LUN LY HC PHN 1

[1] LUẬN LÝ HỌC (PHẦN 1) [Phan Chí Dũng 1] CHƯƠNG GIỚI THIỆU 1.1 LUẬN LÝ HỌC LÀ GÌ? Theo từ điển Hán Việt Đào Duy Anh2, ta hiểu: Luận: bàn bạc, suy xét, biện bác, phê bình3; Luận lý: suy xét (raisonner); Luận lý học: môn học nghiên cứu phương pháp để tư tưởng, suy lý nhận thức (logique) [Cũng gọi danh học (âm tàu La tập)] Nhân minh: phép luận lý nhà Phật, nhân mà suy cho rõ tức nhân thử minh bỉ [tr.62] Tóm lại: Luận lý học nhân minh luận (nhân minh học) hay logic học + Luận lý học môn khoa học nghiên cứu về: mức độ hợp lý lập luận + Logic học: mơn khoa học nghiên cứu tính hợp lý vấn đề + Nhân minh luận: lập luận, kiến giải làm cho sáng rõ nguyên nhân vấn đề 1.2 LỊCH SỬ LUẬN LÝ HỌC 1.2.1 Lịch sử logic học Tây phương4 Tư tưởng logic học thời Hy Lạp cổ đại trước Aristotle 1.2.1.1 + Thời kì này, logic học chưa tách khỏi triết học; + Nhà triết học có tư tưởng liên quan đến logic học triết gia Pácmênít (Parménide) thuộc trường phái Êlê (ELe) Ông người đưa Cơng thức siêu hình học quy luật đồng (cũng quy luật phi mâu thuẫn): Tồn có mà khơng có, nghĩa khơng tồn + Học trị Parménide Dênơng (Zénon) dùng quy luật phi mâu thuẫn để lập luận cho nghịch lý mũi tên bay khơng đến đích, Achilles đuổi rùa, Nghịch lý phân đôi.5 - Trong chạy đua, người chạy nhanh khơng bắt kịp kẻ chậm Kể từ xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy Do đó, kẻ chạy chậm dẫn đầu – theo lời ghi lại Aristotle Thạc sĩ LL&PPDH Toán học Đào Duy Anh (1932), Hán – Việt từ điển, 605tr, NXB Khoa học xã hội, năm 2015, tr.521 Cũng đọc "Luân" nên nhiều tài liệu nhầm lẫn "luận lý" "luân lý" Luân lý điều lý đạo đức lồi người (morale) Ln lý học: mơn học nghiên cứu hành vi cá nhân đoàn thể định quy tắc cho hành vi (morale) [Đào Duy Anh, tr.520] Nguyễn Gia Thơ (2018), Lịch sử logic học (406tr), ISBN: 978-604-956-305-8, NXB Khoa học Xã hội, năm 2018 Xem: Wikipedia (2019), Nghịch lý Zeno, tct: https://vi.wikipedia.org/wiki/Ngh%E1%BB%8Bch_l%C3%BD_Zeno, ntc: 28/5/2019 [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] Trong nghịch lý Achilles rùa, Achilles chạy đua với rùa Ví dụ Achilles chấp rùa đoạn 100 mét Nếu giả sử tay đua bắt đầu chạy với tốc độ không đổi (Achilles chạy nhanh rùa chậm), sau thời gian hữu hạn, Achilles chạy 100 mét, tức đến điểm xuất phát rùa Nhưng thời gian này, rùa chạy quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét Sau Achilles lại tốn khoảng thời gian để chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà thời gian rùa lại tiến xa chút nữa, Vì vậy, Achilles đến vị trí mà rùa đến, rùa lại cách đoạn Bởi số lượng điểm Achilles phải đến mà rùa qua vơ hạn, khơng bắt kịp rùa - Một chuyển động phải đến vị trí nửa quãng đường trước đến đích.– theo lời ghi lại Aristotle - Nếu tất thứ chiếm khoảng khơng gian đứng n, chuyển động chiếm khoảng khơng gian thời điểm nào, mũi tên bay bất động – theo lời ghi lại Aristotle Trong nghịch lý mũi tên, Zeno nói rõ để chuyển động xảy ra, đối tượng phải thay đổi vị trí mà chiếm giữ Ơng đưa ví dụ mũi tên bay Ông lập luận khoảnh khắc (thời điểm) mũi tên khơng di chuyển đến vùng khơng gian chiếm, không di chuyển đến vùng không gian mà khơng chiếm Nó khơng thể di chuyển đến nơi mà khơng chiếm, thời gian khơng trơi để di chuyển đến đó, khơng thể di chuyển đến nơi chiếm, đứng Nói cách khác khoảnh khắc thời gian, khơng có chuyển động xảy Nếu vật bất động khoảnh khắc, thời gian hoàn toàn bao gồm khoảnh khắc, chuyển động khơng thể xảy + Trường phái nguỵ biện6 - sophist - (Protagoras7, Gorgias, Prodicus, Hippias) góp phần khơng nhỏ việc định hình logic học thời + Democritus8 (460-370 TTL) người Hy Lạp cổ đại bàn logic học cách thức thơng qua tài liệu "Bàn logic học" (Canon), điều Aristotle ghi lại tài liệu + Socrates9 (469-399 TTL), xây dựng phương pháp quy nạp định nghĩa khái niệm, yếu tố thiếu logic học + Platon10 (427-347 TTL) triết gia có nhiều ảnh hưởng đến tư tưởng nhiều ngành khoa học có logic học thông qua phương pháp biện chứng ông Dịch ngụy biện khơng thật xác, nên gọi trường phái thơng thái khác biệt Nhóm thường đặt lại vấn đề khái niệm có tính chất trọng yếu như: thiện, ác, đẹp, xấu, chân lý, sai lầm, công bằng, bất công, Xem: Wikipedia (2019), Protagoras, tct: https://vi.wikipedia.org/wiki/Protagoras, ntc: 28/5/2019 Xem: Wikipedia (2019), Democritos, tct: https://vi.wikipedia.org/wiki/Democritos, ntc: 28/5/2019 Xem: Wikipedia (2019), Sokrates, tct: https://vi.wikipedia.org/wiki/Sokrates, ntc: 28/5/2019 Xem: Wikipedia (2019), Socrates, tct: https://en.wikipedia.org/wiki/Socrates, ntc: 28/5/2019 10 Xem: Wikipedia (2019), Platon, tct: https://vi.wikipedia.org/wiki/Platon, ntc: 28/5/2019 Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ 1.2.1.2 Logic học thời Aristotle + Aristotle11 (384-322TTL) xem ơng tổ logic học + Ơng đưa học thuyết chân lý12 quy luật tư duy13 + Phán đoán logic học Aristotle ý niệm tính vốn có hay khơng vốn có, tính chân thực hay giả dối Phán đốn có sở14: chất, lượng, tình thái + Khái niệm logic học Aristotle định nghĩa có quy tắc cho định nghĩa đó, sở cho "định nghĩa khái niệm" logic học truyền thống + Suy luận, chứng minh logic học Aristotle: dùng tam đoạn luận Aristotle để thực + Ông chia lỗi logic: lỗi suy luận có 2, lỗi dùng từ có 6, lỗi khơng phụ thuộc vào phương pháp thể ngơn ngữ có + Quy nạp tình thái nghiên cứu sâu học thuyết ông + Sau thời kì Aristotle logic học xây dựng, bàn luận thêm 1.2.1.3 Logic học tây Âu thời trung cổ + Logic học gắn liền với triết học kinh viện thần học, mà khơng có nhiều đột phá 1.2.1.4 Logic học từ kỉ thứ XVII-XIX + Descartes15 (1596-1650), triết gia Pháp đưa nguyên tắc liên quan đến logic xây dựng luận thuyết sai lầm Ông đưa đường tìm kiếm chân lý: trực giác, diễn dịch, quy nạp, so sánh, loại suy + Leibniz16 (1646-1716), nhà bác học Đức, người đặt vấn đề sở logic tri thức người Ông phát triển học thuyết sở lý quy nạp Ông xem người đặt móng logic học ký hiệu (logic toán) + Logic ký hiệu (symbolic logic) phát triển mạnh G Boole (với tác phẩm: The Mathematical Analysis of Logic) A De Morgan (tác phẩm: Formal Logic) Lúc tốn logic hình với bóng Tốn học khơng số, hình, cịn ký hiệu, uy luật thao tác ký hiệu 11 Xem: Wikipedia (2019), Aristoteles, tct:https://vi.wikipedia.org/wiki/Aristoteles, ntc: 28/5/2019 Chân lý Aristotle thỏa mãn tiêu chuẩn: tiêu chuẩn nhận thức luận (sự phù hợp tư tưởng vật), tiêu chuẩn hình thức logic (sự hợp lý suy luận) 12 Ơng nói đến: quy luật phi mâu thuẫn: khơng thể có thời điểm vừa có lại vừa khơng có Quy luật loại trừ thứ ba: khơng thể có hai phán đốn mâu thuẫn nhau, nói thứ tất yếu khẳng định phủ định Quy luật đồng nhất: cho không tồn tại, tồn tồn có thật khơng tồn tại, điều giả dối; cho tồn thật tồn cịn khơng tồn khơng tồn tại, điều chân lý Quy luật lý đầy đủ (Không thấy tác phẩm ông cách thức): học thuyết nhận thức xây dựng sở tri thức trước 13 Chất: tính phủ định hay khẳng định Lượng: chung, riêng, khơng xác định Tình thái: trạng thái tồn đơn giản (tồn thực), tồn tài tất yếu (bản chất), tồn khả (có thể có không) 14 15 Xem: Wikipedia (2019), René Descartes, tct: https://vi.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes, ntc: 28/5/2019 16 Xem: Wikipedia (2019), Gottfried Leibniz, tct: https://vi.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz, ntc: 29/5/2019 [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] + Logic học biện chứng Hegel (1770-1831) làm cho triển nở mạnh mẽ, tạm so sánh logic hình thức logic biện chứng, ta thấy sau: BẢNG SO SÁNH LOGIC HÌNH THỨC VÀ LOGIC BIỆN CHỨNG Cơ sở logic học Ngun Logic hình thức lý + Cơ lập logic + Bất biến luật + Đồng nhất; Quy logic Logic biện chứng + Liên hệ + Biến hóa + Lượng đổi dẫn đến chất đổi ngược lại; + Phi mâu thuẫn; + Mâu thuẫn biện chứng; + Bài trùng + Phủ định biện chứng Nguồn: Lê Dỗn Tá – Tơ Duy Hợp – Vũ Trọng Dung (2007), Giáo trình logic học (Tái lần thứ 2333tr), NXB Chính trị Quốc gia, năm 2007, tr40 1.2.1.5 Logic học phương tây từ kỉ XIX trở + Một số nhà logic học người Anh: Hershel, Haminton, Boole, Jevons, de Morgan, Spencer, Ledd Flanklin, làm cho sâu sắc phong phú logic học đại Trong George Boole (1815-1864) xây dựng phép tính logic tương tự đại số gọi đại số logic (logic mệnh đề17 logic vị từ18) + Nhiều hình thức logic phi cổ điển đời: logic tam trị J Lukaisiewicz (1878-1956), logic tam trị xác suất H Reichenbach (1891-1953), logic trực giác, logic mờ, logic tình thái, logic thời gian, + Từ năm 1930, toán học logic học bị lay chuyển phát ngun lý bất tồn K Gưdel Ơng ln ln có chân lý (truths) dẫn xuất từ hệ thống hình thức Đơn cử ví dụ: tơi nói dối [Xem thêm phụ lục 4] + Nhiều nhà khoa học thuộc nhiều lãnh vực chuyên nghiên cứu logic làm cho đầy đủ đến độ phức tạp hệ thống logic học đại mà ta biết đến ngày logic học từ quan điểm ký hiệu trở thành đại số trừu tượng 1.2.2 Lịch sử nhân minh luận Đông phương 1.2.2.1 Nhân minh luận thời trước Đức Phật + Kinh Vệ đà xuất cuối thiên niên kỉ thứ đầu thiên niên kỉ thứ trước tây lịch, suối nguồn triết học Ấn Độ Upanisad xuất (thế kỉ VIII-V TTL) để phân tích, giải cho kinh Vệ đà, có tư tưởng logic + Thời kì hưng thịnh từ kỉ IV-VIII Ấn Độ cổ đại, có hệ phái thống: Vaiśeṣika, Nyāya, Sānkhya, Yoga, Mīmāmsā Vedānta Trong luận lý mạnh phái Nyāya 17 Logic mệnh đề gồm phần: đại số logic mệnh đề Phép tính logic mệnh đề (suy luận tự nhiên tiên đề hóa thành tố phép tính logic mệnh đề) 18 Logic vị từ mở rộng logic mệnh đề, gồm phần: đại số logic vị từ Phép tính logic vị từ (suy luận tự nhiên tiên đề hóa) Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ 1.2.2.2 Nhân minh luận thời sau Đức Phật + Giai đoạn có thuyết sau: vật thuyết (Cārvāka-Bārhaspatya), Hữu-sanh-hóa phổ quát thuyết Kỳ-na giáo, Tiến hóa thuyết (Sānkhya), Thần bí thuyết (Yoga), Nhất ngun thuyết (Aupaniṣada-Vedānta), Duy thực thuyết thống (Mīmāmsā), Duy thực thuyết (NyāyaVaiśeṣika), Trung đạo thuyết Đức Phật.19 + Luận lý học Phật giáo tìm thấy tam tạng, đặc biệt Kathāvatthu 1.2.2.3 Nhân minh luận Trung Hoa20 + Mặc Tử (~ 480 - 420 TTL) phái Biệt Mặc đề cập nhiều đến logic học tam biểu pháp, xây dựng khái niệm loại khái niệm logic theo loại Đặc biệt, ơng có lập luận sắc sảo việc bác bỏ chứng minh + Sau Mặc Tử Huệ Thi (370 - 310 TTL) Công Tôn Long (320 - 255 TTL) Các ơng có cơng khuynh hướng logic học hình thức khơng t (logic đa trị, logic tình thái, logic mờ ) Ở thời gian này, Cơng Tơn Long có 21 nghịch luận tiếng + Tiếp sau Công Tôn Long Tuân Tử (298 - 238 TTL), nhà triết học vật tài ba Ơng đưa nhiều luận điểm có giá trị khoa học logic hình thức 1.3 VAI TRỊ CỦA LUẬN LÝ HỌC TRONG NGHIÊN CỨU LIÊN NGÀNH: BỐN TRỤ CỘT TRI THỨC + Nhận thức luận tảng luận lý học, cứu cứu cánh để xem xét tương quan khác ngành khoa học hệ thống; + Tư duy, nhìn nhận vấn đề hợp lý hay không hợp lý nghiên cứu, nghiên cứu thuộc Khoa học Xã hội sai biệt xa Việc có luận lý tảng Toán học Phật học cần thiết; + Trong nghiên cứu liên ngành, có thống phương pháp luận lý dễ dàng tiếp cận chân lý CHƯƠNG LOGIC TOÁN HỌC Nội dung: Trình bày vấn đề logic tốn Song song ví dụ xoay quanh logic học Phật giáo đối chiếu với Toán, bổ sung điểm bình luận có tính chất khơi gợi suy ngẫm u cầu: Thuộc bài, làm tập, ứng dụng vào đời sống tình thái 2.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LOGIC HỌC HÌNH THỨC 2.1.1 Phán đốn 19 F.Th Stcherbatsky (1996), Luận lý học Phật giáo (Thiện Minh dịch, tập I, 564tr), ISBN: 978-604-951-838-6, NXB Hồng Đức, năm 2017, tr22-31 20 Xem phụ lục [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] Phán đoán ý niệm khẳng định phủ định vấn đề là sai Mệnh đề 2.1.2 + Từ phán đoán, người ta dùng ngơn ngữ (viết – nói) để diễn đạt cho người khác hiểu, diễn đạt đó, gọi mệnh đề + Tóm lại: mệnh đề phát biểu có tính đúng, sai + Nếu đặt mệnh đề A21, ta có bảng chân trị A sau: Trong đó: A A: mệnh đề | | sai + Việc xác định tính sai mệnh đề đơn hồn tồn dựa vào nhận thức luận người Trước vào vấn đề logic phức tạp cần chấp nhận mệnh đề đơn kiểu cách phổ thơng + Ví dụ: Xét mệnh đề sau A: mặt trời mọc hướng đơng lặn hướng tây; B: Nếu nhìn trái đất mặt trời mọc hướng đơng lặn hướng tây Nếu nhìn cách phổ thơng mệnh đề A theo quy ước, sai khơng có tính khái qt trường hợp Ở khơng nhìn từ trái đất đưa đến mệnh đề A bị sai Nếu phát biểu khơng thể xác định tính sai mệnh đề tiếp tục suy xét Mặt khác phát biểu A có khái niệm cần định nghĩa (dựa vào nhận thức luận): mặt trời, mọc, lặn, hướng đơng, hướng tây Nếu hiểu khác dẫn đến mâu thuẫn suy luận sau Như tiền đề đâu tiên xác định hệ tư tưởng, quan niệm khái niệm Nếu xét mệnh đề B ta thấy có thêm điều kiện (nhân – quả), làm xác cho vấn đề suy xét Ví dụ khác: C: người tam nhân giác ngộ Muốn xét tính sai mệnh đề C, cần phải hiểu định nghĩa: người tam nhân, giác ngộ hệ tư tưởng Phật học chứa đựng hai khái niệm Như vậy, nhận thức luận tảng mà sai thật, lại chọn làm nguy hiểm cho thấu hiểu chân lý lâu dài 21 Mệnh đề viết thường in hoa Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ 2.1.3 Các phép toán logic 2.1.3.1 Chú ý: Phép phủ định Cho mệnh đề sơ cấp x mệnh đề sơ cấp kí hiệu x (hoặc x ) gọi phủ định mệnh đề sơ cấp x Bảng chân trị sau: x x Viết dạng phương trình ta có: 1 = = 1 x : pháp bất thiện Ví dụ: x : pháp thiện 2.1.3.2 Phép phủ định dùng ngôn ngữ đời thường, người ta dùng từ: không, phi, bất, từ trái nghĩa Trong từ trái nghĩa khơng thật xác diễn đạt khái niệm phủ định Phép hội thường dùng từ: và, đồng thời, nhiên có trường hợp tình thái từ lại phép tuyển Phép hội (và) Cho x y hai mệnh đề sơ cấp Gọi mệnh đề u hội mệnh đề x y Ký hiệu: u = x  y viết gọn: u = xy Ta có bảng chân trị: x y u = x y Viết dạng phương trình ta có: 1 11 = 1 0 1 = 0 0 1 = 0 0 00 = Ví dụ 1: Pháp Thọ bao gồm: tất pháp tương ưng lạc thọ, tất pháp tương ưng khổ thọ, tất pháp tương ưng phi khổ phi lạc thọ Gọi: x:= tất pháp tương ưng lạc thọ, y:= tất pháp tương ưng khổ thọ z: tất pháp tương ưng phi khổ phi lạc thọ Ta có: u = x  y  z := Pháp Thọ Ví dụ 2: Điều kiện để hồn thành khóa T3 là: tổng điểm 50 có tối thiểu báo cáo Gọi: x:= tổng điểm 50, y:= tối thiểu báo cáo Ta có: u = x  y := hồn thành T3 Phân tích: tiêu chí khơng đảm bảo xem khơng hồn thành T3 x:= y:= u = x  y := [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] tổng điểm 50 tối thiểu báo cáo hoàn thành T3 Đạt Đạt Đạt Đạt Không Không Không Đạt Không Không Không Không 2.1.3.3 Phép tuyển (hoặc là) Cho x y hai mệnh đề sơ cấp Gọi mệnh đề u tuyển mệnh đề x y Ký hiệu: u = x y Ta có bảng chân trị: x y u = x y Viết dạng phương trình ta có: 1 11 = 1 1 = 1 1 = 0 00 = Ví dụ: Bài học có hai phần, giáo viên trả phần A phần B x:= giáo viên trả phần A y:= giáo viên trả phần B x  y := giáo viên trả A, B, A lẫn B 2.1.3.4 Phép kéo theo (nếu ) Cho x y hai mệnh đề sơ cấp Gọi mệnh đề u kết mệnh đề x kéo theo y Ký hiệu: u = x  y Ta có bảng chân trị: x y x y Viết dạng phương trình ta có: 1 11=1 0 1 = 0 1 1=1 0  =1 Trong đó: + x điều kiện đủ để có y; Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ + y điều kiện cần để có x + y  x : gọi mệnh đề đảo; + x  y : gọi mệnh đề phản; + y  x : gọi mệnh đề phản đảo Ví dụ: Nếu trời mưa đường ướt + Nếu trời mưa thật chắn đường phải ướt (  = ) + Trời mưa điều kiện đủ để đường ướt; + Đường ướt nhân tố cần để kết luận trời mưa; 2.1.3.5 Phép tương đương (đẳng giá) Cho x y hai mệnh đề sơ cấp Gọi mệnh đề u kết mệnh đề x tương đương y Ký hiệu: u = x  y = x  y = x y Ta có bảng chân trị: x y x y Viết dạng phương trình ta có: 1 11=1 0 1 = 0 0 1= 0  =1 Trong đó: + x điều kiện cần đủ để có y; + y điều kiện cần đủ để có x Ví dụ: Thi đậu tốt nghiệp có tốt nghiệp + x:= thi đậu tốt nghiệp; + y:= có tốt nghiệp; + Mệnh đề logic: thi đậu tốt nghiệp tương đương với có tốt nghiệp 2.1.3.6 Phép tuyển chọn (cộng logic, tuyển nghiêm ngặt) [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] Cho x y hai mệnh đề sơ cấp Gọi mệnh đề u kết mệnh đề x tuyển chọn y Ký hiệu: u = x  y = x + y = x  y Ta có bảng chân trị: x y x y 1 1 1 1 = 0 00 = Viết dạng phương trình ta có: 1 = 1 = Ví dụ: Chỉ hai người sống + x:= người thứ sống; + y:= Người thứ hai sống; + Mệnh đề logic: người thứ sống người thứ hai sống Khơng có trường hợp hai sống hai chết, sai 2.1.4 Một số công thức logic Định nghĩa công thức logic 2.1.4.1 Từ nhiều mệnh đề sơ cấp phép toán logic kết hợp với ta công thức logic gọi mệnh đề logic phức hợp Ví dụ: F = ( ( xy )  z ) ; G = ( x  ( y  z ) ) ; R = ( xy  z ) Công thức tương đương 2.1.4.2 Hai công thức gọi tương đương logic chúng nhận giá trị chân lý bảng chân trị Ta kí hiệu chúng nhau, ví như: F = G Để biết hai cơng thức có tương đương logic hay không người ta biến đổi logic theo cơng thức dùng bảng chân trị Ví dụ: Xét F = ( ( xy )  z ) ; G = ( x  ( y  z ) ) để biết hai cơng thức có tương đương logic hay không ta xét bảng chân trị sau: x y z xy yz THỜI TRƯỚC ( xy )  z x  ( y  z) 1 1 1 1 1 0 Nguyễn Bính Sáng giăng chia nửa vườn chè Một gian nho nhỏ có Vì tằm phải chạy dâu 1 1 Vì chồng tơi phải qua cầu đắng cay Chồng thi đỗ khoa Bõ công đèn sách từ ngày lấy không chúng bạn cười Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Kẻo Thơ Khi R = ( 0, m ) ; ( 0, n ) ; ( 0, x ) ; (1, x ) ; (1, u ) ; ( 2, y ) ; (5, y ) ; (5, u ) gọi tương ứng, xét phần tử đại diện (1, x ) x gọi ảnh gọi tạo ảnh x R Lúc A gọi tập nguồn, B gọi tập đích R ( ) = m, n, x ; R (1) =  x, u ; R ( 3) = ; R ( ) = ; R ( ) =  y, u ; R ( ) = ; R ( ) =  lúc R (1) chẳng hạn gọi ảnh toàn phần R ( 0;1; 4;5) = R ( A1 ) = m, n, x, u, y ; R ( 3;6;7 ) =  (ảnh toàn phần tập hợp thuộc A, A1  A ) TR ( m ) = 0 , TR ( n ) = 0 , TR ( p ) = , TR ( q ) = , TR ( x ) = 0;1 , TR ( y ) = 2;5 , TR ( z ) = , TR ( u ) = 1;5 (Tạo ảnh m qua tương ứng R 0, tạo ảnh ảnh n qua tương ứng R 0, tạo ảnh p qua tương ứng R rỗng, ) TR ( m, n, p, x ) = 0;1 , TR ( p, q ) =  Miền giá trị R G ( R ) = m, n, x, u , y giá trị phần tử B có tương ứng R, nói cách khác hợp tất ảnh lại Miền xác định R D ( R ) = 0;1; 2;5 giá trị phần tử A có tương ứng R, nói cách khác hợp tất tạo ảnh Tất khai niệm phát sinh bắt nguồn từ qui tắc cho tương ứng R, định nghĩa ban đầu tương ứng R đến kết lúc sau khác Ví dụ: Xét A =  tham, sân, si, tà kiến, ngã mạn, vô tàm, vô úy B =  sát sanh, trộm cướp, tà dâm, nói dói, uống rượu   Cho tương ứng R =  (tham, tà dâm), (tham, uống rượu), (tham, trộm cướp), (sân, sát sanh), (si, sát sanh), (si, trộm cướp), (si, tà dâm), (si, nói dối), (si, uống rượu), (tà kiến, sát sanh), (tà kiến, trộm cướp), (tà kiến, tà dâm), (tà kiến, nói dối), (tà kiến, uống rượu), (vô tàm, trộm cướp), (vô tàm, nói dối), (vơ tàm, tà dâm), (vơ úy, tà dâm), (vơ úy, trộm cướp), (vơ úy, nói dối)  a) Xác định tập nguồn tập đích? b) Tìm ảnh tồn phần phần tử? c) Tìm tạo ảnh tất phần tử? d) Tìm Miền giá trị? e) Tìm tập xác định? 2.2.2.1 Một cách tổng quát Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ Cho hai tập hợp A B Ta gọi tương ứng từ A đến B ba gồm: t ( R, A, B ) hay R ( A, B ) hay , đó: R  ứng t hay R ARB A  B Trong đó: R gọi đồ thị, A gọi nguồn, B gọi đích tương Nếu A =  B =   B =  = A  , lúc tồn tương ứng rỗng từ A đến B + Nếu ( a, b )  R b gọi ảnh a, a gọi tạo ảnh b R; + Giả sử a  A , ảnh toàn phần a kí hiệu R ( a ) tập hợp tất ảnh b a R b  B   Hay R ( a ) = b  B | ( a, b )  R + Nếu A/  A , ảnh tồn phần A/ hay ảnh A/ kí hiệu R ( A/ ) = aA/ R (a) Như R ( A ) gọi miền giá trị R kí hiệu G ( R ) + Giả sử b  B , tạo ảnh toàn phần b kí hiệu TR ( b ) tập hợp tất tạo ảnh a b R   a  A Hay TR ( b ) = a  A | ( a, b )  R + Nếu B /  B , tạo ảnh toàn phần B/ hay tạo ảnh B/ kí hiệu TR ( B / ) = bB TR ( b ) Như TR ( B ) gọi miền xác định R kí hiệu D ( R ) 2.2.2.2 Hai tương ứng Cho hai tương ứng R S từ A đến B Có hai trường hợp, chúng rỗng hiển nhiên nhau, ( trường hợp khác rỗng R = S  a  A, b  B | ( a, b )  R  ( a, b )  S 2.2.2.3 Tương ứng đồng Tương ứng đồng tương ứng từ vào nó, kí hiệu 2.2.2.4 ) IA (identity map) Quan hệ bao hàm, hợp, giao, phần bù Trong ví dụ ta thấy tương ứng R phần tử có dạng tích ( A1  B1 )  ( A  B ) , giả sử ta có thêm tương ứng S từ A đến B, lúc phát sinh quan hệ bao hàm, hợp, giao, phần bù sau: + RS  ( ( a, b )  R  ( a, b )  S ) + ( ( a, b )  R  S )  ( ( a, b )  R )  ( ( a, b )  S ) + ( ( a, b )  R  S )  ( ( a , b )  R )  ( ( a , b )  S ) + ( ( a, b )  R )  ( ( a , b )  R ) [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] 2.2.2.5 Tương ứng nghịch đảo Giả sử tương ứng R từ A đến B Tương ứng nghịch đảo R kí hiệu R-1 tương ứng từ B đến A (R −1 + ( b, a )  R  ( B  A ) ) gồm tất cặp ( b, a ) cho ( a, b )  R −1  ( a, b )  R + R =   R −1 =      + Với b  B ta có: R −1 ( b ) = a  A | ( b, a )  R −1 = a  A | ( a, b )  R = TR ( b ) + Với a  A ta có: TR−1 ( a ) = b  B | ( b, a )  R −1 = b  B | ( a, b )  R = R ( a ) ( ) ( ) + G R −1 = D ( R ) D R −1 = G ( R ) 2.2.2.6 Giả sử Phép hợp thành R  A  B S  B  C , phép hợp thành tích chúng, kí hiệu S R hay SR tương ứng từ A đến C, S R  A  C cho a  A, c  C , ( a, c )  S R b  B : ( a, b )  R, ( b, c )  S ( ) ( + ( a, c )  S R  b  B : ( a, b )  R  ( b, c )  S ) + ( R =   A  B )  ( S  B  C , S  =  ) + ( S =   B  C )  ( R  A  B,  R =  ) + R  A  B, S  C  D, B  C S R khơng xác định Ví dụ: Cho tập A = 1; 2;3; 4;5;6;7 B = m, n, p, q, x, y, z , u C = a, b, c, d, e, f  tương ( 0, m ) , ( 0, n ) , (1, x ) , (1, u ) , ( 2, y ) , (5, y ) , (5, u )  A  B S = ( m,a ) , ( m, b ) , ( n,d ) , ( p,a ) , ( p, b ) , ( y,f )  B  C Khi S R = ( 0, a ) , ( 0, b ) , ( 0, d ) , ( 2, f ) , ( 5, f )  A  C ứng sau: R = tương ứng Một số tính chất +T (S R ) = (T S ) R + ( S R ) = R −1 S −1 −1 + (( R )) −1 −1 =R + R  S  R −1  S −1 + R  S  T R  T S R T  S T Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ + R I A = R = IB R Các kiểu tương ứng 2.2.2.7 Một tương ứng R  A  B gọi là: + xác định A D ( R ) = A (R xác định A  I A  R −1 R) + xác định lên B G ( R ) = B −1 (R xác định lên B  I B  R R ) + đơn trị trước a, a /  A, b  B : (R đơn trị trước  R −1 ( ( a, b )  R  ( a , b )  R )  a = a / / R  IA ) ( ) + đơn trị sau (đơn trị) a  A, b, b /  B : ( a, b )  R  ( a, b / )  R  b = b / ((R đơn trị (sau)  R R −1  IB ) + – R đơn trị trước đơn trị sau 2.2.2.8 Thu hẹp mở rộng Giả sử R S tương ứng từ A đến B Nếu R  S R gọi thu hẹp S S gọi mở rộng R Nếu A1  A, B1  B thu hẹp R1 R xác định: R1 = ( A1  B1 )  R  A  B sinh từ R cách thu hẹp trước vào 2.2.3 gọi tương ứng A1 sau vào B1 Hàm ánh xạ 2.2.3.1 Hàm + Một hàm f từ tập hợp A đến tập hợp B tương ứng đơn trị (đơn trị sau) từ A đến B ( a; b ) , a  A, b  B , cho ảnh toàn phần f ( a ) , a  A rỗng gồm phần tử b, tùy theo a  D ( f ) hay a  D ( f ) f Nghĩa là, có tập hợp mà phần tử có dạng gọi hàm từ A đến B (Nhắc lại: Giả sử a  A , ảnh toàn phần a kí hiệu R ( a ) tập hợp tất ảnh b a tương   ứng R b  B Hay R ( a ) = b  B | ( a, b )  R ) Thay ghi f ( a ) = b người ta ghi gọn: f ( a ) = b gọi b giá trị hàm f a [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] Theo định nghĩa thì: f = ( a, b ) | a  D ( f )  b = f ( a ) f −1   B Tương ứng rỗng hàm từ A đến B + Ta có: f hàm từ A đến B nếu: f   −1 =    B Ví dụ qui tắc f ( x ) = x xác định hàm từ vào + Hai hàm f g từ A đến B gọi D ( f ) = D ( g ) f ( a ) = g ( a ) , a  D ( f ) + Nếu f hàm từ A đến B tương ứng nghich đảo f −1 f chưa hàm, hàm f tương ứng – + Phép hợp thành hàm: giả sử f hàm từ A đến B g hàm từ B đến C Khi hợp thành chúng: g f = ( a, c ) , a  A, c  C | b  B : ( a, b )  f  ( b, c )  g   A  C hàm từ A đến C f , ( a, c / )  g f , tồn b, b /  B cho ( a, b )  f  ( b, c )  g Thật vậy, giả sử ( a, c )  g ( ) ( ) ( ) / / / / / a, b  f  b , c  g Vì f hàm nên ( a, b )  f , a, b  f  b = b Vì g ( ) / / hàm nên ( b, c )  g , b, c  g  c = c  f ) = a | a  D ( f )  f ( a )  D ( g ) g f ( a ) = g ( f ( a ) ) Ta có: D ( g 2.2.3.2 Ánh xạ Định nghĩa 2.2.3.2.1 Hàm f từ A đến B gọi ánh xạ từ A đến B D ( f ) = A 23 Thường viết sau: f :A→ B a 23 + Giả sử b = f (a) b  B , tạo ảnh toàn phần b kí hiệu TR ( b ) tập hợp tất tạo ảnh a b R TR ( b ) = a  A | ( a, b )  R + Nếu B /  B , tạo ảnh toàn phần B/ hay tạo ảnh B/ kí hiệu TR ( B / ) = Như TR ( B ) gọi miền xác định R kí hiệu bB TR ( b ) D ( R) Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ a  A Hay Về ý nghĩa: ánh xạ từ A đến B tập hợp Tập hợp chứa phần tử cặp ( a, b ) với a  A, b  B cho ảnh toàn phần phần tử a  A qua f cho phần tử b  B f = ( a, b ) | a  A  b = f ( a ) Ta có: f ánh xạ từ A đến B  A  f −1 f f f −1   B Ví dụ 1: Cho A =  x, y, z B = 1, 2,3 Nếu định nghĩa: f ( x ) = 2, f ( y ) = 3, f ( z ) = f ánh xạ từ A đến B Nếu định nghĩa: g ( x ) = 1, g ( y ) = 2, g ( z ) = g ánh xạ từ A đến B Nếu định nghĩa: h ( x ) = 2, h ( y ) = 3, h ( x ) = h khơng ánh xạ Ví dụ 2: Với A tập hợp bất kì, tương ứng đồng Ví dụ 3: Qui tắc ( s, t ) s + t ánh xạ từ A  ánh xạ từ A đến A đến Một số ý: + Hai ánh xạ f g từ A đến B gọi f ( a ) = g ( a ) , a  A Khi ta viết f = g + Tập hợp ánh xạ từ A đến B kí hiệu B + Đồng A A hay Map ( A, B ) ánh xạ – từ A đến A + Nếu xét từ  đến B có ánh xạ  vì:  =    −1    −1 =    B + Với tập A   không tồn ánh xạ từ A đến  Từ A đến  có tưng ứng  , tương ứng khơng thỏa mãn điều kiện ánh xạ, thật vậy: A   nên 2.2.3.2.2  A   , đó:  A   = −1  Phép hợp thành ánh xạ Nếu f ánh xạ từ A đến B g ánh xạ từ B đến C g f B = f ánh xạ từ A đến C g g f A C [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] Ví dụ: Cho A =  x, y, z , B = 1, 2,3 , C = a, b, c Xét ánh xạ f : A → B g : B → C Xác định bởi: f ( x ) = 2, f ( y ) = 1, f ( z ) = g (1) = b, g ( ) = c, g ( ) = a Khi đó, ta có: g f = g ( f ( x ) ) = g ( ) = c ; g f ( y ) = g ( f ( y ) ) = g (1) = b ; g f ( z ) = g ( f ( z ) ) = g ( 3) = a Ví dụ: Cho f g ánh xạ từ đó: f Trong g định nghĩa f ( x ) = x + g ( x ) = x − Khi g ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x − 1) = ( x − 1) + = x − x + f ( x ) = g ( f ( x )) = g ( x2 + 2) = ( x2 + 2) −1 = x2 + Ngay xét riêng f f → g ( ) = mà g f ( ) = , ví dụ nhấn mạnh tồn g g chúng khơng 2.2.3.2.3 Định nghĩa * Cho sơ đồ ánh xạ B f g h A C f sơ đồ gọi tam giác giao hoán Nếu h = g Cho sơ đồ ánh xạ f A B h g C D k Nếu g f = k h hình vng gọi hình vng giao hốn 2.2.3.2.4 Các kiểu ánh xạ Định nghĩa: Cho ánh xạ f từ A đến B, đó: * Ánh xạ f gọi toàn ánh nếu: b  B, a  A : f ( a ) = b hay f ( A ) = B (Hay: ảnh phải có tạo ảnh) * Ánh xạ f gọi đơn ánh nếu: f ( a1 ) = f ( a2 )  a1 = a2 Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ f hay a1  a2  f ( a1 )  f ( a2 ) , ảnh có tạo ảnh * Ánh xạ f gọi song ánh f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Các song ánh từ A lên A gọi phép A Ví dụ 1: Cho A =  x, y, z , B = 1, 2,3 hai ánh xạ f, g từ A đến B định nghĩa sau: f ( x ) = 2, f ( y ) = 1, f ( z ) = g ( x ) = 1, g ( y ) = 2, g ( z ) = Khi f vừa đơn ánh vừa toàn ánh nên f song ánh Ánh xạ g không đơn ánh khơng tồn ánh Ví dụ 2: Xét ánh xạ f từ định nghĩa f ( x ) = x + đó: → + f đơn ánh vì: f ( x1 ) = f ( x2 )  x1 + = x2 +  x1 = x2 + f toàn ánh: y  , x = y − 1 : f ( x) = x +1 = y Ví dụ 3: Xét ánh xạ f : → định nghĩa f ( x ) = x + Khi f đơn ánh khơng tồn ánh phần tử khơng có tạo ảnh Ví dụ 4: Xét ánh xạ f : → định nghĩa: f ( x ) = sin x khơng tồn ánh Ánh xạ g : → định nghĩa f ( x ) = x khơng tồn ánh Định lý 1: điều kiện cần đủ để ánh xạ đơn ánh Cho A B tập khác rỗng f  Map ( A, B ) Khi f đơn ánh tồn g  Map ( A, B ) cho g f =  A Chứng minh:   Giả sử f đơn ánh, lúc ta lập ánh xạ sau g:B→ A b   a, b = f ( a ) g (b) =   a0 , b  f ( A ) [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] Trong a0 phần tử chọn trước A Nếu b = f ( a1 ) = f ( a2 )  a1 = a2 (do f đơn ánh) nên g xác định a  A thì: g f ( a ) = g ( f ( a ) ) = a =  A Vậy g f =  A   Giả sử tồn g  Map ( A, B ) , cho ( ) g f = A ( ) Nếu f ( a1 ) = f ( a2 )  g f ( a1 ) = g f ( a2 )  g f ( a1 ) = g f ( a2 )   A ( a1 ) =  A ( a2 )  a1 = a2 Hay f đơn ánh  Định lý 1: điều kiện cần đủ để ánh xạ toàn ánh Cho A B tập hợp khác rỗng f  Map ( A, B ) Khi tồn ánh tồn g  Map ( B, A ) cho f g =  B Chứng minh:     Giả sử f tồn ánh Khi b  B, a  A : f ( a ) = b Hay a  A | f ( a ) = b   Với phần tử b  B ta chọn phần tử ab  A tương ứng cố định cho f ( ab ) = b Do ánh xạ g sau xác định: g:B→ A b ab Như b  B : f g ( b ) = f ( g ( b ) ) = f ( ab ) = b =  B ( b ) Cho nên f g =  B   Giả sử tồn g  Map ( A, B ) cho Khi b  B : b =  B ( b ) = f f g = B g ( b ) = f ( g ( b ) ) Vậy f toàn ánh  Định lý 3: điều kiện cần đủ để ánh xạ song ánh Cho A B tập hợp khác rỗng f  Map ( A, B ) Khi đó: f song ánh tồn g  Map ( B, A ) cho g f =  A f g =  B Chứng minh: Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ   Giả sử f song ánh f đơn ánh toàn ánh, tồn g , h  Map ( B, A ) cho f h = B Ta có: g = g  B = g Vậy g f = A g f = A (f h) = ( g f ) h =  A h = h f g = B   Hiển nhiên theo định lý Nhận xét: + Từ định lý ta thấy f song ánh ánh xạ g xác định Nó gọi ánh xạ ngược f, kí hiệu f −1 + Từ định lý ta có f −1 song ánh ( f −1 ) = f −1 Mệnh đề + Tích hai đơn ánh đơn ánh; + Tích hai tồn ánh tồn ánh; + Tích hai song ánh song ánh + Nếu f g song ánh thì: ( g f ) −1 = f −1 g −1 + Nếu f g = f h f đơn ánh g = h + Nếu g f = h f f tồn ánh g = h [Tự chứng minh xem tập] 2.2.3.2.5 Giả sử Ánh xạ bao hàm A1  A , ánh xạ: f : A1 → A a f (a) = a Là đơn ánh Nó gọi ánh xạ bao hàm hay phép nhúng tắc sau: A1 vào A kí hiệu f : A1 A 2.2.3.2.6 Thu hẹp mở rộng ánh xạ [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] a Giả sử f g hai hàm từ A đến B Hàm f gọi thu hẹp hàm g hàm g mở rộng hàm f ( f  g ) nếu: x  D ( f ) , ( x, f ( x ) )  f  ( x, f ( x ) )  g  Điều tương đương với: D ( f )  D ( g )  x  D ( g ) : f ( x ) = g ( x ) b Giả sử f ánh xạ từ A đến B f1 từ A1 đến B cho f1  f Ánh xạ f1 : A1 → A A1  A Khi tồn ánh xạ gọi mà thu hẹp f vào Thật vậy, đặt f1 = ( A1  B )  f = A1 kí hiệu là: f1 = f | A ( x, f ( x )) | x  A  f 1 ánh xạ từ A1 đến B f1  f Ở f1 nhất, có h1 : A1 → B với h1  f h1 = f1 x  A1 , h1 ( x ) = f ( x ) = f1 ( x ) 2.2.3.2.7 Họ phần tử tập hợp + Cho tập hợp I A, ánh xạ H từ I đến A gọi họ H phần tử a số hóa tập hợp I, kí hiệu sau: H :I → A i Ta thường viết: H = ( )iI H = ( ) I Nếu I =  họ ( ) I gọi họ rỗng + Nếu tập A có tập mà tập đồng thời tập tập M ta có họ tập hợp H = ( Ai )iM + Hợp giao họ tập hợp khác rỗng Cho họ tập hợp: H = ( )iI  Hợp họ H = ( )iI tập hợp, kí hiệu: Ai hiểu phần tử a Ai với iI i  I Giao họ H = ( )iI tập hợp, kí hiệu: Ai hiểu phần tử a Ai với iI iI 2.2.3.2.8 Tích Descartes họ tập hợp Tích Descartes họ không rỗng tập hợp ( Ai )iI tập hợp định nghĩa sau: T = ( ) I |  Ai , i  I  Ta kí hiệu: T = A =A i iI i i Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ Nếu I hữu hạn ( I = 1, 2, , n ) ánh xạ sau song sánh:  :  Ai → A1  A2   An i ( ) I ( a1 , a2 , , an ) Nếu I =  quy ước A i tập hợp gồm phần tử i Phép chiếu số I tích Descartes tồn ánh: pi :  Ai → Ai i ( ) I 2.2.3.2.9 Ảnh tạo ảnh ánh xạ + Ảnh tạo ảnh ánh xạ giống tương ứng Cho ánh xạ f : X → Y với A  X , B  Y thì: Ảnh A qua f tập hợp  f ( a ) | a  A kí hiệu f ( A) Đặc biệt f ( X ) gọi ảnh f kí hiệu Im f , hiển nhiên f (  ) =  Tạo ảnh B qua f tập hợp  x  X | f ( x )  B kí hiệu f −1 ( B ) Khi B = b ta viết f −1 ( b ) thay cho f −1 (b ) Hiển nhiên f −1 (  ) =  + Một số tính chất: Cho ánh xạ f : X → Y A, B  X ; C , D  Y đó: (a) ( A  B )  f ( A)  f ( B ) (a’) ( C  D )  f −1 ( C )  f −1 ( D ) (b) f ( A  B ) = f ( A )  f ( B ) (b’) f −1 ( C  D ) = f −1 ( C )  f −1 ( D ) (c) f ( A  B )  f ( A )  f ( B ) (c’) f −1 ( C  D ) = f −1 ( C )  f −1 ( D ) (d) f ( A \ B )  f ( A ) \ f ( B ) (d’) f −1 ( C \ D ) = f −1 ( C ) \ f −1 ( D ) ( ) (e) f f −1 ( D )  D (e’) f −1 ( f ( A ) )  A Nếu f đơn ánh c, d, e’ xảy đẳng thức Nếu f toàn ánh e xảy đẳng thức [Học viên tự chứng minh xem tập] 2.2.3.2.10 Định lý phân tích tổng quát ánh xạ Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y Ta gọi hạt nhân f Kerf = ( x , x )  X 2 | f ( x1 ) = f ( x2 ) [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] Định lý Cho A, B, C tập hợp khác rỗng, toàn ánh f : A → B ánh xạ g : A → C , điều kiện sau tương đương: (i) Tồn ánh xạ h : B → C cho h f = g tức ta có biểu đồ giao hoán sau đây: B = f h g (ii) A ker f  ker g C Chú ý: với điều kiện ta có: + h đơn ánh  ker f = ker g + h toàn ánh  g toàn ánh (Tham khảo cách chứng minh tài liệu [2,tr34-35]) 2.2.4 Tiểu kết logic Tốn Tóm lại logic tốn gồm hai phần: Thứ nhất, chuyển mô tả mệnh đề ngôn ngữ thành mệnh đề kí hiệu logic xem xét tính hợp lý cách xác việc chuyển đổi đó; Ví dụ: Mọi học sinh lớp có chung tính chất 15 tuổi 19 tuổi Khi chuyển mệnh đề ngôn ngữ thành kí hiệu logic người ta đặt sau: Gọi lớp tập hợp X, gọi số tuổi thành viên lớp x Ta lập mệnh đề logic sau: x  X | ( x  15 )  ( x  19 ) Khi xem xét góc độ luận lí tốn người ta xem xét kí hiệu x khơng xem xét đối tượng người Hay ví dụ như: Mọi giá trị thực x làm cho lớn bình phương Người ta lập mệnh đề kí hiệu logic sau: x  | x  x2 Ví dụ khác: [18, tr65] “Ơng Smith người Anh ơng Dupont người Pháp” Câu kí hiệu thành mệnh đề logic: p  q “Ông Smith người Anh thơng minh” Câu lại kí hiệu thành: p  q Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ Với chữ “và” đời thường hay ngơn ngữ tốn học thơng thường khó để xem xét xác chất chữ Cho nên đưa vừa logic toán, thứ trở nên sáng rõ chất Thứ hai, xem xét tính hợp lý suy luận biến đổi phép tốn 2 Ví dụ: x =  x = x =  x = sai Dự án siêu tốn học chương trình Hilbert Năm 1920, Hilbert có tham vọng hình thức hóa tốn học bằng hệ tiên đề (độc lập, phi mâu thuẫn đầy đủ), nhiên việc khơng thành cơng, song để lại ảnh hưởng định triết học toán (Xem them phụ lục [5-67]) Chính ngun lý bất tồn Gưdel hồn bác bỏ chương trình tốn học Hilbert (Xem phụ lục [4-9-10] Tài liệu tham khảo trích dẫn [1] Nguyễn Đức Đồng – Nguyễn Văn Vĩnh (2001), Logic tốn, NXB Thanh Hóa, năm 2001 [2] Lê Phương Thảo (2008), Giáo trình: Cơ sở logic lý thuyết tập hợp, Khoa Sư Phạm, Trường Đại học Cần Thơ, năm 2008 [3] Hồ Thích (1922), Lịch sử logic học thời tiên Tần (Cao Tự Thanh dịch) (268tr), NXB Thành Phố Hồ Chí Minh, năm 2004 [4] Nguyễn Gia Thơ (2018), Lịch sử logic học (406tr), ISBN: 978-604-956-305-8, NXB Khoa học xã hội, năm 2018 [5] E H Johnston – Arnold Kunst – Tỳ Mục Trí Liên – Cù Đàm Lưu Chi, Biện chứng pháp Nāgārjuna (Thích Kiên Định dịch từ Hoa ngữ Anh ngữ) (225tr), ISBN: 978-604-925-649-3, NXB Phương Đông, năm 2014 [6] Graham Priest (2000), Logic học – dẫn luận ngắn (Nguyễn Văn Sướng dịch) (192tr), ISBN: 978-60458-7915-3, NXB tổng hợp TP HCM, năm 2018 [7] Phạm Quỳnh (2014), Logic học Phật giáo (322tr), ISBN: 978-604570164-5, NXB Chính trị quốc gia, năm 2014 [8] Thích Kiên Định (2009), Khảo sát lịch sử tư tưởng Nhân minh luận Phật giáo (407tr), NXB Thuận Hóa, năm 2009 [9] Nguyễn Khuê (2013), Luận lý học Phật giáo (638tr), NXB Hồng Đức, năm 2013 [10] Thích Thiện Siêu (1993), Lối vào nhân minh học (luận lý học Phật giáo) (214tr), NXB Tôn giáo, năm 2001 [11] E V Ilencơv, Lơgích học biện chứng (Nguyễn Anh Tuấn dịch) (629 tr), NXB Văn hóa thơng tin, năm 2003 [12] Lê Tử Thành (2003), Nhập môn logic học (In lần thứ ba -406tr), NXB Trẻ, năm 2008 [13] Lê Tử Thành (1993), Tìm hiểu lơgích học (In lần thứ – 191tr), NXB Trẻ, năm 1993 [14] Nguyễn Chương Nhiếp (2011), Logic học: câu hỏi tập (159tr), NXB Đại học Sư phạm TP HCM, năm 2011 [TRÍCH TỪ KỶ YẾU NGHIÊN CỨU NĂM 2019 – TRUNG TÂM CHÍ DŨNG] [15] Nguyễn Anh Tuấn (2015), Giáo trình logic Tốn lịch sử toán học (In lần thứ – 164tr), NXB Đại học Sư Phạm, năm 2015 [16] Đậu Thế Cấp – Trần Hoàng (2001), Lý thuyết tập hợp logic (90tr), NXB Đà Nẵng, năm 2001 [17] Phan Dũng (2010), Tư Logic biện chứng hệ thống (452tr), NXB Trẻ, năm 2010 [18] Trịnh Huy Tiến – Bùi Hữu Sủng (1962), Triết văn trích dịch luận lý học – song ngữ Pháp – Việt (Bản in lại – 794tr), NXB Thành Phố Hồ Chí Minh, năm 1992 Địa chỉ: 22/48 đường Mạc Đĩnh Chi, P An Cư, quận Ninh Kiều, TP Cần Thơ ... đến B f1 từ A1 đến B cho f1  f Ánh xạ f1 : A1 → A A1  A Khi tồn ánh xạ gọi mà thu hẹp f vào Thật vậy, đặt f1 = ( A1  B )  f = A1 kí hiệu là: f1 = f | A ( x, f ( x )) | x  A  f 1 ánh xạ... f1 = f | A ( x, f ( x )) | x  A  f 1 ánh xạ từ A1 đến B f1  f Ở f1 nhất, có h1 : A1 → B với h1  f h1 = f1 x  A1 , h1 ( x ) = f ( x ) = f1 ( x ) 2.2.3.2.7 Họ phần tử tập hợp + Cho tập hợp... Thơ 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Từ bảng chân trị ta có: ( ( xy )  z ) = ( x  ( y  z ) ) Bài tập: dùng bảng chân trị chứng minh: a) ( x  y) = ( x  y) b) ( x  y) = ( y  x ) 2 .1. 4.3 13 công