(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng của hàm số trong việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Phương trình , bất phương trình nội dung chương trình tốn THPT.Các tốn giải phương trình,bất phương trình hay tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình có ngiệm thường có đề thi tuyển sinh vào ĐH,CĐ Chính việc sâu nghiên cứu tìm tịi thêm phương pháp giải, biện luận phương trình, bất phương trình có ý nghĩa quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh kiến thức, kỹ giải toán phương trình, bất phương trình Trong đề tài sâu vào giải biện luận phương trình, bất phương trình II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1/ Cơ sở lý luận Hàm số vấn đề trọng tâm chương trình tốn học trường THPT Dạy học theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao khả tư Hàm số có ứng dụng rộng lớn nhiều lĩnh vực tốn học mà ứng dụng việc giải biện luận phương trình, bất phương trình Các khái niệm phương trình, bất phương trình định nghĩa thông qua khái niệm hàm số việc sử dụng phương pháp hàm số việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình có ý nghĩa to lớn Một mặt tác dụng củng cố thêm kiến thức hàm số ngược lại kiến thức lại vận dụng trở lại tốn phương trình bất phương trình 2/ Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trường THPT thấy học sinh lúng túng việc giải tập mà cần đến kiến thức hàm số phần kiến thức phần hàm số tương đối trừu tượng muốn sâu nghiên cứu ứng dụng hàm số chưa coi trọng mức Trong số toán phương trình, bất phương trình dùng phương pháp khác tốn trở nên phức tạp đơi khơng giải sử dụng phương pháp hàm số cách giải trở nên đơn giản 3/ Giải pháp tổ chức thực hiện: Trong đề tài tơi muốn trình bày với ý tưởng giúp học sinh khai thác kiến thức hàm số, phương trình, bất phương trình mà em học nhằm giúp em nắm kiến thức cách chắn, sâu sắc từ em vận dụng linh hoạt vào giải tốn giải, biện luận phương trình hay bất phương trình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải pháp tổ chức thực là: - Cho học sinh nghiên cứu đề tài (giáo viên dạy, học sinh học làm tập) - Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức học sinh trước sau nghiên cứu chuyên đề - Tổng kết mặt làm chưa làm chuyên đề để có hướng vận dụng chuyên đề cho khóa học sinh 4/ Nội dung chuyên đề: 4.1/ Ứng dụng hàm số giải phương trình bất phương trình: a) Sử dụng tính đơn điệu hàm số việc giải phương trình * Kiến thức Định nghĩa: Giả sử K khoảng, đoạn, hay nửa khoảng f hàm số xác định K Hàm số f gọi đồng biến K nếu: x1,x2 K ,x1 < x2 f(x1) < f(x2) Hàm số f gọi nghịch biến K nếu: x1,x2 K ,x1 < x2 f(x1) > f(x2) Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến: ĐL1: Cho hàm số xác định Nếu hàm số đồng biến Nếu hàm số nghịch biến Chú ý: ĐL2: Giả sử hàm số hàm số Đồng biến (Nghịch biến) hàm số hàm số Đồng biến (Nghịch biến) ĐL3: Gỉa sử ; với (Nghịch biến) ĐL4: Nếu hàm số Đồng biến ( Nghịch biến) hàm số hàm số Đồng biến hàm số Đồng biến ( Nghịch biến) hàm số với hàm số Nghịch biến (hoặc Đồng biến) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐL5: Hàm số Đồng biến Đồng biến, hàm số Đồng biến hàm số hợp - Các hướng khai thác + Đưa phương trình dạng Trong hàm số đồng biến hàm số nghịch biến ngược lại Khi x = x thỏa mãn x = x0 nghiệm phương trình + Đưa phương trình dạng Trong hàm số đơn điệu Nếu tồn x = x0 cho x = x0 nghiệm phương trình + Đưa phương trình dạng với đơn điệu phương trình tương đương với ; hàm số Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình Bài giải: phương trình cho tương đương với Ta thấy hàm số Hàm số hàm số đồng biến với hàm số nghịch biến R nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình (1) Bài giải: (1) Ta thấy hàm số nghịch biến) hàm số nghịch biến ( Tổng hai hàm số nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình (Đề thi đại học Thủy lợi năm 2001) Bài giải: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thì Phương trình cho tương đương với : Hàm số tương ứng hai vế là: (*) có Nên đồng biến, (*) Ví dụ 4: Giải phương trình: (Đề thi ĐHSP Hà Nội – Khối A năm 2001) Bài giải: viết phương trình dạng : Xét hàm số (1) hàm số đồng biến ( tổng hai hàm số đồng biến số không đổi) liên tục có đổi dấu chẳng hạn: có nghiệm đổi dấu từ âm sang dương Ta có bảng biến thiên - + LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số trình (1) có tối đa nghiệm Ta thấy cắt trục hoành tối đa lần Do phương trình cho có nghiệm phương Ví dụ 5: Giải phương trình: Bài giải: Đặt phương trình cho tương ứng với: Từ ví dụ suy nghiệm phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình (1) Bài giải: Chia hai vế phương trình cho ta được: (1) (2) Ta thấy Nên vế trái phương trình (2) hàm số nghịch biến ( tổng hàm số nghịch biến) thỏa mãn phương trình (2) nghiệm phương trình Ví dụ 7: Giải phương trình (1) Bài giải: Tập xác định: (1) Đặt ; phương trình trở thành: (2) Đặt (2) hay LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (3) Ta thấy ; Vế trái (3) tổng hàm số nghịch biến nghiệm phương trình (3) thỏa mãn phương trình (3) Với Vậy phương trình có nghiệm: b Sử dụng phương pháp hàm số giải bất phương trình Các hướng khai thác - Đưa bất phương trình cho dạng (1) (hoặc số đơn điệu từ suy nghiệm bất phương trình Nếu ) hàm hàm số đồng biến (1) hàm số nghịch biến (1) - Đưa bất phương trình dạng đơn điệu hàm số trình nhẩm đưa vào tính suy nghiệm bất phương - Đưa bất phương trình dạng (hoặc ta suy nghiệm bất phương trình ) Dựa vào việc khảo sát hàm số Trong số toán để sử dụng phương pháp hàm số phải thơng qua bước đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải bất phương trình (1) Bài giải: bất phương trình (1) Xét hàm số Nên hàm số có tập xác định R nghịch biến R LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta thấy nên (1) hàm số nghịch biến suy nghiệm bất phương trình Ví dụ 2: Giải bất phương trình (1) Bài giải: Đặt Bất phương trình (1) (2) Xét hàm số với Nên đồng biến Ta lại có nên bất phương trình (2) Ví dụ 3: Giải bất phương trình (1) Bài giải: Tập xác định: (1) (2) Đặt Ta có bảng biến thiên: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + - 0 Qua bảng biến thiên ta có Mặt khác: Nên bất phương trình (2) Vậy bất phương trình cho có nghiệm Ví dụ 4: Giải bất phương trình Bài giải: Tập xác định Xét hàm số Ta có - + + LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Qua bảng biến thiên ta suy nghiệm bất phương trình cho Ví dụ 5: Giải bất phương trình Bài giải: Xét hàm số có tập xác định: Hàm số đồng biến Ta thấy Khi Khi Vậy bất phương trình vơ nghiệm nghiệm Giới thiệu thêm số tập áp dụng: Giải phương trình bất phương trình sau: 4.2 Ứng dụng hàm số việc biện luận tồn nghiệm phương trình bất phương trình a Sử dung tính liên tục hàm số để chứng minh tồn nghiệm phương trình ĐL: Nếu hàm số liên tục Ví dụ 1: Biết cho (1) Chứng minh có nghiệm Bài giải: Cách Ta thấy liên tục R 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác Suy tồn số hợp , trái dấu trường có nghiệm Cách 2: * Ta có (1) phương trình có nghiệm phương trình có nghiệm * có nghiệm Hay có nghiệm Ví dụ 2: Chứng minh phương trình: có nghiệm Bài giải: Viết phương trình dạng Xét hàm số hàm số đồng biến R liên tục R Suy phương trinhg có nghiệm hay phương trình cho có nghiệm Giới thiệu thêm số tập áp dụng: Biết chứng minh có nghiệm Chứng minh với m thi phương trình: Tìm m để phương trình có nghiệm ln có nghiệm dương 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh phương trình: có nghiệm thỏa mãn điều kiện b Sử dụng định lí Lagrăng việc chứng minh tồn nghiệm phương trình, bất phương trình Định lí: Lagrăng: Nếu hàm số liên tục có đạo hàm cho Ta lấy ví dụ phần trên: biết rằng: Chứng minh có nghiệm Bài giải: Xét hàm số: hàm số có liên tục có dạo hàm Theo định lí Lagrăng Hay cho: cho Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Chứng minh bất phương trình Bài giải: + thỏa mãn với thỏa mãn bất phương trình + Xét hàm số Hàm số liên tục trên có đạo hàm Theo định lí Lagrăng ta có cho hay + Khi hàm số Lagrăng ta có: hay liên tục có đạo hàm Theo định lí cho cho 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nên (vì ) Vậy bất phương trình cho thỏa mãn với Giới thiệu số tập áp dụng: Chứng minh phương trình: có nghiệm dương x1 phương trình: có nghiệm dương Chứng minh phương trình: khoảng với ln có nghiệm Chứng minh: c Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm việc biện luận tồn nghiệm phương trình hay bất phương trình * Đối với phương trình ta sử dụng mệnh đề sau: Phương trình số D có nghiệm miền D thuộc miền giá trị hàm Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (1) Có nghiêm Bài giải: Đặt Với Ta có bảng biến thiên: + - 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do Khi phương trình (1) trở thành: nghiệm (2) phương trình (1) có phương trình (2) có nghiệm xét hàm số: ta có bảng biến thiên: + 3 - - Qua bảng biến thiên ta có miền giá trị hàm số trình cho có nghiệm là: Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: Bài giải: nên phương (1) có nghiệm Ta biến đổi phương trình cho dạng: Đặt: phương trình trở thành Xét hàm số: (2) Ta có bảng biến thiên: -1 - + 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Qua bảng biến thiên suy phương trình (2) có nghiệm Hay phương trình (1) có nghiệm * Đối với bất phương trình ta sử dụng mệnh đề sau: Để tìm điều kiện m cho bất phương trình ( miền giá trị hàm số từ có kết luận m Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình: Bài giải: ) có nghiệm ta tìm (1) có nghiệm Đặt Phương trình (1) trở thành: (2) Bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình có nghiệm có điểm đồ thị với khơng phía đường thẳng Xét hàm số có Ta có bảng biến thiên: - + + - 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Qua bảng biến thiên suy với bất phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m cho bất phương trình: thỏa mãn với Bài giải: bất phương trình cho: Xét hàm số Ta có bảng biến thiên: - Suy bất phương trình Ví dụ 3: Tìm m cho + + có nghiệm nghiệm bất phương trình: (*) Bài giải: Ta có (*) nghiệm bất phương trình (*) đồng thời nghiệm (1) (2) Xét hàm số Thì Ta có bảng biến thiên: 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy với Giới thiệu số tập áp dụng: 1) Tìm m để phương trình : có nghiệm 2) Tìm m để phương trình : 3) Tìm m cho có nghiệm với d Sử dụng phương pháp max, việc biện luận tồn nghiệm phương trình, bất phương trình Để áp dụng phương pháp sử dụng số mệnh đề sau: Mệnh đề1: phương trình có nghiệm miền D khi: Mệnh đề 2: bất phương trình có nghiệm miền D khi: Mệnh đề 3: bất phương trình có nghiệm với Mệnh đề 4: bất phương trình có nghiệm miền D khi: 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mệnh đề 5: bất phương trình có nghiệm với Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh n số tự nhiên chẵn phương trình: vơ nghiệm Bài giải: Xét hàm số Vì n số tự nhiên chẵn nên với x nên Do (vì Suy phương trình với ) vơ nghiệm Ví dụ 2: Cho bất phương trình: Bài giải: với (1) Đặt với Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: Khi Bất phương trình (1) trở thành: (2) Bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình (2) có nghiệm Ta có bảng biến thiên: 10 Qua bảng biến thiên : bất phương trình (2) có nghiệm Hay với bất phương trình (1) có nghiệm 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4.3 Ứng dụng hàm số việc biện luận số nghiệm phương trình hay bất phương trình Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) Giải: Đặt (t  ) Phương trình (1) trở thành Xét hàm số Số nghiệm phương trình giao điểm đường thẳng với đồ thị Ta có bảng biến thiên: + 19 Suy ra: : Phương trình vơ nghiệm :Phương trình có nghiệm :Phương trình có nghiệm Để biện luận số nghiệm phương trình theo tham số m thường đưa phương trình dạng sau: (1): hay (2): (k số) (3): ( số) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hoặc với đường thẳng 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm phương trình: Bài giải: Viết phương trình cho dạng: Khảo sát hàm số (0;+∞) + - + 0 Phương trình e = x (x>0) có nghiệm với giá trị x>0 suy ra: m