(SKKN HAY NHẤT) môn toán THPT kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói tốn bất đằng thức nói chung tốn tìm GTNN, GTLN nói riêng toán quan tâm đến nhiều kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt với xu hướng đề chung Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học tốn bất đẳng thức tốn khó đề thi cần sử dụng số bất đẳng thức Sách giáo khoa học sinh gặp nhiều khó khăn số sai lầm thói quen Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu thấy là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu toán cực trị đặc biệt trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, viết chuyên đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích môn, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu Được sự động viên, giúp đỡ của các thầy hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp tổ Toán – Tin học trường THPT hàm Rồng Tôi mạnh dạn viết chuyên đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Kiến thức học, tập luyện tập - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học yêu thích môn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực chuyên đề - Được động viên BGH, nhận động viên đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Đa số học sinh yếu bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN Số liệu thống kê Trong năm trước, gặp tốn liên quan đến bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN số lượng học sinh biết vận dụng thể qua bảng sau: Không nhận Số lượng Nhận biết, Nhận biết vận ,chưa biết biết vận dụng dụng giải được hoàn chỉnh Nhận biết biết vận dụng , giải hoàn chỉnh 60 Tỉ lệ ( %) 66,7 20 22,2 9,9 1.1 III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) Nợi dung 2.1 BÀI TỐN MỞ ĐẦU Bài tốn Cho , tìm GTNN Giải Lời giải Ta có: Dấu “=” xảy Vậy không tồn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải Ta có: Mặt khác Vậy Dấu “=” xảy Lời bình: Bài tốn áp dụng bất đẳng thức Lời giải lại tách Lời giải sai? ? ? Làm nhận biết điều đó…? Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chuyên đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải toán cực trị 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, cơng cụ hoàn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy Cho số thực không âm ta ln có: xảy Dấu “=” * Một vài hệ quan trọng:    Cho số dương ( ): ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong chứng minh bất đẳng thức, việc ghép sử dụng bất đẳng thức sở không thuận lợi dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện ln thỏa mãn suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Để thấy kĩ thuật ta vào số ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho a 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a+ Phân tích tìm tịi lời giải Xét bảng biến thiên a, a S để dự đoán Min S 10 11 12 … 30 … S 10 11 12 … 30 Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy a tăng S lớn từ dẵn đến việc dự đốn a=3 S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu tạo ấn tượng ta nói Min S= đạt “Điểm rơi : a=3” Do bất đẳng thức côsi xảy dấu điều kiện số tham gia phải ,nên “Điểm rơi:a=3”ta sử dụng bất đẳng thức côsi trực tiếp cho số a Lúc ta giả định sử dụng bất đẳng thức cơsi cho cặp số cho “điểm rơi:a=3”thì tức ta có lược đồ “điểm rơi” sau đây: Sơ đồ: a=3 Từ ta biến đổi theo sơ đồ “Điểm rơi”được nêu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: S=a+ = + + = Vậy với a=3 Min S= Ví dụ 2: Cho a 6.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a + Sơ đồ điểm rơi : a=6 Lời giải: S=a + =6 = + + a + a =36 +3 Vậy với a=6 Min S=2a+3 Ví dụ 3: Cho , tìm GTNN biểu thức Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : Mặt khác Vậy nên Sai lầm 2: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dấu xảy Thay vào ta Nguyên nhân sai lầm: Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách thói quen để làm xuất Dấu “=” bất đẳng thức không xảy không kết luận Sai lầm 2: Học sinh có khái niệm điểm rơi, dự đốn dấu tách số hạng Ví dụ nên đúng, bước cuối học sinh làm sai , dấu xảy Lời giải đúng: Do P biểu thức đối xứng với Dấu xảy , ta dự đoán đạt , ta có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 4: Cho , tìm GTNN biểu thức Sai lầm thường gặp: Ta có: Nguyên nhân sai lầm: Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu xảy muốn xuất , ta thấy: , ta áp dụng bất đẳng thức ta vậy: Ta không đánh giá tiếp ta phải áp dụng bất đẳng thức cho số: Dấu xảy Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Bunhia Cũng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cần có phương pháp để cân hệ số ta giải toán liên quan đến bất đẳng thức * Bất đẳng thức Bunhia LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho số dương ( ): ta có: Dấu “=’ xảy * Một vài hệ quan trọng Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3: Dấu bằng: Dạng 1, dạng Ví dụ 1:Cho ;dạng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S= Phân tích tìm tịi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2: Dấu xẩy Ý nghĩa: chuyển đổi biểu thức thành biểu thức khác Xét đánh giá giả định với số α, β 1 a   b 2 2   2    a    a         b  b   2 2     (1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + (2) (3)  Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S=S o điểm rơi a=b=c=2, tất bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy dấu tức ta có sơ đồ điểm rơi sau:  4 Sơ đồ: a=b=c=2   1 Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi cối ” ta có lời giải sau: Lời giải đúng: + a2  1   2  1   a  (  )   4a   b b b  17  17  b2  1   2  1   b  (  )   4b   c c c  17  17  _ S LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với a=b=c=2 Min S= a,b,c > Ví dụ 2: Cho Tìm Min S= Bình luận lời giải Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với số   2         a  a   bc  b  c      (1) + (2) (3)  2     S   (a  b  c)     ab  bc    ca Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=S o điểm rơi a=b=c=2, bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy dấu tức có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi:  4 a=b=c=2   1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ ta có lời giải sau đây: *Lời giải đúng:   2  2   (4  )  4a  a   bc  b  c    +   4(a  b  c)   3 a  b b  c c  a  4(a  b  c)  ab  bc  ca 31 abc 9 (a  b  c)    8 6( a  b  c) 6(a  b  c) Với a=b=c=2 S= Ví dụ3: Cho a, b, c > thoả mãn a+b+c+ Chứng minh S= *Lời giải: Dự đoán điểm rơi: a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpski có: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + _ +9(a+b+c)+ab+bc+ca * Bài tập tương tự (trích dẫn đề thi đại học) Bài1: Cho Bài 2: Cho , chứng minh rằng: số thỏa , với , chứng minh rằng: (đề tham khảo 2005) Bài 3: Cho Bài 4: Cho , tìm GTLN: số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài 5: Cho (ĐTK 2005) , tìm GTNN biểu thức sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chú ý: Cần ý hai bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpxki, biết dấu hiệu dùng bất đẳng thức nào.Phát dấu hiệu có bình phương thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện số dương khả nghĩ tới Côsi Cách giải phải ngược qui trình thơng thường Đầu tiên phải dự đốn điểm rơi xảy đâu, sau lồng ghép số bất đẳng thức cho xảy dấu điểm rơi dự đoán… IV KẾT QỦA Chuyên đề thực giảng dạy tham gia dạy 10NC Luyện thi Đại học hai năm gần Trong trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết sau thực chuyên đề: Không nhận Số lượng Nhận biết, Nhận biết vận ,chưa biết biết vận dụng dụng giải được hoàn chỉnh Nhận biết biết vận dụng , giải hoàn chỉnh Tỉ lệ ( %) 0.0 50 37 3.3 55.6 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng toán Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức nói chung đa dạng phong phú Mỗi tốn lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Quá trình áp dụng Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Hiệu sau sử dụng Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chuyên đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư của học sinh VII KẾT LUẬN Một tốn có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc khơng dễ Do chuyên đề rất nhiều chuyên đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh khơng sợ đứng trước tốn khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, tốn điển hình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010 Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 263 bất đẳng thức Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục Bất đẳng thức Trần Văn Hạo-NXB Giáo Dục năm 2009 Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2013 Người thực Lê Thị Thuỷ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thức cho số: Dấu xảy Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Bunhia Cũng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cần có phương pháp để cân hệ số ta giải toán liên quan đến bất đẳng thức * Bất đẳng thức. .. toán cực trị 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ... áp dụng bất đẳng thức Lời giải lại tách Lời giải sai? ? ? Làm nhận biết điều đó…? Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chuyên đề hiểu sâu kỹ thuật ? ?chọn điểm rơi? ?? việc giải toán cực