Phát triển phần tử CS MITC3+ dùng phân tích tấm composite nhiều lớp sử dụng lý thuyết layerwise

T ỔNG QUAN CHUNG VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU , CÁC KẾT QUẢ TRONG NƯỚC VÀ NGOÀI NƯỚC ĐÃ CÔNG BỐ

Giới thiệu

Vật liệu composite nổi bật với tỉ lệ cường độ trên khối lượng cao, độ bền cơ học vượt trội và khả năng chịu đựng môi trường ẩm mặn cũng như bức xạ mặt trời Chúng có thể kết hợp linh hoạt với nhiều loại vật liệu khác như gỗ, kim loại và hợp kim Đặc biệt, composite cho phép thay đổi cấu trúc hình học và phân bố các thành phần, tạo ra vật liệu mới với độ bền theo yêu cầu Nhờ vào những đặc tính này, vật liệu composite đáp ứng tốt các tiêu chí khắt khe của nền kỹ thuật hiện đại như nhẹ, bền, chịu va đập và chịu nhiệt.

Trong những năm gần đây, kết cấu tấm nhiều lớp bằng vật liệu composite đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như hàng không, hàng hải, y tế và xây dựng Đặc biệt, vật liệu composite phát triển mạnh mẽ trong các kết cấu không gian vũ trụ, tàu ngầm, nhà máy điện và các công trình cao tầng Một số ứng dụng thực tế của kết cấu composite được minh họa trong Hình 1.1.

Để đạt được kết cấu tấm composite như mong muốn, cần chú trọng đến sự phức tạp trong phân tích và mô hình tính toán Việc phát triển lý thuyết tính toán và các phương pháp giải là cần thiết để sử dụng hiệu quả các tấm ghép nhiều lớp trong thực tiễn.

Trong lĩnh vực lý thuyết tính toán, nhiều mô hình đã được phát triển để phân tích ứng xử của tấm composite nhiều lớp Mô hình lớp tương sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất hoặc bậc cao được ưa chuộng nhờ tính đơn giản và khối lượng tính toán thấp Tuy nhiên, việc quy đổi các đặc trưng vật liệu của các lớp composite về một lớp có thể gây ra sự không chính xác trong kết quả tính toán.

13 toán các ứng xử theo chiều dày tấm Để khắc phục điểm yếu này, lý thuyết layerwise xét đến ứng xử từng lớp của tấm composite được đề xuất

Để giải các kết cấu composite, nhiều phương pháp tính toán như phương pháp giải tích và phương pháp số đã được phát triển, trong đó phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) và phương pháp PTHH trơn được coi là hiệu quả nhất cho việc phân tích các tấm và vỏ, đặc biệt là tấm composite Tuy nhiên, độ chính xác và sự hội tụ của phân tích phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mô hình toán học và lưới phần tử Do đó, việc đề xuất công thức PTHH phù hợp với mô hình tính toán là rất cần thiết để đảm bảo tính hiệu quả và độ tin cậy trong phân tích kết cấu tấm composite nhiều lớp.

Bài viết này sẽ nghiên cứu và phát triển công thức phần tử hữu hạn (PTHH) cho phần tử tam giác 3 nút, áp dụng lý thuyết layerwise để phân tích tấm composite nhiều lớp trên miền phần tử.

Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Lý thuyết layerwise, được đề xuất bởi Reddy, áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) cho từng lớp composite.

Phân tích tĩnh và dao động của kết cấu tấm composite nhiều lớp dựa trên lý thuyết layerwise đã được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp giải tích của Nosier và cộng sự, phương pháp không lưới của Ferreira và cộng sự, và phương pháp dải hữu hạn của Wang và Zhang Trong lĩnh vực PTHH, các công thức PTHH và PTHH trơn đã được áp dụng thành công để phân tích tấm composite nhiều lớp theo lý thuyết layerwise Chalak và cộng sự đã phát triển phần tử tứ giác bậc cao để phân tích ứng xử của tấm sandwich có lõi mềm, trong khi Ramesh và cộng sự đề xuất phần tử tam giác bậc cao nhằm phân tích ứng suất tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp Phùng Văn Phúc và cộng sự đã áp dụng kỹ thuật làm trơn trên miền cạnh phần tử vào phần tử tam giác 3 nút với kỹ thuật khử khóa cắt DSG3, tạo ra phần tử ES-DSG3 để phân tích tĩnh và dao động riêng của tấm composite Tương tự, công thức phần tử ES-MITC3 kết hợp giữa kỹ thuật làm trơn trên cạnh và khử khóa cắt MITC3 đã được Châu Đình Thành trình bày trong nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm sandwich Đinh Công Dự cũng đã nghiên cứu thành công đề tài thạc sĩ trong lĩnh vực này.

Trong bài viết "Phân tích tĩnh và dao động tự do vỏ composite nhiều lớp sử dụng lý thuyết layerwise bằng phần tử hữu hạn trơn CS-MIN3", tác giả Đinh Công Dự đã ứng dụng kỹ thuật làm trơn trên miền con vào phần tử MIN3 Nghiên cứu này cũng phát triển công thức PTHH làm trơn cho các phần tử tấm tam giác 3 nút như DSG3 và CS-DSG3, mở rộng lý thuyết phân tích cho vỏ composite nhiều lớp.

Lý thuyết HSDT với 15 lớp đã được áp dụng để phân tích động tấm composite trên nền đàn nhớt Công thức PTHH trơn, sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 hoặc MITC3+, đã được phát triển cho việc phân tích tấm đồng nhất đẳng hướng và vỏ đồng nhất đẳng hướng Ngoài ra, lý thuyết lớp tương đương cũng được ứng dụng trong phân tích tấm composite nhiều lớp và tấm phân lớp chức năng (FGM) thông qua lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.

M ỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Dựa trên các nghiên cứu trong và ngoài nước, tác giả nhận thấy rằng việc phân tích kết cấu tấm composite nhiều lớp theo lý thuyết layerwise, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất với phần tử tam giác 3 nút và kỹ thuật MITC3+ để khử khóa cắt, cùng với trường biến dạng được làm trơn trên miền con của phần tử (CS), được gọi là phần tử CS-MITC3+, vẫn chưa được nghiên cứu.

Mục tiêu của nghiên cứu này là phát triển công thức phần tử hữu hạn CS-MITC3+ cho tấm composite nhiều lớp, áp dụng lý thuyết layerwise với biến dạng cắt bậc nhất.

Nghiên cứu này đánh giá khả năng ứng dụng của phần tử CS-MITC3+ trong phân tích kết cấu tấm composite nhiều lớp, dựa trên lý thuyết layerwise biến dạng cắt bậc nhất Kết quả đạt được sẽ được so sánh với các kết quả tham khảo để xác định tính hiệu quả và độ chính xác của phương pháp.

N HIỆM VỤ VÀ HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI

Thiết lập công thức PTHH cho phần tử tam giác 3 nút giúp mô phỏng ứng xử của tấm composite nhiều lớp Sử dụng lý thuyết layerwise với biến dạng cắt bậc nhất, kỹ thuật MITC3+ được áp dụng để khử hiện tượng khóa cắt, nâng cao độ chính xác trong phân tích.

Công thức PTHH trơn CS-MITC3+ được sử dụng để tính toán chuyển vị và ứng suất trong các bài toán kết cấu tấm composite nhiều lớp, áp dụng trong miền đàn hồi tuyến tính thông qua chương trình lập trình bằng ngôn ngữ Matlab.

Kết quả tính toán của phần tử CS-MITC3+ được so sánh với các nghiên cứu trước đó, từ đó đưa ra nhận xét và kết luận về độ chính xác cũng như khả năng hội tụ của phần tử này.

P HƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài này chủ yếu áp dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, thiết lập công thức và lập trình tính toán Kết quả thu được sẽ được sử dụng để đánh giá tính chính xác và hiệu quả của nghiên cứu.

Một số nghiên cứu chính sẽ thực hiện như sau:

 Lý thuyết layerwise dựa vào giả thuyết của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tấm composite nhiều lớp

 Công thức phần tử tấm tam giác 3 nút có sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+

 Phương pháp làm trơn trên miền con của phần tử

LÝ THUYẾT LAYERWISE SỬ DỤNG

LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT

Trong lý thuyết layerwise, mỗi lớp được xem xét với bậc tự do độc lập và vật liệu trực hướng Nghiên cứu này áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin để phân tích kết cấu tấm composite Mặc dù luận văn chỉ tập trung vào tấm composite 4 lớp do tính phức tạp của công thức, nhưng phương pháp này có thể được áp dụng cho các tấm composite nhiều lớp khác.

Giả sử tấm composite có 4 lớp như Hình 2.1

Gọi u 0, v 0, w 0 lần lượt là chuyển vị theo phương x, y, z của các điểm trên mặt tiếp giáp giữa lớp (2) và lớp (3)

Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) thì các chuyển vị u (2) , v (2) , w (2) theo phương x (2) , y (2) , z (2) của lớp (2) được xác định như sau

Trong đó, u 0 (2), v 0 (2), w 0 (2) lần lượt là chuyển vị thẳng theo phương x (2) , y (2) , z (2) của các điểm trên mặt trung bình lớp (2);  x (2) là góc xoay của lớp (2) quanh trục y (2) và

 y (2) là góc xoay của lớp (2) quanh trục x (2) với chiều dương qui ước như Hình 2.1

Tương tự, ta có chuyển vị u (3) , v (3) , w (3) theo phương x (3) , y (3) , z (3) của lớp (3) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 được viết như sau:

Góc xoay y (3) của lớp (3) quanh trục x (3) được xác định theo chiều dương như trong Hình 2.1 Để đảm bảo tính liên tục trong chuyển vị giữa các lớp, cần phải đồng bộ hóa chuyển vị của lớp (2) với lớp (3).

(3) tại chỗ tiếp giáp giữa lớp (2) và lớp (3) phải bằng nhau Do đó:

Thế (2.5) vào (2.1), ta có trường chuyển vị của lớp (2) được viết lại

Tương tự, thế (2.6) vào (2.2), ta có

Chuyển vị u (1) , v (1) , w (1) theo phương x (1) , y (1) , z (1) của lớp (1) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 được viết như sau:

 y (1) là góc xoay của lớp (1) quanh trục x (1) với chiều dương qui ước như Hình 2.1 Điều kiện liên tục của chuyển vị giữa lớp (1) và lớp (2) được viết:

Thế (2.11) vào (2.9), chuyển vị của lớp (1) được viết lại:

Tương tự, chuyển vị u (4) , v (4) , w (4) theo phương x (4) , y (4) , z (4) của lớp (4):

 y (4) là góc xoay của lớp (4) quanh trục x (4) với chiều dương qui ước như Hình 2.1

Từ điều kiện chuyển vị liên tục tại vị trí tiếp giáp giữa lớp (3) và lớp (4)

Thế (2.15) vào (2.13), ta có chuyển vị của lớp (4) được viết lại:

Từ trường chuyển vị của từng lớp (k) có thể tìm được trường biến dạng của từng lớp theo lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như sau:

Trong đó,  x ( ) k , y ( ) k , xy ( ) k là biến dạng trong mặt phẳng Oxy và  ( ) xz k , ( ) yz k là biến dạng trượt ngoài mặt phẳng Oxy của lớp thứ (k)

Tương tự thế (2.7) vào (2.17), ta được

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của 1 điểm nằm ở lớp composite (k) có dạng

0 0 0 k k k x x k k y y k k xy xy k k xz xz k k yz yz

16 11 12 66 cos sin 2( 2 )sin cos sin cos 2( 2 )sin cos

( 2 )sin cos ( 2 )sin cos cos sin cos sin

Trong đó,  là góc giữa hướng sợi của lớp composite (k) với trục x có chiều dương quy ước như Hình 2.2 và

25 Ở đây, E 1 (k), E 2 (k) là mô đun đàn hồi theo phương (1), (2) của lớp (k); G 12 (k), G 13 (k),

G 23 (k) là các mô đun đàn hồi trượt; và 12 (k), 21 (k) = 12 (k)(E 1 (k)/ E 2 (k)) là các hệ số Poisson

Hình 2.2: Hướng sợi của lớp composite (k) x y

CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-MITC3+ CHO TẤM COMPOSITE NHIỀU LỚP

Tấm là một loại kết cấu phổ biến trong kỹ thuật, thường phải chịu lực uốn và biến dạng Các phương trình phần tử hữu hạn (PTHH) liên quan đến tấm thường phức tạp hơn so với các loại kết cấu khác.

Nghiên cứu này tác giả sử dụng các lý thuyết biến dạng trượt ngang trong tấm theo thuyết tấm dày Mindlin để mô tả biến dạng của tấm.

X ÂY DỰNG PHẦN TỬ TẤM 3 NÚT MITC3+ CHO TẤM COMPOSITE 4 LỚP THEO LÝ THUYẾT LAYERWISE

Hình 3.1: Phần tử tấm tam giác 3 nút với

Hình 3.2: Định nghĩa a, b, c, d và hệ tọa độ tự nhiên của phần tử

Tấm composite 4 lớp được mô hình hóa bằng các phần tử tam giác 3 nút, với các chuyển vị và góc xoay được tính toán theo lý thuyết layerwise Các giá trị này được xấp xỉ thông qua chuyển vị và góc xoay tại các nút phần tử của từng lớp.

; i i i i i i i i i x i yi y i xi i i x i yi y i xi i i x i yi y i xi i i x i yi y i xi i u N u v N v w N w

Trong đó, u 0i , v 0i , w 0i ,  xi (1),  yi (1),  xi (2),  yi (2),  xi (3),  yi (3),  xi (4),  yi (4) với i = 1, 2, 3 là các chuyển vị và góc xoay của các nút ở đỉnh phần tử; u 04, v 04,  x4 (1),  y4 (1),  x4 (2),

 y4 (2),  x4 (3),  y4 (3),  x4 (4),  y4 (4) là chuyển vị và góc xoay của nút nổi ở trọng tâm phần tử; và các hàm dạng N i được định nghĩa trong hệ tọa độ tự nhiên (,) (xem Hình 3.2)

Thế (3.1) vào (2.20), ta được quan hệ giữa biến dạng màng và uốn của lớp (1) với chuyển vị nút phần tử:

2 2 m i i i x i yi yi i i i m i i i y i xi xi i i i m i i i i xy i i xi yi i i i i

1 1 b i x yi i b i y xi i b i i xy xi yi i i

Trong đó, d i = [u 0i , v 0i , w 0i ,  xi (1),  yi (1),  xi (2),  yi (2),  xi (3),  yi (3),  xi (4),  yi (4)],

Tương tự, thế (3.1) vào (2.23), quan hệ giữa biến dạng màng và uốn của lớp (2) với chuyển vị nút phần tử:

B (3.12) Đối với lớp (3), thế (3.1) vào (2.25), ta có

Tương tự, thế (3.1) vào (2.27) ta được quan hệ giữa biến dạng màng và uốn với chuyển vị nút phần tử của lớp (4) như sau

Khi áp dụng xấp xỉ chuyển vị dạng C 0 vào các biến dạng cắt của các lớp composite, năng lượng biến dạng cắt của từng lớp sẽ tăng lên khi chiều dày lớp giảm, điều này trái ngược với thực tế là khi tấm mỏng hơn, biến dạng cắt ngoài mặt phẳng lại giảm, dẫn đến năng lượng biến dạng cắt gần như bằng không Nếu chỉ sử dụng xấp xỉ này để tính toán, độ võng của tấm sẽ giảm khi chiều dày giảm, hiện tượng này được gọi là hiện tượng khóa cắt Để khắc phục, trong luận văn này, biến dạng cắt ngoài mặt phẳng được xấp xỉ lại trong hệ tọa độ tự nhiên của từng lớp thông qua việc áp dụng kỹ thuật MITC3+ để xác định các điểm buộc Cụ thể, đối với lớp composite (k), biến dạng cắt ngoài mặt phẳng được điều chỉnh như sau.

Giá trị biến dạng cắt ngoài mặt phẳng của lớp (k) tại các điểm buộc I = A, B, C, D, E, F được xác định từ xấp xỉ chuyển vị (3.1) Vị trí và tọa độ của các điểm buộc này được trình bày trong Hình 3.3 và Bảng 3.1.

Hình 3.3: Vị trí điểm buộc trong hệ tọa độ tự nhiên dùng cho kỹ thuật MITC3+ Bảng 3.1: Tọa độ điểm buộc dùng cho kỹ thuật MITC3+ với d =1/10000 Điểm buộc  

Các giá trị biến dạng cắt ngoài mặt phẳng tại các điểm buộc được xác định thông qua chuyển vị nút phần tử d_i, từ đó xấp xỉ biến dạng cắt trong hệ tọa độ.

Bằng cách sử dụng công thức chuyển giá trị biến dạng cắt từ hệ tọa độ tự nhiên sang hệ tọa độ Oxy trong từng lớp, chúng ta có thể xác định mối quan hệ giữa biến dạng cắt ngoài mặt phẳng xấp xỉ theo kỹ thuật MITC3+ và chuyển vị nút phần tử d i của lớp composite (k).

Dạng yếu của phương trình cân bằng tấm composite 4 lớp chịu tác dụng của tải trọng q theo phương vuông góc với mặt trung bình  của tấm có thể viết [2]

Trong đó, V (k) là thể tích của lớp (k), σ ( ) k  x ( ) k  ( ) y k  ( ) xy k  T , τ ( ) k  xz ( ) k  yz ( ) k  T và

Bằng cách chuyển đổi các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử của từng lớp (k) vào dạng yếu, ta có thể thiết lập phương trình cân bằng tĩnh của tấm dưới dạng rời rạc trong phân tích phần tử hữu hạn.

Trong bài viết này, d đại diện cho véc-tơ chuyển vị của toàn bộ kết cấu, trong khi K là ma trận độ cứng tổng thể được hình thành từ các ma trận độ cứng của các phần tử k ij e.

Với  e là diện tích phần tử e,

, , 1, , d ; d k k k k h h k k k k s i s k pq pq pq pq pq pq h h

Và F là véc-tơ lực của kết cấu được lắp ghép từ véc-tơ lực phần tử f i e

P HÁT TRIỂN PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-MITC3+ CHO TẤM COMPOSITE 4 LỚP

Hình 3.4: Ba tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) được tạo ra từ 3 nút 1, 2, 3 và điểm trọng tâm của tam giác

Dựa vào lý thuyết phần tử hữu hạn trơn, biến dạng màng và uốn của lớp composite (k) được xác định qua công thức phần tử MITC3+ trên các miền tam giác con Các miền này được xác định bằng cách nối hai đỉnh của tam giác với nút nổi của phần tử, như thể hiện trong Hình 3.4 Biến dạng màng và uốn của lớp composite (k) được làm trơn theo phương pháp này.

Trong đó,  SC là diện tích miền làm trơn và (x – x C ) là hàm làm trơn thỏa mãn điều kiện

  x x x x (3.30) Để đơn giản, hàm (x – x C ) được chọn là hằng số trên miền làm trơn  SC

Với A SC là diện tích miền làm trơn  SC

Thế (3.31) vào (3.29), trường biến dạng trơn được viết lại

Thế quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử vào (3.32), ta có

Trong công thức (3.33), tích phân ma trận B m k i ( ) và B b k i ( ) trên miền  SC tương đương với việc tính tích phân từng thành phần của ma trận B i m k ( ) và B b k i ( ) Áp dụng định lý Green, tích phân các thành phần của ma trận B i m k ( ) và B b k i ( ) trên miền  SC trở thành tích phân các đạo hàm của hàm dạng N i theo biến x và y, được chuyển thành tích phân trên biên của miền  SC.

SC ed SC ed ed ed i i i x i y ed l ed l

Chiều dài cạnh ed của miền tam giác con  SC được ký hiệu là l ed, trong khi n x và n y là các thành phần theo phương x và y của véc-tơ pháp tuyến n ed tương ứng với cạnh ed.

Các tích phân đường trong công thức (3.34) được tính chính xác bằng cách sử dụng tích phân Gauss 2 điểm

Như vậy, các ma trận quan hệ giữa biến dạng màng trơn và uốn trơn với chuyển vị nút phần tử của từng lớp composite được xác định

2 2 ed ed ed ed i x i x i x m ed ed ed i SC i y i y i y ed l ed ed ed ed ed ed i y i x i x i y i x i y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ed ed i x b ed i SC i y ed l ed ed i x i y

2 2 ed ed ed i x i x m ed ed i SC i y i y ed l ed ed ed ed i y i x i x i y

2 2 ed ed ed ed i x i x i x m ed ed ed i SC i y i y i y ed l ed ed ed ed ed ed i y i x i x i y i x i y

Áp dụng các ma trận gradient biến dạng trơn màng và uốn theo công thức (3.35) - (3.42) vào công thức phần tử hữu hạn (3.26), chúng tôi đã phát triển công thức phần tử hữu hạn trơn trên miền phần tử, được gọi là phần tử CS-MITC3+ Phương pháp này được áp dụng cho tấm composite 4 lớp sử dụng lý thuyết layerwise biến dạng cắt bậc nhất.

T e e m k k m k b k k b k m k k b k ij i SC j SC i SC j SC i SC j SC SC k SC s k s k s k i j k

Do độ võng w4 không liên quan đến chuyển vị của phần tử CS-MITC3, các hàng và cột tự do liên quan đến w4 đã bị loại bỏ khỏi ma trận ke, khiến ma trận này giảm từ kích thước 44x44 xuống 43x43 Hơn nữa, các góc xoay liên quan đến nút nổi sẽ được biểu diễn thông qua chuyển vị và góc xoay tại nút của phần tử bằng kỹ thuật nén tĩnh.

Từ phương trình (**) suy ra d 4 e     k % e 22  1 k d % e 21 e và thế vào phương trình (*), ta được

Trong đó, k e     k % 11 e  k % 12 e   k % 22 e  1 k % 21 e    (3.45) là ma trận độ cứng của phần tử CS-MITC3 liên quan các bậc tự do d e = [u 01 v 01 w 01

Tại nút ở đỉnh tam giác của phần tử, các ma trận con của ma trận độ cứng k% e được xác định, bao gồm k % 11 e, k % 22 e và k % 12 e Những ma trận này liên quan đến bậc tự do tại nút đỉnh phần tử, nút nổi, cùng với sự tương tác giữa chuyển vị tại nút đỉnh và nút nổi.

     f 0 0 0 (3.46) f e là véc-tơ lực phần tử tại nút số 4 phần tử tam giác 3 nút

V Í DỤ 1: T ẤM SANDWICH VUÔNG 3 LỚP CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU

Xét tấm sandwich vuông ba lớp với cạnh chiều dài a, được liên kết tựa đơn và chịu tải trọng phân bố đều q = 1 Đây là trường hợp đặc biệt của tấm composite ba lớp với góc hướng sợi các lớp là [0 0 /0 0 /0 0] Độ dày của lớp ngoài là 0,1t và lớp giữa là 0,8t, trong đó t là chiều dày tổng thể của tấm và tỷ lệ a/t = 10 Đặc trưng vật liệu của lớp giữa được trình bày dưới dạng ma trận độ cứng.

Và của lớp ngoài là Q ( lớp ngoài ) R Q ( lớp giữa ) , Q s ( lớp ngoài ) R Q s ( lớp giữa ) với R = 5, 10 hoặc

Hình 4.1 minh họa hình học và tải trọng phân bố đều của tấm sandwich vuông 3 lớp tựa đơn Để thuận tiện cho việc so sánh với các kết quả tham khảo, các đại lượng không thứ nguyên của độ võng và ứng suất được áp dụng theo công thức đã định sẵn.

Lớp biênLớp giữaLớp biên

Độ hội tụ và tính chính xác của giải pháp CS-MITC3+ được đánh giá qua sai số tương đối của chuyển vị tại tâm tấm và các ứng suất pháp tại (a/2, a/2, t/2), cũng như ứng suất tiếp tại (0, a/2, 0), sử dụng lưới phần tử NxNx2 với lời giải phân tích của Srinivas và Rao [29] Các giá trị N = 8, 16 và 20 đại diện cho số phần tử trên mỗi cạnh của tấm Kết quả về độ võng và ứng suất không thứ nguyên được trình bày trong Bảng 4.1.

Bảng 4.1: Độ võng và ứng suất không thứ nguyên tại tâm tấm sandwich chịu tải trọng phân bố đều

Hình 4.2: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của độ võng tại tâm tấm sanwich chịu tải phân bố đều cho bởi các phần tử khác nhau khi R = 5

Hình 4.3: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của độ võng tại tâm tấm sanwich chịu tải phân bố đều cho bởi các phần tử khác nhau khi R = 15

Từ Hình 4.2 và Hình 4.3, có thể thấy rằng tốc độ hội tụ của chuyển vị tại tâm tấm của các phần tử CS-MITC3+, ES-DSG3, ES-MITC3, NS-DSG3 và CS-DSG3 là tương đương Khi R = 5 hoặc R = 15, phần tử CS-MITC3+ cho kết quả chính xác hơn so với phần tử CS-DSG3 Đặc biệt, phần tử NS-DSG3 đạt kết quả tốt nhất khi R = 5 So với các phương pháp giải tích và PTHH theo lý thuyết lớp tương đương biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và bậc cao (HSDT), cũng như lý thuyết layerwise, phần tử CS-MITC3+ cho độ chính xác cao hơn khi chia lưới 20x20x2 và R = 15.

Hình 4.4: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  x tại (a/2,a/2,t/2) tấm sandwich chịu tải phân bố đều cho bởi các phần tử khác nhau khi R = 10

Hình 4.5: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  x tại (a/2,a/2,t/2) tấm sandwich chịu tải phân bố đều cho bởi các phần tử khác nhau khi R = 15

So sánh kết quả giữa Hình 4.4 và Hình 4.5 cho thấy tốc độ hội tụ của phần tử CS-MITC3+ tương đương với các phần tử khác Độ chính xác của phần tử CS-MITC3+ tương tự như phần tử CS-DSG3 khi R = 10 và R = 15 Đồng thời, phần tử NS-DSG3 cũng đạt kết quả tốt nhất Bảng 4.1 chỉ ra rằng khi chia lưới phần tử 20x20, các kết quả này được củng cố thêm.

Khi R = 15, phương pháp đề xuất trong luận văn cho kết quả vượt trội hơn so với phương pháp PTHH dựa trên lý thuyết tương đương biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và bậc cao (HSDT), cũng như phương pháp không lưới theo lý thuyết layerwise.

Hình 4.6: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  zx tại (0,a/2,0) tấm sandwich chịu tải phân bố đều cho bởi các phần tử khác nhau khi R = 10

Hình 4.7: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  zx tại (0,a/2,0) tấm sandwich chịu tải phân bố đều cho bởi các phần tử khác nhau khi R = 15

Từ kết quả phân tích, tốc độ hội tụ ứng suất tiếp của phần tử CS-MITC3+ tương đương với các phần tử ES-DSG3, ES-MITC3 và NS-DSG3 Khi sử dụng lưới phần tử 20x20x2 và R = 5, phần tử CS-MITC3+ cho kết quả nghiên cứu tốt hơn so với CS-DSG3, nhưng NS-DSG3 vẫn cho kết quả tốt nhất Đặc biệt, độ chính xác của phần tử CS-MITC3+ khi chia lưới 20x20x2 với các giá trị R là 5, 10, 15 cao hơn so với phương pháp PTHH theo lý thuyết tương đương biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và bậc cao (HSDT), cũng như không lưới theo lý thuyết layerwise.

V Í DỤ 2: T ẤM SANDWICH VUÔNG 3 LỚP CHỊU TẢI TRỌNG HÌNH SIN

Tấm sandwich vuông cạnh a, với tải trọng phân bố dạng hình sin, được cấu tạo gồm hai lớp biên dày 0,1t và một lớp giữa dày 0,8t, trong đó t là chiều dày tổng thể của tấm và tỷ lệ a/t = 4.

10, 20, 100 Đặc trưng vật liệu của lớp biên E 2 = 1, E 1 = 25E 2, G 12 = G 13 = 0,5E 2,

Hình 4.8: Hình học và tải trọng hình sin của tấm sandwich vuông 3 lớp tựa đơn

Tấm được chia thành lưới đều với NxNx2 phần tử, trong đó N có thể là 8, 16, 20 hoặc 24, đại diện cho số phần tử trên mỗi cạnh tấm Để so sánh, độ võng và ứng suất không thứ nguyên được sử dụng.

0 2 0 2 0 0 x x y y xz xz yz yz w E t w a ,a , pa t t a ,a ,t ; a ,a ,t pa pa t t

Kết quả tính toán được so sánh với lời giải chính xác của N J Pagano và một số lời giải khác, cùng với lý thuyết layerwise sử dụng phần tử ES-DSG3 Độ hội tụ và tính chính xác của lời giải CS-MITC3+ được khảo sát thông qua sai số tương đối của chuyển vị tại tâm tấm và các ứng suất, được thể hiện qua các lưới phần tử NxNx2 Các kết quả này được trình bày trong các hình ảnh minh họa, cho thấy sự tương quan giữa các giá trị tính toán và lời giải chính xác.

Lớp biên Lớp giữa Lớp biên

Bảng 4.2: Độ võng và ứng suất không thứ nguyên của tấm sandwich chịu tải trọng hình sin a/t Phương pháp w  x  y  xz  yz

Từ Hình 4.9 và Hình 4.10, ta thấy rằng tốc độ hội tụ của chuyển vị tại tâm tấm cho các phần tử CS-MITC3+, ES-DSG3, ES-MITC3, NS-DSG3, và CS-DSG3 là tương đương Ở tỷ lệ a/t = 10, phần tử CS-MITC3+ thể hiện độ chính xác cao hơn so với CS-DSG3 và NS-DSG3 Tuy nhiên, khi a/t = 100, phần tử NS-DSG3 đạt kết quả tốt nhất So với phương pháp PTHH với phần tử tứ giác 9 nút (FEMQ9) như trình bày ở Bảng 4.2, phần tử CS-MITC3+ mang lại kết quả vượt trội hơn.

Hình 4.9: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của độ võng tại tâm tấm sandwich vuông

3 lớp chịu tải hình sin cho bởi các phần tử khác nhau khi a/t = 10

Độ chính xác và tốc độ hội tụ của độ võng tại tâm tấm sandwich vuông 3 lớp chịu tải hình sin được thể hiện qua các phần tử khác nhau khi tỉ lệ a/t = 100.

Hình 4.11: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  x tại (a/2,a/2,t/2) tấm sandwich vuông 3 lớp chịu tải hình sin cho bởi các phần tử khác nhau khi a/t = 4

Hình 4.12: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  x tại (a/2,a/2,t/2) tấm sandwich vuông 3 lớp chịu tải hình sin cho bởi các phần tử khi a/t = 100

So sánh kết quả từ Hình 4.11 và Hình 4.12 cho thấy tốc độ hội tụ của phần tử CS-MITC3+ tương đương với các phần tử khác Độ chính xác của phần tử CS-MITC3+ tương tự như phần tử CS-DSG3 khi a/t = 4 và cao hơn khi a/t = 100 Trong khi đó, phần tử NS-DSG3 vẫn cho kết quả tốt nhất ở cả hai giá trị a/t = 4 và 100 Theo Bảng 4.2, khi sử dụng lưới phần tử 24x24x2, kết quả ứng suất σ x của phần tử CS-MITC3+ vượt trội hơn so với kết quả từ tài liệu [8].

Hình 4.13 trình bày độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  yz tại tọa độ (a/2,0,0) trong tấm sandwich vuông 3 lớp chịu tải hình sin, với các phần tử khác nhau khi tỉ lệ a/t = 4.

Hình 4.14: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  yz tại (a/2,0,0) tấm sanwich vuông 3 lớp chịu tải hình sin cho bởi các phần tử khi a/t = 100

Kết quả từ Hình 4.13 và Hình 4.14 cho thấy tốc độ hội tụ ứng suất tiếp của phần tử CS-MITC3+ tương đương với các phần tử ES-DSG3, ES-MITC3 và CS-DSG3 Khi sử dụng lưới phần tử 24x24x2 và tỷ lệ a/t = 4, nghiên cứu này cho thấy kết quả tốt hơn so với phần tử CS-DSG3 và ES-DSG3 Đặc biệt, phần tử ES-MITC3 đạt được kết quả tốt nhất về ứng suất tiếp Ở tỷ lệ a/t = 100, tốc độ hội tụ của phần tử CS-MITC3+ cũng được cải thiện đáng kể.

MITC3+ tốt nhất Độ chính xác của  yz cho bởi phần tử CS-MITC3+ khi chia lưới 24x24x2 với a/t = 4, 10, 20, 100 không tốt hơn so với kết quả của [8], [33]

V Í DỤ 3: T ẤM 4 LỚP [0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ] COMPOSITE VUÔNG CHỊU TẢI HÌNH SIN

Xét tấm composite vuông với cạnh a và độ dày t, chịu tải trọng hình sin sin(πx/a)sin(πy/a) như Hình 4.15 Tỉ số a/t được xác định là 4, 10, 20 hoặc 100 Tấm này bao gồm 4 lớp, với hướng sợi và độ dày của từng lớp như sau: lớp 1 (0°) dày 0,25t, lớp 2 (90°) dày 0,25t, lớp 3 (90°) dày 0,25t, và lớp 4 (0°) dày 0,25t Đặc trưng vật liệu của các lớp được xác định với E2 = 1, E1 = 25E2, G12 = G13 = 0,5E2, G23 = 0,2E2, và hệ số Poisson ν12 = 0,25 Để so sánh với các kết quả tham khảo, chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên sẽ được sử dụng.

0 2 2 2 x x y y xz xz xy xy w E t w a ,a , pa t t a ,a ,t ; a ,a ,t pa pa t t

Tấm được chia lưới đều với NxNx2 phần tử tam giác Ở đây, N = 8, 16, 20 là số phần tử trên mỗi cạnh của tấm

Hình 4.15: Hình học và tải trọng hình sin của tấm [0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ] composite vuông tựa đơn t a a x z y

Kết quả tính toán sẽ được so sánh với một số lời giải chính xác của N J Pagano

Kết quả tính toán theo lý thuyết layerwise sử dụng phương pháp PTHH được trình bày trong Bảng 4.3, cho thấy sai số tương đối so với lời giải chính xác của N J Pagano [35] cho phần tử đề xuất CS-MITC3+ Các lưới phần tử khác nhau được thể hiện qua các Hình 4.16 đến 4.21, sẽ được sử dụng để đánh giá độ chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp.

Bảng 4.3: Độ võng và ứng suất không thứ nguyên của tấm [0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ] composite chịu tải trọng hình sin a/t Phương pháp w  x  y  xz  xy

Hình 4.16: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của độ võng tại tâm tấm 4 lớp

[0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ] composite vuông chịu tải hình sin cho bởi các phần tử khác nhau khi a/t = 4

Hình 4.17: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của độ võng tại tâm tấm

[0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ] composite vuông chịu tải hình sin cho bởi các phần tử khi a/t = 100

Từ Hình 4.16 và Hình 4.17, ta thấy rằng tốc độ hội tụ của chuyển vị tại tâm tấm được cung cấp bởi các phần tử CS-MITC3+, ES-DSG3, ES-MITC3, NS-DSG3 và CS-DSG3 là tương đương Tuy nhiên, độ chính xác của phần tử CS-MITC3+ vượt trội hơn so với CS-DSG3 khi a/t = 4, và cũng tốt hơn so với ES-DSG3 và CS-DSG3 khi a/t = 100.

Kết quả cho thấy phần tử CS-MITC3+ với kích thước 20x20x2 đạt độ chính xác cao hơn so với phương pháp PTHH theo lý thuyết tương đương biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và bậc cao (HSDT) với các tỷ lệ a/t = 4, 10, 20, như được trình bày trong Bảng 4.3.

Hình 4.18: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  x tại (a/2,a/2,t/2) của tấm

Hình 4.19: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  x tại (a/2,a/2,t/2) của tấm [0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ] composite vuông chịu tải hình sin cho bởi các phần tử khi a/t = 100

So sánh kết quả từ Hình 4.18 và Hình 4.19 cho thấy tốc độ hội tụ của ứng suất pháp từ phần tử CS-MITC3+ tương đương với các phần tử khác Độ chính xác của CS-MITC3+ tương tự như CS-DSG3 khi a/t = 4, nhưng chính xác hơn khi a/t = 100 Phần tử NS-DSG3 đạt kết quả tốt nhất ở cả hai tỉ lệ a/t = 4 và 100 Kết quả từ Bảng 4.3 chỉ ra rằng khi chia lưới phần tử 20x20x2 với a/t = 4, độ chính xác của các phần tử này có sự khác biệt rõ rệt.

Kết quả của phần tử CS-MITC3+ ở các mức 10 và 20 vượt trội hơn so với các phương pháp dải, lớp tương đương theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 3, cũng như phương pháp PTHH theo lý thuyết tương đương biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và bậc cao (HSDT).

Hình 4.20: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  yz tại (a/2,0,0) tấm

Hình 4.21: Độ chính xác và tốc độ hội tụ của ứng suất  yz tại (a/2,0,0) tấm

[0 0 /90 0 /90 0 /0 0 ] composite vuông chịu tải hình sin cho bởi các phần tử khi a/t = 100

Kết quả từ Hình 4.20 và Hình 4.21 cho thấy tốc độ hội tụ của ứng suất tiếp đối với phần tử CS-MITC3+ tương đương với các phần tử ES-DSG3, ES-MITC3 và NS-DSG3, trong khi phần tử CS-DSG3 có tốc độ hội tụ giống nhau Khi áp dụng lưới phần tử 24x24x2 với tỷ lệ a/t = 4, kết quả thu được cho thấy sự nhất quán trong hiệu suất của các phần tử này.

Phần tử CS-MITC3+ thể hiện hiệu suất vượt trội so với các phần tử NS-DSG3, ES-DSG3 và ES-MITC3, trong khi CS-DSG3 mang lại kết quả tốt nhất Khi tỷ lệ a/t = 100, độ chính xác của phần tử CS-MITC3+ tương đương với các phần tử khác Theo dữ liệu từ Bảng 4.3, khi áp dụng lưới phần tử 20x20x2 với các tỷ lệ a/t là 4, 10, và 20, nghiên cứu này cho thấy kết quả tốt hơn so với các phương pháp PTHH dựa trên lý thuyết tương đương biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và bậc cao (HSDT).

Tiêu đề	Phát Triển Phần Tử CS-MITC3+ Dùng Phân Tích Tấm Composite Nhiều Lớp Sử Dụng Lý Thuyết Layerwise
Tác giả	Chu Văn Thiên
Người hướng dẫn	TS. Châu Đình Thành
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng Và Công Nghiệp
Thể loại	luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2017
Thành phố	Tp. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	62
Dung lượng	3,68 MB