Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 cấp huyện Download vn ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian 150 phút Bài 1 (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tì.
ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y Chứng minh 2x y x y 2 0 y 1 x 1 x y 3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét A 10x x 5x B 2x 2x = = = x Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) (0,25đ) x y = x x y4 y y x (y3 1)(x 1) y (x y) xy(y y 1)(x x 1) x y x y x ( x + y = y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1) x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy x y (x x y y) xy x y (x y) xy(x y 3) 2(x y) x y2 (0,25đ) (0,25đ) = x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3) = x y x( y) y( x) = x y (2xy) = (0,25đ) Z ( 2x – 3) 2x c) (1,5đ) Biến đổi = (0,25đ) Với x Z A B (0,25đ) xy(x y 3) Suy điều cần chứng minh (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = (y y2 + 6)(y - 2) = + 6y - 2y -12 = y = - 6; y = * x2 + x = - vô nghiệm x2 + x + > với x (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) * x2 + x = x(x x2 +x -2=0 + 2) – (x + 2) = (x x2 + 2x - x - = + 2)(x - 1) = x (0,25đ) = - 2; x = (0,25đ) Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) x 1 x x x x x ( x 1 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) ( x 2009)( Do : 1 1 1 )0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 (0,5đ) Vì 1 1 1 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2007 2006 2005 (0,25đ) Vậy x + 2009 = E 2003 1 1 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 2006 2003 x = -2009 I Bài 3: (2 điểm) B C a) (1đ) Chứng minh EDF vng cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân D O ˆ ˆ Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) E1 F2 A D Mà Eˆ Eˆ Fˆ = 900 Fˆ2 Eˆ Fˆ1 = 900 EDF = 900 Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD Mà EDF vuông cân DI = EF 2004 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 F Tương tự BI = EF 2 B DI = BI I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D A Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 C E (0,25đ) = 2(x a2 – ) + a2 a2 2 (0,25đ) Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = a BD = AE = a (0,25đ) D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) = 2 AB AD 2 AB2 2 AB AB2 – + ) + AB = – (AD – AB )2 + 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC – (AD2 2 (0,25đ) (0,25đ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: Bài 3: Cho phân thức: (0,25đ) 5x 2x 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : x2 x x x ( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải tốn sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày cịn vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ∆ ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ? BIỂU ĐIỂM - ĐÁP ÁN Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 điểm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x(4 x 16 x[(2 x) x(2 x 4)(2 x 4) x.2( x 2).2( x 2) 4( x 2) x x( x 2) x( x 2) x 2x x 2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x x + x x -1 b) Rút gọn: 5x 5( x 1) 2 x x x( x 1) x 5 2x x 2x Vì thoả mãn điều kiện (1 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) hai tam giác nên x (0,25 điểm) Biểu điểm Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x - Giải: x(x 2) - (x - 2) x2 x ( x 2) x ( x 2) + 2x – x +2 = 2; x= (loại) x = - Vậy S = 1 b) x2 – < x2 + 4x + x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> - Vậy nghiệm phơng trình x > - Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 x = 10 (thoả mãn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ∆ ABC ∆ HBA, có: Góc A = góc H = 900; có góc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc) b) áp dụng pitago ∆ vng ABC ta có : BC = AB AC = 15 20 = 625 = 25 (cm) ∆ ABC ~ ∆ HBA nên 20.05 AH = 12 (cm) 25 BH = 15.15 (cm) 25 AB AC BC 15 20 25 hay HB HA BA HB HA 15 SAHM = AH HM = - Vẽ hình: 1đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) c) HM = BM – BH = BC BH 1đ 25 3,5(cm) 12 3,5 = 21 (cm2) A 1đ B H M C 1đ ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 b) x 17 x 21 x 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y xz z xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA ' HB' HC' AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA) c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): xy yz xz 1 xy yz xz yz = –xy–xz 0 xyz x y z ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A yz xz xy ( x y)( x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) Tính A = Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, a , b, c, d 9, a ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) (0,25điểm) Ta có: abcd k với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k abcd 1353 m2 đó: m2–k2 = 1353 Do (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hình S HBC a) S ABC (0,25điểm) HA'.BC HA' ; AA' AA'.BC (0,25điểm) S HAB HC' SHAC HB' ; S ABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: Tương tự: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) (AB BC CA) 4 AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC ABC đều) (0,25điểm) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) AB = AC =BC Đáp án biểu điểm Bài 1: Phân tích: 4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 3 x ; x ; x ; x ;x Điều kiện: 2 x x 1 x x b) x 2 1 … P = +) x 2 1 …P = +) x 2x c) P = = 1 x5 2x Ta có: Z Z Vậy P Z x5 x – Ư(2) Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2} x – = -2 x = (TMĐK) x – = -1 x = (KTMĐK) x – = x = (TMĐK) x – = x = (TMĐK) KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 2x d) P = = 1 x5 2x Ta có: > 0,5đ 0,5đ a) Rút gọn P = >0 x–5>0 x>5 x 5 Với x > P > Bài 2: Để P > 2đ 1đ 1đ 0,25đ 0,5đ 0,25 15 x a) x 3x x 3x … 15 x 12 x x x x 1 ĐK: x 4; x 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) 3x.(x + 4) = 3x = x + = +) 3x = => x = (TMĐK) +) x + = => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} 148 x 169 x 186 x 199 x 10 b) 25 23 21 19 1đ 148 x 169 x 186 x 199 x 4 25 23 21 19 1 (123 – x) = 25 23 21 19 1 Do > 25 23 21 19 Nên 123 – x = => x = 123 S = {123} c) x2 3 5 Ta có: x 0x => x > nên x x PT viết dạng: x2 3 x2 = – x2 = +) x - = => x = +) x - = -2 => x = 2 3 1đ S = {0;4} Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x (km / h) 10 3 (3 20 = h ’ h ) 1đ 0,25đ 0,25đ Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là: 3x km / h 10 Theo đề ta có phơng trình: 3x x 10 0,25đ 0,5đ x =150 Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,5đ 0,25đ Vận tốc dự định là: 3.150 45 km / h 10 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5đ D C P M F I E A O B a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO đường trung bình tsm giác CAM AM//PO tứ giác AMDB hình thang b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB 1đ Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF DBA g g nên MF AD không đổi (1đ) FA d) Nếu PD PB 16 AB PD PB k PD 9k , PB 16k 16 Nếu CP BD CBD DCP g g CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 BC = (cm) CD = (cm) CP PB PD CP 0,5d 0,5đ 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 2010 2011 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm 1 b) x 1 y2 xy 1đ (1) 1đ 1 1 0 2 x xy y xy x y x y x y 0 2 1 x 1 xy y xy y x xy 1 1 x2 1 y xy 2 Vì x 1; y => xy => xy => BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài 1: Cho x = b2 c2 a 2bc ;y= a (b c)2 (b c)2 a Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: a, = + + (x ẩn số) ab x b, a (b c)(1 a ) x a2 b + x (c a)(1 b) x b2 + (a b)(1 c) x c2 (a,b,c số đôi khác nhau) Bài 3: Xác định số a, b biết: (3 x 1) a b = + 3 ( x 1) 1đ ( x 1) ( x 1) =0 Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun Bài 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài 1: (2 điểm) 1 x 1 1 : x x 1 x x 2x x Cho biểu thức: A a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A 0, CMR: 1 + a b ab + y2 b2 + z2 c2 b, Cho a,b,c,d > CMR: ad d b bc ca + + + d b bc ca ad Bài 4: a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x xy y x xy y b, Tìm giá trị lớn nhất: M = x ( x 1995) với x,y > với x > Bài 5: a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho ABC M điểm miền ABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ ĐỀ 12 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Câu : ( 2Đ ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : ( 4Đ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác Câu : ( 4Đ) Cho biểu thức : x2 10 x : x x x x 3x x P= a) Rút gọn p b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p = d) Tìm giá trị ngun x để p có giá trị nguyên Câu : ( Đ ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( 3Đ) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( 4Đ) Cho tam giác ABC M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ ĐỀ 13 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x- 3x + x -2 với x Bài : (1,5điểm) Cho abc = A Rút gọn biểu thức: a b 2c ab a bc b ac 2c Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a b Tính: P ab 4a b 2 Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trờn BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF hình vng Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 ĐỀ 14 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: b) Rút gọn: (a b c) a b c x x 12 x 45 x 19 x 33 x Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A n (n 7) 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm mảnh máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B Tính xem giếng b) Giải phương trình: x a x 2a 3a (a số) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giỏc ABC INC c) Chứng minh: gúc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh số: 22499 09 9100 n-2 sè n sè số phương ( n ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ 15 Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết: a A n3 n2 n số nguyên tố n 16 b C có giá trị số nguyên n 4n 8n 16 c D = n4 + 4n số nguyên tố Bài Cho a + b +c = 0; abc a Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 b Tính giá trị biểu thức: Bài 3: 2 c a b P 2 2 2 2 a b c b c a c a b a Giải phương trình: x a x c x b x c b a b c a b a c b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 - y2 + 2x - 4y -10 = Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E; cắt BC F a Chứng minh : SAOD SBOC b Chứng minh: OE = OF c Chứng minh: 1 AB CD EF d Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơi diện tích tam giác DEF ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ 16 Câu 1: ( điểm) Cho biểu thức: 2 2 a b a b P 2 ab ab b ab a a Rút gọn P b Có giá trị a, b để P = 0? c Tính giá trị P biết a, b thỏa mãn điều kiện: 3a2 + 3b2 = 10ab a > b > Câu 2: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng: a (n2 + n -1)2 – chia hết cho 24 với số nguyên n b Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho Câu 3: ( điểm) Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – = Câu 4: ( điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) Câu 5: (7,5 điểm) Cho tam giác ABC, O giao điểm đường trung tực tam giác, H trực tâm tam giác Gọi P, R, M theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC, BC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AH a Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện để OPQR hình thoi? b Chứng minh AQ = OM c Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng d Vẽ ngồi tam giác ABC hình vng ABDE, ACFL Gọi I trung điểm EL Nếu diện tích tam giác ABC khơng đổi BC cố định I di chuyển đường nào? ... Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) = 2 AB AD 2 AB2 2 AB AB2 – + ) + AB = – (AD – AB )2 + 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE – =... dụng định lý Pitago với ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 C E (0,25đ) = 2(x a2 – ) + a2 a2 2 (0,25đ) Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x = a BD = AE... + 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 khơng đổi 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC – (AD2 2 (0,25đ) (0,25đ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút ĐỀ Bài