BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ XẤP XỈ KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA HAI TOÁN TỬ KIỂU ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ XẤP XỈ KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA HAI TOÁN TỬ KIỂU ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Mã số: B2016-TNA-26 Chủ nhiệm đề tài: TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017 ii BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ XẤP XỈ KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA HAI TOÁN TỬ KIỂU ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Mã số: B2016-TNA-26 Xác nhận tổ chức chủ trì (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2018 iii Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài đơn vị phối hợp Danh sách viên tham gia nghiên cứu đề tài TT Họ tên ThS Nguyễn Thanh Mai ThS Nguyễn Thanh Hường Đơn vị công tác lĩnh vực chun mơn Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHKH, ĐHTN; Tốn Giải tích Khoa Tốn-Tin, Trường ĐHKH, ĐHTN; Tốn Giải tích Nội dung nghiên cứu cụ thể giao Nghiên cứu tính ổn định phương pháp lặp Nghiên cứu phương pháp lặp luân phiên điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern cho tốn xác định khơng điểm chung họ tốn tử đơn điệu cực đại không gian Banach ThS Bùi Khoa Toán-Tin, Nghiên cứu phương pháp điểm Việt Hương Trường ĐHKH, gần kề qn tính hiệu chỉnh ĐHTN; Tốn Giải phân rã tích ThS Khoa Tốn-Tin, Nghiên cứu phương pháp lai Nguyễn Trường ĐHKH, ghép cho tốn tìm nghiệm Song Hà ĐHTN; Toán Giải bất đẳng thức biến phân tích tập điểm họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn Đơn vị phối hợp Tên đơn vị Nội dung phối hợp nước nghiên cứu Viện CNTT, Viện Hàn Tư vấn, định hướng lâm Khoa học Công nghiên cứu nghệ Việt Nam Họ tên người đại diện đơn vị GS TS Nguyễn Bường iv Mục lục Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài đơn vị phối hợp iii Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach 1.2 Một số phương pháp tìm khơng điểm tốn tử j-đơn điệu 1.2.1 Phương pháp điểm gần kề 1.2.2 Phương pháp lặp kiểu Halpern 1.2.3 Phương pháp xấp xỉ mềm 1.3 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh 1.3.1 Khoảng cách Bregman phép chiếu Bregman 1.3.2 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 1.4 Một số bổ đề bổ trợ vi 4 10 11 12 13 13 15 16 Chương Về toán Xấp xỉ khơng điểm tốn tử kiểu đơn điệu 20 2.1 Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép 20 2.2 Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm xấp xỉ khơng điểm chung hai tốn tử j-đơn điệu 29 2.2.1 Phương pháp lặp hội tụ 29 2.2.2 Tính ổn định phương pháp 38 2.2.3 Ví dụ số minh họa 42 2.3 Phương pháp prox-Tikhonov xấp xỉ khơng điểm chung hai tốn tử j-đơn điệu 43 2.3.1 Phương pháp lặp hội tụ 43 2.3.2 Tính ổn định phương pháp 52 2.3.3 Ví dụ số minh họa 55 v 2.4 Xấp xỉ điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 57 Chương Xấp xỉ nghiệm tốn khơng khơng gian Banach 3.1 Sự hội tụ phương pháp lặp song song 3.2 Ứng dụng 3.2.1 Bài toán điểm cực tiểu tách 3.2.2 Bài toán chấp nhận tách 3.3 Ví dụ số minh họa điểm chung tách 59 61 68 68 70 70 Chương Điểm bất động chung ánh xạ Bregman không giãn mạnh 72 4.1 Phương pháp lặp song song 72 4.2 Ứng dụng 78 4.2.1 Bài toán chấp nhận lồi 78 4.2.2 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu cực đại 78 4.2.3 Bài toán cân 79 4.2.4 Không điểm chung toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh 81 4.2.5 Bất đẳng thức biến phân 82 4.3 Hệ toán cân hỗn hợp tổng quát 82 Kết luận 85 vi Một số ký hiệu viết tắt không gian Banach E E ∗ tập hợp số thực R R không gian đối ngẫu E + tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy số {xn } xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vơ bé bậc cao t TOL sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác int(C) phần tập hợp C n→∞ x n ⇀ x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 vii BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung Tên đề tài: Xấp xỉ khơng điểm chung hai tốn tử kiểu đơn điệu ứng dụng Mã số: B2016-TNA-26 Chủ nhiệm đề tài: TS Trương Minh Tuyên Email: tuyentm@tnus.edu.vn Điện thoại: 0982890409 Cơ quan chủ trì: Đại học Thái Nguyên Thời gian thực hiện: 2016-2017 Mục tiêu - Đề xuất phương pháp xấp xỉ không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu mở rộng cho trường hợp hữu hạn toán tử dựa cải tiến phương pháp lặp H H Bauschke, P L Combettes S Reich [2]; - Đề xuất phương pháp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung ánh xạ không giãn hay tập không điểm chung tốn tử kiểu đơn điệu Tính tính sáng tạo Đề tài nghiên cứu đưa phương pháp lặp cho tốn tìm khơng điểm chung hai (hữu hạn) toán tử kiểu đơn điệu, tốn khơng điểm chung tách tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ Bregman không giãn mạnh không gian Banach với số ứng dụng kết thu cho lớp toán khác Kết nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp luận phiên với phương pháp xấp xỉ gắn kết phương pháp prox-Tikhonov cho toán tìm khơng điểm chung hai tốn tử j-đơn điệu không gian Banach (02 báo khoa học); - Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp song song cho tốn khơng điểm chung tách khơng gian Banach (01 báo khoa học); - Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp song song cho toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ Bregman không giãn mạnh không gian Banach phản xạ (02 báo khoa học) Sản phẩm 5.1 Sản phẩm khoa học viii Tuyen T.M (2017), “A strong convergence theorem for the split common null point problem in Banach spaces”, Appl Math Optim., doi.org/10.1007/s00245017-9427-z (SCI) T.M Tuyen (2017), “On the strong convergence theorem of the hybrid viscosity approximation method for zeros of m-accretive operators in Banach spaces”, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 22(2), pp 287–299 (Scopus) Tuyen T M., Ha N S (2017), “Parallel iterative methods for a finite family of sequences of nearly nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, Comp Appl Math., DOI 10.1007/s40314-017-0503-4 (SCIE) Tuyen T.M (2017), “Parallel iterative methods for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, J Fixed Point Theory Appl., 19(3), 1695–1710 (SCIE) Tuyen T.M (2017), “Parallel iterative methods for solving systems of generalized mixed equilibrium problems in reflexive Banach spaces", Optimization, 66 (4), pp 623–639 (SCIE) 5.2 Sản phẩm đào tạo - Hướng dẫn 05 luận văn cao học: Nguyễn Thị Hồng Phương (2016), Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho toán xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Văn Quân (2016), Phương pháp điểm gần kề quán tính xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu ngược đơn điệu mạnh không gian Hilbert, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Thị Thu Thủy (2016), Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Thiên Quang (2017), Một số phương pháp lai tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Hoàng Thị Thương (2017), Xấp xỉ khơng điểm chung hai tốn tử j-đơn điệu không gian Banach, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên - Hướng dẫn 01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học: Trần Thị Thanh Loan (2016), Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích ix mang lại - Về khoa học: Cơng bố số kết mới, có ý nghĩa khoa học tạp chí quốc tế có uy tín ISI (thuộc chủ đề nghiên cứu đề tài) - Về giáo dục đào tạo: Hướng dẫn thạc sĩ, hỗ trợ luận án tiến sĩ thành viên đề tài, phục vụ hiệu cho công tác giảng dạy sau đại học chuyên ngành Toán Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên - Góp phần nâng cao lực nghiên cứu thành viên nhóm thực đề tài, mở rộng hợp tác nghiên cứu Tổ chức chủ trì (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) Trương Minh Tuyên x INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General Information Project title: Approximate a common zero for two monotone type operators and applications Code number: B2016-TNA-26 Coordinator: Dr Truong Minh Tuyen Email: tuyentm@tnus.edu.vn Phone: 0982890409 Implementing institution: Thai Nguyen University Duration: From 1/2016 to 12/2017 Objectives - Study the approximation methods to find the common zero of two monotone type operators and extend this methods for the problem of finding a common zero of a finite family of monotone operators base on the modification of iterative method of H H Bauschke, P L Combettes and S Reich in [11]; - Study the solution approximation methods of the variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive mappings or the set of common zeros of monotones type operators Novelty and creativity The project studied and gave some new iterative methods for solving the problem of finding a common zero of two (finite) monotone type operators, the split common null point problem, and the problem of finding a common fixed point of a finite family of Bregman strongly nonexpansive operators in Banach spaces and some applications of obtained results for some problems related Research results - The project studied the combination alternating iterative method with the viscosity approximation method and prox-Tikhonov method for solving the problem of finding a common zero of two accretive operators in Banach spaces (02 papers); - The project studied two parallel iterative methods for solving the split common null point problem in Banach spaces (01 paper); - The project studied two parallel iterative methods for solving the problem of finding a common fixed point of a finite family of Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces (02 papers) Products 5.1 Scientific publications Tuyen T.M (2017), “A strong convergence theorem for the split common null 77 điều suy p ∈ Cn+1 Do đó, qui nạp, ta nhận p ∈ Cn với n ≥ Suy ra, F ⊂ Cn với n ≥ Vì vậy, dãy {xn } hồn tồn xác định Bước Dãy {xn } bị chặn Với p ∈ F , Từ Bổ đề 1.14 iii), ta có Df (xn , x0 ) = Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (p, x0 ) − Df (p, projfCn (x0 )) ≤ Df (p, x0 ), (4.14) điều suy dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn Do đó, từ Bổ đề 1.15, dãy {xn } bị chặn Bước Tồn giới hạn hữu hạn dãy {Df (xn , x0 )} Vì Cn+1 ⊂ Cn , nên từ Bổ đề 1.14 iii) suy Df (xn+1 , projfCn (x0 )) + Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ), Df (xn+1 , xn ) + Df (xn , x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ) (4.15) Suy {Df (xn , x0 )} dãy đơn điệu tăng kết hợp với (4.14), ta thu giới hạn limn→+∞ Df (xn , x0 ) tồn hữu hạn Bước Dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử p ∈ X Ta có Cm ⊂ Cn với m ≥ n Do đó, xm ∈ Cn Vì, xn = projfCn , nên từ Bổ đề 1.14 iii) ta có Df (xm , xn ) ≤ Df (xm , x0 ) − Df (xn , x0 ) → 0, điều suy Df (xm , xn ), as m, n → +∞ Từ Bổ đề 1.13, xm − xn → 0, m, n → +∞ Do đó, {xn } dãy Cauchy Vì vậy, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử p ∈ X Bước Ta p ∈ F Vì {xn } dãy Cauchy, nên limn→+∞ xn+1 − xn = Từ xn+1 ∈ Cn+1 định nghĩa Cn+1 , ta nhận xn+1 − y n ≤ xn+1 − xn Do đó, limn→+∞ xn+1 − y n = Vì vậy, từ đánh giá xn − y n ≤ xn+1 − xn + xn+1 − y n , ta thu limn→+∞ xn − y n = Từ định nghĩa y n , ta nhận xn − yni → 0, 78 với i = 1, 2, , N Bởi lập luận tương tự Bước chứng minh Định lý 4.1, ta có p ∈ F Bước p = projfF (x0 ) Đặt x† = projfF (x0 ) Vì xn = projfCn (x0 ) F ⊂ Cn , ta có Df (xn , x0 ) ≤ Df (x† , x0 ) Do đó, lập luận tương tự Bước chứng minh Định lý 4.1, ta nhận p = x† Định lý chứng minh Chú ý 4.2 Nếu dãy lặp (4.13), xn+1 = xn = x† , x† điểm bất động chung T1 , T2 , , TN , tức trình lặp (4.13) kết thúc bước lặp thứ n < +∞ 4.2 Ứng dụng Trong mục này, đưa số ứng dụng định lý 4.1 4.2 cho số toán liên quan 4.2.1 Bài toán chấp nhận lồi Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X, cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ toán chấp nhận lồi (CFP) xác định phần tử C Ta biết F (projfCi ) = Ci với i ∈ {1, 2, , N } hàm Legendre f khả vi Fréchet bị chặn tập bị chặn X, phép chiếu Bregman projfCi toán tử BFNE F (projfCi ) = Fˆ (projfCi ) (xem [53]) Do đó, lấy Ti = projfCi Định lý 4.1 Định lý 4.2, ta nhận hai thuật tốn để giải toán chấp nhận lồi Định lý 4.3 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X, cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (4.1) (4.13) với Ti = projfCi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfC (x0 ), n → +∞ 4.2.2 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu cực đại Cho A : X −→ 2X toán tử đơn điệu cực đại tốn tìm phần tử x ∈ X cho ∈ Ax đóng vai trị quan trọng lĩnh vực tối ưu lĩnh vực liên quan ∗ 79 Nhắc lại toán tử giải A, ký hiệu ResfA : X −→ 2X xác định sau (xem [9]): ResfA (x) = (▽f + A)−1 ◦ ▽ f (x) Bauschke cộng [9] chứng minh toán tử giải toán tử BFNE Nếu thêm điều kiện hàm Legendre f khả vi Fréchet bị chặn tập bị chặn X, tốn tử giải ResfA tốn tử BSNE thỏa mãn F (ResfA ) = Fˆ (ResfA ) (xem [53]) Từ F (ResfA ) = A−1 0, Định lý 4.1 Định lý 4.2, ta lấy Ti = ResfAi với i = 1, 2, , N , ta nhận hai thuật tốn cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Định lý 4.4 Cho Ai : X −→ 2X , i = 1, 2, , N N toán tử đơn điệu cực −1 đại cho F = ∩N i=1 Ai = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (4.1) (4.13) với Ti = ResfAi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfF (x0 ), n → +∞ ∗ 4.2.3 Bài toán cân Cho C tập lồi, đóng khác rỗng X Cho g song hàm xác định C × C nhận giá trị R Bài tốn cân phát biểu sau: Tìm phần tử x ∈ C cho g(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (4.16) Ta ký hiệu EP (g) tập nghiệm Bài toán (4.16) Để nghiên cứu Bài toán (4.16), ta cần đặt lên g số giả thiết sau (xem [12]): C1) g(x, x) = với x ∈ C; C2) g đơn điệu, tức là, g(x, y) + g(y, x) ≤ với x, y ∈ C; C3) với x, y, z ∈ C, lim sup g(tz + (1 − t)x, y) ≤ g(x, y); t↓0 C4) với x ∈ C, g(x, ) hàm lồi, nửa liên tục 80 Toán tử giải song hàm g : C × C −→ R (xem [26]) Resfg : X −→ 2C xác định Resfg (x) = {z ∈ C : g(z, y) + ▽f (z) − ▽f (x), y − z ≥ ∀y ∈ C} Ta cần bổ đề (xem [53]): Bổ đề 4.1 Cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm khả vi Gâteaux Cho C tập lồi đóng X Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4), dom (Resfg ) = X Bổ đề 4.2 Cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre Cho C tập lồi đóng X Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4), i) Resfg đơn trị; ii) Resfg toán tử BFNE; iii) tập điểm bất động Resfg tập nghiệm toán cân bằng, tức là, F (Resfg ) = EP (g); iv) EP (g) tập lồi đóng C; v) với x ∈ X u ∈ F (Resfg ), ta có Df (u, Resfg (x)) + Df (Resfg (x), x) ≤ Df (u, x) Do đó, Từ Bổ đề 4.1 Bổ đề 4.2 suy f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X ta lấy Ti = Resfgi , Ti toán tử BSNE với F (Ti ) = Fˆ (Ti ) (xem [53], Bổ đề 1.3.2) Ti có miền hữu hiệu X Do đó, ta có định lý sau: Định lý 4.5 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rống X cho gi : Ci × Ci −→ R, i = 1, 2, , N N song hàm thỏa mãn điều kiện C1-C4 cho S = ∩N i=1 EP (gi ) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (4.1) (4.13) với Ti = Resfgi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ 81 4.2.4 Khơng điểm chung tốn tử Bregman ngược đơn điệu mạnh Lớp toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh xây dựng Butnariu Kassay tài liệu [20] Ta giả sử hàm Legendre f thỏa mãn điều kiện miền sau: ran (▽f − A) ⊂ ran (▽f ) (4.17) Một toán tử A : X −→ 2X gọi toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh (BISM) (domA) ∩ (int domf ) = ∅ với x, y ∈ int domf , ξ ∈ Ax, η ∈ Ay, ta có ∗ ξ − η, ▽f ∗ (▽f (x) − ξ) − ▽f ∗ (▽f (y) − η) ≥ Toán tử phản giải A Af : X −→ 2X xác định Af = ▽fo∗ (▽f − A) Ta biết toán tử A BISM toán tử phản giải Af (đơn trị) tốn tử BFNE (xem [20], Bổ đề 3.5) Reich cộng chứng ∗ minh f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre A : X −→ 2X toán tử BISM cho A−1 (0) = ∅, A−1 (0) = F (Af ) (xem [52], Mệnh đề 7) Do đó, hàm Legendre f khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X, tốn tử phản giải Af đơn trị toán tử BSNE thỏa mãn F (Af ) = Fˆ (Af ) (xem [53], Bổ đề 1.3.2) Bây giờ, cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X cho Ai : X −→ 2X , i = 1, 2, , N N toán tử BISM cho Ci ⊂ domAi với i ∈ {1, 2, , N } f : X −→ R Từ điều kiện miền (4.17), ta có domAfi = (domA) ∩ (int domf ) = domAi trường hợp int domf = X Từ Mệnh đề i) tài liệu [53], ta nhận A−1 (0) = F (Af ) Do đó, ta có định lý sau: Định lý 4.6 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X∗ X cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho Ai : X −→ , i = 1, 2, , N N toán −1 tử BISM cho Ci ⊂ domAi S = ∩N i=1 Ai (0) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Giả sử điều kiện miền (4.17) thỏa mãn với Ai Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (4.1) (4.13) với Ti = Afi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ 82 4.2.5 Bất đẳng thức biến phân Xét toán bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử x† ∈ C cho Ax† , y − x† ≥ ∀y ∈ C, (4.18) A : X −→ X ∗ tốn tử BISM C tập lồi, đóng khác rỗng domA Ta ký hiệu V I(C, A) tập nghiệm Bài toán (4.18) Ta biết (xem [52], Mệnh 8), Reich cộng chứng minh f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre lồi hoàn toàn, thỏa mãn điều kiện miền (4.17) A : X −→ X ∗ toán tử BISM, C tập lồi, đóng khác rỗng domA ∩ int domf , V I(A, C) = F (projfC o Af ) Ta biết phép chiếu Begman projfC tốn tử BSNE thỏa mãn tính chất F (projfC ) = Fˆ (projfC ) Do đó, từ Bổ đề tài liệu [49], projfC o Af toán tử BSNE với F (projfC o Af ) = Fˆ (projfC o Af ) Vì vậy, ta có định lý sau: Định lý 4.7 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho Ai : X −→ X , i = 1, 2, , N N toán tử BISM cho Ci ⊂ domAi S = ∩N i=1 V I(Ci , Ai ) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Giả sử điều kiện miền (4.17) thỏa mãn với Ai Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (4.1) (4.13) với Ti = Afi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ 4.3 Hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Tiếp theo, ta biết toán tử giải tương ứng với toán cân hỗn hợp tổng quát BFNE Do đó, tài liệu [63] chúng tơi nghiên cứu đưa 03 phương pháp lặp song song tương tự phương pháp lặp cho tốn tìm nghiệm chung hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Cho X không gian Banach cho C tập lồi, đóng khác rỗng X Cho Θ : C × C −→ R song hàm, Ψ : X −→ X ∗ toán tử phi tuyến ϕ : C −→ R hàm số xác định C Bài toán cân hỗn hợp tổng quát phát biểu sau: Tìm phần tử x ∈ C cho Θ(x, y) + Ψx, y − x + ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈ C (4.19) Tập nghiệm toán (4.19) ký hiệu GM EP (Θ, ϕ, Ψ), tức GM EP (Θ, ϕ, Ψ) = {x ∈ C : Θ(x, y) + Ψx, y − x + ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈ C} 83 Cho Φi , i = 1, 2, , N song hàm từ C × C vào R, cho ϕi , i = 1, 2, , N hàm số từ C vào R cho Ψi , i = 1, 2, , N toán tử từ X vào X ∗ Xét hệ toán cân hỗn hợp tổng quát sau: Tìm phần tử x ∈ C cho x ∈ ∩N i=1 GM EP (Θi , ϕi , Ψi ) Nếu Ψ = 0, Bài toán (4.19) trở thành toán cân hỗn hợp (xem [23]) tìm phần tử x ∈ C cho Θ(x, y) + ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈ C (4.20) Ta dùng ký hiệu M EP (Θ) để tập nghiệm Bài toán (4.20) Nếu ϕ = 0, Bài tốn (4.19) trở thành tốn cân hỗn hợp tổng quát (xem [60]) tìm phần tử x ∈ C cho Θ(x, y) + Ψx, y − x ≥ ∀y ∈ C (4.21) Tập nghiệm toán (4.21) ký hiệu GEP (Θ, Ψ) Nếu Θ = 0, Bài tốn (4.19) trở thành toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp kiểu Browder (xem [17]) tìm phần tử x ∈ C cho Ψx, y − x + ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀y ∈ C (4.22) Tập nghiệm Bài toán (4.22) ký hiệu M V I(C, ϕ, Ψ) Nếu ϕ = Ψ = 0, Bài toán (4.19) trở thành toán cân (xem [12]) tìm phần tử x ∈ C cho Θ(x, y) ≥ ∀y ∈ C (4.23) Cho Ci , i = 1, 2, , N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Giả sử Θi : Ci × Ci −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4), ϕi : Ci −→ R hàm lồi nửa liên tục từ Ci vào R Ψi : Ci −→ X ∗ toán tử đơn điệu, liên tục, với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 GM EP (Θi , ϕi , Ψi ) = ∅ Để giải toán cân hỗn hợp tổng quát, ta cần số giả thiết đặt lên song hàm Θ : C × C −→ R sau: C1) Θ(x, x) = với x ∈ C; C2) Θ đơn điệu, tức là, Θ(x, y) + Θ(y, x) ≤ với x, y ∈ C; 84 C3) với x, y, z ∈ C, lim sup Θ(tz + (1 − t)x, y) ≤ Θ(x, y); t↓0 C4) với x ∈ C, Θ(x, ) hàm lồi nửa liên tục Chúng thu kết đây: Định lý 4.8 Với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định   yni = ResfΘi ,ϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N,     i in   in := argmaxi=1,2, ,N {Df (yn , xn )}, y n = yn , Cn = {z ∈ X : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     Qn = {z ∈ X : ▽f (x0 ) − ▽f (xn ), z − xn ≤ 0},    x = projf (x ), n ≥ n+1 Cn ∩Qn (4.24) hội tụ mạnh projfF (x0 ) n → +∞ Định lý 4.9 Với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định   C0 = X,     f i   yn = ResΘi ,ϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N, in := argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin , (4.25)     Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},    f x n+1 = projCn+1 (x0 ), hội tụ mạnh projfF (x0 ) n → +∞ Định lý 4.10 Với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định   Q0 = X,     f i   yn = ResΘi ,ϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N, in := argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,     Qn+1 = {z ∈ Qn : ▽f (xn ) − ▽f (y n ), z − y n ≤ 0},    f x n+1 = projQn+1 (x0 ), hội tụ mạnh projfF (x0 ) n → +∞ (4.26) 85 Kết luận Trong đề tài, đạt số kết sau: • Trình bày số vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach; số phương pháp lặp để xấp xỉ khơng điểm tốn tử j-đơn điệu (phương pháp điểm gần kề, phương pháp lặp kiểu Halpern phương pháp xấp xỉ mềm); • Đề xuất phương pháp lai ghép xấp xỉ khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu tài liệu [65]; • Trình bày kết đạt đề tài báo [39] [40] phương pháp lặp luân phiên kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm phương pháp prox-Tikhonov cho tốn tìm khơng điểm chung hai tốn tử j-đơn điệu khơng gian Banach; • Đề xuất phương pháp lặp song song cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần khơng giãn khơng gian Hilbert [66]; • Phương pháp lặp song song cho tốn khơng điểm chung tách khơng gian Banach [64]; • Trình bày hai phương pháp lặp song song cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn toán tử Bregman khơng giãn mạnh hệ tốn cân hỗn hợp tổng quát không gian Banach phản xạ [62, 63]; • Đưa số ứng dụng kết thu cho toán liên quan, với số ví dụ đơn giản nhằm minh họa thêm cho phương pháp 86 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Ambrosetti A., Prodi G (1993), A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, Cambridge [3] Anh P K., Chung C V (2014), “Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings”, Numer Funct Anal Optim., 35, pp 649–664 [4] Anh P.K., Hieu D.V (2016), “Parallel hybrid methods for variational inequalities, equilibrium problems and common fixed point problems”, Vietnam J Math., 44(2), pp 351–374 [5] Alber Y.I (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G (ed.) Theory and Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 15–50 [6] Aoyama K., Kimura Y., Takahashi W., Toyoda M (2007), “Approximation of common fixed points of a countable family of nonexpansive mappings in Banach spaces”, Nonlinear Anal., 67, pp 2350–2360 [7] Barbu V (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Space, Noordhoff, Groningen [8] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2001), “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, Commun Contemp Math., 3, pp 615–647 [9] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2003), “Bregman monotone optimization algorithms”, SIAM J Control Optim., 42, pp 596–636 [10] Bauschke H H., ˇskov´a M E., Reich S (2004), “Projection and proximal point methods convergence results and counterexamples”, Nonlinear Anal., 56, pp 715–738 87 [11] Bauschke H H., Combettes P.L., Reich S (2005), “The asymptotic behavior of the composition of two resolvents”, Nonlinear Anal., 60(2), pp 283–301 [12] Blum E., Oettli W (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math Student, 63, pp 123–145 [13] Bonnans J.F., Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York [14] Bregman L M (1965), “The method of successive projection for finding a common point of convex sets”, Sov Math Dokl., 6, pp 688–692 [15] Browder F E (1968),“ Nonlinear maximal monotone operators in Banach spaces”, Math Ann., 175, pp 89–113 [16] Browder F.E., Petryshyn W.V (1967),“ Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space”, J Math Anal Appl., 20, pp 197–228 [17] Browder F.E (1996), “Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities”, Proc Natl Acad Sci USA., 56, pp 1080–1086 [18] Butnariu D., Iusem A.N (2000), Totally convex functions for fixed points computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [19] Butnariu D., Resmerita E (2006), “Bregman distances, totally convex functions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr Appl Anal., 2006, pp 1–39 [20] Butnariu D., Kassay G (2008), “A proximal-projection method for finding zeroes of set-valued operators”, SIAM J Control Optim., 47, pp 2096–2136 [21] Ceng L.-C., Ansari Q.H., Yao J.-C (2008), “ Mann-type steepset-descent and modified hybrid steepset-descent methods for variational inequality in Banach spaces”, Numerical Functional Analysis and Optim., 29(9-10), pp 987–1033 [22] Ceng L.-C., Ansari Q.H., Schaible S., Yao J.-C (2012), “ Hybrid viscosity approximation method for zeros of m-accretive operators in Banach spaces”, Numerical Functional Analysis and Optim., 33(2), pp 142–165 88 [23] Ceng L.C., Yao J.C (2008), “A hybrid iterative scheme for mixed equilibrium problems and fixed point problems”, J Comput Appl Math., 214, pp 186–201 [24] Censor Y., Lent A (1981), “An iterative row-action method for interval convex programming”, J Optim Theory Appl., 34, pp 321–353 [25] Censor Y., Reich S (1996), “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization”, Optimization, 37, pp 323–339 [26] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), “Equilibrium programming in Hilbert spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 6, pp 117–136 [27] Chen R., Zhu Z (2006), “Viscosity approximation fixed points for nonexpansive and m-accretive operators”, Fixed Point Theory Appl., 2006, pp 1–10 [28] Chen R., Zhu Z (2008), “Viscosity approximation method for accretive operator in Banach spaces”, Nonlinear Anal., 69, pp 1356–1363 [29] Cui H., Su M (2015), “On sufficient ensuring the norm convergence of an iterative sequence to zeros of accretive operators”, Appl Math Comp., 258, pp 67–71 [30] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [31] Goebel K., Reich S (1984), Uniform convexity, hyperbolic geometry and nonexpansive mappings, Marcel Dekker, New York and Basel [32] Guler O (1991), “On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization”, SIAM J Contr Optim., 29(2), pp 403–419 [33] Goldstein A.A (1964), “Convex programming in Hilbert space”, Bull Amer Math Soc., 70, pp 709–710 [34] Hundal H (2004), “An alternating projection that does not converge in norm”, Nonlinear Anal., 57(1), pp 35–61 [35] Jung J.S (2006), “Viscosity approximation methods for family of finite nonexpansive mappings in Banach spaces”, Nonlinear Anal Appl., 64, pp 2536– 2552 89 [36] Jung J.S (2010), “Convergence of composite iterative methods for finding zeros of accretive operators”, Nonlinear Anal., 71, pp 1736–1746 [37] Jung J.S (2010), “Strong convergence of viscosity approximation methods for finding zeros of accretive operators in Banach spaces”, Nonlinear Anal., 72, pp 449–459 [38] Kamimura S., Takahashi W (2002), “Strong convergence of a proximal-type algorithm in a Banach space”, SIAM J Optim., 13, pp 938–945 [39] Kim J.K., Tuyen T.M (2016), “Approximation common zero of two accretive operators in Banach spaces”, Appl Math and Comp., 283, pp 265–281 [40] Kim J.K., Tuyen T.M (2017), “Alternating resolvent algorithms for finding a common zero of two accretive operators in Banach spaces”, J Korean Math Soc., 54(6), pp 1905–1926 [41] Kim T.H., Xu H K (2005), “Strong convergence of modified Mann iterations”, Nonlinear Anal., 61, pp 51–60 [42] Maingé P.E (2008), “ Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization”, Set-Valued Anal., 16, pp 899–912 [43] Martinet B (2004), “Regularisation dinequations variationnelles par approximations successives”, Rev FranMc-aise Informat, Recherche Operationnalle., 4(1970), pp 154–158 [44] Moudafi A (2000), “Viscosity approximation methods for fixed-points problems”, J Math Anal Appl., 241, pp 46–55 [45] Von Neumann J (1930), “ Best approximation in inner product space", N 22 in Annals of Math Studie., Princeton Uninversity Press [46] Levitin E.S., Polyak B.T (1966), “Constrained Minimization Method”, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 6, pp 1–50 [47] Petryshn W.V (1970), “A characterization of strictly convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings”, J Funct Anal., 6, pp 282-291 [48] Qin X., Su Y (2007), “Approximation of a zero point of accretive operator in Banach spaces”, J Math Anal Appl., 329, pp 415–424 90 [49] Reich S (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 313–318 [50] Reich S., Sabach S (2009), “A strong convergence theorem for a proximal type algorithm in reflexive Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 10, pp 471–485 [51] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for a proximal method in reflexive Banach spaces”, Numer Funct Anal Optim., 31, pp 22–44 [52] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, Nonlinear Analysis, 73, pp 122–135 [53] Reich S., Sabach S (2011), “Existence and approximation of fixed points of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, in: Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”, Springer, New York, 49 , pp 301–316 [54] Resmerita E (2004), “On total convexity, Bregman projections and stability in Banach spaces”, J Convex Anal., 11, pp 1–16 [55] Rockafellar R.T (1966), ”Characterization of the subdifferentials of convex functions”, Pacific J Math., 17, pp 497–510 [56] R.T Rockafellar (1970), “On the maximality of sums of nonlinear monotone operators”, Trans Amer Math Soc., 149, pp 75–88 [57] Rockaffelar R.T (1976), “Monotone operators and proximal point algorithm”, SIAM Jour on Contr and Optim., 14, pp 887–897 [58] Sahu D.R., Yao J.C (2011), “The prox-Tikhonov regularization method for the proximal point algorithm in Banach spaces”, J Glob Optim., 51, pp 641-655 Banach spaces”, Optim., 65(2), pp 281–287 [59] Takahashi W (2015),“ The split common null point problem in Banach spaces”, Arch Math., 104, pp 357–365 91 [60] Takahashi W., Toyoda M (2003), “Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings”, J Optim Theory Appl., 118, pp 417–428 [61] Takahashi W., Zembayashi K (2009), “Strong and weak convergence theorems for equilibrium problems and relatively nonexpansive mappings in Banach spaces”, Nonlinear Anal., 70, pp 45–57 [62] Tuyen T.M (2017), “Parallel iterative methods for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, J Fixed Point Theory Appl., 19(3), pp 1695–1710 [63] Tuyen T.M (2017), “Parallel iterative methods for solving systems of generalized mixed equilibrium problems in reflexive Banach spaces", Optimization, 66 (4), pp 623–639 [64] Tuyen T.M (2017), “A strong convergence theorem for the split common null point problem in Banach spaces”, Appl Math Optim., doi.org/10.1007/s00245-017-9427-z [65] T.M Tuyen (2017), “On the strong convergence theorem of the hybrid viscosity approximation method for zeros of m-accretive operators in Banach spaces”, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 22(2), pp 287– 299 [66] Tuyen T M., Ha N S (2017), “Parallel iterative methods for a finite family of sequences of nearly nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, Comp Appl Math., DOI 10.1007/s40314-017-0503-4 [67] Xu H.K (2006), “Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators”, J Math Anal Appl., 314(2), pp 631–643 [68] Xu H.K (2004), “Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., 298, pp 279–291 [69] Zeidler E (1985), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, IIIVariational Methods and Optimization, Springer-Verlag [70] Wong N.C., Sahu D.R., Yao J.C (2008), “Solving variational inequalities involving nonexpansive type mappings”, Nonlinear Anal., 69, pp 125–159