ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU

Họ và tên Lê Quốc Thắng MSSV 1910545 Giảng viên TS Nguyễn Thái Bình1 2 2 0 1 (w ) 2 L II A y dA I U EI dx    ASSIGNMENT 1 The beam shown in the Figure 1 has a fixed support at the left and a roll.

ASSIGNMENT The beam shown in the Figure has a fixed support at the left and a roller support at the right, under a general distributed load q(x) and a concentrated force P0 at mid span Let w(x) denote the deflection of the beam Ignore the weight of the beam Write the expression of the total potential energy of the beam in terms of w(x) and its derivatives (if any) Giải - Tổng (Total energy potential): I = U + W Trong đó: U Strain energy W Potential energy of the applied load L 1 2 d w U    x x dV   E ( x ) dV   Ey ( ) dx 2V 2V 20 dx L II A y dA  I  U  0 EI (w ) dx Mà Dầm cho toán chịu loại tải trọng tải phân bố hình tam giác q(x) tải tập trung Po vị trí x = 0.5L nên ta có: L L W    q( x)wdx  Pow( ) Khi đó, ta I L L L EI (w II ) dx   q ( x )wdx  Pow( )  20 Xét đạo hàm: L L L  I   2EIw II (w II )dx   q ( x ) wdx  Po w( ) 20 Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình Tích phân phần cho biểu thức tích phân đầu tiên: d (EIw II )dx dx dv   (w II )dx  v   (w I ) u  EIw II  du  L   I *  uv   vdu EIw  ( w ) |    ( w I ) II I L 0 d ( EIw II )dx dx d d ( EIw II )  du*  ( EIw II )dx dx dx I dv*   ( w )dx  v*   ( w) u*    I *  EIw II ( w I ) | L0  ( L d d2 ( EIw II ) ( w) | L0   ( w) ( EIw II )dx) dx dx L d2 d ( EIw II )dx  EIw II ( w I ) | L0  ( EIw II ) ( w) | L0 dx dx Vậy ta có đạo hàm hàm Total energy potential sau:   I *    ( w) L  d2  d L   I    (EIw II )  q ( x )  wdx  EIw II w I |L0  (EIw II ) w |L0  P o w   dx dx 2   From Q.1, obtain the Euler-Lagrange equation and the corresponding boundary conditions Also indicate the types of boundary conditions Giải Với phương trình đạo hàm Total energy potential tìm Q.1, để I nhỏ δI = 0, ta nhận Euler-Lagrange equation với điều kiện biên tương ứng sau: L  d2  d L  II II I L II L 0  dx ( EIw )  q( x)  wdx  Po w    EIw  w |  dx ( EIw ) w | Euler-Lagrange equation: d2 ( EIw II )  q( x)   EIw IV  q( x)  dx Corresponding boundary conditions: Essential boundary conditions:  w(0)   w( L)   w I (0)   L  wI    2 Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình Natural boundary conditions: EIw II ( L )  d ( EIw II )  dx Let the beam has the rectangular cross section b×h, EI(x)=EI=constant, q(x)=q0x/L and P0=aq0L Find the approximate solution for the deflection in the form of M w( x )   a m N m với N m  sin m 1 m x L by using the following methods: a) The Rayleigh-Ritz method b) The weighted residual method (subdomain collocation; Galerkin’s equation) Giải *Số liệu toán (ID: 1910545) → abcd = 0545 P0=10q0L Bxh=5x100mm q0=4kN/m L=2500mm E=200GPa a) Analytical Solution: Theo Euler-Lagrange equation: Ta xét với trường hợp: Với tải phân bố q(x): d2 ( EIw II )  q( x)   EIw IV  q( x)  dx EIw IV  q ( x )  qo x L q x Ax Bx  EIw  o    Cx  D 120 L Boundary condition :  EIw IV  EIw( x  0)   D  EIw '( x  0)   C  qo L4 AL3 BL2   0 120 qo L2 EIw ''( x  L )    AL  B  9qo L   A   40 (1)(2)    B  qo L  120 qx 9q Lx qo L2 x w o  o  120 EIL 240 EI 240 EI EIw( x  L )   Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 (1) (2) Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình Với tải tập trung Po: EIw IV  Ax Bx  EIw    Bx  C A x3 B x L (0  x  )  EIw1    C1x  D1 A2 x B2 x L (  x  L)  EIw2    C x  D2 Boundary condition : EIw1 ( x  0)   D1  EIw1 '( x  0)   C1  L L )  EIw2 '''( x  )  Po  EI ( A2  A1 )  Po (1) 2 L L L L EIw1 ''( x  )  EIw2 ''( x  )  A1  B1  A2  B2 (2) 2 2 A1 L2 L L L A2 L2 L EIw1 '( x  )  EIw2 '( x  )   B1   B2  C2 (3) 2 8 A L3 B L2 A L3 B L2 L L L EIw1 ( x  )  EIw2 ( x  )      C2  D2 (4) 2 48 48 AL BL EIw2 ( x  L )     C2 L  D2  (5) EIw2 ''( x  L )   A2 L  B2  (6 )  EIw1 '''( x  11Po   A1  16   B  3Po L  16   A2  Po  16 (1)(2)(3)(4)(5)(6)    B2   Po L 16   P L2  C2  o   P L3  D2   o 48   Po x (9 L  11x )  96 EI  w( x )   2  Po (5 x  15 x  12 L x  L )  96 EI Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 ,0  x  , L L xL Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình Nghiệm xác: ,0  x   Po x (9 L  11x ) qo x 9qo Lx 7qo L2 x     96 EI 120 EIL 240 EI 240 EI  2 2  Po (5 x  15 x  12 L x  L )  qo x  9qo Lx  7qo L x  96 EI 120 EIL 240 EI 240 EI => VD: Tại x = L/2 → w = 0,1762 Giải phần mềm (SAP2000): w (x = L/2) = 0.1762 , L L xL b) Rayleight-Ritz method: Tổng (Hàm Total potential energy): I L L L EI (w II ) dx   q ( x )wdx  Pow( )  20 M   m x  w ( x )  a m sin      L  m 1   M  w ''( x )  a  m  sin  m x   m      L   L  m 1 Thay: vào hàm Tổng Ta được: 2 L L M M qo x M  m   m x    m x   m  I   EI   a m  sin dx  a sin dx  P   m o  a m sin           m 1 L m 1  L   L   L    m 1 2 M  n  I L  n x    m   m x     EI  2a m   sin      sin   dx   am m 1  L    L   L    L  L   EIa m m L qo x M  L sin m 1 M m x   m   dx  Po sin 0 L     m 1 qo L  n   n   n x   m   m x  cos(n ) 10qo L sin    sin    sin   dx   0 L L L L n          2 Xét K a = F Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình 2 L   n   n x   m   m x   K n   EIam   sin    sin   dx  L   L  L   L    a    n  qo L  Fn  10qo L sin  cos(n  )     n ( n  m)  K   m  L (n  m)  K  EI    L   m  qo L 10qo L sin  cos( m  )   m   am   m  L EI    L   m  10m sin    cos( m ) 2qo L   m x    w( x )  sin    EI m 1 (m )  L  M *Với M=1   10 sin    cos( ) 2q L x 2 w( x )  o sin   EI ( )  L  *Với M=2      2  10 sin    cos( ) 20 sin   cos(2 )   2q L x  2 x  2   w( x )  o  sin  sin     EI  ( )5 (2 )5  L   L      *Với M=3      2   3  10 sin    cos( ) 20 sin   cos(2 ) 30 sin    cos(3 )   2q L x   2 x    x   2     w( x)  o  sin sin sin    5 EI  ( ) (2 ) (3 )  L  L   L      *Nhận xét: - Để sử dụng phương pháp Rayleight-Ritz, hàm dạng chọn phải thỏa mãn điều kiện biên dầm Tuy nhiên toán, hàm dạng w(x) không thỏa điều kiện w’(x = 0) = (hay tổng tham số am 0.) - Hướng giải quyết: + Thay đổi hàm dạng: chọn lại hàm dạng w(x) phù hợp với điều kiện biên M tốn (phức tạp) Ví dụ đề xuất hàm thỏa w(x)=0   m x   m x   w ( x )  am  2sin     sin   L, w’(x)=0 0, đồ thị có dạng gần giống: L L m 1 Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545      Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình Đồ thị vẽ hàm số đề xuất Đồ thị vẽ SAP2000 (Hàm số đề xuất có dạng đồ thị gần giống với phương trình đường đàn hồi) + Thay đổi điều kiện biên: Có thể thay đổi gối tựa ngàm để phù hợp với hàm dạng cho (khơng khuyến khích) c) The weighted residual method - Residual calculation (R): EIw IV  q ( x )  IV M  m x    EI   am sin     q (x )   L   m 1  m   m x  qo x  R  EI  a m   sin    L   L  L m 1 M - Subdomain method (m = 3)  W Rdx  i M   m   m x  qo x     EI  am  sin   dx     m 1  L  L L      x2     x  x   sin   dx  L   L   K        3    2  L   K    0 0  3 2  L     x3  2    2 x  sin dx  and F  x2  L   L    x4  3   3 x   x3  L  sin  L  dx  qo L       18      qo L   10 q oL  and F     3  5qo L       18   Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 0  x2 qo x   x1 L dx     x3 qo x  dx   x  L   x4 qo x   x3 L dx    Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình - Galerkin method (m = 3) L  W Rdx  W  P i i Wi  o w  Ni a   x    x     qo x      sin   dx  Po sin     EIa1 sin     L   L   L  L  2 L   x     qo x   L  K   EIa1 sin  dx  EI      L  L  L  L L qo x qo L x      sin  cos( )  Po sin   dx  Po sin     L   L  2 2 F   a1        cos( )  Po sin   2qo L 10sin    cos( )   2  2    4 EI (  )   L EI   L qo L     2qo L4 10sin    cos( )  2    sin   x   w( x)    EI ( )  L  For three  term ( M  3) :    4 L   qo L    0     cos( )  Po sin     L     2   a1       2  L  2   a2    qo L cos(2 ) P EI  0 o sin         2  L      a3   qo L  3    L      cos(3  )  P sin  o         3  L      4  2qo L    10         4 L  EI (  )    qo L  0        Po   L     4 a a        q L      o    qo L      2  L  2     EI  0 a    a   2    2     2     EI (2 )4      L   a a  3      q L  o  4  3  L   Po   q L  10     o    3    3    L      EI (3 )4     1      2qo L4   10  2qo L4  2qo L4   10     sin  x      sin  x   3   sin3  x  w( x)        4 EI ( ) EI (2 ) EI (3 )  L  L   L  => giống với kết toán theo phương pháp Rayleight-Ritz Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình Derive the finite element equation for a typical 2-node simple beam element (Figure 2) for the problem defined in Q.3 by using the weak form of Galerkin’s equation Then obtain the FEM solutions by using and elements Give your comments on the accuracy of the FEM solutions Giải a Chọn hàm dạng phân tử dầm nút Figure 2: Phần tử gồm có bậc tự bao gồm: chuyển vị w góc xoay θ nút i j qe  v1 ,1 , v2 , e T Để có đủ tham số hàm v(x) phải hàm đa thức bậc ba có dạng sau: v( x)  a1  a2 x  a3 x  a4 x   ( x)  dv  a  2a3 x  3a x dx Ta thực đồng nút, đó: q1  v1  v x 0  a1 q2  1  v x 0  a2 q3  v2  v x  L  a1  a2 L  a3 L2  a4 L3 q4    v x  L  a  2a3 L  2a4 L2 Ở dạng ma trận: Ta có ma trận hàm dạng sau:  q1  1 q 2        q  1  q 4 0 0   a1  0   a2    L L2 L3   a3   L 3L2   a4  1 0  1 0  0 0  1    A    3  A     L L L L   2 0 L L   L3 Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 0 2 L L2 L2 2 L3 0  1   L  L2  Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình  N    P ( x )  A  1  1 x x2 1 0   3 x   L 2  L3 0 2 L L2 L2 2 L3 0  1   L 1 L2  Khi ta có hàm dạng phần tử nút tổng quát cho phần tử chia nhỏ 2  x  xi   x  xi  N1     2  x x   x  x  j i    j i x x 2 L L x x3 N2  x   L L x x3 N3   L L x x3 N4    L L N1   N2   x  xi  ( x  x i ) 1   x  x  l j i    x  xi   x  xi  N3    2  x x   x  x   j i  j i  x  x  x  x  i i  N  ( x  xi )    l  x j  xi  x j  xi    xj b Sử dụng phương trình Galerkin: Trong đó:  W(x)Rdx xi R ( x )  EIw IV  q ( x ) Vậy đó: xj G   W(x)  EIw IV  q ( x ) dx xi Xét tích phân phần hai lần cho WFG, ta weakform: xj xj   d 2W  d 2w  d  d 2w  dW  d w      EI   W q( x)  dx  W  EI    EI  dx dx dx dx dx dx        xi  x i xj   d 2W  d 2w       EI   W q( x)  dx  dx  dx  xi   xj xi xj dW   W V  dx M  xi xj   d 2W  d 2w  dW dW      EI   W q( x)  dx  W( x i)V ( x i )  W( x j )V ( x j )  M ( xi )  dx  dx  dx xi dx xi   xj M (xj) Cho: w( x )   u j N j  N 1vi  N j 1 W ( x )  N i ( x ) and l dvi l dv j  N 3v j  N dx dx i  1, 2,3, Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 10 Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình Khi đó, ta có: xj  d Ni x  dx i   d 2N j  dN EI u  N iq (x ) dx  N i (xi )V (xi )  N i (x j )V (x j )  i   j   dx  dx   j 1  N i ( xi )V ( xi )  N i ( x j )V ( x j )  dN i dN i M ( xi )  dx xi dx M (x j )  xj K u j 1 ij j M (xi )  xi dN i dx M (x j ) xj  qi Với: xj  d Ni d N j  K ij    EI  dx and q i  dx dx  xi  Mà:   N1 ( xi )    N ( xi )    N (x )  i    N ( xi )  dN1 dx dN dx dN dx dN dx N1 ( x j ) dN1 dx N2 (x j ) dN dx N3 ( x j ) dN dx N4 (x j ) dN dx xi xi xi xi xj  N q (x )dx i xi   xj    1 0 xj      0   xj    xj   0 0 0  0  0 1 Tổng quát, ta có ma trận sau:  K11 K12 K K22 EI  21  K31 K32   K41 K42 K13 K23 K33 K43 K14   u1  v( xi )   V ( xi )   q1        K24   u2   ( xi )  M ( xi )   q2     K34   u3  v( x j )   V ( x j )   q3     K44  u4   ( x j )   M ( x j )   q4  Lần lượt tính trị số Kij, tải phân bố tam giác sau:    10    6 L   u1  v ( xi )   V ( xi )   3L L       2   EI 3L L 3L L   u2   ( xi )    M ( xi ) qo L  15        3 L   u3  v ( x j )   V ( x j )  L3  6 3 L      10  3L L2  u4   ( x j )  M ( x j )  3L L  L    10  Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 11 Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình c Áp dụng vào toán Figure  Chia dầm cho thành phần tử (2-elements): *Phần tử 1: nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (1,2) nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (3,4) *Phần tử 2: nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (3,4) nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (5,6) => Ghép nối ma trận độ cứng K, ngoại lực ta có được: P1  q1   0.375     M  q2   0.104    P2  q3  q5   100  0.875  1.625 EI    M  q4  q6   0.156  0.365  Le   P3  q7   2.125   M  q8   0.417    12  P2  102.5 16 EI     L  3L  M  0.417     3L  e  6  3L e 0   Le 6 3L 2 3Le Le 3 Le 66 Le  Le Le Le 2 3L e  3L e 2L e  2L e 6 Le 6 3L e Le 3Le 3Le   3Le   L2  3Le   2Le   v1         v2  ?      0  v3       ?  3L   v2  v2  0.1609     L2   3   3  0.1946  Chia dầm cho thành phần tử (4-elements): *Phần tử 1: nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (1,2) nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (3,4) *Phần tử 2: nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (3,4) nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (5,6) *Phần tử 3: nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (5,6) nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (7,8) *Phần tử 4: nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (7,8) nút có thành phần chuyển vị, thành phần xoay (9,10) Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 12 Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình => Ghép nối ma trận độ cứng K, ta có được: P1  q1    M q     P2  q3  q5     M  q  q6   P3  q7  q9  EI    M  q8  q10  Le  P4  q11  q13     M  q12  q14   P q  15    M  q16    3Le  6  3Le           Le 6 0 0 0 0 0 Le  Le 6 Le 0 Le  Le 3Le 0 3Le 66 6 3Le Le 3Le Le 3 Le 66 Le 3Le  3Le Le 6 Le 3Le  3Le 3Le  3Le Le  Le 6 3Le 0 0 0 3Le Le 0 0 0 12  0 L2   P2   0.625    M   0.091  L  6 3    P3  100  1.25 16 EI    L 0  P4   1.875    M   0.026     0 M   0.117     0  6 3Le Le 3 Le 66 Le  Le Le 3Le 3Le 2Le  2Le 6 Le 3 Le Le 6 3Le 3Le 0  0 0  0 0  0 Le  Le 2  3Le  Le2 0   L 3 0   v2    L 12 6  2   v  L   6 12  v4 2     L L 4 L      2 L L L    512 0  1024   1600  P2  0.625   320 0   v2   M  0.091         512 320 1024 512 320    P3  101.25     v3   512 1024 320      v  P4  1.875    4 1600 400  M  0.026     320    3     M  0.117   400 800    0 320   3   d Nhận xét: Vật thể (thanh, dầm) chia nhỏ, khối lượng tính tốn FEM ngày lớn, khiến toán dần trở nên phức tạp, ma trận độ cứng có cấp cao Tuy nhiên, việc chia nhỏ vật thể làm cải thiện kết tính tốn, khiến gần với nghiệm xác tốn Họ tên: Lê Quốc Thắng - MSSV: 1910545 13 Giảng viên: TS Nguyễn Thái Bình  v1     1  v2       v      3 v4      v   5   ... B2  (6 )  EIw1 '''( x  ? ?11 Po   A1  16   B  3Po L  16   A2  Po  16 (1) (2)(3)(4)(5)(6)    B2   Po L 16   P L2  C2  o   P L3  D2   o 48   Po x (9 L  11 x )  96 EI...   xj    ? ?1 0 xj      0   xj    xj   0 0 0  0  0 1? ?? Tổng quát, ta có ma trận sau:  K 11 K12 K K22 EI  21  K 31 K32   K 41 K42 K13 K23 K33 K43 K14   u1  v( xi ) ...  EIw1    C1x  D1 A2 x B2 x L (  x  L)  EIw2    C x  D2 Boundary condition : EIw1 ( x  0)   D1  EIw1 '( x  0)   C1  L L )  EIw2 '''( x  )  Po  EI ( A2  A1 )  Po (1) 2