tổng hợp công thức giải nhanh oxyz

Microsoft Word �V� Công théc gi£i nhanh Oxyz , tổng hợp tất cả các công thức giải nhanh hình học oxyz lớp 12 đầy đủ và dễ hiểu nhất, cung cấp các kĩ năng giải toán hình học không gian cho các em học sinh

Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020 Website: http://thayduc.vn/ Tài liệu tóm tắt cơng thức, phương pháp giải nhanh Oxyz thầy Đức biên soạn cho học sinh khóa học Tọa độ điểm thuộc trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ Xét điểm M  xM ; yM ; z M   M  Ox  M  xM ;0;0  ;  M   Oxy   M  xM ; yM ;  ;  M  Oy  M  0; yM ;0  ;  M   Oyz   M  0; yM ; zM  ;  M  Oz  M  0; 0; zM   M   Ozx   M  xM ;0; z M  Điểm đối xứng với điểm qua trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ Xét điểm M  xM ; yM ; z M  Điểm M  đối xứng với M qua: Trục Ox  M   xM ;  yM ;  zM    Oxy   M   xM ; yM ;  zM  Trục Oy  M    xM ; yM ;  zM    Oyz   M    xM ; yM ; zM  Trục Oz  M    xM ;  yM ; zM    Ozx   M   xM ;  yM ; zM  Hình chiếu điểm lên trục tọa độ Chiếu lên Ox : M x  xM ; 0;0  Xét M  xM ; yM ; z M  Chiếu lên Oy : M y  0; yM ;0  Chiếu lên Oz : M z  0;0; zM  Hình chiếu điểm lên mặt phẳng tọa độ Chiếu lên  Oyz  : M   0; yM ; zM  Xét M  xM ; yM ; z M  Chiếu lên  Oxy  : M   xM ; yM ;0  Chiếu lên  Ozx  : M   xM ;0; zM  Khoảng cách từ điểm lên mặt phẳng tọa độ  d  M ;  Oxy    zM Xét M  xM ; yM ; z M   d  M ;  Oyz    xM  d  M ;  Ozx    yM Khoảng cách từ điểm tới trục tọa độ  d  M ; Ox   Xét M  xM ; yM ; z M  yM2  zM2 ;  d  M ; Oy   zM2  xM2 ;  d  M ; Oz   xM2  yM2 Xét điểm A, B, C biết tọa độ  A, B, C thẳng hàng Ba điểm thẳng hàng   Cách Tồn k   để AB  k AC     IA  pIB  qIC Cách Tồn p, q   để   p  q  _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020 Website: http://thayduc.vn/ Tích có hướng hai vectơ  Định nghĩa     Cho hai vectơ u   x1 , y1 , z1  v   x2 , y2 , z2  Tích có hướng hai vectơ u v vectơ, kí    y1 z1 z1 x1 x1 y1    ; ; hiệu: u , v  xác định: u , v     y z z x x y 2 2 2    Tính chất  Phát biểu    u , v   u     Tích có hướng hai vectơ vng góc với vectơ thành phần  u , v   v      u , v     v , u  Khi ta đổi thứ tự hai vectơ, ta vectơ đối        u , v   u v sin  u , v  Độ dài vectơ tích có hướng          u , v   u  mv , v   u , v  ku     Nếu thay u u  kv , giá trị tích có hướng khơng đổi m, k   Hai vectơ phương   Xét hai vectơ u   a ; b ; c  , v   a, b, c  Hai vectơ phương       k   : u  kv  a  ka; b  kb; c  kc  u , v       Hệ quả: A, B, C thẳng hàng   AB , AC   10 Ba vectơ đồng phẳng – tích hỗn tạp        Ba vectơ u , v , w đồng phẳng u , v  w   Hệ quả: Cho điểm    k   AB, AC  AD A, B, C , D , Nếu k  A, B, C , D đồng phẳng xét Nếu k  A, B, C , D không đồng phẳng 11 Tọa độ trung điểm  x  xB y A  y B z A  z B   Cho A  xA ; y A ; z A  B  xB ; yB ; zB  Trung điểm I AB : I  A ; ;  2   12 Tọa độ trọng tâm Tam giác Tứ diện x A  xB  xC  xD   xG   y A  yB  yC  yD   x A  xB  xC y A  y B  yC z A  z B  zC  G ; ;  yG   3    z A  z B  zC  z D   zG   13 Tìm tọa độ trực tâm H    BH AC   BH  AC       CH AB Cho ABC biết tọa độ đỉnh A, B, C  CH AB   A, B, C , H dong phang        AB, AC  AH  14 Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020 Website: http://thayduc.vn/  IA2  IB  IA2  IB   2 2 Cho ABC biết tọa độ đỉnh A, B, C IA IC     IA  IC      A, B, C , I dong phang     AB , AC  AI  15 Tọa độ chân đường phân giác góc tam giác DB AB AB    D chia BC theo tỉ số k   DC AC AC Cho ABC , phân giác AD  D  BC  B  kC  x  kxC yB  kyC z B  kzC   D B ; ;  ( D   k ) 1 k 1 k   1 k 16 Tâm tỉ cự hệ điểm axA  bxB  cxC   xI  abc   Cho điểm A, B, C biết tọa độ ay  by B  cyC   Tọa độ điểm I :  yI  A số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  abc      Xét điểm I thỏa mãn aIA  bIB  cIC  az A  bzB  czC  (Điểm I gọi tâm tỉ cực hệ điểm A, B,  zI  abc  C ứng với số a, b, c) aA  bB  cC (Nhớ: I  ) abc      aMA  bMB  cMC   a  b  c  MI Với điểm M  aMA2  bMB  cMC  aIA2  bIB  cIC   a  b  c  MI 17 Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp J aA  bB  cC J (với a  BC ; b  CA; c  AB ) abc ax  bxB  cxC ay  byB  cyC  Cho ABC biết tọa độ đỉnh, gọi J ; ; Ta có: xJ  A yJ  A tâm đường tròn nội tiếp ABC abc abc az  bzB  czC zJ  A abc 18 Diện tích hình bình hành    S   AB , AD   Xét hình bình hành ABCD    Hệ (diện tích tam giác): Cho ABC , S ABC   AB , AC  19 Thể tích khối hộp     V   AB , AD  AA Cho khối hộp ABCD ABC D Khi    Hệ (thể tích tứ diện): Cho tứ diện ABCD, VABCD   AB , AC  AD 20 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AB.BC.CA AB.BC.CA R     Cho ABC biết tọa độ điểm S ABC  AB , AC  21 Phương trình mặt phẳng tọa độ  Oxy  : z   Oyz  : x   Ozx  : y  _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020 Website: http://thayduc.vn/ 22 Phương trình mặt phẳng chứa trục tọa độ Chứa Ox : by  cz   b  c   Chứa Oy : ax  cz   a  c   2 Chứa Oz : ax  by   a  b   23 Phương trình mặt chắn  A  a ; 0;0   Ox  x y z Cho  B  0; b ;   Oy  abc   Phương trình mặt phẳng  ABC  :    a b c  C  0;0; c   Oz 24 Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng  x  x0  at   Đường thẳng d :  y  y0  bt  Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  d   z  z  ct   Gọi M  xM ; yM ; z M    P  ,  Lấy t  t0 bất kì, ta có axM  byM  czM  d  Chọn xM , yM để tìm zM M  x0  at0 ; y0  bt0 ; z0  ct0  Từ tìm tọa độ điểm M 25 Tìm tọa độ điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng axM  byM  czM  d   M   P   P  : ax  by  cz  d   Nếu    Xét  axM  byM  czM  d    M   Q   Q  : ax  by  cz  d    Cho xM bất kì, giải hệ tìm yM zM 26 Phương trình đường giao tuyến mặt phẳng  M   P      Qua điểm:   Vectơ phương: u   n1 , n2   M   Q  27 Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng x  x  at   Vì M  d  M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct    Đường thẳng: d :  y  y0  bt ; M  P   z  z  ct   A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D   Mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D   Tìm t (nên dùng CASIO), sau tìm M 28 Tìm giao điểm đường thẳng mặt cầu  x  x0  at  Vì M  d  M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct    Đường thẳng: d :  y  y0  bt ; M S    z  z  ct   2  x0  at  A    y0  bt  B    z0  ct  C   R  Mặt cầu 2  Từ tìm t  tìm M  S  :  x  A   y  B    z  C   R2 29 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng  Cho điểm M  xM ; yM ; zM  ax  byM  czM  d  d  M ;  P   M  Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  d  a  b2  c2 30 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng   u , MM     Cho điểm M  xM ; yM ; zM   d  M ;    u _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020 Website: http://thayduc.vn/ Qua M   x0 ; y0 ; z0   Đường thẳng  :   VTCP : u   a ; b ; c  31 Khoảng cách hai đường thẳng chéo    u , u MM   Qua M Qua M   Cho  :   ;  :    d   ,      u , u VTCP : u VTCP : u  32 Khoảng cách hai mặt phẳng song song  P  : ax  by  cz  d  d  d  Cho   d  P  , Q   a  b2  c  Q  : ax  by  cz  d   33 Vị trí tương đối hai mặt phẳng a b c d  Song song:    a  b c  d   a : b : c  a  : b  : c ) (hay   P  : ax  by  cz  d   a : b : c : d  a  : b : c  : d   Xét   Q  : ax  by  cz  d   a b c d  Trùng nhau:    a  b c  d  (hay a : b : c : d  a : b : c : d  )  Cắt nhau: a : b : c  a : b : c 34 Vị trí tương đối hai đường thẳng  Song song: M  d    Qua M Qua M  n0  Xét d :   ; d :    Trùng nhau: M  d  VTCT : u VTCP : u     Chéo nhau: n.MM    Tính      n0   n   u , u   Cắt nhau: n.MM   35 Hình chiếu điểm lên mặt phẳng  H  xM  at ; yM  bt ; zM  ct   Xét M x ; y ; z  M M M  axM  byM  cz M  d a2  b2  c2 36 Hình chiếu điểm lên đường thẳng Qua I  x0 ; y0 ; z0   Từ H  d  H  x0  at ; y0  bt ; z0  ct  điểm M  Cho d :      Vì MH  d  MH ud  , ta tìm t VTCP : u   a ; b ; c   P  : ax  by  cz  d  với t   37 Hình chiếu đường thẳng lên phẳng phẳng Qua I  x0 ; y0 ; z0   Cho đường thẳng d :  mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D   VTCP : u   a ; b ; c   Nếu d //  P   Nếu d   P   M   Chọn M  d (có thể chọn M  I )  Xác định H | Qua M   d :       MH   P  Qua H VTCP : u   n, ud  , n   d :     VTCP : u  ud  H   P  38 Đường thẳng đối xứng đường thẳng khác qua mặt phẳng Qua I  x0 ; y0 ; z0   Cho đường thẳng d :  mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D   VTCP : u   a ; b ; c  _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020  Nếu d //  P   B1 : Tìm điểm I  đối xứng với I qua  P  Qua I   B2: d  :   VTCP : u Website: http://thayduc.vn/  Nếu d   P   M   B1 Xác định tọa độ giao điểm M  B2 Chọn điểm N  d ( N không trùng với M )  B3 Dựng N  đối xứng với N qua  P  Qua N    B4 d  :  VTCP : MN  39 Đường vuông góc chung đường thẳng chéo Qua A  Qua A  Cho d :   d  :   VTCP : u VTCP : u    d    Viết phương trình đường thẳng  đường  B1   u    u , u    d  vng góc chung d d   B2 Viết phương trình mp  P  chứa d , chứa  : Qua A   n  u , u   B3 Xác định giao điểm: d    P   M   P  :   Qua M  B4  :     VTCP : u  u , u  40 Góc      Xét đường thẳng d d  có VTCP u u , mặt phẳng  P   P  có VTPT n n        cos  d , d    cos  u , u   cos   P  ,  P    cos  n, n   sin  d ,  P    cos  u , n  Cùng loại cos Khác loại sin 41 Phương trình mặt chắn qua trọng tâm tam giác   P  : Qua A  a ; 0;0  , B  0; b ;  , C  0;0; c  x y z G  xG ; yG ; zG  làm trọng tâm   P  : x  y  z  G G G ABC 42 Phương trình mặt chắn qua trực tâm tam giác   P  : Qua A  a ; 0;0  , B  0; b ;0  , C  0;0; c  2 H  x ; y ; z  làm trực tâm   P  : xH x  yH y  z H z  xH  yH  zH H H H ABC 43 Phương trình mặt chắn qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác   IA2  IB   P  : Qua A  a ; 0;0  , B  0; b ;  , C  0;0; c   x y z   P  :    , ta có:  IA2  IC I  xI ; yI ; zI  làm tâm ngoại a b c x y z ABC  I  I  I 1 a b c  44 Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng qua điểm Qua M Qua A   P  : Chứa d :   A   P  VTCP : u  P :        VTPT : n  u , AM     A d  _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020 Website: http://thayduc.vn/ 45 Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Qua M Qua M   P  : Chứa d :    P :       P    Q    VTCP : u VTPT : n   nQ , u  46 Đường thẳng qua điểm, cắt vng góc với đường thẳng cho trước Qua A Qua A Qua M  :         d :    , viết PTĐT:  :   d VTCP : u   u , u , MA    VTCP : u Cat d  47 Đường thẳng qua điểm, cắt đường thẳng d vng góc với d’ Qua M Qua M   d :  ; d :   điểm A Qua A VTCP : u VTCP : u     : u, u , MA  u  Viết PTĐT  qua A, cắt d vng góc với      d  48 Đường thẳng nằm (P), cắt hai đường thẳng d d’  B1 Xác định giao điểm d với  P  d  với  Viết PTĐT nằm  P  , cắt d d  P (gọi A B ) Qua A  B2:  :    VTCP : u  AB 49 Đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng cho trước Cách 1: Gọi giao điểm B  t   d B  t    d  Dựa vào A, B, B thẳng hàng, ta tìm t t  Cách 2: B1 Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa A d Ta Qua M Qua M   d :  ; d :   điểm A VTCP : u  VTCP : u Viết PTĐT qua A, cắt d d  Qua A có:  P  :     u , AM  n  P    B2 Xác định d    P    B Qua A B3  :    VTCP : u  AB 50 Đường thẳng song song với  , cắt d d’ Cách Gọi A  a   d , B  b   d  Dựa vào AB //  , ta tìm a b Cách Qua M Qua M  : ; : d B1 Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa d song song    VTCP : u VTCP : u Qua M Qua M  với Ta có P  :      d :   nP  ud , u     VTCP : u  Viết PTĐT song song với , cắt d d  B2 Xác định d    P    B Qua B B3  :    VTCP : u  u 51 Phương trình đường trung tuyến tam giác _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020  Cho ABC biết tọa độ đỉnh Viết phương trình trung tuyến AM Website: http://thayduc.vn/  x  x y  yC z B  zC B1 Xác định M  B C ; B ; 2  Qua A B2 AM :    VTCP: u  AM    52 Phương trình đường cao tam giác Qua A  Cho ABC biết tọa độ đỉnh AH :          Viết phương trình đường cao AH VTCP: u   BC ,  BC , BA   53 Phương trình đường trung trực BC  x  x y  yC z B  zC  B1 Xác định M  B C ; B ;  2   Cho ABC biết tọa độ đỉnh  Viết phương trình đường trung trực BC Qua M B2 d :        VTCP: u  BC ,  BC , BA    54 Phương trình đường phân giác ngồi góc A  Cho ABC biết tọa độ đỉnh Viết phương trình đường phân giác ngồi góc A  Phân giác Qua A Qua A       Phân giác At  :   AB AC  At :   AB AC  VTCP: u    AB AC  VTCP: u  AB AC  55 Mặt cầu biết tâm tiếp xúc với mặt phẳng  Viết PTMC  S  có tâm I , tiếp xúc với Tam I  S :   P  biết  R  d  I ,  P   56 Mặt cầu qua điểm  Gọi phương trình mặt cầu:  S  : x  y  z  ax  by  cz  d   Viết PTMC  S  qua điểm A, B, C , D biết tọa độ AS   B   S   hệ phương trình, ẩn, tìm a, b, c, d  C   S  D  S    57 Mặt cầu qua điểm có tâm thuộc mặt phẳng  Gọi phương trình mặt cầu:  S  : x  y  z  ax  by  cz  d  AS   B   S  biết tọa độ có tâm thuộc mp  P  biết  hệ phương trình, ẩn, tìm a, b, c, d  C   S  I  P    58 Mặt cầu qua điểm có tâm thuộc đường thẳng biết  Viết PTMC  S  qua điểm A, B biết Cách 2 tọa độ có tâm thuộc đường thẳng d biết Gọi tâm I theo tham số t Từ IA  IB tìm t  Viết PTMC  S  qua điểm A, B, C _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020 Website: http://thayduc.vn/ Cách B1 Viết phương trình mp  P  trung trực AB B2 Tìm d   P   I  tâm mặt cầu B3 Tính R  IA bán kính mặt cầu 59 Mặt cầu qua điểm, có tâm thuộc đường thẳng tiếp xúc với mặt phẳng B1 Gọi tâm I theo tham số t (vì I  d )  Viết PTMC  S  qua A, có tâm thuộc B2 Xử lý IA  d  I ,  P   , tìm t d , tiếp xúc với mặt phẳng  P  B3 Xác định I , R viết PTMC  S  60 Mặt cầu biết tâm I, mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn biết bán kính B1 Tìm d  I ,  P   r (nếu đề cho S C ), ý S   r  Viết PTMC  S  có tâm I , biết  P  cắt  C  2 r  S  theo giao tuyến đường tròn biết bán B2 Tìm R : kính (hoặc chu vi, diện tích) R2  r  d  I ,  P  B3 Viết PTMC  S  có tâm I , bán kính R 61 Mặt cầu biết tâm I, cắt đường thẳng d theo đoạn thẳng có độ dài biết B1 Tìm d  I ,  d    Viết PTMC  S  có tâm I , biết đường a2 2 thẳng d cắt  S  theo cát tuyến đoạn thẳng B2 Xác định R  d  I , d   có độ dài a B3 Viết PTMC  S  có tâm I , bán kính R MỘT SỐ DẠNG TỐN CỰC TRỊ QUEN THUỘC 62 Mặt phẳng qua điểm A cách M khoảng lớn   P  qua điểm A cách M khoảng lớn Qua A  n  MA  P  :   63 Đường thẳng nằm mặt phẳng (P), song song với d (d//(P)) cách d khoảng nhỏ B1 Lấy A  d  Cho  P  đường thẳng d //  P  B2 Xác định   P   A   P  | AA   P   PTĐT  thỏa mãn  d   , d min Qua A B3  :    VTCP: u  ud 64 Đường thẳng qua điểm thuộc mặt phẳng, cách điểm khác khoảng lớn  Cho A   P  điểm M   P  , AM khơng vng góc với  P     P   PTĐT  thỏa mãn:  A   d M ;  max   Qua A :      VTCP: u   n , AM  _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan Thầy Đỗ Văn Đức – https://www.facebook.com/dovanduc2020 Website: http://thayduc.vn/ 65 Đường thẳng qua điểm thuộc mặt phẳng, cách điểm khác khoảng nhỏ  Cho A   P  điểm B1 Xác định H hình chiếu M   P  , AM khơng vng góc M lên  P  với  P  Qua A B2  :       P  VTCP: u  AH      PTĐT  thỏa mãn:  A   Hoặc u   n ,  n , AM     d M ;  min   66 Mặt phẳng chứa đường thẳng d cách điểm M khoảng lớn   P  chứa d cách M  d khoảng lớn B1 Lấy A  d B2 Qua A  P  :          VTPT: n   ud , AM  , ud  67 Đường thẳng nằm mặt phẳng (P), qua A cách d khoảng lớn (d cắt (P))  Cho  P  , điểm A   P  B1 Lấy B  d đường thẳng d cắt  P  M Qua A  Qua A B2:    :             u   nP , ud , ud , AB    Viết PTĐT    :    P   d   , d max 68 Mặt phẳng chứa đường thẳng  , tạo với đường thẳng d góc lớn Cách làm:  Lấy A thuộc   Cho hai đường thẳng   Mặt phẳng  P  xác định: d ngồi khơng vng góc với A P  Viết PTMP  P  chứa ,  P  :      tạo với d góc lớn nP  u , u , ud  69 Đường thẳng qua A, nằm (P) tạo với d góc nhỏ  Cho điểm A nằm  P  , đường thẳng d ( d cắt  P  d khơng vng góc với  P  )  Viết PTĐT  qua A, nằm  P  , tạo với d góc nhỏ     Công thức: u   nP ,  nP , ud  Thầy Đỗ Văn Đức Nhớ theo dõi page: https://www.facebook.com/dovanduc2020 để cập nhật giảng nhanh nha Yêu em nhìu _ Thầy Đỗ Văn Đức – Facebook: http://facebook.com/thayductoan 10 ...  , tạo với d góc nhỏ     Công thức: u   nP ,  nP , ud  Thầy Đỗ Văn Đức Nhớ theo dõi page: https://www.facebook.com/dovanduc2020 để cập nhật giảng nhanh nha Yêu em nhìu ...  axM  byM  czM  d    M   Q   Q  : ax  by  cz  d    Cho xM bất kì, giải hệ tìm yM zM 26 Phương trình đường giao tuyến mặt phẳng  M   P      Qua điểm:  