IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN
6. Một số bài toán cơ bản khác
Bài tập mẫu:
Bài 1: Một tứ giác lồi có mỗi đường chéo đều chia tứ giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng tứ giác ấy là hình bình hành.
Giải:
+) Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O
Theo giả thiết: đường chéo AC chia tứ giác thành hai tam giác ABC và ACD có diện tích bằng nhau. ABC ADC 1 1 S = BH.AC = S = DK.AC 2 2 Suy ra BH = DK +) Xét · · ΔvOBH, ΔvODK: BH = DK HBO = ODK
Suy ra tam giác vuông OBH = tam giác vuông ODK theo (g.c.g) Suy ra OD = OB
+) Chứng minh tương tự ta có: OA = OC.
+) Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Bài 2: Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE; BC và EF; CD và AE vừa song song vừa bằng nhau. Lục giác ABCDEF có nhất thiết là lục giác đều hay không?
Giải:
Lục giác ABCDEF không nhất thiết phải là lục giác đều. Thật vậy:
+) Trên mặt phẳng lấy điểm O tuỳ ý, vẽ 3 tia OA, OC, OE sao cho độ dài 3 đoạn OA, OC, OE đôi một khác nhau và độ lớn của 3 góc AOC, COE, EOA cũng đôi một khác nhau.
+) Vẽ các hình bình hành OABC, OCDE, OAEF khi đó ta có được lục giác lồi ABCDEF.
+) Rõ ràng AB//=ED; BC//=EF, CD//=FA nhưng ABCDEF không phải là lục giác đều.
Bài 3: Tìm tất cả các hình chữ nhật sao một hình chữ nhật đó có thể cắt thành 13 hình vuông bằng nhau.
Giải: Giả sử một cạnh của hình chữ nhật được chia thành m phần bằng nhau,
cạnh kia được chia thành n phần bằng nhau ( m, n∈N) ta có m.n = 13
Vì 13 là số nguyên tố nên một trong 2 số m, n bằng 1 còn số kia bằng 13. Vậy hình chữ nhật có cạnh 1 và 13 thoả mãn đk đề bài.
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho tam giác ABCD có 2 đường phân giác BB’, CC’ bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy CD = BC + AD. Chứng minh phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại một điểm thuộc đáy CD.
Bài 3: Chứng minh tứ giác lồi ABCD có AD = BC, góc A = góc B thì tứ giác đó là hình thang cân. E F A B C O D
Bài 4: Cho tứ giác ABCD; E, F là trung điểm của các cạnh AB, CD. G, H, I, K theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AF, ED, BF, EC. Chứng minh rằng GHIK là hình bình hành.
Bài 5: Cho lục giác lồi tuỳ ý. Nối trung điểm của mỗi cạnh với các trung điểm của 2 cạnh kề với cạnh đối diện của nó. Ta sẽ thu được 2 tam giác. Chứng minh trọng tâm của 2 tam giác đó trùng nhau.
Bài 6: Cho lục giác lồi có tất cả các góc bằng nhau. Chứng minh hiệu giữa các cạnh đối diện thì băng nhau.
