(SKKN HAY NHẤT) kinh nghiệm hướng dẫn học sinh phương pháp sử dụng bất đẳng thức cô si dạng nghịch đảo

PHÒNG GIÁO DỤC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ****************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI DẠNG NGHỊCH ĐẢO” NGƯỜI THỰC HIỆN : Trường Trung học sở H - T LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tháng năm 2008 A- PHẦN MỞ ĐẦU I/ Lý chọn đề tài: Trong thời kỳ đổi đất nước yêu cầu giáo dục phải tạo lớp người mới, động sáng tạo Họ sẵn sàng tiếp nhận mới, tinh hoa tri thức khoa học nhân loại, áp dụng cách khoa học vào thực tiễn đất nước Vậy làm để phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh yêu cầu trước mắt, nhằm tập dượt khả sáng tạo học sinh từ ngồi ghế nhà trường Hiện sách giáo khoa mơn tốn biên soạn theo hướng đổi mới, phương pháp dạy học là: Tích cực hố hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực độc lập sáng tạo nâng cao lực phát giải vấn đề rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Sách giáo khoa có tốn mở, mục em chưa biết nhằm khơi dậy định hướng cho em sáng tạo Tuy nhiên hướng dẫn bảo tận tình người thày cần thiết LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nội dung kiến thức bất đẳng thức trình bày chương IV - Đại số Đây phần kiến thức hay khó học sinh Bất đẳng thức Cô-Si giới thiệu mục " Có thể bạn chưa biết" Nhằm giới thiệu học sinh tìm tịi, khám phá sử dụng Vậy để giúp em làm việc trước hết người thày phải nghiên cứu, hướng dẫn mặt phương pháp, cung cấp hướng dẫn cho học sinh thực tốn điển hình tạo cho học sinh tiền đề để em tự học, tự nghiên cứu Đứng trước u cầu tơi xin trình bày phần nhỏ chương trình dạy bất đẳng thức là: "Hướng dẫn học sinh số phương pháp sử dung bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo" II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ số phương pháp để áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si dạng nghịch đảo để giải số tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị Hướng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị (đối với học sinh giỏi lớp 8-9 ) III- Phương pháp nghiên cứu +Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trường hợp với hai số không âm +Áp dụng hai số dương có dạng nghịch đảo +Phân loại tập điển hình xây dựng phương pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo +Tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhà trường +Áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh +Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào năm sau IV- Phạm vi đối tượng nghiên cứu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo toán áp dụng +Chọn tốn thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 8; diện khá, giỏi B - PHẦN NỘI DUNG I/Bất đẳng thức Cô-Si: 1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm) +Với hai số khơng âm a b ta có : (1) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân nhà tốn học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu +Chứng minh: Với hai số a b khơng âm ta có :   Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy  a = b 2/Bất đẳng thức Cơ-Si dạng nghịch đảo +Ta có : Với x.y > Thật : áp dụng (1) với a = b = hai số dương ta có : Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy  *Chú ý: a = b =  x2 = y2  x = y (Vì x y dấu ) hai số nghịch đảo II/ áp dụng : Để áp dụng bất đẳng thức ta cần biến đổi làm xuất biểu thức có dạng nghịch đảo " hồn tồn" “ khơng hồn tồn “ tuỳ thuộc vào đích mà tốn cần đạt tới Vậy biến đổi ? có phương pháp ? LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1/Phưong pháp biến đổi đồng nhất: a, Một số toán đơn giản ta cần thực phép tính nhân chia xuất dạng nghịch đảo +Bài toán 1: Cho a ; b ; c số dương , CM : (1) Giải: Ta có VT = = = Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy  a = b = c * Với phương pháp mời em làm tiếp toán sau: +Bài toán 2: Cho a ; b ; c số dương , CM : * Bài mời em tự thực +Bài toán 3: Cho x số dương, tìm GTNN : A= -Nhận xét: Với x dương ta cần thực phép chia tử cho mẫu xuất dạng nghịch đảo -Giải: Có : A = Ta có : Nên Hay A dấu đẳng thức sảy  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  x = (vì x > ) Vậy Amin =  x = +Bài toán 4: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a + b +c = Chứng minh rằng: - Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c) c + ab = (c + a)(c + b) ta có: áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có Vậy VT ĐPCM Đẳng thức xảy  a = b = c = hay * Mời em làm tiếp toán sau: +Bài toán4 : Tìm GTNN : B= (với x dương ) C= Gợi ý : Thực phép chia đa thức ta : C= b, Đôi phải "tách" , "nhân trộn" chia xuất dạng nghịch đảo +Bài tốn5 : Tìm GTNN : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com D= (với x số dương ) -Nhận xét: Nếu chia D = Sau áp dung (1) dấu khơng thể xảy x khơng đồng thời Nên ta phải tìm cách "cào bằng" hai số 48 27 May thay hai đa thức tử phân tích thành nhân tử ! -Giải : Ta có : D= = = Việc làm đơn giản ! +Bài tốn : Tìm GTNN : E= (với x số dương ) * Bài mời em tự thực 2/Phương pháp thêm bớt : a/ Ta thêm bớt số vào biểu thức biến đổi làm xuất dạng nghịch đảo +Bài toán : Tìm GTNN : A= ( Với < x < ) Nhận xét: Điều kiện < x < làm cho A xác định hạng tử dương Phải làm xuất nhân tử (1 - x) Trên tử số hạng thứ hai Ta có Giải : Ta có : A = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có dấu đẳng thức sảy  Nên A  x2 = 5( - x )2  x = x= Vậy A = +Bài tốn : Tìm GTNN : B= Nhận xét: ( Với < x < ) Phải đồng thời làm xuất nhân tử x tử nhân tử (1 - x ) mẫu Có Cịn Giải : Ta có B = = Ta có Nên có B dấu đẳng thức sảy   x = Vậy B = x= Bài3: Cho a ; b ; c ; d số dương CM : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +Hướng dẫn: *Tương tự mời em giải tốn sau: +Bài tốn : Tìm GTNN : C= (với x > - ) D= ( với x > ) E= ( với x ) Hướng dẫn : E = = = b, Nhiều việc thêm bớt phải dựa việc xác định điểm rơi (điểm cực trị) Bài1: Cho a ; b ; c ; d số dương CM : Nhận xét: Nhận thấy dấu xảy a = b = c = d Khi : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải : Ta có Tương tự ta có : : 2b 2c 2d Như : Hay Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy  a = b = c = d Bài2: Cho a ; b ; c số dương CM : Nhận xét : Nhận thấy dấu xảy a = b = c Khi : Giải : Ta có : Tương tự ta có : Vậy có : Hay : Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy  a = b = c 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Bằng cách mời em làm tiếp toán sau : Bài3: Cho a ; b ; c số dương CM rằng: a, b, 3, Phương pháp tách : Phương pháp áp dụng cho loại : tưởng áp dụng (1) ngay, dấu lại xảy Do trước hết phải xác định điểm rơi đế tách cách hợp lý áp dụng Loại tập phổ biến , ta dành nhiều thời lượng cho loại tập Bài : Cho Tìm GTNN : A= Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lượng Dự đoán điểm rơi : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 Khi : HD giải: Có A = = = Bài 2: Cho x ; y hai số dương thoả mãn : x + y = Tìm GTNN của: B= 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét : Ta có B = Với GT ta cần tiêu hố hết lượng x2y2 Dự đoán điểm rơi : Khi Giải : Ta có B = Có  Và Vậy B  = Bài 3: Cho a ; b ; c số dương thoả mãn : Tìm GTNN của: A= Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lượng Dự đốn điểm rơi Giải : Có A = Ta có : Tương tự có : 4 Còn - ( a+b+c ) 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy A dấu đẳng thức xảy  Amin =  Bài 4: Cho a ; b ; c số dương thoả mãn : Tìm GTNN của: A= Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lượng a + b +c Dự đoán điểm rơi Giải :Ta có: Tương tự Còn Vậy A Amin = dấu đẳng thức xảy   *Nhận thấy : Bài Bài với số dương a ; b ; c ta có : Nên :  Tuy nhiên lại phải có cách tách khác Ta có tốn ta thay giả thiết : a ; b ; c số dương thoả mãn: 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hoặc: Hoặc : Bài : Cho x ; y hai số dương thoả mãn : Tìm GTNN của: C= Nhận xét : Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lượng : x + y Dự đoán điểm rơi : : Giải: Ta có : Có: Tương tự : Vậy Bài : Cho x ; y hai số dương thoả mãn : Tìm GTNN của: D= Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lượng Rõ ràng với x = y = không giải vấn đề, phải ? Thử tới x = ; y = ổn Khi : 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải : Ta có dấu đẳng thức xảy  x = ; y = Vậy Dmin = 19  x = ; y = Bài 7: Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình : x2 - 4x +7 - m = (1) với m tham số Tìm GTLN : Nhận xét: Trước hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , sở để xác định điểm rơi Giải : Ptrình (1) có nghiệm     Khi theo Vi-et ta có : x1x2 = - m Nên : Ta có : dấu đẳng thức xảy  m = ( T/m điều kiện) Nên Vậy Pmax =  m = *Tương tự mời em giải bại tập: Bài 8: Cho : CM : a, b, Bài9: Cho :a ; b ; c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn : CMrằng : a = ; b = ; c = Bài 10 : Cho : CMrằng : 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4/ Phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp áp dụng cho tốn phải thơng qua phép đặt ẩn phụ biến đổi xuất dạng nghịch đảo Bài toán 1: Cho a ; b ; c độ dài ba cạnh tam giác tìm GTNN của: Hd : Đặt b + c - a = 2x có : x , y , z dương a = y + z a + c - b = 2y b=z+x a + b - c = 2z c =x+y Khi = Bài tốn2: Cho a ; b ; c số dương CMrằng : >8 HDẫn: Đặt : b + c = 2x c + a = 2y a + b = 2z Ta có : a = -x + y + z ; b = x – y + z ; c = x + y – z x;y;z số dương Khi ta có : => > …… Bài 3: Cho a ; b ; c số dương CMrằng : 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b suy ra: x; y; z số dương và: 3x – (y+z) = 4a; 3y – (x+z) = 4b; 3z – (x+y) = 4c Từ với ta có: *Bằng cách tương tự mời em giải toán sau: Bài 4: Cho a ; b ; c số dương CMrằng : III Hướng khai thác mở rộng: 1/Hướng1: Sử dụng BĐT hệ a/ Ta có : với a b dương     (2) b/ Tổng qt hố tốn ta có: + với a , b , c số dương 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + với > ; i = 1;2;…;n c/áp dụng giải tập: Bài tập 1: Cho a ; b hai số dương thoả mãn điều kiện : a + b = Tìm GTNN của: Bài tập : Cho a ; b ; c số dương CMrằng : Bài tập 3:CMrằng : Với a ; b ; c ba cạnh tam giác : với p nửa chu vi Bài tập 4: Cho a ; b ; c số dương thoả mãn : CMrằng: Bài tập 5: Cho a ; b ; c số dương thoả mãn : CMrằng: Bài tập 6: Cho a ; b ; c số dương thoả mãn : CMrằng: 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tập 7: Cho a ; b ; c số dương thoả mãn : Bài tập 8: Cho a ; b ; c số dương thoả mãn : Bài tập 9: a) Cho b) Cho Tìm GTNN: CMrằng: Tìm GTNN Tìm GTNN Bài tập 10: Cho a ; b số dương thoả mãn : Tìm GTNN của: Bài tập 11: Cho a ; b ; c số dương thoả mãn : Tìm GTNN của: C/TRIỂN KHAI ĐỀ TÀI Trong việc giảng dạy môn tốn, đơn vị kiến thức mở , tơi hướng dẫn học sinh theo hướng : mở rộng, tổng qt hố, tìm hướng áp dụng kiến thức Đặc biệt phần kiến thức bất đẳng thức lớp , xác định phần kiến thức khó học sinh , quan trọng việc rèn khả tư sáng tạo , phát triển khả tự học tự nghiên cưú cho học sinh Tôi triển khai theo bước ,đối với đối tượng học sinh Cụ thể : Năm học 2006- 2007: -Từ 7/2006 đến 3/2006 : Giáo viên nghiên cứu hoàn thiện Kết hợp với việc tham khảo ý kiến đồng nghiệp tổ chuyên môn nhà trường 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Từ 3/2007 đến 4/2007 : Triển khai hướng dẫn học sinh - Từ 4/2007 đến 15/5/2007 : Tổ chức dạy nâng cao cho học sinh giỏi , kết hợp với việc kiểm tra đánh giá học sinh Năm học 2007-2008: - Từ 7/ 2007 đến 10/2007: Chỉnh sửa hoàn thiện đề tài - Từ 1/ 2008 đến 3/ 2008: Tổ chức dạy cho HS lớp dự thi HSG cấp tỉnh -Từ 4/2008 đến 5/ 2008: Đánh giá kết việc thực đề tài D/KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Với việc triển khai đề tài bước đầu thu số kết đáng khích lệ: + Học sinh tự tin chủ động việc học phần kiến thức + Đa số em tự giải tốn BĐT tốn có liên quan chương trình + Các em đối tượng khá, giỏi giải toán sách tham khảo + Khích lệ khả chủ động sáng tạo việc học tập môn + Kết khảo sát : - Loại Giỏi : 36% - Loại Khá : 47 % - Loại Tb : 17% + Trong kỳ thi HSG cấp tỉnh năm học 2007- 2008 có em đạt giải có hai giải ba E /KẾT LUẬN Trong việc dạy học mơn tốn việc tổ chức cho học sinh chủ động sáng tạo việc nắm bắt vận dụng kiến thức quan trọng Sau 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu cần thiết Cho nên đơn vị kiến thức phần kiến thức mở trước hết người dạy phải đầu tư thời gian tìm tịi nghiên cứu kiến thức, tìm phương pháp hướng dẫn cho học sinh học tập cách tích cực chủ động Có việc dạy học đạt hiệu cao, trước hết rèn cho học sinh phẩm chất người lao động động sáng tạo Tuy nhiên với kinh nghiệm thân cịn hạn chế, tơi mong nhận ý kiến đóng góp tất bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! ngày 5/5/2008 Người thực đề tài Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... đẳng thức là: "Hướng dẫn học sinh số phương pháp sử dung bất đẳng thức Cô- Si dạng nghịch đảo" II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ số phương pháp để áp dụng bất đẳng thức Cô- Si dạng nghịch đảo để giải số... cúu bất đẳng thức Cô- Si dạng nghịch đảo toán áp dụng +Chọn toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 8; diện khá, giỏi B - PHẦN NỘI DUNG I /Bất đẳng thức Cô- Si: 1 /Bất đẳng thức Cô- Si. .. minh bất đẳng thức tìm cực trị Hướng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị (đối với học sinh giỏi lớp 8-9 ) III- Phương pháp nghiên cứu +Chứng minh bất đẳng thức