Bài viết Không gian Besov morrey liên kết với toán tử tự liên hợp không âm trình bày không gian Besov-Morrey liên kết với toán tử tự liên hợp không âm; Không gian phân bố liên kết với toán tử L; Hàm cực đại Peetre.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vol 19, No (2022): 1362-1370 Tập 19, Số (2022): 1362-1370 ISSN: 2734-9918 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Website: https://journal.hcmue.edu.vn https://doi.org/10.54607/hcmue.js.19.8.3512(2022) Bài báo nghiên cứu * KHÔNG GIAN BESOV-MORREY LIÊN KẾT VỚI TỐN TỬ TỰ LIÊN HỢP KHƠNG ÂM Lê Thị Hằng1*, Phạm Thị Hồi Nhi2, Nguyễn Bình Di3 Trường THPT Gia Định, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Trường Đại học Sài Gịn, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Trường THPT Nguyễn Hiền, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam * Tác giả liên hệ: Lê Thị Hằng – Email: hanglethi905@gmail.com Ngày nhận bài: 04-7-2022; ngày nhận sửa: 07-8-2022; ngày duyệt đăng: 17-8-2022 TÓM TẮT Khơng gian Besov đóng vai trị quan trọng lí thuyết khơng gian hàm phương trình đạo hàm riêng Hai hướng phát triển gần hướng nghiên cứu liên kết không gian Besov với không gian Morrey tốn tử tự liên hợp khơng âm Kết báo tổng quát hai hướng tiếp cận Chúng chứng minh kết quy cho phương trình dạng fractional Ls u = f Để làm điều đó, chúng tơi thiết lập đặc trưng liên tục cho không gian Besov-Morrey ,L BM αp,q,r ( n ) liên kết với toán tử tự liên hợp không âm L L2 ( n ) cho nhân nhiệt L thỏa mãn điều kiện bị chặn Gaussian, < p, q ≤ ∞, p ≤ r < ∞, α ∈ Kết tổng quát kết có (Bui et al., 2020; Dao et al., 2018) Từ khóa: khơng gian Besov-Morrey; đặc trưng liên tục; điều kiện bị chặn Gaussian; tính quy Giới thiệu Lí thuyết khơng gian Besov n có lịch sử lâu dài, đóng vai trị quan trọng lí thuyết khơng gian hàm, giải tích điều hịa phương trình đạo hàm riêng Khơng gian Besov cổ điển xem khơng gian liên kết với toán tử Laplace bậc hai n Tuy nhiên, lớp không gian Besov cổ điển lúc phù hợp cho việc nghiên cứu tích phân kì dị Để khắc phục nhược điểm đó, cách thay tốn tử Laplace tốn tử vi phân đó, lí thuyết khơng gian Besov liên kết với tốn tử thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Theo hướng này, nhóm nghiên cứu Bùi vào năm 2020 (Bui et al., 2020) thiết lập lí thuyết khơng gian Besov liên kết với tốn tử tự Cite this article as: Le Thi Hang, Pham Thi Hoai Nhi, & Nguyen Binh Di (2022) Besov-Morrey spaces associated with non-negative self-adjoint operators Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 19(8), 1362-1370 1362 Tập 19, Số (2022): 1362-1370 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM liên hợp không âm Đây kết tổng quát lúc tác giả giả sử tính bị chặn Gaussian mà khơng cần tính liên tục Holder nhân nhiệt tính chất Markov (Georgiadis et al., 2017) Một hướng nghiên cứu quan tâm: nhiều tác giả xem xét không , −∆ ( n ) tổng quát hóa khơng gian Besov cổ điển cách gian loại Besov-Morrey BM αp,q,r thay chuẩn Lp chuẩn Morrey Không gian nghiên cứu lần tác giả (Kozono et al, 1994) Nhu cầu nghiên cứu lớp không gian nảy sinh từ việc nghiên cứu phương trình NavierStoke áp dụng (xem Baraka, 2017; Lin (2013); Mazzucato, 2003) Không gian Besov-Morrey không kế thừa nhiều tính chất khơng gian Besov mà cịn diễn tả sâu sắc tính chất dao động địa phương tính kì dị hàm số (xem Mazzucato, 2003) Gần đây, tác giả (Dao et al, 2018) xây dựng phân tích phân tử cho khơng gian Besov-Morrey liên kết với toán tử Hermite H = −∆ + x từ thu tính quy cho phương trình fractional H s u = f Tiếp nối hai kết trên, chúng tơi xét tốn tử tự liên hợp không âm L L2 ( n ) ( ) Kí hiệu e − tL t >0 , k t (x, y) nửa nhóm nhân nhiệt liên kết với tốn tử L Từ sau, giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện chặn Gaussian (GUB) sau: tồn số C c cho với x, y ∈ n t > , | x − y |2 exp − ct t n/2 Chú ý tốn tử L chúng tơi trường hợp tổng quát toán tử Schrodinger k t (x, y) ≤ C −div ( A ( x ) ∇u ) + Vu với vị không âm V thỏa mãn điều kiện Holder ngược ma trận A thỏa mãn điều kiện elliptic Do tổng quát trường hợp toán tử Hermite Kết báo thiết lập định nghĩa phù hợp cho không gian Besov-Morrey liên kết với toán tử L xây dựng đặc trưng liên tục để thu tính quy cho phương trình Ls u = f Cấu trúc báo: mục giới thiệu lịch sử vấn đề, mục dành phần cho số kiến thức chuẩn bị đánh giá cho hàm cực đại, không gian Morrey không gian hàm phân bố liên kết với tốn tử L Nội dung mục xây dựng lí thuyết khơng gian Besov-Morrey liên kết với tốn tử L Cuối cùng, tính quy cho lớp phương trình fractional mục Trong báo này, sử dụng C c số dương độc lập với tham số khác dịng Kí hiệu A B tồn số dương C độc lập với tham số A B cho A ≤ CB Kí hiệu A ~ B A B B A = {1; 2;3; } += ∪ {0} Với ≤ p ≤ ∞ , kí hiệu p ' số mũ liên hợp 1363 Lê Thị Hằng tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM p , tức 1 + = Ngoài ra, với λ > cầu B = B(x B , rB ) , kí hiệu λB cầu p p' tâm với B bán kính rλB = λrB Kí hiệu S() cho không gian hàm Schwart Cuối cùng, với a, b ∈ , đặt a ∧ b = min{a, b} a ∨ b = max{a, b} Khơng gian Besov-Morrey liên kết với tốn tử tự liên hợp không âm 2.1 Hàm cực đại Hardy-Littlewood Cho < θ < ∞ Hàm cực đại Hardy-Littlewood θ xác định sau 1/ θ |f (y) |θ dy , θf (x) = sup ∫ B x∈B | B | supremum lấy tất cầu B chứa x Ta bỏ qua kí hiệu θ θ =1 Bổ đề 2.1 (Bui et al, 2018) Cho s, ε > p ∈ [1, ∞] 1/p − n − p dy (1) ∫ (1 + x − y / s ) n s n/p , ∀x ∈ n ( ) (2) Với f ∈ L1loc n , x ∈ n , − n − 1+ x − y / s) f (y) dy f ( x) n ( s 2.2 Không gian Morrey ∫ n Với < p ≤ r < ∞ , không gian Morrey M rp định nghĩa sau 1 n − p n r p ∈ = < ∞ f L : f sup sup R f r p loc Mp L B x ,R ( ) ( ) x ∈ n R > Ta cần đến tính chất sau hàm cực đại Bổ đề 2.2 [Trong et al, 2020, Bổ đề 2.6] Cho < p ≤ r ≤ ∞ < θ < p ∧ Khi tốn tử ( ) M rp= θ bị chặn M rp 2.3 Đánh giá nhân nhiệt E L (λ) phân tích phổ tốn tử L Khi đó, theo lí thuyết phổ, với hàm Borel bị chặn F :[0, ∞) → , xét toán tử bị chặn L2 ( n ) định ∞ F(L) = ∫ F(λ)dE L (λ) K G (x, y) gọi nhân toán tử G Chúng ta có kết quan trọng sau Bổ đề 2.3 (Bui et al, 2020, Bổ đề 2.6) 1364 Tập 19, Số (2022): 1362-1370 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM (1) Cho Kϕ t ( hàm L ) ϕ ∈ S() chẵn Với (x, y) ≤ Ct − n (1 + x − y / t ) −N N > 0, tồn C>0 cho , ∀t > , x, y ∈ n (2) Cho hai hàm chẵn ϕ1 , ϕ2 ∈ S() Với N > , tồn C > cho −n (1 t L )ϕ2 (s L ) (x, y) ≤ Ct (1 + x − y / t ) Kϕ −N với t ≤ s < 2t x, y ∈ n (3) Cho ∈ + hai hàm chẵn ϕ1 , ϕ2 ∈ S() cho ϕ(2ν ) (0) = với = ν 0,1, …, 2 Với N > 0, tồn C>0 cho: 2 −N s −n ≤ + − (x, y) C t x y / t , ∀t ≥ s > x, y ∈ n ( ) ( t L ) ϕ2 ( s L ) t Hơn nữa, kết cho hàm thuộc S() có giá compact chứa (0, ∞) Kϕ 2.4 Khơng gian phân bố liên kết với toán tử L Tiểu mục lấy từ (Georgiadis et al., 2018) tập hợp tất hàm ( ) φ ∈ D Lm cho m ≥1 m,= sup (1 + x ) L φ(x) < ∞, ∀m > 0, ∈ (φ) m x∈ n Nếu ϕ ∈ S() K ϕ(t L) (x, ⋅) ∈ K ϕ(t L) (⋅, y) ∈ ′ không gian đối ngẫu với tích đối ngẫu 〈 f , φ〉= f (φ) , cho f ∈ ′ φ∈ ∞ tập hợp tất hàm φ ∈ cho với k ∈ tồn g k ∈ cho φ =Lk g k Khi g k tồn Topo ∞ sinh họ nửa chuẩn = m,* ,k (φ) m, (g k ), m > 0, , k ∈ , với φ =Lk g k Ta gọi ∞' không gian đối ngẫu ∞ Nếu ϕ ∈ S() với supp ϕ ⊂ (0, ∞) , K ϕ(t L) (x, ⋅) ∈ ∞ K ϕ(t L) ( ( ) ϕ t L f (x) =〈 f , K ϕ t (⋅, y) ∈ ∞ Do đó, định nghĩa L ' ) ( x, ⋅)〉, ∀f ∈ ∞ 2.5 Hàm cực đại Peetre Cho λ > 0, j ∈ ϕ ∈ S() , hàm cực đại Peetre định nghĩa sau ϕ*j,λ = ( L )f (x) sup y∈ n | ϕ j ( L )f (y) | (1 + | x − y |) j λ , x ∈ n , đó, ϕ j (λ) =ϕ(2− j λ) f ∈ ' Chúng ta có ϕ*j,λ ( L )f (x) ≥| ϕ j ( L )f (x) |, x ∈ n 1365 Lê Thị Hằng tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Với s, λ > 0, đặt ) ( ϕ*λ s = L f (x) sup y∈ n ( ) | ϕ s L f (y) | (1 + x − y / s ) λ , f ∈ ′ ψ ∈ S() phân hoạch đơn vị supp ψ ⊂ [1/ 2, 2] , ∑ ψ j (λ ) = ∫ ψ (s) ds ≠ s 1, λ ∈ (0, ∞) j∈ Bổ đề 2.4 (Bui et al., 2020, Mệnh đề 2.16) Cho ψ ∈ S() với supp ψ ⊂ [1/ 2, 2] ϕ ∈ S() phân hoạch đơn vị Khi sup s∈[2 − j−1 −j ,2 ] ψ*λ (s L)f (x) j+ ∑ ϕ*k,λ ( (1) L)f (x ), k = j− với λ > 0, j ∈ , f ∈ ∞' x ∈ n Bổ đề 2.5 (Bui et al., 2020, Mệnh đề 2.18) Cho ψ phân hoạch đơn vị ϕ ∈ S() hàm chẵn cho ϕ ≠ 1 , Khi 2− j+ | ψ j ( L)f (x) | (∫ − j− |ϕ*λ (s L )f (x) |r ds 1/r ) s với λ, r > 0, j ∈ , f ∈ ' x ∈ n 2.6 Không gian Besov-Morrey liên kết với toán tử L Định nghĩa 2.6 Cho ψ phân hoạch đơn vị Với < p ≤ r ≤ ∞, < q ≤ ∞, α ∈ , ,ψ , L ta định nghĩa không gian Besov-Morrey BM αp,q,r sau ,ψ ,L = {f ∈ ∞′ : f BM αp,q,r < ∞}, , ψ ,L BM αp,q,r ∑ jα ψ j f= α , ψ ,L BM p,q,r j∈ ( L )f M rp q 1/q Từ Bổ đề 2.4 ta có: Bổ đề 2.7 Cho hai phân hoạch đơn vị ψ, ϕ với supp ψ,supp ϕ ⊂ [1/ 2, 2] , < p ≤ r < ∞, α ∈ λ > Ta có: ∑ jα ψ*j,λ ( L )f j∈ 1/q M rp q jα * ~ ∑ 2 ϕ j,λ ( L)f j∈ 1366 1/q M rp q , ∀f ∈ S′∞ Tập 19, Số (2022): 1362-1370 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Ta cần đến kết sau Bổ đề 2.8 Cho phân hoạch đơn vị ψ Ta có ∑ jα ψ*j,λ j∈ 1/q ( ) L f q M rp ~ f , ψ ,L BM αp,q,r với < p ≤ r < ∞, < q ≤ ∞, α ∈ λ > max {n / p, n / q} Chứng minh Nhờ Bổ đề 2.7, cần chứng minh 1/q 1/q q q jα * jα ∑ ψ j,λ L f r ∑ ψ j L f r Mp Mp j∈ j∈ Lấy θ < min{p, q} cho λ > n / θ Từ (1) Bổ đề 2.1 đưa đến ( ) ( ) 1/ θ ψ*j,λ ( L)f (x) ∫ n jn | ψ j ( L)f (z) |θ (1 + j | x − z |) −λθ dz θ (| ψ j ( L)f |)(x) Kết hợp với Bổ đề 2.2 chúng tơi có điều phải chứng minh. Kết hợp Bổ đề 2.7 Bổ đề 2.8 khẳng định độc lập định nghĩa ,ψ , L không gian BM αp,q,r với ψ Định lí 2.9 Cho hai phân hoạch đơn vị ψ ϕ Khi với < p ≤ r < ∞, < q ≤ ∞, ,ϕ, L ,ψ , L α ∈ , hai không gian BM αp,q,r and BM αp,q,r trùng với chuẩn tương đương Do ta ,L ,ψ , L định nghĩa không gian BM αp,q,r khơng gian BM αp,q,r với phân hoạch đơn vị ψ Kết luận ,L Trước tiên, xây dựng đặc trưng liên tục của khơng gian BM αp,q,r Định lí 3.1 Cho phân hoạch đơn vị ψ Với < p ≤ r < ∞, < q ≤ ∞, α ∈ λ > max {n / p, n / q} , ta có: f ,L BM αp,q, r ∞ ~ ∫ t −α ψ (t L)f 0 1/q q ∞ dt ∫ t −α ψ*λ (t L)f ~ t M rp 0 với f ∈ S′∞ Chứng minh Lấy t ∈ [2− j−1 , 2− j ] với j∈ , nhờ (1) ta có sup t∈[2− j−1 ,2− j ] | ψ (t L)f (x) | j+ ∑ k = j− ψ*k,λ ( L)f (x) Kết hợp với Bổ đề 2.8 chúng tơi có 1367 1/q q dt t M rp Lê Thị Hằng tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 1/q q dt f M rp t Tiếp theo, nhờ Bổ đề 2.5 chúng tơi có ∞ ∫ t −α ψ ( t L)f 2− j+ ,L BM αp,q,r | ψ j ( L)f (x) | (∫ − j− |ψ*λ (s L )f (x) |q ds 1/q ) s Do 1/q q dt f BMα , L p,q,r M rp t Cuối cùng, lấy θ < min{p, q} cho λ > n / θ Vận dụng (1) chúng tơi có: ∞ ∫ t −α ψ*λ (t L)f 0 | ψ*λ (2− j t L)f (x) |θ ∫ n jn | ψ (2− j t L)f (z) |θ (1 + j | x − z |) −λθ dz với t ∈ [1, 2] Vì θ < q nên sử dụng bất đẳng thức Minkowski dạng tích phân thu (∫12 |ψ*λ (2− j t L)f (x) |q dt θ/q ) ∫n jn (∫12 |ψ(2− j t L)f (z) |q dt )θ/q (1 + j | x − z |)−λθ dz t t Qua bước đổi biến đưa đến 2− j+1 −α * q dt ∫2− j (t | ψ λ (t L)f (x) |) t θ /q dt 2− j+1 ∫ n jn ∫ − j (t −α | ψ (t L)f (z) |)q t Nếu λθ > n nhờ Bổ đề 2.1 chúng tơi có (∫22 − j+1 −j |ψ*λ (t L )f (x) |q θ /q (1 + j | x − z |) −λθ dz − j+1 dt 1/q ) θ (∫22− j |ψ(t L)f |q dt )1/q (x) t t Áp dụng Bổ đề 2.2 chúng tơi có (∫0∞[t −α ψ*λ (t q dt 1/q ) L)f ] t M rp (∫0∞[t −α | ψ(t q dt 1/q ) L ) f |] t M rp Chúng tơi kết thúc chứng minh định lí Trước chứng minh tính chất quy cho phương trình Ls u = f chúng tơi đưa định nghĩa sau: với s ∈ , m ∈ , m > s, đặt Ls : ∞ → ∞ Lf = s ∞ dt m t −s ( tL ) e − tL f ∫ s t Γm − 2 1368 Tập 19, Số (2022): 1362-1370 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Từ (Bui et al., 2020) chúng tơi có Ls f hội tụ ∞ , định nghĩa tốt toán tử ( ) từ ∞ vào ∞ không phụ thuộc vào cách chọn m Hơn nữa, Lα = Lβf Lα+βf , ∀f ∈ ∞ ,L Định lí 3.2 Cho s, α ∈ , < q ≤ ∞, < p ≤ r ≤ ∞ f ∈ BM αp,q,r Khi tồn C > cho với u nghiệm phương trình Ls u = f chúng tơi có u 2s,L BM α+ p,q,r ≤C f ,L BM αp,q,r Chứng minh Lấy ρ phân hoạch đơn vị Từ (Bui et al , 2020) ta có ( ( ) ) ρ t L L−s f ( x ) t 2sρ*λ t L f ( x ) Kết hợp điều với Định lí 3.1 chúng tơi có = u BMα+ 2s,L p,q,r L−s f 2s,L BM α+ p,q, r ∞ ∫ t −α− 2s ρ t L L−s f 0 dt q M pr t ∞ ∫ t −α ρ*λ t L f 0 f BMα ,L q ( ( ) ) q dt q M pr t p,q , r Chúng tơi kết thúc chứng minh định lí Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Baraka, A E., & Toumlilin, M (2017) Global Well-Posedness for Fractional Navier-Stokes Equations in critical Fourier-Besov-Morrey Spaces Moroccan Journal of Pure and Applied Analysis, 3(1), 1-13 Besov, O V (1959) On a family of function spaces, embedding theorems and extensions Dokl Akad Nauk SSSR, 126, 1163-1165 Besov, O V (1961) On a family of function spaces in connection with embeddings and extensions Tr Mat Inst Steklova, 60, 42-81 Bui, H Q., Bui, T A., & Duong, X T (2020) Weighted Besov and Triebel-Lizorkin spaces associated with operators and applications Forum Math Sigma., 8(11), 1-95 DOI: https://doi.org/10.1017/fms.2020.6 1369 Lê Thị Hằng tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Dao, N A., Nguyen, N T., & Le, X T (2018) Besov-Morrey Spaces Associated to Hermite Operators and applications to Fractional Hermite Equations Electron J Differ Equ 2018(187), 1-14 Georgiadis, A G., Kerkyacharian, G., Kyriazis, G., & Petrushev, P (2017) Homogeneous Besov and Triebel–Lizorkin spaces associated with non–negative self–adjoint operators J Math Anal Appl., 449(2), 1382-1412 Kozono, H., & Yamazaki, M (1994) Semilinear heat equations and the Navier-Stokes equation with distributions in the new function spaces as initial data Comm Partial Differential Equations, 19(5-6), 959-1014 Lin, C C., & Yang, Q (2013) Semigroup characterization of Besov type Morrey spaces and wellposedness of generalized Navier–Stokes equations J Differential Equations, 254, 804-846 Mazzucato, Anna L (2003) Decomposition of Besov-Morrey spaces Proceedings of the Conference on Harmonic Analysis, Contemp Math, 320, Amer Math Soc., Providence, RI, 279-294 Nguyen, N T., Le, X T., Tran, T D., & Vo, H N (2020) Triebel-Lizorkin-Morrey spaces associated with Hermite operators Rev Mat Complut., 33, 527-555 BESOV-MORREY SPACES ASSOCIATED WITH NON-NEGATIVE SELF-ADJOINT OPERATORS Le Thi Hang1*, Pham Thi Hoai Nhi2, Nguyen Binh Di3 Gia Dinh High School, Ho Chi Minh City, Vietnam Saigon University, Vietnam Nguyen Hien High School, Ho Chi Minh City, Vietnam * Corresponding author: Le Thi Hang – Email: hanglethi905@gmail.com Received: July 04, 2022; Revised: August 07, 2022; Accepted: August 17, 2022 ABSTRACT Besov spaces play an important role in the theory of functional spaces and partial differential equations Two recent developments of this research direction are linking Besov spaces with Morrey spaces or non-negative self-adjoint operators The results in this paper will generalize both approaches We proved regularity for the fractional equation Ls u = f To that, we established a continuous characterization for the Besov-Morrey spaces ,L BM αp,q,r ( n ) associating with non – negative self – adjoint operators L in L2 ( n ) such that the heat kernel of L satisfies the Gaussian upper bounds, where < p, q ≤ ∞, p ≤ r < ∞, α ∈ Our results generalize the existing results by Bui et al (2020) and Dao et al (2018) Keywords: Besov-Morrey space; continuous characterizations; Gaussian upper bound; regularity 1370 ... bị đánh giá cho hàm cực đại, không gian Morrey không gian hàm phân bố liên kết với tốn tử L Nội dung mục xây dựng lí thuyết khơng gian Besov- Morrey liên kết với tốn tử L Cuối cùng, tính quy cho... phân tử cho khơng gian Besov- Morrey liên kết với tốn tử Hermite H = −∆ + x từ thu tính quy cho phương trình fractional H s u = f Tiếp nối hai kết trên, chúng tơi xét tốn tử tự liên hợp khơng âm. .. với λ, r > 0, j ∈ , f ∈ ' x ∈ n 2.6 Không gian Besov- Morrey liên kết với toán tử L Định nghĩa 2.6 Cho ψ phân hoạch đơn vị Với < p ≤ r ≤ ∞, < q ≤ ∞, α ∈ , ,ψ , L ta định nghĩa không gian