Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 06 (08/2020), 651-662 Transport and Communications Science Journal MACROSCOPIC THERMAL BEHAVIOR OF LAMINATE COMPOSITES WITH ROUGH INTERFACE BETWEEN LAYERS Tran Anh Tuan1,3*, Nguyen Dinh Hai2,3 Section of Bridge and Tunnel Engineering, University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Section of Materials of Construction, University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Research and Application Center for Technology in Civil Engineering (RACE), University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 24/03/2020 Revised: 27/5/2020 Accepted: 30/6/2020 Published online: 28/8/2020 https://doi.org/10.25073/tcsj.71.6.2 * Corresponding author Email: anh-tuan.tran@utc.edu.vn Abstract The present work aims to determine the macroscopic thermal behavior of layered composites in which the interface between two neighboring layers undulates periodically along two directions in the plane normal to the layering direction To overcome the difficulties arising from the presence of interfacial roughness, a two – scale homogenization method is proposed in the present work First, at the mesoscopic scale the rough interface zone is homogenized as an equivalent interphase by using a numerical method based on the fast Fourier transform Then, at the macroscopic scale, the effective thermal conductivity of the two-layered composite is estimated with the help of the classical homogenization theory of laminate composite Finally, results obtained by this method are compared with corresponding numerical result given by finite element method Keywords: macroscopic thermal behavior, fast Fourier transform, laminate composite, two – scale homogenization method, rough interface © 2020 University of Transport and Communications 651 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số 06 (08/2020), 651-662 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải ỨNG XỬ NHIỆT VĨ MƠ CỦA VẬT LIỆU TỔNG HỢP XẾP LỚP CĨ KỂ ĐẾN MẶT PHÂN GIỚI GỒ GHỀ GIỮA CÁC LỚP Trần Anh Tuấn1,3*, Nguyễn Đình Hải2,3 Bộ mơn Cầu hầm, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam Bộ môn Vật liệu xây dựng, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam Trung tâm nghiên cứu ứng dụng công nghệ xây dựng, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THÔNG TIN BÀI BÁO CHUYÊN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 24/03/2020 Ngày nhận sửa: 27/5/2020 Ngày chấp nhận đăng: 30/6/2020 Ngày xuất Online: 28/8/2020 https://doi.org/10.25073/tcsj.71.6.2 * Tác giả liên hệ Email: anh-tuan.tran@utc.edu.vn Tóm tắt Nghiên cứu thực với mục đích xác định ứng xử nhiệt cấp độ vĩ mơ vật liệu xếp lớp mặt phân giới hai lớp vật liệu gợn sóng theo chu kỳ theo hai phương mặt phẳng vuông góc với phương xếp lớp Để đồng hố vật liệu xếp lớp có kể đến tính nhám mặt phân giới, phương pháp đồng hoá hai cấp độ đề xuất nghiên cứu Đầu tiên cấp độ meso miền phân giới tuần hoàn đồng thành lớp tương đương cách sử dụng phương pháp số dựa biến đổi nhanh Fourier Sau cấp độ vĩ mơ, tính truyền nhiệt có hiệu vật liệu tổng hợp hai lớp xác nhận cách sử dụng lý thuyết cổ điển vật liệu xếp lớp Cuối kết nhận phương pháp so sánh với kết thu phương pháp phần tử hữu hạn Từ khóa: ứng xử nhiệt vĩ mô, biến đổi nhanh Fourier, vật liệu tổng hợp xếp lớp, phương pháp đồng hoá hai giai đoạn, mặt phân giới nhám © 2020 Trường Đại học Giao thông vận tải ĐẶT VẤN ĐỀ Khi nghiên cứu vật liệu tổng hợp nhiều thành phần, thông thường mặt phân giới 652 Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 06 (08/2020), 651-662 pha cấu thành nên vật liệu tổng hợp thường giả sử trơn [1 - 4] Tuy nhiên xem xét cấp độ vi mơ giả thuyết khơng cịn nữa, mà mặt phân giới pha trở gồ ghề [5, 6] Do để xác định tính truyền nhiệt có hiệu vật liệu tổng hợp tính gồ ghề mặt phân giới pha cấu thành cần phải xem xét Trong ngành xây dựng cơng trình nói chung xây dựng cơng trình giao thơng nói riêng vật liệu xếp lớp loại vật liệu sử dụng tương đối phổ biến Khi áp dụng vào công trình thực tế, người ta xem vật liệu xếp lớp đồng quan tâm đến ứng xử vĩ mơ Ứng xử phụ thuộc vào nhiều yếu tố tính chất, tỷ lệ thể tích phân bố vật liệu thành phần Ứng xử vĩ mô vật liệu xếp lớp mặt phân giới hai lớp trơn nhẵn xác định nhiều phương pháp giải tích, phương pháp phần tử hữu hạn [1- 4, 7, 8] …Tuy nhiên mặt phân giới lớp gồ ghề phương pháp cổ điển nêu khơng cịn hữu dụng Trong nghiên cứu ta quan tâm đến việc xác định tính chất truyền nhiệt vĩ mơ vật liệu xếp lớp có xét tới mặt phân giới hai lớp vật liệu gồ ghề (gai): cấu trúc gồ ghề có dạng trụ bố trí tuần hồn Để đồng hố vật liệu mơ hình đồng hố hai cấp độ (Two scale homogenization method TSHM) [5, 6] triển khai, cấp độ meso (trung bình) mơ hình bán giải tích dựa biến đổi nhanh Fourier [8 - 10] thực để đồng hoá miền phân giới gồ ghề, sau miền phân giới gồ ghề đồng hoá ta coi lớp tương đương, lúc vật liệu tổng hợp coi ba lớp xếp chồng lên Ở cấp độ vĩ mô ta áp dụng mơ hình giải tích cổ điển [1, 3, 4] để xác định tính truyền nhiệt có hiệu vật liệu xếp lớp MƠ TẢ BÀI TỐN Vật liệu tổng hợp dẫn nhiệt xem xét nghiên cứu bao gồm hai vật liệu (1) xếp chồng, miền phân giới gồ ghề hai lớp vật liệu kí hiệu 𝜔 (𝑐) với cấu trúc gồ ghề dạng trụ bố trí tuần hồn Hình Cả hai vật liệu cấu thành nên vật liệu tổng hợp coi truyền nhiệt đẳng hướng 𝐊 (𝑖) = 𝑘𝑖 𝐼 Phương trình truyền nhiệt pha thành phần vật liệu tổng hợp miêu tả định luật Fourier [5, 6]: (2) 𝐪(𝑖) = 𝐊 (𝑖) ∇𝜃 (𝑖) (1) 𝐞(i) = −∇𝜃 (𝑖) (2) ∇ ∙ 𝐪(𝑖) = (3) Trong 𝐪(𝑖) , 𝐊 (𝑖) 𝜃 (𝑖) vector dòng nhiệt, tensor hệ số dẫn nhiệt nhiệt độ i với i = 1, 2, Vector mật độ nhiệt định nghĩa công thức: Ở trạng thái ổn định (nhiệt độ khơng đổi theo thời gian) khơng có nguồn phát nhiệt, vector dịng nhiệt 𝐪(𝑖) phải thoả mãn phương trình cân lượng: (𝑖) với 𝜌𝑐 nhiệt dung riêng vật liệu i có đơn vị J.K-1.m-3 P nguồn nhiệt có đơn vị W.m-3 Hệ số dẫn nhiệt vật liệu miền phân giới 𝜔 (𝑐) biểu diễn sau 𝑁 (α) 𝐊(𝐱) = ∑ 𝜒 𝑖=1 (𝑖) (𝐱)𝐊 (1) 𝑁 + [1 − ∑ 𝜒 (𝑖) (𝐱)] 𝐊 (2) 𝑖=1 (4) 𝐊 với α = 1, tensor hệ số dẫn nhiệt hai vật liệu cấu thành nên vật liệu tổng hợp χ(i) (𝐱) hàm đặc trưng pha 1(1≤ i ≤N) đặc trưng miền (i) , hàm có đặc điểm sau: 653 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số 06 (08/2020), 651-662 (𝑖) 𝜒 (𝑖) (𝐱) = {1 𝑛ế𝑢 𝐱 ∈ (𝑖) 𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ (5) Khi liên kết vật liệu coi hồn hảo trường nhiệt độ thành phần pháp tuyến vector dòng nhiệt phải liên tục qua nó, nghĩa là: ⟦𝐪 ∙ 𝒏⟧ = 𝟎, ⟦θ⟧ = (6) Hình Vật liệu dẫn nhiệt hai pha với miền phân giới trụ bố trí tuần hoàn Khi mặt phân giới pha hoàn hảo, cấp độ vĩ mô, vector mật độ nhiệt E vector dòng nhiệt Q xác định theo công thức 𝐄= 𝐐= (∫ 𝜃 (1) (𝐱)𝑑𝐱 + ∫ 𝜃 (2) (𝐱)𝑑𝐱) |Ω| Ω(1) Ω(2) (∫ 𝐪(1) (𝐱)𝑑𝐱 + ∫ 𝐪(2) (𝐱)𝑑𝐱) |Ω| Ω(1) Ω(2) ĐỒNG NHẤT HOÁ HAI CẤP ĐỘ (7) (8) 3.1.Cấp độ meso – Xác định hệ số dẫn nhiệt có hiệu miền phân giới Áp trường mật độ nhiệt lên lên mặt giới hạn 𝜕𝜔 miền phân giới 𝜔 (𝑐) : 𝜃(𝐱) = −𝐄 ∙ 𝐱, 𝐱 ∈ 𝜔 (9) Trong 𝐄 số vector mật độ nhiệt đặt biên Quan sát điều kiện biên phương trình (9) phương trình biến dạng vĩ mơ (7) thấy giá trị E giá trị vĩ mơ vector mật độ nhiệt Xét miền phân giới mặt cắt vật liệu tuần hoàn nên ta cần nghiên cứu nhân tuần hoàn 𝒰 thay nghiên cứu tồn miền phân giới 654 Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 06 (08/2020), 651-662 với nhân tuần hoàn 𝒰 định nghĩa sau: ℎ ℎ 𝒰 = {𝐱 ∈ |−𝜆𝛼 ≤ 𝑥𝛼 ≤𝜆𝛼 , − ≤ 𝑥3 ≤ } (10) với 𝛼 = 1,2; 2𝜆1 2𝜆2 kích thước nhân tuần hồn mặt phẳng vng góc với phương dọc trục h chiều cao trụ, kích thước phải đủ lớn so với 𝜆𝛼 Ở ta đưa khái niệm “môi trường đối chứng” với tensor đàn hồi 𝐊 (0), đồng thời đặt ∆𝐊 = 𝐊 − 𝐊 (0) , phương trình (3) viết lại sau: ∇ ∙ [(∆𝐊 + 𝐊 (0) )𝐞] = (11) 𝐞(𝐱) = 𝐄𝟎 + 𝐞∗ (𝐱) (12) vector mật độ nhiệt e(𝐱) tách thành hai phần sau 𝐞∗ (𝐱) vector mật độ nhiệt nhiễu tuần hoàn, trường nhiệt độ liên hệ với vector mật độ nhiệt nhiễu tuần hoàn ký hiệu 𝜃 ∗ (𝐱) theo phương trình (12) Thay phương trình (12) vào (11) ta ∇ ∙ [𝐊 (0) ∇𝜃 ∗ (𝐱)] + ∇ ∙ 𝜏(𝐱) = với (13) 𝜏(𝐱) = ∆𝐊[𝐄𝟎 + 𝐞∗ (𝐱)] = [𝐊 − 𝐊 (0) ] 𝐞(𝐱) (14) trường phân cực Áp dụng biến đổi nhanh Fourier cho trường nhiệt độ, phân cực mật độ nhiệt sau: 𝑁𝑘 𝜃 ∗ (𝐱) = ∑ 𝜃̂ ∗ (𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 , 𝝃 𝑁𝑘 𝝉(𝐱) = ∑ 𝝉̂(𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 , 𝝃 𝑁𝑘 𝐞(𝐱) = ∑ 𝐞̂(𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 𝝃 (15) phương trình (15) ta có 𝑖 = √−1 số ảo, 𝜃̂ ∗ (𝝃), 𝝉̂(𝝃), 𝐞̂(𝝃) biến đổi Fourier rời rạc 𝜃 ∗ (𝐱), 𝜏(𝐱), 𝐞(𝐱); 𝝃=(𝜉1 , 𝜉2 , 0) = ( 𝑛1 𝜋 𝑛2 𝜋 𝜆1 , 𝜆2 ,0) với n1 n2 = -Nk+1, - Nk+2, …,0,1, …, Nk vector sóng rời rạc 2D, tổng tất vector sóng rời rạc 2Nk x 2Nk Thay biểu thức (15) vào phương trình (13) ta có 𝑁𝑘 𝑁𝑘 (0) ∑(𝜉𝑚 𝐾𝑚𝑗 𝜉𝑗 )𝜃̂ ∗ (𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 + ∑ 𝑖𝜉𝑚 𝜏̂ 𝒎 (𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 𝜉=1 𝜉=1 Giải phương trình (16) ta được: 𝜃̂ ∗ (𝝃) = − 𝑖𝝃 𝝉̂(𝝃) 𝝃𝐊 (0) 𝝃 Mặt khác ta lại có 𝐞̂(𝝃) − 𝐄̂(𝝃) = 𝐞̂∗ (𝝃) = −𝒊𝜉𝜃̂ ∗ (𝝃) với 655 =0 (16) (17) Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 06 (08/2020), 651-662 𝐄̂(𝝃) = { 𝐄 𝝃 = 𝟎 𝟎 𝝃 ≠ 𝟎 với dẫn tới 𝐞̂(𝝃) = 𝐄̂(𝝃) + 𝚪̂ (𝟎) (𝝃)𝝉̂(𝝃) (18) 𝚪̂ (𝟎) (𝝃) = (19) 𝝃⨂𝝃 𝝃𝐊 (0) 𝝃 biến đổi Fourier toán tử Green cho tốn nhiệt Từ phương trình (4), (14) (18) trường phân cực nhiễu không gian Fourier xác định sau: 𝝉̂(𝝃) = (𝐊 (2) −𝐊 (0) )𝐞̂(𝝃) + (𝐊 (1) −𝐊 (2) 𝑵 ) ∑[𝜒̂ (𝑖) ∗ 𝐞̂(𝝃)] 𝒊=𝟏 (20) với ký hiệu * tích “convolution” [8] khơng gian Fourier , biến đổi Fourier 𝜒̂ (𝑖) (𝝃 − 𝝃′ ) hàm 𝜒̂ (𝑖) (𝐱) hay cịn gọi hàm hình dạng kích thước pha i đưa biểu thức 𝜒̂ (𝑖) ′ 𝑒 −𝑖(𝝃−𝝃 )∙𝐱 (𝝃 − 𝝃 = |𝑈| ′) (𝑖) ′ ∫ 𝑒 −𝑖(𝝃−𝝃 )∙𝐱̃ 𝑑𝐱̃ ω(𝑖) Ở đây, vector sóng rời rạc 𝝃′ định nghĩa 𝝃′ =(𝜉1′ , 𝜉2′ , 0) = ( = -Nk+1, - Nk+2, …,0,1, …, Nk 𝑛1′ 𝜋 𝑛2′ 𝜋 𝜆1 , 𝜆2 (21) ,0) với 𝑛1′ 𝑛2′ Trong không gian Fourier, vector mật độ nhiệt có dạng 𝐞̂ = 𝐄̂ + 𝚪̂ (𝟎) (𝝃) {(𝐊 (2) −𝐊 (0) ): 𝐞̂ + [𝐊 (1) −𝐊 (2) 𝑁 ] ∑ 𝜒̂ (𝑖) ∗ 𝐞̂} 𝑖=1 (22) Tương ứng với đó, vector dịng nhiệt khơng gian Fourier nhận thông qua quan hệ (1): ̂(𝝃) = 𝐊 𝐪 (2) 𝐞̂(𝝃) + (𝐊 (1) −𝐊 (2) 𝑁 ) ∑[𝜒̂ (𝑖) ∗ 𝐞̂](𝝃) 𝑖=1 (23) Để xác định trường nghiệm nhiệt độ 𝜃 , ta giải phương trình (22) khơng gian Fourier theo thuật tốn sau: • Tại vịng lặp i = ta gán: 𝐞̂1 (𝝃) = 𝐄(𝝃), 𝑁 ̂1 (𝝃) = 𝐊 (2) 𝐞̂1 (𝝃) + (𝐊 (1) − 𝐊 (2) ) ∑[𝜒̂ (𝑖) ∗ 𝐞̂1 ](𝝃) 𝐪 656 𝑖=1 (24) (25) Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 06 (08/2020), 651-662 • Vịng lặp i +1: Với giá trị 𝐞𝑖 (𝝃), 𝐪𝑖 (𝝃) biết, 𝑁 𝐞̂𝑖+1 = 𝐄̂ + 𝚪̂ (𝟎) (𝝃) {(𝐊 (2) − 𝐊 (0) ): 𝐞̂𝑖 + [𝐊 (1) − 𝐊 (2) ] ∑ 𝜒̂ (𝑖) ∗ 𝐞̂𝑖 } 𝑁 𝑖=1 ̂𝑖+1 (𝝃) = 𝐊 (2) 𝐞̂𝑖+1 (𝝃) + (𝐊 (1) − 𝐊 (2) ) ∑[𝜒̂ (𝑖) ∗ 𝐞̂𝑖+1 ](𝝃) 𝐪 𝑖=1 (26) (27) Kiểm tra độ hội tụ - Vòng lặp dừng lại ̂𝒊 (𝝃) − 𝐪 ̂𝒊−𝟏 (𝝃)‖ ‖𝐪