Thông qua việc giải trực tiếp trên “Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm học 2021 - 2022 kèm đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi” gồm 5 câu tự luận sẽ giúp các em nắm vững nội dung bài học, rèn luyện kỹ năng giải đề, hãy tham khảo và ôn thi thật tốt nhé! Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2021 2022 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Bài 1. (2,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính: 16 + 2. Cho hàm số y = x có đồ thị ( P) a) Vẽ ( P) b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của ( P) và đường thẳng (d) : y = − x + Bài 2: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x + x − 12 = b) x − y = −3 x + 3y = 2. Cho phương trình (ẩn x ): x − 2( m + 2)x + m + = a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt b) Gọi x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để x 12 + x 22 = x 1x + 12 Bài 3: (1,5 điểm) Quãng đường A B gồm một đoạn lên dốc dài 4 km một đoạn bằng phẳng dài 3 km và một đoạn xuống dốc 4km dài 6 km (như hình vẽ). Một người đi xe đạp từ A đến B và quay về A ngay hết tổng cộng 130 phút. Biết rằng vận tốc người đó đi trên đoạn đường bằng phẳng là 12 km / h và vận tốc xuống dốc lớn hơn vân tốc lên dốc 5 km / h (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc của người đó 3 cm 4 cm 6 cm A B Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O , R ) và điểm S nằm bên ngồi đường trịn, SO = d Kẻ các tiếp tuyến với đường trịn ( A , B là các tiếp điểm) a) Chứng minh rằng 4 điểm S , O , A , B cùng thuộc một đường trịn b) Trong trường hợp d = R , tính độ dài đoạn thẳng A B theo R c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O Đường thẳng SC cắt đường tròn (O ) tại D (khác C ). Hai đường thẳng A D và SO cắt nhau tại M Chứng minh rằng SM = M D MA d) Tìm mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OA M B là hình thoi Bài 5: (1,0 điểm) Cho x số thực bất kỳ Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= x2 + x2 + + x2 + x2 + HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. (2,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính: 16 + Ta có: 16 + = 7.4 + 2.3 = 34 2. Cho hàm số y = x có đồ thị ( P) a) Vẽ ( P) Vẽ đồ thị hàm số ( P) : y = x Tập xác định: D = ﾡ a = > , hàm số đồng biến nếu x > , hàm số nghịch biến nếu x < Bảng giá trị x y = x2 −2 −1 0 1 Đồ thị hàm số y = x là đường cong Parabol đi qua điểm O , nhận Oy làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của ( P) và đường thẳng (d) : y = − x + Xét phương trình hồnh độ giao điểm giữa ( P) và đường thẳng (d) ta được: x = −x + � x + x − = x =1 Ta có: a + b + c = + − = nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c x = = −2 a Với x = ta có y = 12 = Với x = −2 ta có y = ( −2)2 = Vậy đồ thị ( P) cắt (d) tại hai điểm (1;1),( −2;4) Bài 2: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x + x − 12 = Phương trình: x + x − 12 = có: a = , b = , c = −12 Ta có: ∆ = 12 − �� ( −12) = 49 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = b) −1 + 49 −1 − 49 = , x = = −4 2 x − y = −3 x + 3y = 11 y = x − y = −3 x − y = −3 −7 y = −11 � � � �� �� �� � x + 3y = 2x + y = x = − y � �x = −5 �−5 11 � Vậy hệ phương trình có nghiệm � ; � �7 � 2. Cho phương trình (ẩn x ): x − 2( m + 2)x + m + = a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt Phương trình x − 2( m + 2)x + m + = có: ∆ = ( m + 2)2 − m − = m − Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∆ > � m − > � m > Vậy với m > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m để x 12 + x 22 = x 1x + 12 Với m > x + x = 2m + , theo định li Viet ta có: x 1x = m + Theo bài ra ta có: x 12 + x 22 = x x + 12 � ( x + x ) − x 1x = x 1x + 12 � ( x + x ) − 3x 1x − 12 = ( ) � (2 m + 4)2 − m + − 12 = � m + 16 m + 16 − 3m − 21 − 12 = � m + 16 m − 17 = m = 1(tm ) Ta có a + b + c = + 16 − 17 = nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt c m = = −17( ktm ) a Vậy m = Bài 3: (1,5 điểm) Quãng đường A B gồm một đoạn lên dốc dài 4 km một đoạn bằng phẳng dài 3 km và một đoạn xuống dốc 4km dài 6 km (như hình vẽ). Một người đi xe đạp từ A đến B và quay về A ngay hết tổng cộng 130 phút. Biết rằng vận tốc người đó đi trên đoạn đường bằng phẳng là 12 km / h và vận tốc xuống dốc lớn hơn vân tốc lên dốc 5 km / h (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc của người đó 3 cm 4 cm A Đổi 130 phút = 13 ( h) 6 cm B Gọi vận tốc lúc lên dốc của người đó là x ( km / h)( x > 0) Thì vận tốc lúc xng dốc là x + 5( km / h) 4 Thời gian lúc lên dốc, xuống dốc trên quãng đường 4 km lần lượt là: ( h) và ( h) x x+5 Thời gian lúc đi trên quãng đường 3 km là = ( h) 12 6 Thời gian lúc lên và xuống dốc trên quầng đường 6 km lần lượt là: ( h) và ( h) x x+5 Tổng thời gian đi từ A đến B là: + + ( h) x x+5 Tổng thời gian đi từ B đến A là: + + ( h) x x+5 Tổng thời gian cả đi cả về là bẳng 13 h nên ta có phương trình: 6 13 + + + + + = x x+5 x x+5 � 10 10 13 + + = x x+5 � 10( x + x + 5) = x ( x + 5) � 2x + = x ( x + 5) � 6(2 x + 5) = x ( x + 5) � x − x − 30 = Ta có ∆ = ( −7)2 − 4.( −30) = 169 = 13 > nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt + 13 = 10(tm ) − 13 x= = −3( ktm ) x= Vậy vận tốc lúc lên dốc là 10 km / h và vận tốc lúc xuống dốc là 15 km / h Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O , R ) và điểm S nằm bên ngồi đường trịn, SO = d Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ( A , B là các tiếp điểm) A C D S M O H B a) Chứng minh rằng 4 điểm S , O , A , B cùng thuộc một đường tròn ﾡ O + SBO ﾡ Tứ giác SA OB có : SA = 90 + 90 = 180 Suy ra tứ giác SA OB nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 ) Suy ra 4 điểm S , A , O , B cùng thuộc một đường tròn b) Trong trường hợp d = R , tính độ dài đoạn thẳng A B theo R Gọi H là giao điểm giữa A B và SO Có SA , SB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên SA = SB S thuộc trung trực của A B OA = OB = R nên O thuộc trung trực của A B SO là trung trực của A B � A B ⊥ SO và H là trung điểm của A B Tam giác SA O vuông tại A nên SA = SO − OA = R − R = R Ta giác SA O vng tại A có: A H ⊥ SO nên A H = SA � AO R � R = = R SO 2R Vậy A B = A H = � R = R c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O Đường thẳng SC cắt đường tròn (O ) tại D (khác C ) Hai đường thẳng A D SO cắt M Chứng minh rằng SM = M D M A ﾡ SO = A ﾡ BO = A ﾡ BC( hai góc nội tiếp cùng chắn cung A O Tứ giác SA OB nội tiếp (cmt ) nên A ) ﾡ BC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung A C ) Trong (O ) có: ﾡA DC = A ﾡ ﾡ DC (hai góc đối đỉnh) Mặt khác SDM =A ﾡ SO = A ﾡ CD � M ﾡ SA = SDM ﾡ Suy ra A ﾡ D = SM ﾡ A SM Xét ∆SM D và ∆A M S có: ﾡ ﾡ SA (cmt ) SDM =M � ∆SMD ∽ ∆A M S ( g � g) � SM M D = � SM = M D M A A M SM d) Tìm mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OA M B là hình thoi ﾡ D = SCA ﾡ Hai tam giác SA D và SCA có góc Sˆ chung và SA nên đồng dạng. Suy ra SA SD = � SA = SC.SD SC SA Ma SA = SH SO nên SC.SD = SH SO � SC SO = SH SD ﾡ ﾡ Lại có góc Sˆ chung nên các tam giác SCO và SHD đồng dạng, suy ra SCO = SHD ﾡ H = SCO ﾡ ﾡ ), ta có Kết hợp với DA (cùng chắn cung BD ﾡ H + DHA ﾡ ﾡ ﾡ ﾡ ﾡ DA = SCO + DHA = SHD + DHA = 90 Suy ra HD ⊥ A D Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng M HA , ta có M H = M D M A , kết hợp với SM = M D M A ta được M là trung điểm của SH Tứ giác M A OB có hai đường chéo vng góc tại H và HA = HB nên M A OB là hình thoi khi và chì 1 khi HO = HM � SO = 3OH � OS OH = OS � OA = OS � d = R 3 Bài 5: (1,0 điểm) Cho x số thực bất kỳ Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= x2 + x2 + + x2 + x2 + Áp dụng BĐT Cauchy ta có: x2 + x2 + (x = ) +3 +4 x2 + = x2 + + x2 + �2 x2 + � x2 + =2 =4 Đặt: a = �T x2 + x2 + �� = a x +7 x2 + = a+ �a � 15a = + �+ a � �16 a � 16 �2 � a 15.4 15 17 �+ = + = 16 a 16 4 (Bất đẳng thức côsi) Dấu "=" xảy ra khi và chi khi: a x2 + = � a=4 � =4 16 a x2 + a= ( � x2 + = x2 + � x2 + � x + 14 x + 49 = 16 x + 48 � x − 2x + = ( ) � x2 − = � x = � x = �1 Vậy m in T = 17 � x = �1 ) ( = 16 x + ) ... Tổng thời gian cả đi cả về là bẳng 13 h nên ta có phương trình: 6 13 + + + + + = x x+5 x x+5 � 10 10 13 + + = x x+5 � 10( x + x + 5) = x ( x + 5) � 2x + = x ( x + 5) � 6(2 x + 5) = x ( x + 5) � x − x −... −30) = 169 = 13 > nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt + 13 = 10( tm ) − 13 x= = −3( ktm ) x= Vậy vận tốc lúc lên dốc là 10? ?km / h và vận tốc lúc xuống dốc là 15 km / h Bài 4: (3,5 điểm)