Mỗi đơn thức trong một tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó.. + Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong hạng tử ở dạng thu gọn.. + Muốn cộng hai đa thức, ta viết
Trang 1Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1
CHỦ ĐỀ : ĐA THỨC, ĐA THỨC MỘT BIẾN, CỘNG TRỪ ĐA THỨC,
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
1/ Tóm tắt lý thuyết:
2/ Bài tập:
Bài 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức:
3x2; 5x2-4xy; 18; -9xy + 3y3;
2 2
4x y 2xy
+ + ; 0; -21
5
Đa thức : 3x2; 5x2-4xy; 18; -9xy + 3y3 ; 0; -21
5
Bài 2: Thu gọn các đa thức sau và xác định bậc của đa thức kết quả:
M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + 3 – y9
= (2x2y4 + 3x2y4 ) + ( 4xyz – 4xyz ) + (– 2x2 - y9 ) + (-5 + 3 )
= 5x2y4 – 2x2 - y9 - 2
Bậc của đa thức là 6
+ Đa thức là một số hoặc một đơn thức hoặc một tổng (hiệu) của hai hay nhiều đơn thức Mỗi đơn thức trong một tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó + Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong hạng tử ở dạng thu gọn
+ Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức cùng với dấu của chúng rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có)
+ Muốn trừ hai đơn thức, ta viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng rồi viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại Sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng của hai đa thức (nếu có)
+ Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến Do đó mỗi một số cũng được coi là đa thức của cùng một biến
+ Bậc của đa thức một biến khác đa thức không (sau khi đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến có trong đa thức đó
+ Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số đi cùng phần biến có số mũ lớn nhất Hêï số tự do là số hạng không chứa biến
+ Người ta thường dùng các chữ cái in hoa kèm theo cặp dấu ngoặc (trong đó có biến) để đặt tên cho đa thức một biến
Ví dụ: A(x) = 3x3 + 5x + 1 Do đó giá trị của đa thức tại x = -2 là A(-2)
+ Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó Đa thức bậc n có không quá n nghiệm
Trang 2Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2
Bài 3 : Tính giá trị của các đa thức :
a) 5x2y – 5xy2 + xy tại x = -2 ; y = -1
b) 1
2xy2 +
2
3x2y – xy + xy2 -
1
3 x2y + 2xy Tại x = 0,5 ; y = 1
a) Thay x = -2 ; y = -1 vào 5x2y – 5xy2 + xy
Ta được 5.(-2) 2
.(-1) - 5(-2)(-1)2 + (-1).(-2) = -8 Vậy -8 là giá trị của biểu thức 5x2y – 5xy2 + xy tại x = -2 ; y = -1
b) 1
2xy2 +
2
3x2y – xy + xy2 -
1
3x2y + 2xy
= (1
2xy2 + xy2) + (
2
3x2y -
1
3x2y) + (– xy + 2xy )
= 3
2xy2 -
1
3x2y + xy
Thay x = 0,5 = 1
2 ; y = 1 vào
3
2xy2 -
1
3x2y + xy
Ta được 3
2.
1
2.12 -
1
3.(
1
2)2.1 +
1
2.1 =
3
4 -
1
12 +
1
2 =
12 = 6
Vậy 7
6 là giá trị của biểu thức
3
2xy2 -
1
3 x2y + xy tại x = 0,5 ; y = 1
Bài 4 : Tính tổng của 3x2y – x3 – 2xy2 + 5 và 2x3 -3xy2 – x2y + xy + 6
ĐS : 2x2y + x3 – 5xy2 + xy + 11
Bài 5 : Cho đa thức A = 5xy2 + xy - xy2 - 1
3x2y + 2xy + x2y + xy + 6
a) Thu gọn rồi xác định bậc của đa thức kết quả
b) Tìm đa thức B sao cho A + B = 0
c) Tìm đa thức C sao cho A + C = -2xy + 1
a) A = (5xy2 - xy2 ) + ( xy + 2xy + xy ) + (- 1
3x2y + x2y) + 6
= 4 xy2 + 4xy + 2
3x2y + 6 bậc của đa thức là 3
b) vì B + A = 0 nên B là đa thức đối của đa thức A
=> B = -5xy2 - xy + xy2 + 1
3x2y - 2xy - x2y - xy - 6
c) Ta cĩ A + C = -2xy + 1
Nên 4 xy2 + 4xy + 2
3x2y + 6 + C = -2xy + 1
C = -2xy + 1 – (4 xy2 + 4xy + 2
3x2y + 6 )
= -6xy - 4 xy2 - 2
3x2y - 5
Trang 3Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3
Bài 6 Cho hai đa thức: P(x) = 2x4 − 3x2+ x − 3
2 và Q(x) = x
4 − x3 + x2 +5
3
a Tính M (x) = P(x) + Q(x)
b Tính N(x) = P(x) − Q(x) và tìm bậc của đa thức N(x)
Bài 7 : Cho đa thức :
A = 4x2 – 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy - y2
Tính A + B; A – B ; B – A
A + B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) + (3x2 + 2xy - y2 )
= (4x2 + 3x2 ) + (-5xy + 2xy ) +( 3 y2 - y2 )
= 7x2 - 3xy + 2y2
A - B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) - (3x2 + 2xy - y2 )
= (4x2 - 3x2 ) + (-5xy - 2xy ) +( 3 y2 + y2 )
= x2 - 7xy + 4y2
B - A = (3x2 + 2xy - y2 ) - (4x2 – 5xy + 3y2 )
= (3x2 - 4x2 ) + (2xy + 5xy ) +( - y2 -3 y2 )
= -x2 +- 7xy - 4y2
Bài 8 : Tìm đa thức M,N biết :
a M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2
b (3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2
ĐS : M = x2 + 11xy - y2
N = -x2 +10xy -12y2
Bài 9 : Cho đa thức
A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3 B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
A(x) + B(x) = 11x4 – 11/15x3 + 2x2 - 9x -13/5
A(x) - B(x) = -5x4 – 19/15x3 + 2x2 + 9x -17/5
B(x) - A(x) = 5x4 + 19/15x3 - 2x2 - 9x +17/5
Bài 10 : Hãy viết các đa thức dưới dạng tổng của các đơn thức rồi thu gọn
a/ D = 4x(x+y) - 5y(x-y) - 4x 2
b/ E = (a -1) (x 2 + 1) - x(y+1) + (x +y 2 - a + 1)
ĐS : D = 5y 2 - xy
E = ax 2 - x 2 + y 2 - xy
Bài 11: Xác định a, b và c để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất
A = ax 2 - 5x + 4 + 2x 2 – 6 = (a + 2 )x 2 - 5x - 2
B = 8x 2 + 2bx + c -1 - 7x = 8x 2 + ( 2b – 7 )x + c – 1
Để A và B là hai da thức đồng nhất thì
a + 2 = 8 => a = 6 ; 2b – 7 = -5 => b = 1 ; c - 1 = -2 => c = -1
Bài 12: Cho các đa thức :
A = 16x 4 - 8x 3 y + 7x 2 y 2 - 9y 4
B = -15x 4 + 3x 3 y - 5x 2 y 2 - 6y 4
C = 5x 3 y + 3x 2 y 2 + 17y 4 + 1.Tính A+B-C
Trang 4Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4
A + B – C = x 4 - 10x 3 y - x 2 y 2 - 32y 4 - 1
Bài 13: Cho đa thức M(x) = -9x5 + 4x3 – 2x2 + 5 x – 3 Tìm đa thức N(x) là đa thức đối của đa thức M(x)
N(x) = 9x5 - 4x3 + 2x2 - 5 x + 3
Bài 14: Tính giá trị của các đa thức sau biết x - y = 0
a/ M = 7x - 7y + 4ax - 4ay - 5
b/ N = x (x 2 + y 2 ) - y (x 2 + y 2 ) + 3
M = 7( x - y ) + 4a( x – y ) – 5
Vì x – y = 0 nên giá trị của biểu thức M là -5
N = x.x2 + x.y2 - yx2 - y.y2 + 3
= x2 ( x – y ) + y2 (x – y ) + 3 = 3
Bài 15 (1điểm) Tìm đa thức A biết: A+ (3x2y −2xy3
) = 2x2y − 4xy3
A = ( 2x2y − 4xy3 ) – ( 3x2y −2xy3 ) = (2x2
y - 3x2y) + (-4xy3
+ 2xy3 )
A = -x2y - 2xy3
Bài 16 Cho đa thứcA = −2xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1
a Thu gọn đa thức A
b Tính giá trị của A tại x = 1
2; y = − 1
a) A = 3xy2 + 8xy + 1
b) Thay x = 1
2; y = − 1 vào biểu thức 3xy2
+ 8xy + 1
Ta được 3 1
2.(-1) + 8
1
2.(-1) + 1 =
3
2 4 + 1 =
-3 2 Vậy -3
2 là giá trị của biểu thức trên tại 3xy2
+ 8xy + 1
Bài 17: Cho đa thức f(x) = 2x3 – x5 + 3x4 + x2 - 1
2x3 + 3x5 – 2x2 – x4 + 1
a) Thu gọn và xác định bậc của đa thức trên
b) Xắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến
c) Tính f(1); f(-1)
a) 2x3 – x5 + 3x4 + x2 - 1
2x3 + 3x5 – 2x2 – x4 + 1
= (– x5+ 3x5 ) + (3x4 – x4) + (2x3 - 1
2x3) +( x2 – 2x2) + 1
= 2 x5 + 2x4 + 3
2x3 - x2 + 1 Bậc 5
b) 2 x5 + 2x4 + 3
2x3 - x2 + 1
c) f(1) = 17
2 ; f(1) =
-3
2
Trang 5Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5
Bài 18: Cho A(x) = 3x5 + 2x4 – 4x3 + x2 – 2x + 1
và B(x) = -x4 + 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 2 – 3x4
a) Thực hiện thu gọn (nếu có) các đa thức trên
b) Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x)
a) B(x) = -x4 + 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 2 – 3x4
= (-x4 – 3x4 ) + ( 3x3 + x3) -2x2 – 3 x + 2
= -4x4 + 4x3 -2x2 – 3 x + 2
Bài 19:
Cho đa thức P(x) = 2x3
+ 2x – 3x2 + 1 Q(x) = 2x2 + 3x3 – x – 5
Tính: a P(x) + Q(x)
b P(x) – Q(x)
a ) P(x) + Q(x) = 5x3 – x2 + x – 4
b) P(x) – Q(x) = -x3 – 52 + 3x + 6
Bài 20 (2 điểm) Cho đa thức M = x2+ 5x4 − 3x3+ 4x2 + x4 +3x3 −x + 5
và đa thức N=x −5x3− 2x2−8x4
+ 4x3−x+5
a Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến;
b Tính M + N, M − N ;
a) M = x2
+ 5x4 − 3x3+ 4x2 + x4 +3x3 −x + 5
= 6x4
+ 5x2 − x + 5
N = x − 5x3 − 2x2 −8x4
+ 4x3 − x + 5
= −8x4
- x3 − 2x2
+ 5
b) M + N = −2x4
- x3 + 3x2 - x + 10
M – N = 14x4
+ x3 + 7x2 - x
Bài 21 : Tính đa thức h(x) sao cho h(x) = g(x) – f(x):
a) f(x) = x2 + 2x – 1 và g(x) = x + 3
b) f(x) = x4 – 3x3 + 2x – 1 và g(x) = - 5x4 + 3x3 – 2 x2 – 5x + 3
a) h(x) = g(x) – f(x) = -x2 - x + 4
b) h(x) = g(x) – f(x) = -6x4 + 6x3 – 2 x2 - 7x – 1 + 4
Bài 22: Cho f(x) + g(x) = 6x 4 - 3x 2 - 5
f(x) - g(x) = 4x 4 - 6x 3 + 7x 2 + 8x - 9 Hãy tìm các đa thức f(x) ; g(x)
Ta cĩ f(x) + g(x) + f(x) - g(x) = 10x 4 - 6x 3 + 4x 2 + 8x – 14
2f(x) = 10x 4 - 6x 3 + 4x 2 + 8x – 14
f(x) = 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 4x – 7
g(x) = ( 6x 4 - 3x 2 – 5 ) - (5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 4x – 7)
= x 4 + 3x 3 - 5x 2 - 4x + 2
Bài 23: Cho f(x) = ax 3 + 4x(x 2 - x) + 8
g(x) = x 3 - 4x(bx +1) + c- 3 Trong đĩ a, b, c là hằng.Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
f(x) = ax 3 + 4x(x 2 - x) + 8 = ( a + 4 )x 3 - 4x 2 + 8
g(x) = x 3 - 4x(bx +1) + c- 3 = x 3 – 4bx 2 - 4x + c- 3
Để f(x) = g(x) thì a + 4 = 1 => a = -3
4b = 4 => b = 1
Trang 6Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6
c - 3 = 8 => c = 11
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1: Cho hai đa thức f(x) = 5x - 7 ; g(x) = 3x +1
a/ Tìm nghiệm của f(x); g(x)
b/ Tìm nghiệm của đa thức h(x) = f(x) - g(x)
c/ Từ kết quả câu b suy ra với giá trị nào của x thì f(x) = g(x) ?
a ) Cho 5x – 7 = 0 => x = 7
5
Vậy 7
5 là nghiệm của đa thức f(x)
Cho 3x + 1 = 0 => x = 1
3
Vậy 1
3
là nghiệm của đa thức g(x)
b) h(x) = f(x) - g(x) = 5x – 7 - 3x - 1 = 2x - 8
Cho 2x - 8 = 0 => x = 4
Vậy 4 là nghiệm của đa thức h(x)
c) Vậy với x = 4 thì f(x) = g(x)
Bài 2: Cho đa thức f(x) = x 2 + 4x - 5
Số -5 có phải là nghiệm của f(x) không?
Ta có f(-5) = 25 – 20 - 5 = 0
Vậy -5 là nghiệm của đa thức f(x)
Bài 3: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
a/ f(x) = x(1-2x) + (2x 2 -x + 4)
b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x
c/ h(x) = x (x -1) + 1
f(x) = x( 1 - 2x ) + (2x 2 - x + 4) = x - 2x 2 + 2x 2 - x + 4 = 4
vậy f( x) = 4 0 với mọi x
Vậy phương trình f(x) vô nghiệm
Bài 4: Xác định hệ số m để các đa thức sau nhận 1 làm nghiệm
a/ mx 2 + 2x + 8; b/ 7x 2 + mx - 1; c/ x 5 - 3x 2 + m
a/ Để 1 là nghiệm của mx 2
+ 2x + 8 nên m + 2 + 8 = 0 => m = -10 b/ Để 1 là nghiệm của 7x 2
+ mx - 1 nên 7 + m – 1 = 0 => m = -6 c/ Để 1 là nghiệm của x 5
- 3x 2 + m nên 1 - 3 + m = 0 => m = 2 Bài 5: Cho đa thức f(x) = x 2 +mx + 2
a/ Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm
b/ Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m
a/ Để f(x) nhận -2 làm một nghiệm thì 4 - 2m + 2 = 0 => m = 3
b/ x 2 + 3x + 2 = 0 => x 2 + x + 2x + 2 = 0 => x( x + 1 ) + 2(x + 1)
( x + 1)( x + 2 ) = 0 => x = -1 hoặc x = -2
Bài 6 Cho đa thức P(x) = 5x − 1
2
Trang 7Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7
a Tính : P(1) , P(− 3
10)
b Tìm nghiệm của đa thức trên
a) P(1) = 9
2 ; P(−
3
10) = -2 b) Cho 5x − 1
2 = 0 => x =
-9 2
Vậy nghiệm của P(x) là -9
2
Bài 7 Cho P(x) = x4 − 5x + 2x2 + 1 và Q(x) = 5x + 3
2x
2 + 5+ 1
2x
2 + x4
a Tìm M(x) = P(x) + Q(x)
b Chứng tỏ M(x) khơng cĩ nghiệm.M(x) = P(x) + Q(x) = ( x4
− 5x + 2x2 + 1 ) + (5x + 3
2x
2 + 5+
1
2x
2
+ x4)
= 2x4 + 4x2 + 5 + 6
Vì 2x4 0 => 4x2 0 nên 2x4 + 4x2 + 5 + 6 0
Vậy M(x) khơng cĩ nghiệm
Bài 8 : Kiểm tra xem trong các số -2; -1; 2; 1; 3; -4 số nào là nghiệm của đa thức:
F(x) = 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 3
F(-2) = -31 => -2 khơng phải là nghiệm của f(x)
F(-1) = 0 => -1 là nghiệm của f(x)
F(2) = 21 => 2 khơng phải là nghiệm của f(x)
F(1) = 2 => 1 khơng phải là nghiệm của f(x)
F(3) = 8 => 3 khơng phải là nghiệm của f(x)
F(-4) = -273 => -4 khơng phải là nghiệm của f(x)
Bài 10: Tìm nghiệm của các đa thức:
a) f(x) = 2x + 5 c) h(x) = 6x – 12
b) g(x) = -5x - 1
2 d) k(x) = ax + b (với a, b là các hằng số)