; : &- 3° ~9) x-6x+9 2-9
1 i ~ Thời gian kế từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội i 26 Rútgon biểu thức:
b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng i 2 2
vận tốc lúc ngược dòng của con tầu là 20km/h ¬ a) 3x +5xt1 1x 3 :ó b) I + +? :
| i x3 =1 x+x+] X-Ï ox) +l
Bài tập bổ sung + x 36
x+3 4=—x ; oop tae
5.1 Cộng bai phân thức mot it Phương án nào sau day lading? i X X†?6 x* + 6x
| x ~ ok : 27 Nếu mua lẻ thì giá một bút bị là x đồng Nhưng nếu mua từ 10 bút trở lên thì
| (A) 7 ; (B) "m ; (G1; _ @®}~1 HT giá môi bút rẻ hơn 100 đồng Cô Dung dùng 180 000 đồng để mua bút cho
2x1 1~2x ị văn phòng Hãy biểu dién qua x :
5.2”, Thực hiện phép cộng : i — Téng sé bút mua được khi mua lẻ ;
! + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 — Số bút mua được nếu mua cùng một lúc, biết rằng giá tiên một bút không
1x l+X tex? text l1+xổ l+xIế ị quá 1 200 đồng ;
i ’ l l „ I OK bt faye ` + saa 2
| §6 Phép trừ các phân thức đại số : , Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ,
Trang 162x x 1 2x x 1 Cc - ——— ~ + Zot © X-l1 x~Ì x-1 (c5 =i 2x x 1 2x —X = D ~ ~ = + + Be,
Đi x-i x-1 x-1 x-1 Xx-I
6.2 Trong méi trudng hợp sau hãy tìm phân thức Q thoả mãn điều kiện : 1 1 x?+2x 8) ————~Q= + —; X?+x+l x-x? x3] 2x —6 _ 6 2x? ») yt FE x x” — 3x" ~x4+3 x-3 [-x
§7 Phép nhan cdc phan thife dai sd
29 Lam tinh nhan phan thitc : 3 5 a) 05) 121y” , liy“ 25x ay? (_ 21x) TH (tay? J’ : [- wr (82) g) E48 2x-20 25x! 9y (x10) (x42 ’ 2x? -20x+50 x71 3x43 A(x 5° 30 Rut gon biéu thtic (chi ý dùng quy tắc đổi dấu để thấy nhân tử chung) : x+3 (8-12x+6x? -x? b) x?~-4 9x+27 , 5x2+x 1-8x3 3x*-x 1-x4 — x2~1 (3x) 2
31 Phân tích các tử thức và các mẫu thức (nếu cần thì ding phương pháp thêm
và bớt cùng một số hạng hoặc tách một số hạng thành hai số hạng) rồi rút b) e) 6x-3 25x? +10x41 | 3 8) gọn biểu thức : x-2 x? ~2x-3 | b) x+1 4—x K+L x? 5x46 | x7 -2x~8 x2 4x7 x‡2 x?-36 4x+24 x2 4x2 32 32 Ap dung tinh chat phân phối của phép nhân đối với phép cong để rút gọn biểu thức : ".~ xi1975D x+l- x+1975 x+l ` 19x+8 S5x-9 19x+8 4x-2 X~7 x+i945 x-7 x+1945 33 Tinh tích x.y, biết rằng x và y thoả mãn các đẳng thức sau (a, b là các hằng số) : „ :
a) (442 — 9)x = 4a + 4 với a # tổ và (3a + 3)y = 68 + 9a với a # ~1 ; b) (287 — 2b )x — 3b = 3a voi ax b và (6a + 6b)y = (a — b}” với a # — b 2 p2 2 42 (Chú § ring a? +ab+b? =a2 420.240 43 „ are +2230 : 2 4 4 2 4 Do đó nếu a z 0 hoặc b # Ô thì a” + ab + bỂ > 0), 34 Rút gọn biểu thức : x) 415x47 x 4x? +4 9 3 2x°4+2 a Fy 1l4x* +1 x" +15x4+7 b) X +34 +2 3x x? 4x4] eat Xt1 x7 43x? 42
35 Đố Đố em điển được một phân thức vào chỗ trống trong đẳng thức sau : Lox x+i x+2 x‡+3 X+4 xtõ X+Ô X+7 X+B x+9 X X+Ì X‡2 X‡3 X+4 X+5 X+Ổ X47 x+Š8 X+9 x+ÍƠ
Bài tập bổ sung * /
Trang 17| | i | §8 36 37 38 39 40 41 34
Phép chia các phân thức đại số
Hãy làm các phép chia sau : a) 7+4, l4x+t4 b) 8xy „ 12xy” 3xy) xếy 3x—1 5-lấx ` 3 2T~x ,2x-6 : d) (4x2 -16): 3x+6 : 3x+5 3x+3 7x-2 3 e) — ~x+Ð
Thực hiện phép tính (chú ý đến quy tắc đổi đấu) :
độ t3), x? 43x 4x +6y 4x? aay +9y"
; _b) :
” ox -x 1-3x x~1 1~x3
Rút gọn biểu thức :
a) xế ~xy? x +X ?y+xy? b) 5x? ~10xy +ấy? 8x —8y -
2xy+y? — 2X+ty 2x? —2xy+2y? 10x? +10y
Thực hiện phép chia phân thức : x°~5x+6 X?~4x+4 X?+2x~3 x”+7x+12 a) > eS b) x2+7x+12 x2 43x x7 43x-10 x?-9x-+14 Tim Q, biết :
x~y x”~2xy+y? x+y 3x? + 3xy
8) TQ =~z x+y ‘xo =xy+y Ti Đã j.Q= x? -y x“+xy+y z Rút gọn các biểu thức (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính) : : ay SH K+2 K+3 | b X41 (x42 x43 X+2 x43 x41’ x42 (x43 x41 ©) X+l X+2 x†+3, 3 x+Íl (x+2 x+3\, K+2 x43 x41? X42 (x43 x41 ©) X+l x†2 x+3._ Đ x+l (x+2 x+3 X‡+2 K+3 x+Ị x42 (x43 x41 42 43
Hà Nội cách TP, Hồ Chí Minh x km Quãng đường từ Hà Nội đến Huế ngắn hơn quãng đường từ Huế đến TP Hồ Chí Minh là 411km Một con tàu xuất phát từ TP Hồ Chí Minh đi Hà Nội Sau đó 8 giờ con tàu thứ hai xuất phát từ
Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh, chúng gặp nhau tại Huế rồi tiếp tục đi Con tàu
thử hai phải đi 20 giờ nữa thì tới TP Hồ Chí Minh Hãy biểu điễn qua x :
a) Chiều dai các quãng đường Hà Nội - Huế, Huế — TP Hồ Chí Minh ; - b) Vận tốc của con tau thứ hai ;
©) Thời gian đi của con tàu thứ hai từ Hà Nội vào Huế ;
đ) Thời gian di cla con tau thứ nhất từ TP Hồ Chí Minh ra Huế ; e) Vận tốc của con tàu thứ nhất ;
ƒ) Thời gian đi của con tàu thứ nhất từ Huế ra Hà Nội
Trang 1845
46
Ai
36
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ Giá trị của phân thức
Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức : xe 1 2 ast: b) +: 1-~—~ x+2 l+~+~> x x2 2 ee x43 ¬- œ 4 4x 1T x 6,1 x Oy 2 x 2 Thực hiện các phép tính sau : : _ 2_.5<v2
a) sty + y & 25y x" —Sxy X“+5xy x?+y? " THAI y?~x*? x2+2xy+y? x?~y? , 1 2 2 9 =+ = z* 1 ; * + 4XY + ÿ (x-y)“ 4x -y“ˆ (x+y | 16x y(2.-— + —).{2 1 X+2 x gaye) x -4 4 2- % Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định : , 5x2 ~ 4x +2 8 a) ) 20 a 5 ng ) X+ 200 4x x € ; 3= 7 Dae
Phân tích mẫu thức của các phân thức sau thành nhân tử rồi tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức xác định : 5 a 5 5 ) ni 2x ~ 3x 8x" + 12x* + 6x 41 5x7 0) ———~ ; l 9-— 16 ~ 24x + 9x x? - dy? 48 49 50 31 52 53 54 1 5x? 2x~2 x?~2x+1! KD? +D cùng điều kiện của biến x Điều đó đúng hay sai ? Vì sao ? Có bạn nói rằng các phân thức có
4) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 19
b) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác +42
Đố Đố em tìm được một cặp phân thức của biến x mà khi giá trị của phân thức
này bằng 0 thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại khi giá trị của phân thức kia bang O thi gid trị của phân thức này không xác định - Em có thể tìm được bao nhiêu cặp phân thức như thế ?
Tính giá trị của các biểu thức :
_ 2
a) ax x tại x=—8; b) = HC
9x“—=6x+E xX”+2x”“—~x~2
Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây, Chứng mình rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y (nghĩa là chứng tổ rằng có thể biến đối phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa x và ÿ) : tại x = 1 000 001 a) xy, (x+y)(6x~6y) ` 2ax ~2K— 3 +389 (a 1a hing 86 khdc - =)
4ax + 6x +9y + bay
Đố, Đố em tim được giá trị của x để giá trị của phân thức ioe bang x”-
a) 25 b)2; c) 0
Cho biểu thức Z-Ê2X „X5, 50 =5, 2x+10 x 2x(x + 5)
a) Tim điều kién ctia bién x dé gid tri của biểu thức được xác định b) Tìm giá trị cha x dé gid tri của biểu thức bằng 1
c) Tim giá trị của x dé gid trị của biểu thức bằng — —- đ) Tìm giá trị của x dé gid tri cha biểu thức bằng —3
Trang 1955 56 38 Thm x, biết : — - 443.0; b) 3 or x =0 x°-2x+1 x7 -1 K~30 g-x* x43 Với giá trị nào của x thì giá trị của mdi biéu thitc sau bang 0: 4= —* 3 5? b) ja x1? x°-4 (x+2) x*+x4+1 Tim giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một SỐ nguyên : `3 a) ——; —— _ Doss 3x3 — 4x2 4x1 3x? ~x +1 €ì——————; độ ——————: x-4 3x +2 Hãy tham khảo cách giải câu đ) được trình bày dưới đây để giải các câu còn lại : Chia tử cho mẫu, ta tìm được thương Q = x — 1 và dư R = 3 Do đó 3xX2~x+1=(Öx +2) ~ 1) +3 2 _ Vì thế 3x ~X+1 Gxt DO D+3 Ty 3 3x +2 3x +2 3x +2 Néu t6n tai gid tri nguyén cha x dé gid tri cha biểu thức là số nguyên thì hiển cũng có giá trị nguyên Do đó 3x + 2 ƒ1,1,3) Nếu 3x + 2 = -3 thì 3x = =5 hay x =— ;, không phải là số nguyên : 3
nhiên x ~ 1 có giá trị nguyên và a0 VÔ +2
phải là ước của 3, mà tập hợp các ước của 3 là {~3,
Nếu 3x +2 =~1 thì 3x = ~3 hayc=—l
Nếu 3x+ 2= 1 thì 3x =—1 hãy x= -š , không phải là số nguyên Nếu 3x + 2 = 3 thì 3x = Í hay x “5 khơng phải là số nguyên
Hiển nhiên với x = -]1 thì giá trị của phân thức đã cho xác định vì khi đó 3x +2 =~1 #0
Vậy để biểu thức có giá trị nguyên thì x chỉ có thể có giá trị nguyên là ~1
Ngược lại, với x = ~1 thì giá trị của biểu thức là ~5 DS :x=-1 i ‡ Bài tập bổ sung 9.1 9.2, © Giá trị của Q tại x = 3 là 3+ x°-6g+9 _ (x-3Ÿ kk xi-0 (x — 3) + 3) biểu thức Q Câu trả lời nào sau đây là sai ? 3 1 3 Hãy tính giá trị của Biết rằng Q = m3 4~ (A) Giá trị của Q tại x = 4 là 4 seg Sa : 1 (B) Giá trị của Q tại x = Í là TT a2 : 3—
(D) Giá trị của Q tại x = 3 không xác định
Trang 2059, 60 61 62 63 40 Chứng mính đẳng thức : (x2 ~ 2x 2x2 l 1 2 a) 21s 8§~4x+2x2 —x” by | 2-2 (S‡!-:-|: x-Í_ 2X 3x x+1\ 3x x x-I s|—2 (Lea) 1 (+1) 4gt- (+2? x 42x41 Lx? “3 xo Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thúc : “ xi 2 x-1 x 4 xt 0 eT! —— x41 x x? 42x +1 Một phân thức có giá trị bằng 0 khi gid trị của tử thức bằng Ó còn giá trị của 25 xe mẫu thức khác 0 Ví dụ giá trị của phân thức " WT 0 Khi x”— 25 = 0 : : X và x + 1 z 0 hay ( — 5)(x + 5) = Ö và x # —1 Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi x= + 5, Tìm các gid tri cha x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 : - 98x2 — 2 _ » 3 3x — 2 K° + 2K 41 Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x dé gid tri của biểu thức được xác định : ax? +4 2x—~3 x 4) XT? » x-1 ; x42 l x? -25 d= x2 ~25 'x)-10g+25 2410x425 x ` _ X5 Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0 64 65 66
Tìm điều kiện của x dé giá trị của biểu thức được xác định và chứng mình
rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến ; 1 x 1 K—— — tr 3) X : b) xXt+1 x-] : X2+2xg†+l 24+2 2x42 4x x x x-1 x?~1 1 -x x 1 Ì, @ x-L x? 44 xd Qx+1 x?-1 —6 2x-6 x To x?~36 x2 46x) x?+6x 6K, Chứng mình rằng : , 2 Ƒ 2 2 +] 2 (T1 š er a) Giá trị của biểu thức (2) | 5 sim) bằng 1 với moi " , x x x+Í\x giá trị x # Ö và x #~—1 ; b) Giá trị của biểu thức ——— — ————' x x7 43x xe x-3 2x+3 bằng 1 khi x2~3x x?~9 X40, =8, X3, Xổ: Chú ý rằng nếu c > 0 thì (a + b) + c và (a— b) + e đều dượng với mọi a, b Áp dụng điều này chứng mình rằng : : a) Với mọi giá ffi của x khác + 1, biểu thức x+2 ( x —.- +1Í_ x-1 \2x4+2 ln ln có giá trị đương ;
Trang 21
67 Chú ý rằng vì @ + 4) > 0 với mọi giá trị của x và (x + a)2= 0 khi x =— a
nên (x + a)” + b >b với moi gid tri của x và (x + a} + b = b khi x =— a, Đo đó giá trị nhỏ nhất của (x + a)” + b bằng b khi x = — a Ấp dụng điều này
giải các bài tập sau :
a) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy b) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức (x+2# [1 =| x7 46x44 x x+2 x có giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất ấy Bai tập bể sung
ILL (Dé thi học sinh giỏi toán cấp H, Miền Bắc năm 1963)
Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = ~1,76 và y = _ ï P= x-y X ty +y-~2 _4X' + 4x?y + yŸ ~ 4 kL
2y-x x?-xy-2y? | x?+y+xy+x `242+y+2`
Trang 221.3 §2 = 44 Cũng có thể lập luận như sau : a) Vì P = R nén P.S Q5 = Q.R Do đó (P+Q).S=P.S+Q.5=Q.R +Q.5=Q(R +8) Vậy Pro RS _b) Lập luận tương tự
Tính chất cơ bản của phân thức
ND : a) Từ tử thức của hai vế chứng tô tử của vế trái đã được chia cho 1 — x
Do đó cũng phải chia mẫu của vế trái cho 1 ~ x Ma 5x2~5 =5 = DŒ +1) =— 5 —xj@œ + 1) Vậy phải điển đa thức —5(x + 1) vào chỗ trống, tức là : x-x? —_ 5x2~5 —5X+Ù x-x? - x—x) _ xŒ —X) - xq—x) - x : 5x2—5 5x2 _) 5%=ÐŒ%+Ù -~5đ-x)X+Ù -5Œ&+Ð) b) Đã nhân tử thức của vế trái với 3x Lập luận tương tự như trên, ta có : x2+8 (X7+8)3x 3x 2+24x 2x—1 (2x-Ù.3X 6x2-3x
c) Vity - x)’ =(x- yy nên các mẫu thức ở hai vế chứng tổ mẫu ở vế phải đã được chia cho 3(x — y) để được mẫu ở vế trái Do đó cũng phải chia thở' -Ÿ vế phải cho 3(x — y), mà 3x7 — 3xy = 3x(x — y) Vậy tử ở vế trái bằng x; tức là
Ko 3x2 —3xv
K-Y¥ 3Ÿ
Cũng có thể biến đổi như sau :
3x2 ~3xy _3XŒ-—y) y)_ x
3y-x) 3x-y)” X~Y
(ta đã chia cả tử và mẫu của vế phải của đẳng thức trong bài tập cho 3x — y))
d) Vi-x? + 2xY — ý” = =(X — VŸ và yˆ— XÃ = (V — X)(y + x) nên :
-x)+2xy-y” -@&-y}” ~@-y)-x)_
Trang 232 2.2 4 Ta có 5 = 2= 2g ; xế+8x+l6 (x+4) 2(x+4) 2x“ +l6x +32 X4 _ X~4 A 4œ +4) x" -16 2x48 Ax+4) Ax 44 2x? +l6x+ 32 2 DS: — 47 và Tổ —, 2x“+16x+32 9 2x* +16x +32 24 2_ ad) DS: 2x0 ~4x và xá-9 ; Œœ%+l)&-2)&-3) (x+J)(x-2)x-3) § — Với hai phân thức A va £ , ta có hai phân thức cùng mẫu thức ——— AD BL B D’ D B.D han ca tử và mẫu của hai phân thức này với cùng B.D BBD D A.D.P B.D.P va , BCP B.D.P một đa thitc P# 0 bdt kì, ta được hai phân thức mới : bat A'=A.D.P,C=B.C.P,E=B.D.P, taducc: AI A.DP A AC, BCP C E BDP B E BDPD , xi
Vì có vô số đa thức P # 0 nên có vô số cặp phân thức = va Ỹ thoả man
điêu kiện đã cho Bài tập bổ sung 3W ĐS:a)x2+t5x, b)2xtl: cjx-2: đx+2 22 BS: 3x "=-.- .¬ k x+3 x?-9 x~3 x?~09 2 2_— x2+o~ 1902 =9) x*-9 23 a) X tỆX+2 eK IH? xŒ + 1) + 2œ + D _ K+ DR +2) “ 3x +6 3(x + 2) 3(x +2) 34x+2) ˆ 46 +1 Chia tử và mẫu cho x + 2 ta được ST” ; 22+x~1 x +x+x2~1 x@&+l)+Œ+DŒ =1) 6x—-3 32x—Ù 3(2x ~1) _ & +DQx-) — 3@x-ÐD ` +1 Chia tử và mẫu cho 2x — 1 ta được xe 15x — 10 5(3x — 2) b) Ta có - = ) 3x2+3x~x+2) 3x +)~-2K4+D) _5Gx-2) _ 5 (x $DGx-2) x41? Sx? -Se45 5% =x+ÐD _ 5 +l (K+ DQ 2 -x4ÂD xt] Đ3 Rút gọn phan thức 4 a) —7 _- 5 3x(2x —3y) vy 29K yy - ~3x)3 _-2yd=3x)” ; 1242-34) 12x1-3) 3x? -45 _ã(4x7~9)_ 52x~3)(2x+3) _ S2x~3) | mm (2x43) (2x +3)" 2x+3
4) 5⁄2 -10xy _ 5xœ~2y) _ -5xØy~x) _ -5x „
Trang 249-@œ+5Ÿ_@=x-5)3+x+5) _ Cx=2)%+8) x°+4x+4 (x+2! (+2! _-(x†2(x+8) =x-8, — (@œ+2 KD” 32x-8x42+2x) 2x6~4x+x?) 2x” 32464 - (@x+4\@2-4x+l6) X+4” 5x tSx 5x@&A@“+l) _ ấx h) = „ : x'~1 (@2-Ð@&?2+U x? -1 X745x46 X?+2x+3x+6 (X32)@đX+3) x+3 i) x 44x44 = (x+2# (x+2)2 = x42 10 a) Xây +2xy” +yÌ - y(x2+2xy+y?) 2x2+ xy~ y? 2x2+ 2xy—xYy— y?
-_— YG&‡V“ — yŒty)_ xyty”,
2⁄X+y)-yŒ&+ty) 2x¬y 2x¬y Ơ b) x2+3xy+2y? _ x°+xy+2xy+2y? x +2x2y—xy? ~2y3 _ x3 -xy? +2x2y~2y? x(xty)t2y(xty) _ (+†Yy)&+2y) x@°~y”)+2y@°~y”) @ -y”Xx+2y) (X+y)\A+2y) 1 _(X-y(X+yŒX†2y) KY 11 Trước hết rút gọn mỗi phân thức : x°-x?-x+! x?œx=1~@œ=D _@&-=D@ˆ~Ð _ x'~-2x2+1 @2-Ð œ?-1# x~1 xe _ i DTD xửi 5x? 4 10x" 45x - 5x(x? 42x41) _ Sx(x +1" mm x 43x7 43x41 °° (xe? @&+Đ` x41 48 : 31 4) i 5 `
Hai phân thức mm và mm là bai phân thức cần tìm Thật vậy, nếu còn có x x ‘ hai phân thức khác thoả mãn điêu kiện của bài toán với bậc của mẫu thức
chung thấp hơn thì mâu thức chung ấy phải có bậc 0 tức là một hãng sd a #0 nào đó Chẳng hạn, =ị = P, Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau X a
ta có La = bá + 1) = bx + b, Vì a z 0 nên b # 0 Do đó bậc của vế phải
không nhỏ hơn 1 còn bậc của vế trái lại bằng 0 Đó là điều vô lí
oy 1 2
Chú ý Cũng có thể lập luận như sau : Vì x+1= : aoa +2] nên đẳng thức
chứng tô ta đã chia mẫu thức x + 1 cho iY ah, Vậy 1 cũng phải chia hết aa cho ix+t Nhưng điều đó là không thể được aa
Trang 25= (x4 —x?+ (xế -xÌ+ 1D (J2 +2x5 +1—x5)&Š + D(XÍ - xế +1) - (x4 ~ x? + DG@Ẽ = x2 +) [ŒŠ + Đ? ~ xế]@œ2 + D@Š =x2 + Dol? ~ xế +1) _ XỔ ~ xổ +] _ @®+x”+1)G@Š =x + DG? + DAP? aD _ i (8 +x 4G? FDO xo 4D §4 Quy déng mu thife nhiéu phan thie ấy 28x 42x2y 42x?y) , 13 DS: a) Ly? LG 100x4y) 102x4y3 ’ b) ằ 9x7 43x 4y?2-§y 36xy4 36xy4 , by? 4x?+4x 9x3y-9x2y ;
36x9y* 36x7y4 36x7y4
Trang 262 5x” 5x” 25⁄2 — 10x xô+6x2+12X48 6+2) 2@122 24122 4x = 4x = AR 2K 42) _ 8x(K 42) X?+4x+4 (x42) 2x+22 20K 4293 3 3 3+2 2x+4 2X+2) 2+2)! - 15 a) Thực hiện các phép chia đã nói, ta được : 2x? + 3x? — 20x + 30 = (2x2 + 7x — 15G ~2) = @X + 3x — 10)(2% ~ 3) ; b) Theo a) ta có : Ko x(Œ =2) _ x? 2x 2x2+7x-15 (2x2+7x-15(x-2) 2x2+3x2-20x+30 x‡2 — (X†2Q@x-3 — 2x2+x-6 x2+3x4-10 (x2+3x-10(2x-3) 2x)+3x2~29x+30 16 Chia x° - 7x? + 7x + 1 cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho, ta được : Tx + 7x + 15 = QXẾ ~ 4x ~5)(x— 3) = @Ở — 2x — 3)(% — 5) Do đó : 1 - 1.(x-3) _ x-3 x7 -4x—5 (X2-4x—-5X-3) xÌ~7x2+7x+15 20 | 2(x—5) —— 2x=10 x2-2x-3 @2~2x-3&-5) x?~7x2+7x+15 Bài tập bổ sung 4.1 MTC=(ŒX~y+2)xX—y~2)ŒX+ y2) x x(X + y - 2) x?~2sy+y?~z2 (@&-y+?)¬y=2@&+y =2) ` y?~2ÿ2+72 -X? - y y - a (y-z+x)y~-z—x) -G&+y-2(x-y+z) = ~y&~y -2) œ—y+2Œ& y2 + y =2) ` 52 4.2 §5 17, 18 z z 22 ~2z8+x2—y) (z—x+YŒ-X—Y) Ux — y +2) “&-y-2&+y=28~y+2)`
Giải : Chia XẾ + 4x2 + x ~ 6 cho x” + ax — 2 ta được thương là x + 4 — a Vì
dư của phép chia phải bằng Ô nên ta suy ra 2a ~ 8 = =6 @)
và a(4 — 4) = 3 (2)
Từ (1) suy ra a = 1 Giá trị này cũng thoả mãn (2) ;
Chia x3 + 4x7 +x ~ 6 cho x” + 5x +b ta duge thuong 1 x ~ 1,
Tương tự như trên ta suy ra b = 6 @®)
vài —b=-5 (4)
Giá trị b = 6 thoả mãn cá hai đẳng thức (3) và (4)
Vậy hai phân thức đã cho là Sa và Tung XỔ + đt +x—6 = &2+x~2)G +3) = @Ẻ + 5x + 6G —.1) Sau khi quy đồng mẫu thức ta được 1 x+3 - 2 — 2&-D X2+x T2 x) + 4x2 +x~6 ø XÃ+t5xX+6 X +42 +x =6: Phép cộng các phân thức đại số b) ——- : el; d) 2 x-l “
5 + T7 il _ 56y +7.3x+112xy _ 21x+ 30y +22xy
6xÊy 12xy? - l8Xy _36x2y? 36x°y?
p2, Sy~3 , x41 _ (4x +2)3y? +(ðy~3)5xy? + (x+ 9x”
Trang 2719 54 34-3, 2X7+1 _32x-1)+(3X-3)2x+2x7+l c) 34 2x(2x—1) 2X 2x~1 42-2 _ 6x~3+6x?=6x+2x?+1 _ 8x2—2 _ 2x(2x -1) 2x(2x ~I) AR? =1) _2Q0x-1)Qx4+1) 2x41, 2x(2x-Ù 2x/x-D) x X)+2x ` 2x + Ott Xx?—x+1 X+#+ 1X +2X12ã@X+])+X2-x+1 (œ%x+ÐŒœ2—x+Ð 3) _X 130134321 @X+Ùổ HY? Œ%+@?~x+Ð GHD? -x4D x2 2x41 4 + 2 5-6-4 = + 2 + 6-5 = “R42 x-2 “4x? x42 X~2 x?-4 _4Œ~2)+2+2)+6~5x _ 4x~-§+2x+4+6- 5x — (x-2)(x+2) @&=2&+2) oe „1 (-2x+2) x-2 ` 1-3x yok? + 3x-2 - (1~3x)(2x~1+-2x(3x~2)+2~3x — b ) 2x 2x1 2x 4x? 2x(2x-1) _2x—1~6x”+3x+6xX”—-4X+2-34— -2x+1 — 2x(2x—D 2x(2x—-1) 1 + i "mm 1 + vl tự x _ x?+6x+0 6x-x?~0 x?~09 (+32 (x-3/2 (X+3X~3) T TL , 2x © _%=3”~@œ+3)” + xœ+3)(x—3) - (+3 œ3 x? 21x _ x? ~6x49-x" ~6x-94 99-9 _ (x+3qx~3Ÿ ` _ +32 3)" 20 1 x”+2+2(x=Ù~@”+x+1)_ (œx—=D(Œ”+x+-Ð x7 42 + 2 4 x”~1 x” +x+l ÍnX _X”+2+2x~2~x”=x~1_ x-l - (x- Dx? +x4D (%x-D@?2+x+U x? +X4+1 x + x 4xy .XÁX + 2y)+ XẮx = 2y)~ 4XY =
x~2y x+2y dy? -x? (x - 2yXx+2y)
e)
_ x +2xy +x" —2xy —4xy - 2x2 ~ Any 2x(x ~2y) - 2x
Trang 2821 22 56 = FAR TY LEK) KZ x) AK) ' XyZŒ— y)(W —Z)~X) _ %-YXÿY?z~xy)~(~X)Œx~ y2) XyZŒ%X—y)y—~Z)(z~— X) ĂẮẲ}Œ-y)&-x)-2&%-y\(z-x) (Xx-vWy-2-x) 1_ xyZ(Œx—y)(y~Z)(—x) _ xyZ(&x—y)( —ZZ—X) X2 ‘ a)Ч: —-L ; 12 2x41, 32x? 1-2x _ 2x+0°~32x)~(x—Đ? 2x2—x 1~4x? 2x? +x x(2x—1(2x+1)° _ "324 +8 _ -8xH2-D) — xQx~-D@Qx+D xQx-D2x+) ~ b) 1 4 ea + ©) > +——+ X“+Xx+E XỐ_-X 2⁄_—_x%-=Ù+x”+x+1-2x7 i-x3 x(x~D@œ2 +x+Ð) = Ị _x~0@œ2+x+Ð xo 4t-x4 Xa đ) - —+x)+x?+x+l= 1-x l~x Biến đổi biểu thức A : wi, i K-50 k+54xK4x-5 3X 3 =B OX X+5 X(X+5) x(x+5) aK+5) X+㧠a) Vận tốc con tau khi ngược đồng : x — 5đen/h) 70 x-5 (h) a i—x "Thời giản ngược từ Hà Nội đến Việt Trì là : xo
Vận tốc con tàu khi xuôi đồng : x + 5 (km/h) Thời gian xuôi từ Việt Tn đến Hà Nội là : vs (h) x+ Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội là : 70 70 ——— + 24+-——~ (h), x~5 x+5 @®) b) Với x — 5 = 20 hay x = 25, biểu thức vừa tìm được có giá trị bằng : 2, + 1® “ (h) 20 25+5 20 30 2 3 :
Nhung ; gid = 3 giờ 30 phút ; : giờ = 2 giờ 20 phút
Vậy thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi vẻ tới Hà Nội là : 7 giờ 50 phút Chú ý Cũng có thể tính như sau : Ta có : : 70 +24 70 OK SFR TS) 2 „ 140x x-5 x45 (x-5)(x+5) (x-5){%+5) V6ix —5 = 20, biéu thtic này có giá trị bằng : 3500 35 5 5 :
———+2= —+2=5~+2=7= (h) hay 703072 6 eg eng May TBO Pa 7 giờ 50 phút
Trang 3027 ~ Số bút mua được nếu mua lẻ từng chiếc : 180 000 (but)
~ Vi gid tién mot bit khong quá 1 200 đồng nên nếu mua cùng một lúc thì
số bút mua được lớn hơn 10 Khi đó số bút mua được là ; 180 im (tt)
Trang 3133 34 35 62 a) Vì 4a” ~ 9 = (2a + 3)(2a ~ 3) nên với ares thì 4a? ~ 9 z0, Dođd6x=—— 2224 _, (2a~3)(2a +3) Vì 3a” +3 =3(a + 1) ~ a + 1) 2 3 và tì~atI=sổ 2a 1Í the a-a +3235 2 '\2) 4 2) 4 4 2 nên với a #71 thì 34” + 3 #0, Do đó y = 58 228, , 3a" +3 4a+4 607 4+9a_ 4(a + 3a(2a +3) Vậy x.y= = 4a (2a~3a2—~a+1) ` b) Vi2a? ~ 2b? = 2(a — b)(4 + ab + b) và 2 2 2 2 a2 tab +b? 92 429,040 4 3he atl +3” sọ 2 4 4 2 4 -_ nên với a # b thì 2a” ~ 2b z0 Do đó x=— t8, 2a3T—2pÄ (a—Đ)Ể Với a #~b, ta có 6a + 6b = 6 + b) 0 nên y _
— (a~by | 3(a + b)(a — b}? 3 _2p2 6a+6b - 2(a—b)(a2 +ab + b2).6(a + b) 4-b Hee +ab+b2) Vay xy = .ND: “im us tính chất giao hoán của phép nhân DS: a) 14x? 41” ; b) 2% x°-1 2 x+10 4a? ~9 3a) +3 _ Øa+3)2a~3).3(a+1(42~a+1) Bài tập bổ sung 1 7.1 a)1; ys 1 1 1 I 1 1—x I+x 1+x? l+x? 1+XẾ l+x 1 1 1 1 | _ 1 1 I - i 6 ax da xt 14x81 4 x 7.2 Giải: 16 - t-x 14x? text tex 14x! 1 1 1 1 1 1 = = ` 1” 3 1—xŠ 1+xổ l+x 1x6 l+x l-x §8 Phép chia các phân thức đại số ¬- L1 Te? ey x
36 Đi xây - 3xy! l4x+4 6y?
Trang 3238 39 40 64 4x +6y | Ax? + 12xy +9y? _2x+3) 1~x)+x+x?) » x1 l~x 3 x-! xi3 —_2@ˆ2+x+D 2x+3y xà -xyÌ x +x?y +x _x(-y? a) 2 ye y) 2xry
axy+y? 2x+y — y(x+y) any tay?
_XŒ~ YO? +xy+y? 20x19) X-Y,
xy(2x+y)G2 +Xy+y 2) y
2 2
6) Sx a Nosy 459° 8x-By_ 5&-y)” -10G+y)@2 —xy + y2) 2x2~2xy+2y” 102+10y° 2@2-xy+y2) 8(x—y) -Ư2%-yx+y) 25,2 2 § mà 2 a) — ona eA x? -2x~ 3x +6 _xŒ+3) X°+Txtl2 x2 43x X?+3X+4xt12 (x—2)Ê „ XŒ †3)Œ —2)(x~3) _ x&-3) | (œ&+3x+4@-2)2 @&+4@-2)) b) x?+2x~3 X 347x212 - x7 +3x-10 2 -9x414 | x?~x+3x~3 x ~2xX—7x+14 - x7 45x—2x~10 x7 43x44x 412 | ĂẮẲÁ@@-Đ@&†3)œ-2~7)_ (@x~Đ@Œ-7) (%+5)\%X-2)ŒX+3)@&A+4) Œ+5@+4)
`" x-y _ &y (X+y)@2-xyty?) -
Trang 33e) Thời gian đi của con tàu thứ hai từ Hà Nội đến Huế là : ị 1,1,1 _x-1 x2 axdl x-411, x+4H 20-410 0, li 2 40 x+411 mm Đ@2+x+0x2 đ) Thời gian đi của con tàu thứ nhất từ TP Hồ Chí Minh đến Huế là : ẤT TK {nH 20411) „ 28x-12.411 , x“œ“+x+) TT 8=“ (Ộ; ›
Van te od x+41l an: x+4ll : / ayy? ; doi _X” ~2xy+y ÿT- e©) Vận tốc của con tầu thứ nhất là ; , c) xy 1S y 2 xy,
X+411 28x-12.411 («+41 2 pe (ken/h); XI 87x 1233) “™™ Woy YL YG=®) 2 +
Ð Thời gian đi của con tàu thứ nhất từ Huế đến Hà Nội là : - x yok X
x-41l, @&+41Ð7 _4@&-410(7x-1233) ) x 3) (x 6 1À x2-4n43 x2 4x-12
2 87x~1233) x aay? , ® (5-1 4x} \2 x 2 4x 2x
» 43, HD : Đỗi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo, ta trở về bài x2~x—3x+3 2x
toán tương tự như bài tập 35 “TT ì 4x x° -3x4+4x-12 DS : Phân thức phải điển vào là : “> x+ : BS ` -I@-32x x-1 =—————=——: - 4x(x~3x+4) 2+4) Bài tập bổ sung - : : ` 3X+V 5g—W x? = 25y" _ 8.1 Không - đã, 4) | toe ae 2 2 2 Xế-35xy Xế+t5Xy) Xế+†y và 4x” +4x+1 4x2 -16 (2x +1)? A(x - 2x 42)
8.2 Gidi:a)P Vidi: a) P= = TT an : = &-20x+D | , -( Sx+y Sx ; }# 30G+5)„ _ _
= AK + 2)(2x + 1) xŒ&~ấ5y) x@t5y)) xế+y vs
2x2 + 4x +8 x2 -8 (Sx +y)x+ Sy) + Gx—yx-Sy) &—5y(x+5y) 10Q+y') 10,
DP ea KP = 3x% x43) (K+DK-3) ‘ = xŒ@—5y)(x+5y) x“*+y DI xŒ&“+y“) 2v x
2ˆ + 2x + 4) Œ+1@x-3) _ 2 , ĐỘ ay “4 1)
(&- D+ DK =3)' = 207 42x44) &~Ð@-=2)) i » a? | Pamyey? ey?
§9 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ Giá trị của phân thức a — of \
1 LX 1 X+2-x : (y¬x)+x) ty) œ-yXx+y)
44, a) —+|x:|Ie——||=<+|x; :
2
2 K+2 2 x+2 _ 4xy , X~Y-X-Y _ dxy xy ty) =2x(x+y) ;
a2 x42) xP 42x41 _ (+1)? : ; (y-x+X) œ-y)œ&+y -9)@+#) -2y
2 2 2 2` : :
67 66
Trang 34-_46, 47, 48 49 68 # 1 2u 2 9| 5+ = z+ 1 Ax t4ny ty? -
(Qx~-yy" 4x°-y* (ax+y)* 16x
_ 2+ y)” +2(4x2 ~ y2) + (2x ~ y2 (2x+y)ˆ (2x—y)*(ax+y)* 16x 16x? _ X - =—————=——; 16x2x-y}“ (2x-y) a(2-=4— }{ 2,1) 42 x2 44x44) (2-4 2-x) Ắ24Œ†2-4, 2-@+2) - @œ+2⁄2 Œ-2)&+2) = 2x : ~X - 2x 2-x⁄2+x)_22~x) (x42) (A-2X+2) aay? KD a) x nhận mọi gid tri ; b) x #~ 2004; 7 xe đìxz—z 4)x#0, x2; 3 b) 8x” + 12x” +ốx+1=(2x+ #0 khí xé— |; 2 ©) l6 = 24x + 9x2 =(4~ 3x)” z0 khi nee; 2 2
d) x" ~ 4y" = (x — 2y)(x + 2y) # O khi x # + 2y
2x~2# 0 khi x #1, x” = 2x + 1= @= ĐỂ #0 khi x# 1, &= DG + 1) #0
_ khi x # 1 Vậy biến x trong ba phân thức này có cùng một điều kiện x z là đúng a) Tap hợp các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ bơn 10 là {7 ; 9} 1 Có thể chọn phân thức ———— ; (x—7)(x =9) 50 32 4 b) 2-25 (x~ A/2)x+A2) #0 khi xø# #2, Do đó có thể chọn phân thức x?~2
Chỉ việc chọn hai phân thức nghịch đảo nhau với tử và mẫu đều chứa biến x và không có giá trị nào của x để tử và mẫu đồng thời bằng 0 Chẳng hạn, xl va xt Có vô số cặp phân thức như thế x+1 xi a) Điều kiện của x là x z T 3 a! 3X =k 2X vei x =~ 8 bidu thé c6 giá tị bing: 38-1 25 ——8 = 8 , 9x2~6x+1 3X~l
b)x2+2x2—x—2=x2œ +2) ~ & +2) = & +2) + @ ~ 1) #0 khix 4-2,
x#~Í, x # 1, Do đó điều kiện của x là x # ~2, x # =1, x # 1, x?+3x+2 (+42) 1 x2+2x2-x-2 (@+2@&+D@&-=l x-1 ca 1 1 Với x = 1.000 001, biểu thức có giá trị bằng : ———=~————— x eee 69 BÁ 1 ĐẺ"§ * 7000 001-1 1000 000 x? -y? 1 a) Diéu kién x # +y Ta có ———~ =—' : Œ&+yX@x-6y) 6 b) Vi ae—2 nén 2
4ax + 6x + Oy + 6ay = 2x(Za + 3) + 3y(2a + 3) = (2a + 3)(2x + 3y) #0 khi x#~`y Vậy Khi xe-Sy thi
Trang 3554, 55, 70
a) Nếu phân thức có giá trị bằng ~2 thì biểu thức x ~ 2 cũng có giá trị bằng — 2 Nhung x ~ 2 = ~2 khi x = 0 không thoả mãn điều kiện của x Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng —2
b) Tương tự x — 2 = 2 khi x = 4 Vì x = 4 thoả mãn điều kiện nên đó là giá trị phải tim
©) Tương tự x— 2 = 0 khi x = 2 (hông thoả mãn điều kiện) Vậy không c có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng 0 a) Điều kiện : x # Ö; x # —5, X°+‡2X x-5 50-5x _x +2x”+2x”~50+50-ấx b) + = 2x+10 x 2x&+5) 2x(x+5) _ X(X” +2x +2x— 5) T Xà —x+5x —5 - 2xŒ&+5) 2œ&+5) _@-Ð@&+5) Sen 2(x +5) 2
Nếu giá trị của biểu thức bằng 1 thì giá trị của ` cũng bằng 1 Ta có :
set khi x~ 1= 2 hay x = 3 Vì x = 3 thoả mãn điều kiện nên đó là giá
trị phải tìm
©) Lập luận tương tự oe =— ; khi x ~ Í = ~l hay x = 0 (khong thoả mãn điều kiện) Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng — > `
đ) Tương tự aot ==3 khi x ~ 1 = —:6 hay x.= -5 (không thoả mãn điều kiện) Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng ~ 3 a) Điều kiện : x #~1,x # Ì, / Qt) 2x+3_ (x+l)&+-(x+3@&=D x2-2x+1 x2-1 Œ+1)œ =1? _2x2 +3x+1—2x? x43 2x+4 (EDK (x4 DK? 36 57
Biểu thức bằng 0 khi tử số bằng Ö và mẫu số khác 0 Tả có : 2x + 4 = 0 khi x=~2 Vì x=-— 2 thoả mãn điều kiện nên mẫu có giá trị khác 0
Vậy x = — 2 là giá trị phải âm b) Điều kiện : x #— 3, x # 3 3 6X x 3(x+3)+ 6x + x(X — 3) X3 0x xi3 @=39@œ+3) 3x+9+6x+X 3x | x7 46x49 _ x13 5g 3œ@13 2 @Œœ-3@œ+3 x-3
Trang 36Bài tập bể sung 9.1 Chon (C) 9,2, Giải : a) Điêu kién x #0 ,x# Tả: 2 2,1 1 Khi đó ta có 1 +x”+ — =2+— x x Suy ra x”= 1 Vậy x= + L, b) Điều kiện x # —1, x# 1 Khi đó ta có Í +x ¬ x41 x41
Suy ra x?=1.Do đồ x=+ 1, Nhung x = # 1, không thoả mãn điều kiện của
biến Vậy không có giá trị nào của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1
Trang 3760 61 62 74 2 1 1 1 x-I ©) 5 —+‡ + _—=m a= (x+1 \X X“+2x+1\x X _ 2 TU 1 I+x x (x41? Xa? x? | xl 2 +d x _ (x?+2x+U+x2 _ x X-1 x(x 44-1 X-l x(x +1)" x(x +1)" a) (— _x#1\( x HH x-1 x J \x+l x xŒ&-J ` xŒ+Ù _X+l x+I, x&-1) x-1” bị |2 ~ ¬) 9-x? 5x+5-20 +1) 4 x41) x 42x41 441) 9-x? 5&x-3(x+U! _ 4@wx+G-x)Q+x) 4@+3) 1 2 ait; b)x=-: a) x 7 ) 3 a) Điều kiện : x #-2,x #1; b)x#0,x#1‡ đd)xXz-5,X.#5 c)xz+0,xz5; ¬ 3+1) 63 64, 3 a)x==; > 2
b) Không có giá trị nào của x để giá trị của biểu thức bằng 0 vì x” + 1 > 1
với mọi giá trị của X ;
c)x=-5, (x? ¬ 25 = 0 khi x = 5 hoặc x = ~5, nhưng khi x = 5 thì giá trị của
mẫu cũng bằng 0, giá trị của phân thức không xác định ; do đó giá trị của
phân thức bằng 0 chỉ khi x = =5) ;
d) Khong có giá trị nào của x để giá trị của biểu thức bằng 0
HD : Gié tri cha biểu thức S được xác định khi giá trị của P xác định còn giá trị của Q xác định và khác 0 a) Giá trị của x—— xác định khi x # 0, cồn giá trị của x X?+2x+l 2x42 x? -1 x x x
Trang 3865 76 Do đó điều kiện cha x lax # 1, x #—1 Ta có : Xt XI - xi! x1 @Œ@-J(x+D_ 1, 2⁄12_ 4 2w+p 27 X-Í #'-1 @-D@&+D e) Điều kiện : x # l,x #—1, Ta có : xrl x? 44 wl x2+] x41 _ 4 X 1 'xx=ÐŒ+D, _ (+D(x-1? x-1 x-l _x-I X?+1 d) Điều kiện : x # — 6, x #6, x # 3, x # 0, Ta có : 1 -S¬ x1 } 1 x@&^-D x&x+D-@&-D_ x2~2x+l x?-1j x (%x+Ðœ~U? = =-l; x? ~(x-6)" XK+6) x | X_ x-6 } 2x-6 xX x?-36 x? 46x 12x —36 x i 6 =x ¬ = + = + = =¬l, 2œ&-6\x-3) 6—x x-6 x-6 x~6 2 a) Biểu thức (2) xác định khi x 0 Ẩ 'x2+6@x lS xœ-6œ&+@) 2&~3) 6—x * 2 xt x7 42x44 (x41) xì x+i x2+1 2 ( } x +l : +1 = + x x x+Il x x2
Biểu thức này xác định và khác 0 khi x #OVAX#-L
Vay điều kiện cha x Ax #0,x#-1 ‘ 27.2 , Taos: (244) 4 TU ? Lay x x= x+l\x ) O41? (xe)? x? + x2 1 x2 66 = AIM? 4x +5) b) Với điều kién x #0, x #43, x#~Š ta CÓ : x_ XX‡3) @+32-x2 x N x+3 x ) x-3 2x+3 (x2 3x x2-0j x-3 2x43 x(K~3)(K +3) * _ xœ +3) ˆ 6x+9 -_* 3 ¬ x-3 2x+23 x@x-3(X+3) x-3 x-3 x-3 a) Với diéu kiện x # 1, x # —l ta có ; 8x+7 x42 ( k _ 8x+7 x+2 42x42 _ 2x-Dx+D ‹ + = : x-1 | 2x+2 2x2-2 x-l 2(x+Ð - Xà +2X) +2x2 +ốx+4~8x ~7 _ x 42x3 42x? 2x ~3 _ 2 -D(x+D 2K-Da+h _ XÊ~X”+2x”~2x+3X2~3_ x2@œ2~1)+2x@x2~1)+3@2~З 2œ=Œ+Ð 2œ=(Œ&+0 _Œ+1)Œ&-1@W2+2x+3) x?+2x+3 2œ&~—1œ+) 2
VIxX2+2x+3=x?+2x+1+2=@&+ 1” +2 >2 với mọi giá trị của x nên giá trị của biểu thức đã cho luôn dương với mọi giá trị của x khác +1
Trang 39
Vie ~4x 45 2x°~ 4x 4441 = (x-2) + 12 1 > 0 voi moi gid tri cha x nên giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị khác 0 và khác -3 của x 67, a) Với điều kiện x # 0, x # 2 ta có : 2 2 2 32A x | ta 43255 +4 đa x~2 X x-2 x x(x -2# x(x -2) +3 =x(%~2)+3=x2~2x+1+2=(X~ 1 +2
'Ta có (x~ là +222 voi moi giá trị của x và có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi
x= 1, Vì x = 1 thoả mãn điển kiện nên biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = Í, b) Với điều kiện x # ~2, x # Ú, ta có : œ+27 1~ x? )_ x24 6x 4 (+2)? x+2-x? —x +6R+4 x x+2) x x x42 x _(X+2(X”+x+2) x? 46x44 x x _-x-x? +4x+4~x2 ~ 6 =4 x x3 2x = TIT IK (9? 42x +2) x Vix 42x42= x eel el =H Đ + 1 nên biểu thức có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = —1, Vì x= ~1 thoả mãn điển kiện nên biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng —1 khi x = ~1 Bài tập bể sung
UL Gidi: P= ( xry ay +y—2) (2x? +y + 2)2x? +y—2)
2y-x (x ¥y)(x - 2y) } (Œ%+y)\& +) ,„_ X#Ï `2x2+y+2 78 - (%x—y)&+y)+x?+y?+y=2 & + y)Q@y - x) ; (Œ + y) +1) (2x? +y+ Dx? + y - 2) 2x? +y42 ` x+Ĩ _ 2x2 ty~-2 x+I 1.1 Qy-x 212+y¬-2)xXx+l 2y-k mà: : 3 teas 1
Tại x = —1,76 và y =— thi giá trị của Q là — a y 25 ì giá trị của Q là 3
1.2 Gidi : Ta 06 (a~ b)(c” + bo ~ a” ~ ab) = (a — b)f(c? ~ a”) + (be — ab)]
, =(a~ B)(c — a)(a + b + c)
Tương tự : (b — ©)(a7 + ac — bŸ — be) = (b — c)(a — b)(a + b + c),
Trang 40a PHAN HINH HOC §1 tra 10*, 80 Chuong I TUGIAC DE BAI Tứ giác ˆ Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài)
Tú giác ABCD có AB =BC, CD = DA
a) Ching minh rang BD là đường trung trực cha AC
b) Cho biết B = 100°, D = 70°, tinh A va C
Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách ^^ _ 46M Ð
vẽ hai tam giác / Hinh 1
Tinh các góc của tứ giác ABCD, biết rằng : A:B:G:D=1:2:3:4 Tứ giác ABCD có Â = 659,8 = 1172, Ê = 71 Tính số đo góc ngoài tại đỉnh Ð Chứng rainh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù
Cho tứ giác ABCD Chitng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và Cc bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D
Tit gidc ABCD cé A = 110°, B = 100° Các tia phân giác của các góc C và
Ð cất nhau ở E Các c đường phn giác của các góc ngoài tại cdc dinh C va D cất nhau ở F Tinh CED, CED
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai
cạnh đối :
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi
nhưng nhỏ hơn chu vị của tứ giác ấy
Bài tập bổ sung
11 Tit giée ABCD c6 B= A+10°, C=B+10°, Ð=€+10° Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
(A)Â=65°; — (BB=85°; (€=100°; (ĐB=90°,
12 Tứ giác ABCD có C = 60°, D = 80°, A-B= 10° Tinh số đo các góc A
và B,
13 Té giéc ABCD cé chu vi 66cm Tinh d6 dai AC, biét chu vi tam giác ABC
bằng 56cm, chu vi tam giác ACD bằng 60cm : §2 Hình thang
11 Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD), biết rằng A = 3D,
B-C = 30°
12 Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác của góc D Chứng minh
rang ABCD 1a hình thang
13 Dùng thước và êke kiểm tra xem trong các tứ giác trên hình 2 : 2a) Tứ giác nào chỉ có một cặp cạnh song song ;
b) Tứ giác nào có hai cặp cạnh song song ; €) Tứ giác nào là hình thang
đình 2
14 Tinh các góc B và D của hình thang ABCD, biết rằng Ä=60°, €=130%,
15 Chúng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất là hai góc tù, có nhiều nhất là hai góc nhọn
16 ‘Ching minh rằng trong hình thang các tia phân giác của bai góc kể một cạnh' bên vuông góc với nhau
17 Cho tam giác ABC Các tia phân giác của các góc B và C cất nhau ở I, Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cất các cạnh AB và AC ở D và E