(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "ỨNG DỤNG VÀ KHAI THÁC MỘT BẤT ĐẲNG THỨC" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A- ĐẶT VẤN ĐỀ Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh năm kiến thức bản, việc phát huy tính tích cực học sinh để khai thác thêm tốn từ tốn điển hình, đồng thời biết ứng dụng toán đơn giản vào việc giải toán phức tạp điều cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Chúng ta biết tốn dù có khó, phức tạp đến đâu lời giải đưa chuỗi hữu hạn bước suy luận đơn giản, việc giải toán phức tạp đưa việc áp dụng, tiền đề toán đơn giản Nên việc thường xuyên ứng dụng, khai thác toán đơn giản để giải tốn khó cách nâng cao dần khả suy luận, tư sâu cho học sinh Qua số năm giảng dạy, học hỏi đồng nghiệp với kinh nghiệm thân giúp học sinh khai thác, ứng dụng nhiều toán, toán chứng minh bất đẳng thức, sở tơi viết sáng kiến kinh nghiệm “ứng dụng, khai thác bất đẳng thức “ Dù có nhiều cố gắng, song sáng kiến kinh nghiệm chưa phải hoàn chỉnh, cịn có thiếu sót Tơi mong Hội đồng khoa học đồng nghiệp bổ sung thêm ý kiến đóng góp cho tơi, để q trình giảng dạy sau này, giúp học sinh nhiều lĩnh vực tìm tịi chiếm lĩnh tri thức, khám phá mơn tốn học B- NỘI DUNG I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai số a b Ta nói : a lớn b, ký hiệu a > b, a - b > a nhỏ b, ký hiệu a < b, a - b < Một số tính chất bất đẳng thức +a>b + +  bb,b>c  a>c + a  b   a.c  b.c c  0 + a  b  0   a.c  b.d c  d  0 Một số bất đẳng thức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + a2  + a 0 ;  a2  xảy đẳng thức a = Xảy đẳng thức a = Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4.1 Dùng định nghĩa Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B chứng minh A - B > 4.2 Dùng phép biến đổi tương đương Để chứng minh A > B ta biến đổi tương đương A  B  A1  B1  A2  B2   An  Bn Trong bất đẳng thức A n > Bn ln đúng, q trình biến đổi tương đương nên ta suy A > B 4.3 Dùng bất đẳng thức phụ Để chứng minh A > B, ta xuất phát từ bất đẳng thức bất đẳng thức đơn giản (gọi bđt phụ) biến đổi tương đương suy A > B II- CÁC NHẬN XÉT VÀ CÁC BÀI TOÁN MINH HOẠ CHO VIỆC ỨNG DỤNG, KHAI THÁC MỘT BẤT ĐẲNG THỨC LỚP Nhận xét :Trong chương trình tốn T.H.C.S có bất đẳng thức quen thuộc mà việc ứng dụng giải tập đại số hình học có hiệu Ta thường gọi “bất đẳng thức kép” Đó bất đẳng thức sau : ( a  b) Với a, b ta có : a  b   2ab (*) 2 2(a  b )  (a  b) .(1)  Nhận thấy (*)  (a  b)  4ab .(2)  2 a  b  2ab (3) Cả ba bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức ( a  b)  chúng xảy đẳng thức a = b Ý nghĩa bất đẳng thức (*) nêu nên quan hệ tổng hai số với tích hai số với tổng bình phương hai số Sau số ví dụ minh hoạ việc vận dụngvà khai thác bất đẳng thức (*) Bài toán 1: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho a + b = Chứng minh rằng: a2  b2  ; a4  b4  1 ; a8  b8  128 * Giải : Áp dụng bất đẳng thức (1) giả thiết a + b = ta có: ( )2 ( a  b) 2 2 ( a  b ) a b   ; a4  b4    2 2 2 ( )2 (a  b ) Đẳng thức xảy a = b = 1/2 a8  b8    2 128 4 * Khai thác toán Nhận xét 1: Nếu tiếp tục áp dụng bđt (1) tăng số mũ biến ta thu kết như: ) (a  b ) 16 16 128 a b    15 2 8 ( Tổng qt ta có tốn sau: Bài toán 1.1: n n 2 Cho a + b = Chứng minh rằng: a  b  2n 1 Cách giải toán 1.1 ta áp dụng phương pháp quy nạp toán học làm tương tự toán Nhận xét 2: Tiếp tục khái quát toán 1.1 thay giả thiết a + b = giả thiết a + n n kn 2 a  b  b = k , làm tương tự ta có n 2 1 Vậy có tốn 1.2 sau: Bài toán 1.2: Cho a + b = k Chứng minh: n n kn 2 a b  n 2 1 Nhận xét 3: Từ toán 1.2 ta thay giả thiết a + b = k b = k - a ta Bài toán 1.3: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com n n kn Chứng minh : a  (k  a)  n 2 1 với k * Khai thác sâu toán Nhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp lần ta có kết quả:   a  b    2 2 ( a  b )  a  b   4 a b    2 23 Tổng qt ta có tốn sau: Bài toán1.4: Chứng minh : a) a  b 4  a  b  23 n n n  a  b 2 b) a  b  n 2 1 Nhận xét 2: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp nhiều lần tăng số biến ta có:   a  b    c  d       2 2 2 2  ( a  b )  (c  d )    4 4 a b c d    2 ( a  b )  (c  d )  a  b  c  d    8.2 2 a4  b4  c4  d  a  b  c  d  abcd       4 4.8.2   4 Vậy có tốn 1.5: a4  b4  c4  d  a  b  c  d  Chứng minh:   4   Cứ tiếp tục suy luận sâu ta thu nhiều toán tổng quát Bài toán 2: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho a, b, c > 0.Chứng minh rằng: (a  b).(b  c).(c  a)  8abc (a  b)  4ab  * Giải: áp dụng bất đẳng thức (2) ta có : (c  b)  4cb (a  c)  4ac    (a  b)(b  c)(c  a )  64a b c 2  ( a  b)(b  c)(c  a)  8abc (vì a, b, c > 0) ( (a+b)(b+c)(c+a) > 8abc > 0) Đẳng thức xảy a = b = c * Khai thác toán Nhận xét 1: Nếu cho a, b, c > a + b + c = Khi ta có - a, 1- b, - c > có + c = + - a - b = (1 - a ) + (1 - b ) áp dụng toán ta : (1  a)(1  b)(1  c)  8(1  a)(1  b)(1  c) Vậy có tốn 2.1: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh: (1  a)(1  b)(1  c)  8(1  a)(1  b)(1  c) Nhận xét 2: Ta tiếp tục khai thác sâu toán cách cho a + b + c = n > Khi tương tự tốn 2.1 ta có Bài toán 2.2: Cho a, b, c > a + b + c = n > Chứng minh : (n  a )(n  b)(n  c)  8(n  a)(n  b)(n  c) Bài toán 3: Chứng minh với a, b, c ta có : a  b  c  ab  bc  ca * Giải : a  b  2ab  2 áp dụng bất đẳng thức (3) ta có : c  b  2cb a  c  2ac   2(a  b  c )  2(ab  bc  ca)  đ.p.c.m LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Có đẳng thức a = b = c * Khai thác toán Nhận xét : Nếu áp dụng toán tăng số mũ lên, giữ nguyên số biến ta có a  b  c  a b  b c  c a (*) lại áp dụng tốn lần ta có a b  b c  c a  abc(a  b  c) (**) Từ (*) (**) ta thu kết a  b  c  abc(a  b  c ) Vậy có tốn 3.1: Chứng minh với a, b, c ta có : a  b  c  abc(a  b  c) Nhận xét 2: Nếu tăng số biến giữ nguyên số mũ biến với cách làm tốn ta có Bài toán 3.2: 2 Chứng minh rằng: a1  a   a n  a1 a  a a3   a n 1 a n  a n a1 Với a1 ; a ; ; a n Bài toán : Chứng minh với a, b, c, d ta có : a  b  c  d  4abcd * Giải : áp dụng bất đẳng thức (3) ta a  b  c  d  2a b  2c d  2(a b  c d )  4abcd đ.p.c.m có : Có đẳng thức a = b = c = d * Khai thác toán Nhận xét 1: Nếu thay b = c = d = ta có bđt a   4a  a  4a  3 Vậy có tốn 4.1: Tìm giá trị nhỏ A = a  4a Nhận xét 2: Nếu khai thác toán theo hướng tăng số biến, số mũ lên, ta Có tốn tổng qt sau: Bài tốn 4.2: Chứng minh với số a1; a2 ; a3 ; ; a2n với n  N * ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a1 2n  a2 2n  a3 2n   a n 2n n  a1a a a n Bài toán : Cho a + b + c + d = Chứng minh : a  b  c  d  * Khai thác toán k2 Nhận xét 1: Nếu thay số giả thiết số k ta kết a  b  c  d  2 2 Vậy có tốn tổng quát sau: Bài toán 5.1: k2 Cho a + b + c + d = k Chứng minh : a  b  c  d  2 2 Nhận xét 2: Ta tổng qt tốn 5.1 mức độ cao cách tăng số biến toán Khi tốn 5.1 trường hợp riêng toán sau: Bài toán 5.2: k Cho a1  a2   an = k Chứng minh: a1  a 2   a n  n với n  N * Để giải tốn hai cách làm toán đưa vào áp dụng không hợp lý, ta làm sau: k2 k k2 k k2 k 2 Áp dụng bđt (3) ta có: a1   2a1 ; a   2a ; … ; a n   2a n n n n n n n 2 2  a1  a   a n 2 k2 k  n  (a1  a   a n ) n n  a1  a   a n  k2 k2 2 n n 2 (vì a1  a   a n  k )  a1  a   a n  k2 (đ.p.c.m) n Từ suy : 2 a1  a   a n  a1  a2   a n  với  n n N* (1.1) Vậy có tốn 5.3: 2 Chứng minh: a1  a   a n  a1  a  a3   a n  với  n N* n 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặc biệt hoá với n = 5, n = 7, ta toán : Chứng minh : 2 a1  a   a5  2 a1  a   a   a1  a  a3   a5   a1  a2  a3   a7  Rõ ràng bđt sử dụng phương pháp dùng định nghĩa biến đổi tương đương khó giải * Khai thác sâu toán Nếu tiếp tục nâng số mũ lên cao theo cách khai thác toán 1.4 ta thu kết tổng quát chẳng hạn: Bài toán 5.4: Chứng minh: 4 a) a1  a   a n 8 b) a1  a   a n c) a1 2n  a2 2n  a1  a  a3   a n  với  n N* n  a1  a  a3   a n  với    a n n 2n  n N*  a1  a  a3   a2n  2n n n 1 2  với n N* (1.2) Rõ ràng bất đẳng thức chặt bđt Cơ Si khơng cần điều kiện biến Tiểu kết 1: Trên ta khai thác phát triển từ toán đơn giản để thu toán mới, kết tổng quát Bất đẳng thức (1.1) trường hợp tổng quát bất đẳng thức (1) ta khai thác theo hướng tăng số biến toán Bất đẳng thức (1.2) trường hợp tổng quát bất đẳng thức (1) ta khai thác theo hướng tăng số mũ số biến 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tiểu kết 2: Để khai thác, phát triển toán bất đẳng thức ta theo số hướng sau: Hướng thứ : Tổng quát hoá số có tốn, ví dụ tốn 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1 Hướng thứ hai : Giữ nguyên số biến tăng số mũ biến dẫn đến tổng quát hoá số mũ, ví dụ tốn 1.1; 1.4 Hướng thứ ba : Giữ nguyên số mũ tăng số biến biến dẫn đến tổng qt hố số biến, ví dụ toán 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3 Hướng thứ tư : Tổng quát hoá số mũ số biến, ví dụ tốn 4.2; 5.2; 5.4 Hướng thứ năm : Đổi biến, đặc biệt hố từ tốn tổng qt, ví dụ toán 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trên ví dụ vận dụng bđt (*) vào việc giải toán đại số số phương hướng để khai thác toán Kết thu sau khai thác bđt (1) bđt : 2 a1  a   a n   a1  a2   an  n với n N* (1.1) Và bđt: a1 2n  a2 2n   a n 2n   a1  a2  a3   a2n  2n 2n  2n 1 với n  N * (1.2) Hoàn toàn tương tự ( Chứng minh quy nạp toán học ) ta có kết khai thác bđt (2) sau: 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  a1  a2  a3   a2n  2n 2n  2n 1 n  a1a a với n  N * (2.1) 2n Từ bđt (1.2) bđt (2.1) ta có bđt tổng quát bđt (*) sau: a1 2n  a2 2n   a n 2n   a1  a2  a3   a2n  2n 2n  2n 1 n  a1a a với n  N * (*.1) 2n Như làm xong toán dù toán dễ , người làm tốn khơng nên thoả mãn với lời giải mà cần tiếp tục suy xét vấn đề xung quanh tốn, tìm tốn hay hơn, tổng qt hơn, sau đặc biệt hố tốn tổng qt để có tốn độc đáo hơn, thú vị Điều làm cho người học toán ngày say mê môn, đồng thời cách rèn luyện tư duy, nghiên cứu để chiếm lĩnh kho tàng tri thức nhân loại III- BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ IV- KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM V- ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VI- NHỮNG ĐIỂM CÒN TỒN TẠI, HẠN CHẾ VII- BÀI HỌC KINH NGHIỆM VIII- ĐỀ XUẤT HỨƠNG NGHIÊN CỨU TIẾP C- KẾT LUẬN Sau q trình giảng dạy nhiều năm, thơng qua tài liệu tham khảo, học hỏi đồng nghiệp Tôi hệ thống lại nhiều tốn hình học đại số ứng dụng bất đẳng thức (*) để giải, có toán mà tài liệu tham khảo phải sử dụng bất đẳng thức lớn bất đẳng thức CôSi cho số, cho số, bất đẳng thức Bunhiacốpski… để giải, cách giải không phù hợp với chương trình tốn T.H.C.S Trong bất đẳng thức (*) hầu hết học sinh lớp lớp chứng minh thường sử dụng, việc ứng dụng bất đẳng thức (*) mang lại hiệu nhỏ 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thông qua sáng kiến kinh nghiệm tơi mong muốn đựoc đóng góp phần nhỏ bé công sức việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác bất đẳng thức (*) làm tốn, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho em học toán Tuy nhiên, thời gian có hạn, trình độ thân cịn hạn chế, nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm hồn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tơi tiến giảng dạy Tôi xin trân trọng cảm ơn ! 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... với kinh nghiệm thân giúp học sinh khai thác, ứng dụng nhiều toán, toán chứng minh bất đẳng thức, sở tơi viết sáng kiến kinh nghiệm ? ?ứng dụng, khai thác bất đẳng thức “ Dù có nhiều cố gắng, song... nhiều tốn hình học đại số ứng dụng bất đẳng thức (*) để giải, có tốn mà tài liệu tham khảo phải sử dụng bất đẳng thức lớn bất đẳng thức CôSi cho số, cho số, bất đẳng thức Bunhiacốpski… để giải,... chứng minh A > B, ta xuất phát từ bất đẳng thức bất đẳng thức đơn giản (gọi bđt phụ) biến đổi tương đương suy A > B II- CÁC NHẬN XÉT VÀ CÁC BÀI TOÁN MINH HOẠ CHO VIỆC ỨNG DỤNG, KHAI THÁC MỘT BẤT