Một số phương pháp tìm không điểm của toán tử j-đơn điệu
Phương pháp điểm gần kề
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu tổng quan về phương pháp điểm gần kề áp dụng cho các phương trình liên quan đến toán tử đơn điệu và toán tử j-đơn điệu.
Xác định phần tử x ∗ ∈D(A) sao cho A(x ∗ ) ∋θ, (1.4) với A : D(A) ⊂E −→2 E là một toán tử m-j-đơn điệu.
Khi A là m-j-đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert H, Rockafellar R T đã nghiên cứu phương pháp lặp c n Ax n+1 + x n+1 ∋ x n với x 0 ∈ H, trong đó c n > c 0 > 0, được gọi là phương pháp điểm gần kề Ông cũng đã chỉ ra rằng dãy lặp {x n} xác định bởi phương trình này hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán đã đề cập.
Kết quả của Rockafellar được thể hiện qua Định lý 1.4, trong đó nếu tồn tại một hằng số c > 0 sao cho c n ≥ c cho mọi n, thì dãy {x n } được xác định bởi (1.5) sẽ hội tụ yếu về một nghiệm của phương trình A(x) ∋θ.
Phương pháp điểm gần kề, lần đầu tiên được đề xuất bởi Martinet B trong tài liệu [43], được áp dụng cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới ψ: H −→ R∪ {+∞} Phương pháp này được mô tả bằng công thức x n+1 = argmin y∈H ψ(y) + 1.
Năm 1991, Guler đã chỉ ra rằng phương pháp lặp không phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát Gần đây, Bauschke, Matouˇskov´a và Reich đã kết hợp phương pháp điểm tựa với ví dụ của Hundal để minh chứng rằng dãy lặp xác định bởi phương pháp chiếu luân phiên cho bài toán chấp nhận lồi chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ theo chuẩn.
Phương pháp lặp kiểu Halpern
Kim và Xu [41], Xu [67] đã cải tiến phương pháp lặp Halpern để giải quyết bài toán xác định không điểm của toán tử m-j-đơn điệu A trong không gian Banach Nghiên cứu này áp dụng cho cả không gian Banach trơn đều và không gian Banach phản xạ với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày phương pháp hội tụ mạnh của dãy {x_n} được xác định bởi công thức (1.7), trong đó x_0 = x ∈ E, x_{n+1} = α_n u + (1−α_n)J_r A_n x_n với u ∈ D(A) và {α_n} ⊂ (0,1) Để dãy này hội tụ về một không điểm của A, cần thỏa mãn các điều kiện sau: i) giới hạn lim n→∞ α_n = 0 và tổng P∞ n=0 α_n = ∞; ii) tổng P∞ n=0 |α_{n+1} − α_n| < ∞; iii) β_n ≥ r > 0 với mọi n và tổng P∞ n=0 |β_{n+1} − β_n| < ∞, hoặc iv) β_n ≥ r > 0 với mọi n và tổng P∞ n=0 |1 − β_n/β_{n+1}| < ∞.
Aoyama và cộng sự [6] đã nghiên cứu phương pháp lặp dưới đây trong không gian Banach lồi đều với chuẩn khả vi Gâteaux đều:
(x 0 =x∈ C, x n+1 = α n u+ (1−α n )J r A n x n , (1.8) trong đó A là một toán tử j-đơn điệu thỏa mãn A −1 0 6= ∅ và D(A) ⊂ C ⊂
∩r>0R(I + rA) Họ đã chứng minh rằng dãy {x n } xác định bởi (1.8) hội tụ mạnh về một không điểm của A dựa trên các điều kiện i), ii) và iv).
Qin và Su [48] đã nghiên cứu một cải tiến đơn giản của phương pháp lặp để giải bài toán xác định không điểm của toán tử m-j-đơn điệu A trong không gian Banach Nghiên cứu này áp dụng cho cả không gian Banach trơn đều và không gian Banach phản xạ, với điều kiện ánh xạ đối ngẫu có tính liên tục yếu theo dãy.
(1.9) trong đó u ∈D(A) là một phần tử bất kỳ, các dãy số {α n } và {β n } nằm trong
Dãy {x n} xác định bởi (1.9) hội tụ mạnh về một không điểm của A khi thỏa mãn các điều kiện i) và ii) đối với {α n}, {β n}, cùng với điều kiện iii) đối với {r n}.
Phương pháp xấp xỉ mềm
Dựa trên phương pháp xấp xỉ mềm, Chen và Zhu đã đề xuất một phương pháp lặp để xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu A Phương pháp này nhằm cải thiện độ chính xác trong việc tìm kiếm không điểm và có thể áp dụng hiệu quả trong các bài toán liên quan.
(x 0 = x∈C, x n+1 =α n f(x n ) + (1−α n )J r A n x n (1.10) Với các điều kiện i), ii) đối với {α n } và iv) đối với {r n }, họ đã chỉ ra rằng khi
Nếu E là không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy hoặc E là không gian Banach trơn đều, thì dãy {x n } được xác định bởi (1.10) sẽ hội tụ mạnh về một không điểm của A.
J.S Jung [36, 37] cũng đã nghiên cứu các phương pháp lặp dưới đây:
Nghiên cứu đã chỉ ra sự hội tụ mạnh của dãy {x n} về một không điểm của A trong không gian Banach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux đều, dựa trên các điều kiện i), ii) đối với {α n}, điều kiện iii) đối với {r n} và điều kiện β n ∈ [0, a) với a ∈ (0,1) Khi β n = 0 với mọi n, dãy {x n} được xác định bởi (1.11) và (1.12) sẽ trở thành một trường hợp đặc biệt.
Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn mạnh
Khoảng cách Bregman và phép chiếu Bregman
Cho E là không gian Banach và f : E −→ (−∞,+∞] là một hàm số Miền hữu hiệu của f, ký hiệu là domf, được định nghĩa là tập hợp {x ∈ E : f(x) < +∞} Đối với mỗi x thuộc int domf và y thuộc E, đạo hàm phải của f tại x theo hướng y được ký hiệu là f ′ (x, y) và được tính bằng công thức f ′ (x, y) = lim t↓0 (f(x+ty)−f(x)) / t.
Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x nếu giới hạn lim t→0 (f(x+ty)−f(x))/t tồn tại với mọi y Trong trường hợp này, đạo hàm Gâteaux f ′ (x, y) trùng với gradient ▽f tại x Hàm f được xem là khả vi Fréchet tại x nếu giới hạn trên tồn tại đều trên tập kyk = 1 Ngoài ra, hàm f được gọi là khả vi Fréchet đều trên tập con C của E nếu giới hạn này tồn tại với mọi x ∈ E và kyk = 1 Đặc biệt, nếu f là khả vi Gâteaux differentiable (khả vi Fréchet) trên miền nội của domf, thì f sẽ liên tục và đạo hàm Gâteaux derivative ▽f của nó là liên tục norm-to-weak* trên miền nội của domf.
Cho f : E −→ (−∞,+∞] là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới Cho x∈ int domf, dưới vi phân của f tại x được xác định bởi
Hàm f(x) được định nghĩa bởi ∂f(x) ={x ∗ ∈E ∗ : f(x) +hx ∗ , y−xi ≤ f(y) ∀y ∈E}, và hàm liên hợp của f được ký hiệu là f ∗ : E ∗ −→(−∞,+∞] với f ∗ (x ∗ ) = sup x∈X{hx ∗ , xi −f(x)} Đối với một không gian Banach phản xạ E, hàm f : E −→ (−∞,+∞] được gọi là Legendre nếu nó thỏa mãn hai điều kiện nhất định.
L 1 ) Phần trong int domf của miền hữu hiệu của f khác rỗng,f khả vi Gâteaux trên int domf và dom▽f = int domf;
L2) Phần trong int domf ∗ của miễn hữu hiệu của f ∗ khác rỗng, f ∗ khả vi Gâteaux trên int domf ∗ và dom▽f ∗ = int domf ∗
Vì E là phản xạ, nên (∂f) −1 = ∂f ∗ (xem [13]) Do đó, từ các điều kiện L 1 ) và
L 2 ), ta có các đẳng thức sau:
▽f = (▽f ∗ ) −1 , ran▽f = dom▽f ∗ =int domf ∗ và ran▽f ∗ = dom▽f = int domf, trong đó ran▽f là miền ảnh của ▽f.
Khi dưới vi phân của hàm f là đơn trị, nó đồng nhất với ∂f = ▽f Bauschke và cộng sự đã chỉ ra rằng các hàm f và f ∗ là lồi chặt trong miền hữu hiệu tương ứng Nếu X là một không gian Banach trơn và lồi chặt, thì hàm f(x) = 1 pkxk p với 1 < p < +∞ được coi là hàm Legendre Chúng ta luôn giả thiết rằng X là không gian Banach phản xạ Xét hàm f : X −→ (−∞,+∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux, hàm D f được xác định bởi domf × int domf −→ [0,+∞).
Khoảng cách Bregman, được định nghĩa bởi công thức D f (y, x) = f(y) − f(x) − h▽f(x), y − x, có hai tính chất quan trọng Đặc biệt, nó thỏa mãn đẳng thức ba điểm cho mọi x thuộc miền xác định của f và y, z thuộc miền trong của f.
D f (x, y) +D f (y, z)−D f (x, z) =h▽f(z)− ▽f(y), x−yi, (1.15) và đẳng thức bốn điểm: với bất kỳ y, ω ∈domf và x, z ∈int domf,
Cho hàm lồi và khả vi Gâteaux f : X −→ (−∞,+∞], phép chiếu Bregman của điểm x thuộc vào miền nội của domf lên tập con lồi, đóng và khác rỗng C ⊂ domf cho ra véctơ duy nhất proj f C (x) thuộc C, thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Nếu X là một không gian Banach trơn và lồi chặt, và f(x) = kxk² với mọi x ∈ X, thì đạo hàm riêng của f tại x, ký hiệu là ▽f(x), bằng 2Jx với mọi x ∈ X, trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào 2X∗ Do đó, hàm Df(x, y) trở thành φ(x, y) = kxk² - 2hx, Jyi + ky² với mọi x, y ∈ E Đây là hàm Lyapunov được Albert xây dựng trong [5] Hơn nữa, phép chiếu Bregman proj f C(x) trở thành phép chiếu tổng quát ΠC(x) được xác định bởi φ(ΠC(x), x) = min y∈C φ(y, x).
NếuX =H là một không gian Hilbert, thìJ là ánh xạ đồng nhất và do đó phép chiếu Bregman proj f C (x) trở thành phép chiếu mêtric từ H lên C.
Hàm lồi và khả vi Gâteaux được định nghĩa là hàm f: E → (−∞,+∞] với các tính chất sau: a) f được gọi là lồi hoàn toàn tại x ∈ int domf nếu hàm v f: int domf × [0,+∞) → [0,+∞) xác định bởi v f(x, t) = inf{D f(y, x): y ∈ domf, ||y−x||=t} dương với mọi t > 0; b) f lồi hoàn toàn nếu nó là tổng lồi tại mọi x ∈ int domf; c) f lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn nếu v f(B, t) dương với mọi tập con bị chặn B của X và t > 0, trong đó v f(B, t) = inf{v f(x, t): x ∈ B ∩ int domf}.
Ánh xạ Bregman không giãn mạnh
Cho C là một tập con lồi của int domf và T là một ánh xạ từ C vào chính nó Một điểm p thuộc bao đóng của C được gọi là điểm bất động tiệm cận của T nếu C chứa một dãy {x n } hội tụ yếu về p sao cho lim n→+∞ kx n −T x n k= 0 Tập hợp các điểm bất động tiệm cận của T được ký hiệu là Fˆ(T) Toán tử T được gọi là (tựa)Bregman không giãn mạnh (ký hiệu là BSNE) nếu ứng với tập khác rỗng Fˆ(T).
D f (p, T x) ≤ D f (p, x), (1.17) với mọi p∈ Fˆ(T) vàx ∈C, và nếu {x n } ⊂ C là bị chặn, p∈ Fˆ(T), và n→+∞lim (D f (p, x n )−D f (p, T x n )) = 0, (1.18) ta nhận được n→+∞lim D f (T x n , x n ) = 0 (1.19)
Một toán tử T : C −→ C được gọi là Bregman không giãn vững (ký hiệu là BFNE) nếu thỏa mãn bất đẳng thức h▽f(T x)− ▽f(T y), T x−T yi ≤ h▽f(x)− ▽f(y), T x−T yi với mọi x, y ∈ C Điều này cho thấy rằng bất đẳng thức (1.20) tương đương với định nghĩa của khoảng cách Bregman.
Trong nghiên cứu của Reich và cộng sự, đã chỉ ra rằng mọi toán tử BFNET đều thỏa mãn điều kiện F(T) = ˆF(T) khi hàm Legendre f là khả vi Fréchet và bị chặn trên các tập con bị chặn của X Đặc biệt, nếu T là toán tử BFNE, thì T sẽ trở thành toán tử BSNE tương ứng với tập khác rỗng F(T) = ˆF(T).
Về bài toán Xấp xỉ không điểm của toán tử kiểu đơn điệu 20 2.1 Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép
Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử j-đơn điệu
xấp xỉ mềm xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử j-đơn điệu
2.2.1 Phương pháp lặp và sự hội tụ
Tìm một phần tử x ∗ ∈S =A −1 0∩B −1 0 6=∅, (2.16) trong đó A : D(A)−→ 2 E và B : D(A) −→ 2 E là hai toán tử j-đơn điệu. Năm 1930, von Neumann [45] đã chỉ ra rằng với hai nửa không gian con đóng
C 1 vàC 2 của không gian Hilbert H, thì dãy chiếu luân phiên
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương pháp chiếu luân phiên trong không gian H, với dãy {x_n} được xác định bởi các phép chiếu P_C1 và P_C2 Năm 1965, Bregman đã chỉ ra rằng nếu C1 và C2 là hai tập con lồi và đóng trong H, với giao C1 ∩ C2 khác rỗng, thì dãy {x_n} sẽ hội tụ yếu về một phần tử trong giao điểm của C1 và C2, phần tử này gần nhất với điểm xuất phát x0.
C 1 ∩C 2 Tuy nhiên, trong trường hợp này {x n }không hội tụ mạnh, vấn đề này đã được H Hundal trả lời trong tài liệu [34].
Năm 2005, Bauschke cùng cộng sự đã áp dụng phương pháp chiếu luân phiên của von Neumann và Bregmann để chỉ ra rằng trong không gian Hilbert H, khi A và B là hai toán tử đơn điệu cực đại, dãy {x_n} xác định bởi x_{2n+1} = J_{λ}A(x_{2n}) và x_{2n} = J_{λ}B(x_{2n-1}) với λ > 0 sẽ hội tụ yếu về một phần tử của F(J_{λ}A J_{λ}B).
Trước hết, ta cần định lý sau: Định lý 2.3 [35] Cho E là một không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi
Gâteau được định nghĩa để đảm bảo rằng mọi tập con lồi và compact yếu của E đều có tính chất điểm bất động khi áp dụng các ánh xạ không giãn Đối với tập con C, nó được coi là một tập con lồi và đóng trong không gian này.
Ánh xạ E và T là một ánh xạ không giãn từ không gian C vào chính nó, với F(T) khác rỗng Dãy {x t} được xác định bởi công thức x t = tf x t + (1−t)T x t, trong đó f: C −→ C là một ánh xạ co và t thuộc khoảng (0,1), sẽ hội tụ mạnh về một phần tử x ∗ thuộc F(T), thỏa mãn các tính chất cần thiết.
Chú ý 2.2 Trong Định lý 2.3, nếu f(x) = u với mọi x ∈ C, thì x ∗ = Q F (T ) u, trong đó Q F (T ) : C −→ F(T) là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ C lên
Các tác giả J.K Kim và T.M Tuyên đã chứng minh định lý 2.4, trong đó E được xác định là một không gian Banach lồi đều và trơn đều Định lý này áp dụng cho một tập con lồi, đóng và khác rỗng C của E, cùng với ánh xạ A: D(A) ⊆ C −→ 2 E.
B : D(B) ⊆ C −→ 2 E là các toán tử j-đơn điệu với S = A −1 0∩B −1 0 6= ∅ D(A) ⊂ C ⊂ ∩ r>0 R(I+rA) và D(B) ⊂ C ⊂ ∩ r>0 R(I+rB) Xét các dãy số {α n } ⊂ (0,1), {β n } và {γ n } với các điều kiện: i) lim n→∞ α n = 0, P∞ n=0α n =∞; ii) P∞ n=0|α n+1 −α n | 0 và với mọi n, P∞ n=0|β n+1 − β n | < ∞.
Dãy {x n} được xác định bởi công thức y n = J β A n x n và x n+1 = α n u + (1−α n )J γ B n y n, với n = 0, 1, và u, x 0 là các phần tử bất kỳ trong C Dãy này hội tụ mạnh về Q S u, trong đó Q S: C −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ C lên S.
Chứng minh Chứng minh của định lý này được chia thành các bước sau: Bước 1 Dãy {x n } bị chặn.
Lấy p∈S, ta có kx n+1 −pk=kα n u+ (1−α n )J γ B n y n −pk
≤max{ku−pk,kx n −pk}
≤max{ku−pk,kx 0 −pk}, điều này suy ra rằng dãy {x n } là bị chặn Do đó, dãy {y n } cũng bị chặn.
Bước 2 Các dãy {x n } và {y n } là chính qui tiệm cận.
≤ M|α n+1 −α n |+ (1−α n )kJ γ B n+1 y n+1 −J γ B n y n k, trong đó M =kuk+ sup n {kJ γ B n+1 y n+1 k}.
Trường hợp 1 Nếu γ n+1 ≥γ n , từ Bổ đề 1.2, ta có kJ γ B n+1 y n+1 −J γ B n y n k=kJ γ B n ( γ n γ n+1 y n+1 + (1− γ n γ n+1 )J γ B n+1 y n+1 )−J γ B n y n k
≤ ky n+1 −y n k+K|γ n+1 −γ n |, với K = sup n {ky n+1 k+kJ γ B n+1 y n+1 k} ε
Trường hợp 2 Nếu γ n < γ n+1 , từ Bổ đề 1.2, ta có kJ γ B n+1 y n+1 −J γ B n y n k=kJ γ B n+1 y n+1 −J γ B n+1 (γ n+1 γ n y n + (1− γ n+1 γ n )J γ B n y n )k
Từ (2.22), (2.23) và (2.24), ta nhận được kx n+2 −x n+1 k ≤(1−α n )ky n+1 −y n k+K|γ n+1 −γ n | (2.25)
+M|α n+1 −α n |. Bây giờ, ta đánh giá ky n+1 −y n k Ta có ky n+1 −y n k=kJ β A n+1 x n+1 −J β A n x n k
Từ (2.25) và (2.26), ta thu được kx n+2 −x n+1 k ≤(1−α n )kx n+1 −x n k+L|β n+1 −β n | (2.27)
Từ Bổ đề 1.16, kx n+1 −x n k → 0, khi n → ∞ Do đó, từ (2.26), ta cũng có ky n+1 −y n k →0, khi n → ∞.
Phương trình (2.20) có thể viết lại dưới dạng β n Ay n +y n ∋ x n
Từ tính j-đơn điệu của A, ta nhận được hx n −y n , j(y n −p)i ≥ 0 (2.28)
Do đó, hy n −x n+1 , j(y n −p)i ≤ hx n −x n+1 , j(y n −p)i ≤L 1 kx n+1 −x n k, (2.29) với L 1 = sup n {ky n k}+kpk.
Phương trình (2.21) có thể viết lại dưới dạng γ n Bz n +z n ∋y n , z n = x n+1 −α n u
Từ tính j-đơn điệu của B, ta nhận được hy n −z n , j(z n −p)i ≥0.
Do đó, hy n −x n+1 +α n (u−y n ), j(p−x n+1 +α n (u−p))i ≤0, suy ra hy n −x n+1 ,j(p−x n+1 )i ≤ hy n −x n+1 , j(p−x n+1 )
(2.30) vớiL 2 = sup n {(ky n k+kuk)(kp−x n+1 +α n (u−p)k)}vàL 3 = sup n {kx n+1 k+ky n k}.
Từ (2.29) và (2.30), ta nhận được hy n −x n+1 , j(y n −p)−j(x n+1 −p)i ≤ L 1 kx n+1 −x n k+L 2 α n
Từ Bổ đề 1.4, ta có j là liên tục đều theo chuẩn trên mỗi tập con bị chặn của
E và từ k(p−x n+1 )−(p−x n+1 +α n (u−p))k =α n ku−pk →0, suy ra kj(p−x n+1 )−j(p−x n+1 +α n (u−p))k →0 (2.32)
Từ (2.31) và (2.32), ta có hy n −x n+1 , j(y n −p)−j(x n+1 −p)i → 0.
Từ Bổ đề 1.3, ta nhận được g(ky n −x n+1 k) → 0.
Từ tính chất của hàm g, suy ra kx n+1 −y n k →0.
Ta có kx n+1 −J γ B n y n k= α n ku−J γ B n y n k →0 (2.33) kJ γ B n x n+1 −J γ B n y n k ≤ kx n+1 −y n k →0 (2.34)
Từ đó, suy ra kJ γ B n x n+1 −J r B x n+1 k=kJ r B ( r γ n x n+1 + (1− r γ n )J γ B n x n+1 )−J r B x n+1 k
Vì vậy, kx n −J r A x n k ≤ kx n −y n k+ky n −J r A y n k+kJ r A y n −J r A x n k
Từ (2.37) và (2.39), ta thu được kx n −T x n k=kx n − 1
Cho {x t } là dãy xác định bởi x t =tu+ (1−t)T x t , t∈(0,1) Khi đó, theo Định lý 2.3, {x t } hội tụ mạnh về Q S u∈ F(T) =S, khit →0 + Đặt M = sup{kx t −x n k: t∈ (0,1), n≥ 0} Ta có kx t −x n k 2 =thu−x n , j(x t −x n )i+ (1−t)hT x t −x n , j(x t −x n )i
≤thu−x t , j(x t −x n )i+tkx t −x n k 2 + (1−t)kx t −x n k 2 +Mkx n −T x n k, điều này suy ra hu−x t , j(x n −x t )i ≤ M t kx n −T x n k.
Vì x n −T x n →0, nên lim sup n→∞ hu−x t , j(x t −x n )i ≤0 (2.41)
Ngoài ra, vì x t → Q S u khi t→ 0 + và j là liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E, nên
≤ |hu−Q S u, j(x n −Q S u)−j(x n −x t )i|+Mkx t −Q S uk →0. Cho trước ε > 0 (bất kỳ), khi đó tồn tại số δ ∈(0,1) sao cho hu−Q S u, j(x n −Q S u)i< hu−x t , j(x n −x t )i+ε, với mọi t ∈(0, ε).
Từ (2.41), ta nhận được lim sup n→∞ hu−Q S u, j(x n −Q S u)i ≤lim sup n→∞ hu−x t , j(x t −x n )i+ε≤ ε.
Vì ε >0 là bất kỳ, nên lim sup n→∞ hu−Q S u, j(x n −Q S u)i ≤ 0.
Từ Bổ đề 1.6, ta có kx n+1 −Q S uk 2 =kα n u+ (1−α n )J γ B n y n −Q S uk 2
Từ Bổ đề 1.3, ta nhận được x n → Q S u khi n→ ∞. Định lý được chứng minh.
Các tác giả J.K Kim và T.M Tuyên đã nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp {z n } với z 0 ∈C và d n =J β A n z n Họ thiết lập công thức z n+1 =α n f(d n ) + (1−α n )J γ B n d n cho n = 0, 1, 2, , trong đó f : C −→ C là ánh xạ co từ C vào C với hệ số co c ∈ [0,1).
Họ đã chứng minh kết quả quan trọng trong Định lý 2.5, trong đó E được xác định là một không gian Banach lồi đều và trơn đều Tập con C được xem là lồi, đóng và khác rỗng trong E Định nghĩa A là một ánh xạ từ D(A) ⊆ C đến tập hợp con 2 E.
Các toán tử j-đơn điệu B : D(B) ⊆ C và D(A) ⊂ C ⊂ ∩r>0R(I+rA) thỏa mãn điều kiện S = A −1 0∩B −1 0 6= ∅ Đối với các dãy số {α n } ⊂ (0,1) và các dãy số dương {β n }, {γ n}, chúng phải tuân theo các điều kiện sau: lim n→∞ α n = 0 và P∞ n=0α n = ∞; tổng P∞ n=0|α n+1 −α n | phải hữu hạn hoặc lim n→0 α n+1 /α n = 1; các dãy số β n và γ n đều lớn hơn r > 0 với mọi n, đồng thời tổng P∞ n=0|β n+1 −β n | và P∞ n=0|γ n+1 −γ n | cũng phải hữu hạn.
Khi đó, dãy {z n } xác định bởi (2.42) và (2.43) hội tụ mạnh về phần tử x ∗ ∈ S thỏa mãn Q S f(x ∗ ) =x ∗
Chứng minh Gọix ∗ là điểm bất động duy nhấy của Q S f, tức là Q S f(x ∗ ) =x ∗
Từ Định lý 2.4, trong (2.20) và (2.21) thay u bởi f(x ∗ ), thì dãy {x n } hội tụ mạnh về Q S f(x ∗ ) =x ∗
Khi n tiến đến vô cùng, ta chứng minh rằng \( \|z_n - x_n\| \) sẽ tiến về 0 Giả sử giới hạn supremum của \( \|z_n - x_n\| \) lớn hơn 0 Lúc này, ta chọn một số \( \epsilon \) trong khoảng (0, giới hạn supremum của \( \|z_n - x_n\| \)) Vì \( \|x_n - x^*\| \) tiến về 0, nên tồn tại một số tự nhiên \( n_1 \) sao cho \( \|x_n - x^*\| < \frac{1 - c}{c} \epsilon \) với mọi \( n \geq n_1 \) Ta sẽ xem xét hai trường hợp tiếp theo.
(i) Tồn tại n 2 ∈ N thỏa mãn n 2 ≥ n 1 và kz n 2 −x n 2 k ≤ε.
Trong trường hợp (i), ta có kz n 2 +1 −x n 2 +1 k ≤α n 2 kf(d n 2 )−f(x ∗ )k+ (1−α n 2 )kn 2−y n 2 k
Bằng phương pháp qui nạp, ta có thể chứng minh rằng khoảng cách giữa kz n+1 − x n+1 k luôn nhỏ hơn hoặc bằng ε cho mọi n ≥ n2, điều này dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện ε < lim sup n→∞ kz n − x n k Trong trường hợp (ii), với mọi n ≥ n1, ta thấy rằng khoảng cách kz n+1 − x n+1 k có thể được giới hạn bởi biểu thức (1−α n )kd n − y n k + α n kf(d n ) − f(x ∗ )k.
Do vậy, từ Bổ đề 1.16, ta nhận được lim n→∞ kz n −x n k= 0, suy ra mâu thuẫn.
Do đó, lim n→∞ kz n −x n k= 0 Như vậy, ta thu được n→∞lim kz n −x ∗ k ≤ lim n→∞kz n −x n k+ lim n→∞kx n −x ∗ k= 0. Định lý được chứng minh.
Chú ý 2.3 NếuA = 0, thì từ (2.20), ta nhận đượcy n =x n , do đó Bước 3 trong chứng minh của Định lý 2.4 là không cần thiết Như vậy, ta có hệ quả dưới đây:
Hệ quả 2.2 Cho E là không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gâteaux đều, mọi tập con lồi, compact yếu của E đều có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn Xét C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E, với A: D(A) ⊆ C −→ 2 E là toán tử j-đơn điệu sao cho S = A −1 0 6= ∅ và D(A) ⊂ C ⊂ ∩r>0R(I + rA) Giả sử {α n } ⊂ (0,1) và {β n } là các dãy số thực dương thỏa mãn các điều kiện lim n→∞ α n = 0, P∞ n=0α n =∞; P∞ n=0|α n+1 −α n | 0 với mọi n và P∞ n=0|β n+1 −β n |
