CÔNG THỨC + CÔNG THỨC GIẢI NHANH

Sổ tay giải toán 12 Nguyễn Đức Thắng 1 1 TÓM TẮT KIẾN THỨC VÀ CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12 MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I HÀM SỐ 1 CHƯƠNG II MŨ – LOG 21 CHƯƠNG III TÍCH PHÂN 27 CHƯƠNG IV SỐ PHỨC 45 CHƯƠNG V K.

TĨM TẮT KIẾN THỨC VÀ CƠNG THỨC GIẢI NHANH TỐN 12 MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I: HÀM SỐ CHƯƠNG II: MŨ – LOG 21 CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN 27 CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC 45 CHƯƠNG V: KHỐI ĐA DIỆN 47 CHƯƠNG VI: HÌNH KG TỌA ĐỘ OXYZ 78 CHƯƠNG VII: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 101 BỔ SUNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 111 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TỐN 12 PHỈN HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Đðnh nghïa x1, x  K, x1  x ( K khoâng đoạn nửa khoâng)      f x   f x   y  f x  nghðch biến K đồ thð xuống tÿ trái sang phâi Chú ý: + N u f  x   0, x  a;b   hàm s f  x  đ ng bi n tr n khoâng a;b  + N u f   x   0, x   a; b   hàm s f  x  nghðch bi n khoâng a;b  + N u f  x   0, x  a;b   hàm s f  x  h ng đ i khoâng a;b  + N u f  x  đ ng bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  + Nếu f  x  nghðch bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  f x1  f x  y  f x đồng biến K đồ thð lên tÿ trái sang phâi 2 Quy tắc công thức tính đäo hàm   Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : hìng số   u  v   Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u   Tổng, hiệu: u  v  u  u .v  v .u  C  C u   , v        v2 u2 v  u  Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  yx  yu ux  Thương:      Bâng cơng thức tính đäo hm: ọo hm ca hm s cỗp C (C hìng số) x   .x  x   .x   1 u   u   1       (x  0) x x   x  x 0 x   Đäo hàm hàm hợp   1 u   u    u  u u   u u  u0 u        sin x   cos x  sin u   u.cos u  cos x    sin x  cos u   u.sin u Page |    tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sin e  e a   a ln a  ln x   x1 e   u.e a   u.a ln a  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a 2 x x x u a u u u u u x u a Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a    b  ax  b  ad  bc ;     cx  d  cx  d   x2  a    c x d    f  ax  bx  c  d    e     dx  ex  f  dx  ex  f   b    c e    f Đạo hàm cấp :  + Đðnh nghïa: f   x    f   x    + Ý nghïa học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s  f t täi thąi điểm t là:     a t0  f  t0 * Một số ý:      Nếu hàm số f x g x đồng biến (nghðch biến) tr n K hàm số   f x g x cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K Tính chỗt ny cũ th kh ng ỳng i vi hiu   f x g x       K hàm số f x  g x  cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng hàm số f x  , g x  kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K Cho hàm số u  u  x  , xác đðnh vĆi x  a;b  u x   c;d  Hàm số f u  x   cüng xác đðnh vĆi x  a;b  Nếu hàm số f x g x cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch bin) tr n f cò đäo hàm K    hàm số f đồng biến K    Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K     Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K hàm số f nghðch biến K Page | Chú ý: * Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tỵ y  ax  b  d x thỡ dỗu " " xột dỗu ọo cx d c hm y  không xây   Giâ sā y  f x  ax  bx  cx  d  f  x  3ax  2bx  c Hàm số đồng biến    f  x  0; x  Hàm số nghðch biến  a        a    b    c     f  x  0; x     a        a    b  c Trỵng hp thỡ hệ số c khác a  b  c  f x  d l ta giõi nh sau: Bỵc 1: Tớnh y  f  x ; m  ax  bx c Bỵc 2: Hm s đĄn điệu    a  x ; x   y  có nghim phõn bit * Bỵc 3: Hàm số đĄn điệu không cị độ dài bìng l   x1  x  l  x1  x    4x1x  l  S2  4P  l * * Bỵc 4: Giõi * v giao vĆi * * để suy giá trð m cỉn tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ Đðnh nghïa Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K x  K   + x0 điểm cực tiểu cûa hàm số f tồn täi khoâng a; b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x Khi ũ f x ỵc gọi giá trð cực tiểu cûa hàm số f 0   + x điểm cực đäi cûa hàm số f tồn täi khoâng a;b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  0   Khi đò f x ỵc gi l giỏ tr cc ọi cỷa hm s f + Điểm căc đäi điểm căc tiểu gọi chung điểm cực trð + Giá trð căc đäi giá trð căc tiểu gọi chung cực tr + im cc ọi v im cc tiu ỵc gọi chung điểm cực trð hàm số điểm căc trð phâi điểm têp hợp K Page | + Giá trð căc đäi giỏ tr cc tiu ỵc gi chung l giỏ tr cực trð (hay cực trð) hàm số   + Nếu x0 điểm căc trð cûa hàm số thỡ im x ; f (x ) ỵc gọi điểm cực trð đồ thð hàm số f Điều kiện cæn để hàm số đät cực trð     cò đäo hàm Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y  f x đät căc trð täi điểm x Khi đò, y  f x   täi điểm x f  x  Chú ý:    Đäo hàm f  x bỡng tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng đät căc trð täi điểm x0 Hàm số đät căc trð täi điểm mà täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm Hàm số chỵ đät căc trð täi điểm mà täi đị đäo hàm cûa hàm số bìng hc täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm Điều iện đủ để hàm số đät cực trð Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x Khi đò, hàm số f cò đäo hàm täi       f  x   khoâng x ; x  h  x m t i m cỵc cỷa hm s f x   N u f   x   khoâng x  h; x  f   x   khoâng  x ; x  h  x m t i m cỵc ti u cỷa hm s f  x    điểm x f ' x0  N u f  x  tr n khoâng x  h; x 0 0 0 0 Quy tắc tìm cực trð Quy tắc 1:   i  1;2;   Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm điểm x i mà täi đò đạo hàm hàm số hoðc hàm số liên tục khơng cị đạo hàm      đổi dấu Bước 3: Lêp bâng biến thiên hoðc bõng xột dỗu f x Nu f x qua x i hàm số đät căc trð täi x i   Nếu f   x   0, f   x   hàm số Nếu f   x   0, f   x   hàm số   Đðnh lí 3: Giâ sā y  f x có đäo hàm cå p khoâng x  h; x  h vĆi h    0 f đät căc đäi täi x 0 f đät căc tiểu täi x Từ đðnh lí trên, ta cị quy tắc khác để tìm cực trð hàm số Quy tắc 2:    Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm nghiệm x i i  1;2; cỷa phỵng trỡnh f x Bước 3: Tính f  x tính f  x i        Nếu f   x   hàm số f Nếu f   x   hàm số f   i đät căc đäi täi điểm x i i đät căc tiểu täi điểm xi Page | MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước   ài to n t ng quat: Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có căc đäi, căc tiểu täi x 1, x thóa mãn iu kin K cho trỵc Phng ph p: c 1:  Têp xác đðnh: D  2  Đäo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C ước 2: Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi căc tiểu)  y   có hai nghiệm phân bit v y i dỗu qua nghim ũ phỵng trỡnh y cú hai nghiệm phân biệt   A  3a  a     m  D1  y   B  4AC  4b  12ac  b  3ac      x 1, x hai nghim cỷa phỵng trỡnh y B 2b x  x     A 3a Khi đò:  C c x x     A 3a ước 4: Bi n đ i u ki n K v da ng t ng S ti ch P T ú giõi tỡm ỵc m D2 ước 5: K t luån giá trð m thóa mãn: m  D1  D2   * Chú ý: Hàm số bêc ba: y  ax  bx  cx  d a  Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện Kết luận Hàm số kh ng cò căc trð b  3ac  b 3ac phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac   Hàm số có hai cực trð cựng du y phỵng trình y   có hai nghiệm phân biệt cựng dỗu C P x 1.x   A  Hàm số có hai cực trð dấu dương   y   B phỵng trỡnh y cú hai nghim dỵng phồn bit S x  x    A  C P  x x  0  A Page |  Hàm số có hai cực trð dấu âm   y '   B phỵng trỡnh y cú hai nghiệm âm phân biệt  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x thỏa mãn: x1    x x1  x     x1  x  Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1    x       x1   x     x1.x   x1  x    x 1, x thóa mãn x1  x              x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x1  x  2    Hai căc trð x 1, x thóa mãn   x1  x       x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x1  x Phỵng trỡnh bờc cú nghim lờp thnh cỗp s cng có nghiệm x  b d , cú nghim lờp thnh cỗp s nhõn cú nghiệm x   3a a Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng i tri tương đ i giưa điêm vơi đương th ng:  v ỵng thởng : ax by  c   c ax  by  c   thi hai điểm A, B nëm v Cho m A x A; yA , B x B ; yB  N u ax A byA B B hai phớa so vi ỵng thëng     N u ax A  byA  c ax B  byB  c  thi hai điểm A, B nëm cu ng phía so vi ỵng thợng Mt s trng hp c biêt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Oy  phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu + Cỏc im cc tr cỷa đồ thð nìm phía trục Oy hm s cú cc tr trỏi dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim trỏi dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Page | Đặc biệt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trc Ox y y phỵng trỡnh y   có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox y y  phỵng trỡnh y cú hai nghim phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT phỵng trỡnh y có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  (áp dung không nh m đươc nghiêm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trð đồ thð hàm số) Hoðc: Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox  đồ thð cít trýc Ox täi im phõn bit phỵng tri nh hoành đ giao m f x  co nghi m phân bi t (áp dung nh m nghiêm) Phương trình đường thẳng qua c c điểm cực trð  2c 2b  y.y y .y  bc g  x   9ay  g x  y  g x   x  d  3y  9a  9a 3     Khoâng cách hai điểm cực trð đồ thð hàm số ậc AB  b  3ac 4e  16e vĆi e  a 9a II CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c a  0 MỘT SỐ KẾT Q CỈN NHỚ  Hàm số có căc trð  ab   Hàm số có ba căc trð  ab  a  b  a   Hàm số cò căc trð căc trð căc đäi   b  a   Hàm số có hai căc tiểu căc đäi   b  a   Hàm số có căc tiểu hai căc đäi   b   Hàm số cò căc trð căc trð căc tiểu    Giâ sā hàm số y  ax  bx  c có căc trð: A(0;c), B      täo thành tam giác ABC thóa mãn dĂ kiện: ab  Page | b   b  ;   ,C   ;   2a 4a   2a 4a  MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y Tổng quát:  b cot  8a A O x B C Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam gi{c ABC vuông c}n A b  8a b  24a 32a (S )2  b  Tam gi{c ABC Tam gi{c ABC có diện tích S ABC  S Tam gi{c ABC có diện tích max (S ) S0   Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn nội tiếp rABC  r0 Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn ngoại tiếp r  b5 32a b2  b3   a 1    8a    b  8a RABC  R R Tam gi{c ABC có độ d|i cạnh BC  m0 am02  2b  Tam gi{c ABC có độ d|i AB  AC  n0 16a 2n02  b  8ab  Tam gi{c ABC có cực trị B,C  Ox Tam gi{c ABC có góc nhọn b  4ac b(8a  b )  Tam gi{c ABC có trọng t}m O Tam gi{c ABC có trực t}m O b  6ac b  8a  4ac  b  2ac b  8a  4abc  b  8a  8abc  b k  8a(k  4)  Tam gi{c ABC điểm O tạo th|nh hình thoi Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn nội tiếp Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn ngoại tiếp Tam gi{c ABC có cạnh BC  kAB  kAC Trục ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh hai phần có diện tích b  ac Tam giác ABC cò điểm căc trð cách trýc hoành b  8ac   Đồ thð hàm số C : y  ax  bx  c cít trýc Ox täi điểm phån bit lờp thnh cỗp s cng nh tham s hình phỵng giĆi hän bći đồ thð C  : y  ax 8ab  bx  c trýc hồnh cị diện tích phỉn tr n phổn dỵi bỡng b2 100 ac b2  36 ac 2   2     c y  c   0  b 4a b 4a 2 Phỵng trỡnh ỵng trủn ngoọi tip ABC : x y   Page | MỘT SỐ DẠNG TO[N V\ CƠNG THỨC GIẢI B\I TO[N MẶT NĨN Dạng hiết diện h nh n n cắt mặt phẳng S hiết diện qua tr c hình nón tam giác cân A B I S hiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân có hai cạnh bên hai đường sinh hình nón A I B S hiết diện vng g c với tr c hình nón đường trịn có tâm nằm trục hình nón A B I Dạng Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh h nh n n Cho hình nón có chiều cao l| h , b{n kính đ{y r v| đường sinh l Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng c{ch từ t}m đ{y đến mặt phẳng chứa thiết diện l| d S Gọi M l| trung điểm AC Khi đó:    AC  SMI  Góc SAC v| ABC l| góc SMI       Góc SAC  v| SI l| góc MSI d I , SAC    IH  d H I A B M C Diện t ch thiết diện: Std  S SAC  1 h 2d h 2d 2 SM AC  SI  IM 2 AI  IM  r  h  2 h  d2 h2  d2 Dạng Bài toán h nh n n ngoại tiếp nội tiếp h nh ch p Hình nón nội tiếp hình chóp S ABCD l| hình Hình chóp tứ gi{c S ABCD S nón có đỉnh l| S , đ{y l| đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Khi hình nón có: B{n kính đ{y r  IM  AB , A Đường cao h  SI , đường sinh l  SM D I B Page | 60 M C Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABCD l| hình nón có đỉnh l| S , đ{y l| đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Khi hình nón có:  B{n kính đ{y: r  IA  B{n kính đ{y: r  IM    Chiều cao: h  SI Đường sinh: l  SM A B{n kính đ{y: r  IA    Chiều cao: h  SI Đường sinh: l  SA D I C B Hình chóp tam gi{c S ABC S AM AB  A C I M Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC l| hình nón có đỉnh l| S , đ{y l| đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ABC Khi hình nón có:  S AC AB  2  Chiều cao: h  SI  Đường sinh: l  SA Hình nón nội tiếp hình chóp S ABC l| hình nón có đỉnh l| S , đ{y l| đường tròn nội tiếp tam gi{c ABC Khi hình nón có  Hình chóp tứ gi{c S ABCD B Hình chóp tam gi{c S ABC S 2AM AB  3 C A M I B Dạng Bài toán h nh n n c t Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đ{y phần mặt phẳng nằm hình nón l| hình trịn Phần hình nón nằm hai mặt phẳng nói tr n gọi l| h nh n n c t  Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với đ{y mặt cắt l| hình trịn  Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với trục mặt cắt l| hình thang c}n   Cho hình nón cụt có Diện tích xung quanh hình nón cụt: Sxq   l R  r R, r, h l| b{n kính đ{y lớn, b{n kính đ{y nhỏ v| chiều cao S đáy   r   S đáy   r  R2 S  R  đáy Diện tích đ{y (hình trịn):  Page | 61   r Diện tích tồn phần hình nón cụt:   Stp   l R  r   r   R2 h    h R2  r  Rr Thể tích khối nón cụt: V  R Dạng Bài toán h nh n n tạo phần c n lại h nh tr n sau cắt bỏ h nh quạt Từ hình trịn O; R  n cắt bỏ O hình quạt AmB Độ d|i cung R AnB x Phần lại hình trịn ghép lại hình nón Tìm b{n kính, chiều cao v| độ d|i đường sinh hình nón O R h B r A A≡B m Hình nón tạo th|nh có l  R  2  2 r  x  r  x  h  l2  r2   MỘT SỐ DẠNG TO[N V\ CÔNG THỨC GIẢI B\I TO[N MẶT TRỤ Dạng hiết diện h nh tr cắt mặt phẳng Thiết diện vuông g c tr c l| đường trịn b{n kính R Thiết diện chứa tr c l| hình chữ nhật ABCD AB  2R v| AD  h Nếu thiết diện qua trục l| hình vng h  2R Thiết diện song song với tr c v| khơng chứa tr c l| hình chữ nhật BGHC có khoảng c{ch tới trục l|:   d OO '; BGHC   OM O A G B M C D H Dạng h t ch khối tứ diện c cạnh đường k nh đá Nếu AB v| CD l| hai đường kính tr n hai đ{y hình trụ thì: VABCD  AB.CDOO '.sin AB,CD * Đặc biệt: Nếu AB v| CD vng góc thì: VABCD  AB.CD.OO '   O A C O' D Page | 62 B Dạng Xác định g c khoảng cách Góc AB v| trục OO ' : A AB;OO '  A ' AB O O A O A I O' O' B A' Khoảng c{ch AB v| trục OO ' :  M A' A  d AB;OO '  OM A D B A I O' O' B A' A' Nếu ABCD l| hình vng nội tiếp hình O O trụ đường chéo hình vngA đường A chéo hình trụ Nghĩa l| cạnh hình vng: AB  A O' B I O' O' B D C O 4R2  h A' B M A' M B D O' C Dạng Xác định mối liên hệ diện t ch ung quanh, toàn phần th t ch khối tr toán tối ưu Một khối trụ tích khơng đổi Tìm b{n kính đ{y v| chiều cao hình trụ để diện tích to|n phần nhỏ nhất:  V R   2 Stp   h  4V   r l  V R    S   h  V   r  Dạng nh tr ngoại tiếp, nội tiếp h nh lăng tr đứng + Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp hình trụ Thể tích khối lăng trụ V thể tích khối trụ V(T)  4V + Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD.A ' B 'C ' D ' ngoại tiếp hình trụ Diện tích xung quanh hình trụ S diện tích xung quanh hình lăng trụ S xq  Page | 63 2S  O' C O O O B MỘT SỐ DẠNG TO[N V\ CÔNG THỨC GIẢI B\I TO[N MẶT CẦU I Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm  Trục đa giác đá : l| đường thẳng qua t}m đường tròn ngoại tiếp đa gi{c đ{y v| vng góc với mặt phẳng chứa đa gi{c đ{y  Bất kì điểm n|o nằm tr n trục đa gi{c c{ch c{c đỉnh đa gi{c  Đường trung trực đoạn thẳng: l| đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng v| vng góc với đoạn thẳng  Bất kì điểm n|o nằm tr n đường trung trực c{ch hai đầu mút đoạn thẳng  Mặt trung trực đoạn thẳng: l| mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng v| vng góc với đoạn thẳng  Bất kì điểm n|o nằm tr n mặt trung trực c{ch hai đầu mút đoạn thẳng 2/ Tâm bán k nh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: l| điểm c{ch c{c đỉnh hình chóp Hay nói c{ch kh{c, l| giao điểm I trục đường trịn ngoại tiếp mặt ph ng đáy v| mặt ph ng trung trực cạnh bên hình chóp  Bán k nh: l| khoảng c{ch từ I đến c{c đỉnh hình chóp 3/ Cách xác định tâm bán k nh mặt cầu m t số hình đa diện a/ Hình h p chữ nh t hình l p phương - Tâm: trùng với t}m đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương)  T}m l| I l| trung điểm AC ' - Bán k nh: nửa độ d|i đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương)  B{n kính: R  AC ' A D C A’ b/ Hình lăng trụ đứng có đá n i tiếp đường tr n ét hình l ng trụ đứng A1A2A3 An A1' A2' A3' An' , có B D’   đ{y A1A2A3 An v| A1' A2' A3' An' nội tiếp đường tròn O I B’ A1 An C’ A2   v| O ' Lúc đó, O A3 I mặt cầu nội tiếp hình l ng trụ đứng có: A’n A’1 - Tâm: I với I l| trung điểm OO ' A’2 - Bán k nh: R  IA1  IA2   IA ' n c/ Hình chóp có đ nh nhìn đoạn thẳng nối đ nh S O ’ S A’3 c n lại góc vng - Hình chóp S ABC có SAC  SBC  90 I + T}m: I l| trung điểm SC I SC  IA  IB  IC + B{n kính: R  A A C B Page | 64 B D D C - Hình chóp S ABCD có SAC  SBC  SDC  900 + T}m: I l| trung điểm SC + B{n kính: R  SC  IA  IB  IC  ID d/ Hình chóp Cho hình chóp S ABC S - Gọi O l| t}m đ{y  SO l| trục đ{y - Trong mặt phẳng x{c định SO v| cạnh b n,   chẳng hạn mp SAO , ta vẽ đường trung trực cạnh SA M I l|  cắt SA M v| cắt SO I  I l| t}m mặt cầu A - B{n kính: Ta có: SMI O SM SI SOA    B{n kính l|: SO SA C SM SA SA2 R  IS    IA  IB  IC  SO 2SO e/ Hình chóp có cạnh b n vng góc với mặt phẳng đá  D B  Cho hình chóp S ABC có cạnh b n SA  đ{y ABC v| đ{y ABC nội tiếp đường trịn t}m O T}m v| b{n kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC x{c định sau: S - Từ t}m O ngoại tiếp đường tròn   d đ{y, ta vẽ đường thẳng d vng góc với mp ABC O   - Trong mp d, SA , ta dựng đường trung M I ∆ trực  cạnh SA , cắt SA M , cắt d I  I l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A v| b{n kính R  IA  IB  IC  IS  O - Tìm b{n kính: Ta có: MIOB l| hình chữ nhật B ét MAI vng M có:  SA  R  AI  MI  MA  AO      2 f/ Hình chóp khác - Dựng trục  đ{y   - Dựng mặt phẳng trung trực  cạnh b n   -     I  I l| t}m mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - B{n kính: khoảng c{ch từ I đến c{c đỉnh hình chóp Page | 65 C g/ Đường tr n ngoại tiếp m t số đa giác thường gặp Khi x{c định t}m mặt cầu, ta cần x{c định trục mặt phẳng đ{y, l| đường thẳng vng góc với mặt phẳng đ{y t}m O đường trịn ngoại tiếp đ{y O O Hình vng: O l| giao điểm đường chéo Hình chữ nhật: O l| giao điểm hai đường chéo O đều: O l| giao điểm đường trung tuyến (trọng t}m) O O vuông: O l| trung điểm cạnh huyền thường: O l| giao điểm hai đường trung trực hai cạnh II KỸ THUẬT X[C ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP CHĨP Cho hình chóp S A1A2 An (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: S Bước 1: {c định t}m đường tròn ngoại tiếp đa gi{c đ{y Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa gi{c đ{y Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) cạnh b n Lúc :  I  - T}m O mặt cầu:   mp(  )  O   - B{n kính: R  SA  SO Tuỳ v|o O D A C H trường hợp B Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Trục đường tr n ngoại tiếp đa giác đá : l| đường M thẳng qua t}m đường trịn ngoại tiếp đ{y v| vng góc với mặt phẳng đ{y nh chất: M   : MA  MB  MC A Suy ra: MA  MB  MC  M   H Các bước xác định trục: B - Bước : {c định t}m H đường tròn ngoại tiếp đa gi{c đ{y - Bước : Qua H dựng  vng góc với mặt phẳng đ{y Page | 66 C Một số trường hợp đặc biệt Tam gi{c vuông Tam gi{c    B Tam gi{c H B B C C C H H A A A S Kỹ tam giác đồng dạng SMO đồng dạng với SIA  SO SM  SA SI M O Nh n xét: I A  MA  MB  MC M , S :   SM l| trục đường tròn ngoại tiếp ABC SA  SB  SC   * KỸ THUẬT SỬ DỤNG HAI TRỤC X[C ĐỊNH T]M MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Cho hình chóp S A1A2 An (thõa mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: {c định t}m đường tròn ngoại tiếp đa gi{c đ{y Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa gi{c đ{y Bước 2: {c định trục d đường tròn ngoại tiếp mặt b n (dễ xác định) khối chóp Lúc đó: Δ  T}m I mặt cầu:   d  I   S + B{n kính: R  IA  IS Tuỳ vào R trường hợp d I D C A B Page | 67 TỔNG KẾT C[C DẠNG TÌM T]M V\ B[N KÍNH MẶT CẦU (ĐTD) Loại 1: Cạnh b n SA vng góc với đ{y v| ABC  900 R  SC v| t}m l| trung điểm SC S S C A A B B D C Loại 2: Cạnh b n SA vng góc đ{y v| đ{y l| hình gì, S cần tìm b{n kính đường trịn ngoại tiếp đ{y l| RD , SA2 : R  R   RD  K D I abc    p p a p b p c ( p : nửa chu vi)  O B   AB  AC  AS  Nếu  ABC vng A thì: R2   Đ{y l| hình vng cạnh a RD  RD  C A a , đ{y l| tam gi{c cạnh a a Loại 3: Chóp có c{c cạnh b n nhau: SA  SB  SC  SD : R  S SA2 2SO  ABCD l| hình vng, hình chữ nhật, O l|   giao hai đường chéo ABC vng, O l| trung điểm cạnh huyền ABC đều, O l| trọng t}m, trực t}m    Loại 4: Hai mặt phẳng SAB v| ABC  A D B vng góc với v| có giao tuyến AB Khi ta gọi R1, R2 l| b{n kính đường trịn ngoại tiếp c{c tam gi{c SAB v| ABC B{n kính mặt cầu ngoại tiếp: C S O I A C J K AB B Loại : Chóp S.ABCD có đường cao SH , t}m đường trịn ngoại tiếp đ{y l| O Khi ta giải R2  R12  R22   phương trình: SH  x   OH  x  RD2 Với gi{ trị x tìm ta có: R2  x  RD2 Loại 6: B{n kính mặt cầu nội tiếp: r  3V Stp Page | 68 TỔNG HỢP C[C CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY  Chỏm cầu:   V  Hình n m loại 1: Parabol b c hai Parabol tr n xoay h  r R  S   R h  h  xq   h  h  2 V   R        Hình trụ cụt: (phiến tr ) Hình n m loại 2:  S  2 Rh   r  h  xq  h  h 2  h  3r V   h  R       h2 h1 R R tan   2 V     R tan   3 3  a  S'  x  S  parabol  Rh; S   h    R        1 V   R h  Vtru  2  Selip   ab  Vxoay  quanh 2a   V   xoay  quanh 2b Diện t ch Elip Thể t ch khối tr n xoa sinh b i Elip Diện tích hình v|nh  kh n S   R2  r  ab a b h b a a b R  r Hình xu ến  R  r  R  r  V  2       r R Page | 69 R R Hình Đường cao Và thể tích Tứ diện vng 2S1S2 S3 V S I C R SH  x H Tứ diện cạnh x Hình V Đường cao S  x x tan   tan  3 SH  x k  kx I x H Góc tạo mặt Khoảng cách điểm đến mặt x d 70031' d ( A;( SBC )) Khoảng cách đường chéo Góc tạo mặt 1 1    d (A;(SBC)) a b2 c a  b2  c 2 C M x B Chóp Rx r  IH  x x 12 Và thể tích x N Khoảng cách đường chéo tam giác SAB,SAC,SBC I A R Khoảng cách từ Chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh S1 , S2 , S3 diện tích A R Bán kính khối cầu ngoại tiếp R nội tiếp r R  3r d H  0.198x 12 Bán kính khối cầu ngoại tiếp R nội tiếp r R  0.594 x x 4 3k 70 Khoảng cách từ Chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh dH  3k  36k  15 x d ( SA;BC )  x  4k Khoảng cách điểm đến mặt d ( A;( SBC ))  3d H S I A H C SH đường cao tam giác SAC đường cáo chóp S.ABC G B ABC,SAC cạnh x (SAC) vng góc với đáy V( S ) SH  x S ABC  x VS ABC d (H;SBC) 15 Rx  d(H;SAB)  15  x 54 d ( A; SBC )  d (C ;SAB)  15 x 10 15 2d H  x (SBA; SBC )  78043' ( SBA;ABC)  ( SBC ;ABC)  630 42' x3  Hình chóp S.ABCD có cạnh x Đường cao Và thể tích SH  VS ABCD   x Bán kính khối cầu ngoại tiếp R nội tiếp r x x x R Khoảng cách từ Chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh x 6 x  0,2588 x d ( SA; BC )  d ( B;S AD)  d ( H ; SAB)  r Vcau _ ngoai x   ( )3 71 Khoảng cách đường chéo  2d H  2x x 2x Khoảng cách từ cạnh đáy AB,AD,BC,CDđến đường mặt đối diện 2x Vcau ngoai VChop d ( A; SCB)   2 2x  d ( A; SCB)  Hình chóp S.ABCD hình vng có cạnh x,cạnh bên kx Đường cao Và thể tích 2k  SH  x VS ABCD k Canh _ ben canh _ day 2k   x Bán kính khối cầu ngoại tiếp R nội tiếp r R k2 2(2k  1) x d ( H ; SCD)  Vcau _ ngoai  k2 ( x )3 2(2k  1) 2k  x 2(2k  1) Khoảng cách A,B,C,D xuống mặt đối diện d ( A; SCD)  2d ( H ; SCD) VS ABCD k2  2 2k  72 2x 2x Khoảng cách từ Chân đường cao đến mặt bên chứa đỉnh 2k  2 x 2(2k  1) Vcau _ ngoai d ( SA; BC )  d (AB;SC)  Khoảng cách đường chéo Khoảng cách cạnh đáy cạnh bên mặt đối diện d ( AB; SC )  2d ( H ; SCD) 2k  2 x 2(2k  1) Nón cầu R 4( ) V( S ) h  VN R  h Nón ngoại tiếp tứ diện cạnh x Đáy nón ngoại tiếp ABC x x RNon   3 Nón nội tiếp tứ diện cạnh x Đáy nón nội tiếp tam giác cạnh x rNon  EF  1x x  73 Nón nội tiếp khối lập phương cạnh x rNon  x Nón ngoại tiếp hình lập phương cạnh x RNon  x 2 Vn Vn VLapPhuong VLapPhuong x x. ( )   32  x 12 x 2 x. ( )    x Cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh x R Vcau VLap phuong Cầu nội tiếp hình lập phương cạnh x x 2 x ( )    x a  b2  c R x r Vcau VLap phuong Cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật x ( )    x Cầu ngoại tiếp khối bát diện Dường cao chóp= SH  Rcau  Vcau Vbatdien 74 x 2 x ( )   1x 2 .x ... f ( x) +) Nu M ( x0 ; y0 ) i!m chung c+a  C1   C2   M  x0 ; y0  nghi%m c+a h%:   y  g( x) + Hoành  giao i!m c+a  C1   C2  nghi%m c+a ph ng trình: f (x )  g( x ) (*) +) S nghi%m... Page | b   b  ;   ,C   ;   2a 4a   2a 4a  MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y Tổng quát:  b cot  8a A O x B C Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam gi{c ABC vuông c}n A b  8a b  24a... loga x +) f  loga x     a  1    f  t   t  loga g  x  +) f  loga g  x      a  1    f  t   8.4 M t s" ph+ng pháp gi/i ph+ng trình mE: a) Ph+ng pháp +a v%