Toán học về Đa Giác ppt

TOÁN HỌC ĐA GIÁC 1 I. LÝ THUYẾT 3 1. Đa giác 3 2. Đa giác đơn 3 3. Đa giác lồi 3 4. Đường chéo của đa giác 3 5. Đa giác đều 3 II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 3 III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 5 IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN 5 1. Tính số cạnh của một đa giác 5 2. Tính số đo góc trong đa giác 10 3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác 15 4. Diện tích đa giác 20 4.1 Hàm diện tích: 20 4.2 Diện tích đa giác đơn 21 4.3 Diện tích của các hình phẳng 21 a. Hình đơn giản: 21 b. Hình khả diện 21 c. Các tính chất của diện tích đa giác 21 4.4 Các công thức tính diện tích 21 5. Các khoảng cách trong đa giác 27 6. Một số bài toán cơ bản khác 30 IV. KẾT LUẬN CHUNG 32 1.Kết luận: 32 2. Lời cảm ơn 32 V. TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 2 I. LÝ THUYẾT 1. Đa giác. Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n ≥ 3) A 1 A 2… A n+1 sao cho đỉnh đầu A a và đỉnh cuối A n+1 trùng nhau, cạnh đầu A 1 A 2 và cạnh cuối A n A n+1 ( cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trên một đường thẳng. Đa giác như thế kí hiệu là A 1 A 2… A n. Đa giác n cạnh còn gọi là n – giác. Các điểm A i gọi là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng A i A i+1 gọi là các cạnh của đa giác. Góc A i-1 A i A i+1 gọi là góc đa giác ở đỉnh A i . 2. Đa giác đơn ĐN: đa giác đơn là đa giác mà bất kì 2 cạnh không liên tiếp nào cũng không có điểm chung. 3. Đa giác lồi ĐN: Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất lì một cạnh nào của đa giác đó. 4. Đường chéo của đa giác ĐN: Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau củamột đa giác gọi là đường chéo của đa giác đó. ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n – giác đơn có thể phân hoạch thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn n. 5. Đa giác đều. ĐN: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau. II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC VD1: Cho hình n_ giác lồi. a. Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)180 0 . b. Tính tổng các góc ngoài của hình n_giác. Giải: 3 a. Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó. Khi đó các đường chéo và các cạnh của đa giác tạo thành n – 2 tam giác. Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác và tổng (n - 2).180 0 . b. Tổng số đo góc trong và góc ngoài tại một đỉnh của hình n_giác bằng 180 0 . Tổng số đo các góc trong và góc ngoài tại n đỉnh của hình n_giác bằng n.180 0 . Tổng số đo các góc trong của hình n_giác bằng (n - 2).180 0 . Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n_giác bằng n.180 0 – (n - 2).180 0 = 360 0 = 4v Tổng số đo các góc ngoài của 1 hình n_ giác không phụ thuộc vào số cạnh của đa giác. VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả µ A đường chéo. Giải: Cách 1: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được (n - 1) đoạn thẳng nối từ đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác). Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đường chéo. Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo. Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất cả ( 3) 2 n n − đường chéo. Cách 2: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được n -1 đoạn thẳng nối đỉnh đó với n – 1 đỉnh còn lại của đa giác. 4 + Với n đỉnh ta vẽ được n(n - 1) đoạn thẳng (trong đó mỗi đoạn thẳng được tính 2 lần) => số đoạn thẳng thực sự là ( 1) 2 n n − . + Mặt khác trong số này có n đoạn thẳng là cạnh của hình n _ giác. Vậy hình n_ giác có ( 1) 2 n n − - n = ( 3) 2 n n − đường chéo. III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 1. Tính số cạnh của một đa giác. 2. Tính số đo góc trong một đa giác. 3. Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác. 4. Diện tích đa giác. 5. Các khoảng cách trong đa giác. 6. Một số bài toán cơ bản. IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN 1. Tính số cạnh của một đa giác. Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A của nó bằng 570 0 . Tính số cạnh của đa giác đó và µ A Giải: Ta có (n - 2). 180 0 – µ A = 570 0 ⇔ µ A = (n - 2).180 0 – 570 0 . Vì 0 0 < µ A < 180 0 ⇒ 0 < (n - 2). 180 0 – 570 0 < 180 0 . ⇔ 0 < n - 5 1 6 < 1 ⇔ 5 1 6 < n < 6 2 3 1 6 Vì n ∈ N nên n = 6. Đa giác đó có 6 cạnh và µ A = (6 - 2). 180 0 – 570 0 = 150 0 . Bài 2: Tính số cạnh của một đa giác, biết đa giác đó có: a. Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài ( tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kẻ một góc ngoài). 5 b. Số đường chéo gấp đôi số cạnh. c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570 0 . Giải: a. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3). + Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).180 0 . + Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 360 0 . Theo giả thuyết ta có: (n - 2).180 0 = 360 0 ⇔ n = 4 Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4. b. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3). Số đường chéo của đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta có: n(n-3) 2 = 2n ⇔ n 2 – 3n = 4n ⇔ n = 7. Vậy đa giác đó có 7 cạnh. c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 2570 0 nên: (n - 2).180 0 - µ A = 2570 0 . ⇔ µ A = (n - 2).180 0 – 2570 0 . Vì 0 0 < µ A < 180 0 ⇒ 0 ( 2)180 2570 180n< − °− ° < 14,2 15,2n⇔ < < Vì n ∈ N ⇒ n = 15. Vậy đa giác đó có 15 cạnh. Bài 3: Tỉ số giữa số đo các góc của 2 đa giác đều là 2 3 . Tính số cạnh của mỗi đa giác đó. Giải: Gọi số cạnh của mỗi đa giác đều là n,m (m,n ∈ Z, m,n > 2). Theo bài ra ta có: 0 0 (n-2).180 (m-2).180 : n m = 2 3 . Vì m ∈ Z, m > 2 nên m + 4 ∈ Z và m + 4 > 6 6 ⇒ n – 6 < 0 ⇔ n < 6. Khi đó m,n có 3 trường hợp sau. TH 1: n - 6 = -2 n = 4 m + 4 = 12 m = 8           ⇔ TH2: n - 6 = - 3 n = 3 m + 4 = 8 m = 4           ⇔ TH3: n - 6 = - 3 n = 3 m + 4 = 8 m = 4           ⇔ Vậy các cạnh của 2 đa giác đều là 5 và 20; 4 và 8; 3 và 4. Bài 4: Một mảnh giấy hình vuông được cắt bởi một đường cắt thẳng thành 2 mảnh. Một trong hai mảnh lại được cắt làm 2. Ta làm như vậy nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất là bao nhiêu để có thể nhận được đa giác 20 cạnh. Giải: + Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh. Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh. + Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1 ⇒ Sau n lần cắt số mảnh giấy là n + 1. + Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n – 99 ⇒ Tổng số đỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh. + Ta có 4n + 4 ≥ 100.20 + 3 (n - 99) ⇔ n ≥ 1699. Vậy số lần cắt ít nhất là 1699. + Trước hết cắt 99 lần bởi đường thẳng song song với 1 cạnh của hình vuông để được 100 hình chữ nhật. 7 Sau đó với mỗi hình chữ nhật ta cắt đúng 16 lần để được 1 hình đa giác 20 cạnh. Vậy tổng số lần cắt là: 99 + 100.16 = 1699 (lần cắt). Bài 5: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng: a. Khi n ≥ 1 thì đường thẳng đó chia mặt phẳng thành P n = 2 + n + 2n 2 phần. b. Khi n ≥ 3 thì trong P n phần nói trên có Q n = 2 - 3n + 2n 2 đa giác. Chứng minh: a. n = 1 ta có: P 1 = + 1 + 21 2 = 2, tức là một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần ⇒ mệnh đề nói đúng với n = 1. Giả sử mệnh đề đúng khi có n – 1 đường thẳng và ta chứng minh mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng. Giả sử ta có n đường thẳng d 1 , d 2 , …d n , thoả mãn điều kiện bài toán. Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d 1 , d 2 , …d n- 1 nên n -1 đường thẳng đó chia mặt phẳng thành P n phần với P n = 2 2 (n - 1) + (n - 1) + 2 n - n + 2 = 2 2 . Đường thẳng d n bị n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n phần (trong đó có n – 2 đoạn thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là 1 ∆ , 2 ∆ ,…. n Δ . Mỗi i Δ đều nằm trong một và chỉ một D j nào đó và chia D j thành 2 phần bởi vậy số phần mà n đường thẳng phân chia là: 2 2 n n-1 n - n + 2 n + n + 2 = P + n= = 2 2 P Vậy mệnh đề đúng với trường hợp n đường thẳng ⇒ đpcm. 8 b. Khi n = 3 ta có 2 3 3 - 3.3 + 2 Q = 2 = 1 tức là trong số phần mà là 3 đường thẳng (đôi một cắt nhau và không đồng quy) chia mặt phẳng thì có một phần là tam giác ⇒ Mệnh đề b đúng khi n = 3. Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n ≥ 4) và ta chứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng. Giả sử ta có n đường thẳng d 1 , d 2 , …d n (đôi một cắt nhau và không có 3 đường thẳng nào đồng quy). Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đường thẳng d 1 , d 2 , …d n -1 nên trong số phần chúng phân chia mặt phẳng có : 2 2 n - 1 (n - 1) - 3(n - 1) + 2 n - 5n + 6 Q = = 2 2 phần là đa giác mà ta kí hiệu các phần đó là : 2 1 k D ,D , D (với 2 n - 5n + 6 k = 2 ). Đường thẳng d n bị n – 1 đường thẳng nói trên chi thành n phần trong đó có n – 2 đoạn thẳng mà ta sẽ ký hiệu là 1 2 n-2 Δ ,Δ , Δ . Mỗi một đoạn 1 ∆ nằm trong một đa giác j D nào đó và chia j D thành đa giác, bởi vậy số đa giác mà n đường thẳng phân chia là: 2 2 n n-1 n -5n+6 n - 3n + 2 Q = Q + n-2 = + n - 2 = 2 2 ⇒ Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng ⇒ đpcm. Bài tập đề nghị: Bài 1: Chứng minh rằng ngũ giác có 5 cạnh bằng nhau và 3 góc liên tiếp bằng nhau là ngũ giác đều. Bài 2: Chứng minh rằng trong đa giác đều 9 cạnh, hiện giữa đường chéo lớn nhất và nhỏ nhất bằng cạnh của nó. Bài 3: a. Tìm số n sao cho trong mặt phẳng có thể được phủ kín bởi đa giác đều có n cạnh. b. Có tồn tại các ngũ giác bằng nhau để phủ kín mặt phẳng không? 9 Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều. Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 2225 0 . Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh? Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có độ dài bằng nhau. Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của 1 tam giác cân được đánh dấu cùng một màu. 2. Tính số đo góc trong đa giác. Bài tập mẫu: Bài 1: Tính số đo góc của hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều, 15 cạnh đều. Giải: + Số đo góc của hình 5 cạnh đều là: 0 0 (5 - 2).180 = 108 5 . + Số đo góc của hình 9 cạnh đều là: 0 0 (9 - 2).180 = 140 9 . + Số đo góc của hình 15 cạnh đều là: 0 0 (15 - 2).180 = 156 15 . Bài 2: Cho ngũ giác lồi ABCDE. a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của MP. Chứng minh rằng IK 1 4 CD. b. Chứng minh rằng tồn tại 2 đường chéo của ngũ giác tạo với nhau 1 góc không vượt quá 36 0 . 10 [...]... quan đến đường chéo của một đa giác Bài tập mẫu: Trong hình n_ giác có tất cả n(n − 3) 2 đường chéo Từ công thức trên ta nhận ra rằng, nếu cho số cạnh của một đa giác thì sẽ biết được số đường chéo của đa giác đó Ngược lại nếu cho số đường chéo của một đa giác thì sẽ biết được số cạnh của đa giác đó Chằng hạn: + Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là 10(10 − 3) = 35 2 + Nếu đa giác có số đường chéo là... bài toán tính toán trong đa giác là một công việc rất cần thiết và bổ ích Qua đó ta có những kiến thức, kĩ năng về các bài toán liên quan đến đa giác Các bài toán liên quan đến đa giác cho chúng ta một cách nhì tổng quan hơn Đồng thời ta thấy các bài toán này còn có thể ứng dụng vào trong cuộc sống thực tế để giải quyết một số khó khăn mà ta thường gặp Tuy nhiên: “Các bài toán liên quan đến tính toán. .. tích đa giác + Hai đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau + Nếu một trong hai đa giác được chia thành các đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích các đa giác đó + Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích bằng một đơn vị vuông 4.4 Các công thức tính diện tích a Diện tích hình chữ nhật: S = ab b Diện tích hình vuông: S = a2 c Diện tích tam giác: + Tam giác. .. minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn Giải: Giả sử đa giác lồi có K ≥ 4 góc nhọn Nếu đa giác lồi có góc trong một đỉnh đó là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù Vì vậy nếu đa giác có K 4 góc nhọn thì sẽ có K ≥ ≥ 4 góc ngoài là góc tù ⇒ tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 3600 (vô lí vì trong một đa giác lồi bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 3600) Vậy một đa giác lồi... thường gặp Tuy nhiên: “Các bài toán liên quan đến tính toán trong đa giác vô cùng phong phú và sinh động nhưng vì thời gian có hạn và kiến thức của em còn hạn chế nên chủ yếu em chỉ tập trung vào tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác còn những đa giác có số cạnh lớn hơn ít được đề cập hơn Và em mới chỉ xét đa giác lồi, còn những đa giác không lồi em không đề cập đến 2 Lời cảm ơn Đề tài của em chủ... hình bình hành này có chung tâm đối xứng 4 Diện tích đa giác 4.1 Hàm diện tích: ∆ là tập hợp tất cả các đa giác đơn trong mặt phẳng ánh xạ S: ∆ → R+ (R+ là tập hợp tất cả các số thực dương) gọi là hàm diện tích nếu nó thoả mãn các tính chất sau đây + Nếu 2 đa giác H1 và H2 bằng nhau thì S(H1) = S(H2) + Nếu đa giác H được phân hoạch thành các đa giác H1, H2,…,Hn thì n S(H) = ∑ S ( H1 ) i =1 + Nếu V... ( ) 2 ⇔ n = 10 2 2 Vậy đa giác đó có 10 cạnh + Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh sẽ là bao nhiêu? 15 Giải pt n(n − 3) = 2 36 với n nguyên dương ta thấy phương trình này vô nghiệm, nghĩa là không tồn tại đa giác có số đường chéo đúng là 36 Nhận xét: Không phải bất lì một số nguyên dương nào cũng là số đường chéo của một đa giác + Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số... 1 chiếc bàn Thật tình cờ những người không biết nhau đều không ngồi cạnh nhau Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp không biết nhau (dựa vào bài toán xác định số đường chéo của 1 đa giác) Bài 3: Cho đa giác n cạnh (n > 3) Có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là ba đường chéo của đa giác Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD) a Đường thẳng m song song với đáy và qua giao điểm O của hai đường chéo cắt các cạnh bên ở... rằng tam giác B1B3B5 và tam giác B2B4B6 có cùng trọng tâm 29 Bài 7: Cho tam giác ABC Xác định vị trí của M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến AM là lớn nhất 6 Một số bài toán cơ bản khác Bài tập mẫu: Bài 1: Một tứ giác lồi có mỗi đường chéo đều chia tứ giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau Chứng minh rằng tứ giác ấy là hình bình hành Giải: +) Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo... đk đề bài Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho tam giác ABCD có 2 đường phân giác BB’, CC’ bằng nhau Chứng minh rằng tam giác ABC cân Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy CD = BC + AD Chứng minh phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại một điểm thuộc đáy CD Bài 3: Chứng minh tứ giác lồi ABCD có AD = BC, góc A = góc B thì tứ giác đó là hình thang cân 31 Bài 4: Cho tứ giác ABCD; E, F là trung điểm của các cạnh . TOÁN HỌC ĐA GIÁC 1 I. LÝ THUYẾT 3 1. Đa giác 3 2. Đa giác đơn 3 3. Đa giác lồi 3 4. Đường chéo của đa giác 3 5. Đa giác đều 3 II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN. chung. 3. Đa giác lồi ĐN: Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất lì một cạnh nào của đa giác đó. 4. Đường chéo của đa giác ĐN: