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Annals of Mathematics Le lemme fondamental pour les groupes unitaires By G_erard Laumon and Bao Ch^au Ng^o Annals of Mathematics, 168 (2008), 477–573 Le lemme fondamental pour les groupes unitaires By G ´ erard Laumon and Bao Ch ˆ au Ng ˆ o Abstract Let G be an unramified reductive group over a nonarchimedian local field F. The so-called Langlands Fundamental Lemma is a family of con- jectural identities between orbital integrals for G(F ) and orbital integrals for endoscopic groups of G. In this paper we prove the Langlands fundamental lemma in the particular case where F is a finite extension of F p ((t)), G is a unitary group and p > rank(G). Waldspurger has shown that this particular case implies the Langlands fundamental lemma for unitary groups of rank < p when F is any finite extension of Q p . We follow in part a strategy initiated by Goresky, Kottwitz and MacPher- son. Our main new tool is a deformation of orbital integrals which is con- structed with the help of the Hitchin fibration for unitary groups over projec- tive curves. 0. Introduction 0.1. Le lemme fondamental de Langlands et Shelstad. Soient F un corps local nonarchim´edien de caract´eristique r´esiduelle diff´erente de 2, F   son  extension quadratique non ramifi´ee et τ l’´el´ement non trivial du groupe de Galois de F  sur F . On consid`ere le groupe unitaire quasi-d´eploy´e G = U(n) sur F dont le groupe des points rationnels sur F est G(F ) = {g ∈ GL(n, F  ) | τ ∗ ( t g)Φ n g = Φ n } o`u la matrice Φ n a pour seules entr´ees non nulles les (Φ n ) i,n+1−i = 1. Soient n = n 1 + n 2 une partition non triviale et H = U(n 1 ) × U(n 2 ) le groupe endoscopique de G correspondant. Soient δ = (δ 1 , δ 2 ) un ´el´ement semi-simple, r´egulier et elliptique de H(F ) et T = T 1 × T 2 ⊂ U(n 1 ) × U(n 2 ) = H son centralisateur; T 1 et T 2 sont des tores maximaux de U(n 1 ) et U(n 2 ) qui sont anisotropes sur F . Fixons un plongement de T comme tore maximal dans G et notons γ l’image de δ par ce 478 G ´ ERARD LAUMON AND BAO CH ˆ AU NG ˆ O plongement. Supposons que l’´el´ement semi-simple et elliptique γ est r´egulier dans G. L’ensemble des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de γ dans G(F) est en bijection naturelle λ → γ λ avec le groupe fini Λ = Λ r = {λ ∈ (Z/2Z) r | λ 1 + · · · + λ r = 0} o`u r est le rang du F  -tore d´eploy´e maximal contenu dans le centralisateur de γ dans GL(n, F  ). De mˆeme l’ensemble des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de δ dans H(F ) est en bijection naturelle λ → δ λ = (δ λ 1 1 , δ λ 2 2 ) avec le sous-groupe Λ H = Λ r 1 × Λ r 2 de Λ o`u r 1 et r 2 sont les rangs des F  -tores d´eploy´es maximaux contenus dans les centralisateurs de δ 1 dans GL(n 1 , F  ) et δ 2 dans GL(n 2 , F  ). On a bien sˆur r = r 1 + r 2 . Pour chaque λ ∈ Λ, le centralisateur T λ de γ λ est une forme int´erieure de T et est donc isomorphe `a T. De mˆeme, pour chaque λ ∈ Λ H ⊂ Λ, le centralisateur S λ de δ λ est une forme int´erieure de T et est donc lui aussi isomorphe `a T . Notons O F  l’anneau des entiers de F  . Soient K = K n = G(F ) ∩ GL(n, O F  ) et K H = K n 1 × K n 2 les sous-groupes maximaux standard de G(F ) et H(F ). On normalise les mesures de Haar dg et dh de G(F ) et H(F ) en demandant que K et K H soient de volume 1. On consid`ere les int´egrales orbitales O γ λ (1 K ) =  T λ (F )\G(F ) 1 K (g −1 γ λ g) dg dt λ pour λ ∈ Λ et O H δ λ (1 K H ) =  S λ (F )\H(F ) 1 K H (h −1 δ λ h) dh ds λ pour λ ∈ Λ H . On a fix´e une mesure de Haar sur T (F ), par exemple celle qui donne le volume 1 au sous-groupe compact maximal, et on a transport´e, par les isomorphismes entre T λ et T et entre S λ et T signal´es plus haut, cette mesure en la mesure de Haar dt λ sur T λ (F ) pour chaque λ ∈ Λ et en la mesure de Haar ds λ sur S λ (F ) pour chaque λ ∈ Λ H . Soit κ : Λ → {±1} le caract`ere dont le noyau est exactement Λ H . On forme suivant Langlands et Shelstad (cf. [La-Sh]) les combinaisons lin´eaires d’int´egrales orbitales suivantes: la κ-int´egrale orbitale O κ γ (1 K ) =  λ∈Λ κ(λ) O γ λ (1 K ) et l’int´egrale orbitale stable endoscopique SO H δ (1 K H ) =  λ∈Λ H O H δ λ (1 K H ). Langlands et Shelstad (cf. [La-Sh]) ont d´efini un facteur de transfert ∆(γ, δ), qui est le produit d’un signe et de la puissance |D G/H (γ)| 1 2 LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 479 du nombre d’´el´ements du corps r´esiduel de F, et ils ont conjectur´e: Lemme fondamental. On a l’identit´e O κ γ (1 K ) = ∆(γ, δ) SO H δ (1 K H ). Waldspurger a d´emontr´e que pour ´etablir cette conjecture pour F une extension finie de Q p , il suffisait de le faire lorsque F est une extension finie de F p ((t)) (cf. [Wal 1]), et ce apr`es avoir remplac´e les groupes G et H par leurs alg`ebres de Lie (cf. [Hal], [Wal 2], [Wal 3]). L’objet de cet article est de terminer la d´emonstration du lemme fonda- mental pour les groupes unitaires de rang n < p en traitant ce dernier cas: voir le th´eor`eme 1.5.1 pour l’´enonc´e pr´ecis. 0.2. Notre strat´egie. Dans la preuve pr´esent´ee ici, nous utilisons des id´ees de Goresky, Kottwitz et MacPherson, et du premier auteur, id´ees qui ont ´et´e introduites dans les travaux ant´erieurs [G-K-M] et [Lau]. Comme dans [G-K-M] on exprime le facteur de transfert `a l’aide d’une fl`eche en cohomologie ´equivariante de sorte que le lemme fondamental se d´eduit d’un isomorphisme en cohomologie ´equivariante. Comme dans [Lau] on utilise un argument de d´eformation, qui fait  glisser  d’une situation d’intersection tr`es compliqu´ee vers une situation d’intersection transversale. Les r´esultats de [G-K-M] dans le cas non ramifi´e pour un groupe r´eductif quelconque, et de [Lau] dans le cas ´eventuellement ramifi´e, mais pour le groupe unitaire uniquement, supposent d´emontr´ee une conjecture de puret´e des fibres de Springer. Une telle conjecture a ´et´e formul´ee par Goresky, Kottwitz et MacPherson. Nous ne savons pas d´emontrer cette conjecture, mais nous contournons le probl`eme en d´emontrant en fait un autre ´enonc´e de puret´e, `a savoir la puret´e d’un faisceau pervers li´e `a une famille  universelle  de κ-int´egrales orbitales globales. Pour cela nous nous fondons sur une interpr´etation g´eom´etrique de la th´eorie de l’endoscopie de Langlands et Kottwitz (cf. [Lan] et [Kot 1]) `a l’aide de la fibration de Hitchin ([Hit]). Cette interpr´etation, d´ecouverte par le second auteur et pr´esent´ee ici uniquement dans le cas des groupes unitaires, vaut en fait en toute g´en´eralit´e (cf. [Ngo]). Enfin, un argument dans l’esprit de ([Lau]) permet de conclure. 0.3. Plan de l’article. Passons bri`evement en revue l’organisation de cet article. Dans le chapitre 1, nous explicitons l’´enonc´e du lemme fondamen- tal pour les groupes unitaires, en termes de comptage des r´eseaux qui sont auto-duaux par rapport `a une forme hermitienne et qui sont stables par une transformation unitaire. 480 G ´ ERARD LAUMON AND BAO CH ˆ AU NG ˆ O Dans le chapitre 2, nous explicitons la construction de la fibration de Hitchin dans le cas du groupe unitaire. Nous faisons le lien entre la fibration Hitchin d’un groupe unitaire et la fibration de Hitchin d’un de ces groupes endoscopiques. Dans le chapitre 3, le cœur de ce travail, nous d´emontrons une identit´e globale, que l’on devrait pouvoir identifier `a une identit´e globale qui apparaˆıt dans la stabilisation de la formule des traces. L’´enonc´e principal de ce chapitre est le th´eor`eme 3.9.3. On le d´emontre `a l’aide d’un isomorphisme en cohomolo- gie ´equivariante. Comme nous l’avons mentionn´e plus haut, l’isomorphisme en cohomologie ´equivariante que nous construisons est analogue `a celui construit ant´erieurement dans [G-K-M]. Comme nous l’avons d´ej`a dit notre construction s’appuie sur un ´enonc´e de puret´e, d´emontr´e dans le paragraphe 3.2, et d’un argument de d´eformation. Dans le chapitre 4, nous expliquons comment passer d’une situation locale donn´ee, `a une situation globale du type de celle consid´er´ee dans le chapitre 3. Ici, l’outil de base est un th´eor`eme de Bertini rationnel 4.4.1, d´emontr´e par Gabber ([Gab]) et Poonen ([Poo]). Le comptage de la section (4.6) est analogue `a celui du th´eor`eme (15.8) de [G-K-M]. Enfin, dans un appendice, nous d´emontrons une variante A.1.2 du th´eor`eme de localisation d’Atiyah-Borel-Segal. Puis nous pr´esentons le calcul de la co- homologie ´equivariante d’un fibr´e en droites projective et d’un fibr´e en droites projectives pinc´ees. Nous d´emontrons dans le dernier appendice une formule de points fixes. 0.4. Pr´ecautions d’emploi de nos r´esultats. Dans ce travail nous avons admis certains r´esultats sur la cohomologie -adique des champs alg´ebriques. 0.5. Remerciements. Nous remercions A. Abbes, J B. Bost, L. Breen, M. Brion, J F. Dat, O. Gabber, D. Gaitsgory, A. Genestier, L. Illusie, S. Kleiman, L. Lafforgue, F. Loeser, M. Raynaud et J L. Waldspurger pour l’aide qu’ils nous ont apport´ee durant la pr´eparation de ce travail. Nous re- mercions aussi le rapporteur pour sa lecture attentive de notre texte et les nombreuses am´eliorations qu’il y a apport´ees. 1. Int´egrales orbitales et comptage de r´eseaux 1.1. Les donn´ees. Pour tout corps local nonarchim´edien K on note O K son anneau des entiers,  K une uniformisante de K et v K : K × → Z la valuation discr`ete normalis´ee par v K ( K ) = 1. Pour toute extension finie L de K, on note Tr L/K : L → K et Nr L/K : L × → K × les trace et norme correspondantes. Soient F un corps local nonarchim´edien d’´egales caract´eristiques diff´erentes de 2, k = F q son corps r´esiduel et F  son extension quadratique non ramifi´ee de F (de corps r´esiduel F q 2 ). LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 481 On se donne une famille finie (E i ) i∈I d’extensions finies s´eparables de F qui sont toutes disjointes de F  et, pour chaque i ∈ I, un ´el´ement γ i de l’extension compos´ee E  i = E i F  . On note n i le degr´e de E i sur F et τ l’´el´ement non trivial des groupes de Galois Gal(F  /F ) ∼ = Gal(E  i /E i ). On suppose que, pour chaque i ∈ I, γ i engendre E  i sur F  , γ i ∈ O E  i et γ τ i + γ i = 0. On suppose de plus que pour tous i = j dans I les polynˆomes minimaux P i (T ) et P j (T ) sur F  de γ i et γ j sont premiers entres eux. On suppose enfin que la caract´eristique de k est > n =  i∈I n i . Le tore T de l’introduction est alors le tore anisotrope sur F dont le groupe des F -points est T (F) =  i∈I {x ∈ E  i | x τ x = 1} et γ est vu comme un point sur F de l’alg`ebre de Lie de ce tore. 1.2. Invariants num´eriques. Pour chaque i ∈ I, le polynˆome minimal P i (T ) de γ i ∈ O E  i sur F  est un polynˆome unitaire de degr´e n i `a coefficients dans O F  . Comme γ τ i = −γ i , on a de plus P τ i (T ) = (−1) n i P i (−T ). On note δ i la dimension sur F q 2 de O E  i /O F  [γ i ], c’est-`a-dire la co-longueur de O F  [γ i ] comme sous-O F  -r´eseau de O E  i . D’apr`es Gorenstein et Rosenlicht (cf. [Al-Kl 1, Ch. 8 Prop. 1.16]), le conducteur a i ⊂ O F  [γ i ] ⊂ O E  i de O E  i dans O F  [γ i ] est de co-longueur δ i comme sous-O F  -r´eseau de O F  [γ i ] et est donc ´egal `a a i =  2δ i e i n i E i O E  i o`u e i est l’indice de ramification de E i sur F . Puisque l’extension E i /F est de degr´e n i < p, a fortiori premier `a p, la diff´erente D E i /F est ´egale `a l’id´eal  e i −1 E i O E i de O E i d’apr`es la proposition 13, §6, ch. III, de [Ser]. De mˆeme, la diff´erente D E  i /F  est ´egale `a l’id´eal  e i −1 E i O E  i de O E  i . En utilisant loc. cit. Cor. 1, on a donc v E  i  dP i dT (γ i )  = 2δ i e i n i + e i − 1. Pour tous i = j dans I, le r´esultant Res(P i , P j ) ∈ F  est non nul puisque les polynˆomes P i (T ) et P j (T ) sont premiers entre eux. C’est donc un ´el´ement non nul de O F  . On a de plus Res(P i , P j ) τ = (−1) n i n j Res(P i , P j ). La valuation r ij ≥ 0 de Res(P i , P j ) est ´egale `a r ij = n i v E  i (P j (γ i )) e i = n j v E  j (P i (γ j )) e j . 482 G ´ ERARD LAUMON AND BAO CH ˆ AU NG ˆ O Elle est aussi ´egale `a la co-longueur du O F  -r´eseau O F  [γ i ⊕ γ j ] ⊂ E  i ⊕ E  j comme sous-r´eseau de O F  [γ i ] ⊕ O F  [γ j ] ⊂ E  i ⊕ E  j . De plus, on a P j (γ i )O F  [γ i ] ⊕ P i (γ j )O F  [γ j ] ⊂ O F  [γ i ⊕ γ j ] ⊂ O F  [γ i ] ⊕ O F  [γ j ] puisque P i (γ i ⊕ γ j ) = 0 ⊕ P i (γ j ) et P j (γ i ⊕ γ j ) = P j (γ i ) ⊕ 0, et l’indice de P j (γ i )O F  [γ i ] ⊕ P i (γ j )O F  [γ j ] dans O F  [γ i ⊕ γ j ] est aussi ´egal `a r ij . Pour toute partie J de I on note E J =  i∈J E i et E  J =  i∈J E  i . Ce sont des espaces vectoriels de dimension n J =  i∈J n i sur F et F  respectivement. On note aussi O E J =  i∈J O E i et O E  J =  i∈J O E  i . Soit γ J ∈ O E  J l’´el´ement γ J = ⊕ i∈J γ i . La sous-O F  -alg`ebre O F  [γ J ] de O E  J est de co-longueur δ J =  i∈J δ i + 1 2  i=j∈J r ij dans O E  J . Soit a J ⊂ O F  [γ J ] ⊂ O E  J le conducteur de O E  J dans O F  [γ J ]. D’apr`es Gorenstein, a J est de co-longueur δ J dans O F  [γ J ] et est ´egal `a a J =  a J E J O E  J o`u a J = (a i ) i∈J est la famille des entiers a i =  2δ i +  j∈J−{i} r ij  e i n i et o`u on a pos´e  a J E  J = ⊕ i∈J  a i E  i . 1.3. Formes hermitiennes. On rappelle que le groupe F × /Nr F  /F (F  × ) est le groupe `a deux ´el´ements engendr´e par la classe de n’importe quelle uni- formisante  F de F . On l’identifie `a Z/2Z dans la suite. Pour chaque i ∈ I et chaque c i ∈ E × i , on munit le F  -espace vectoriel E  i de la forme hermitienne Φ i,c i : E  i × E  i → F  , (x, y) → Tr E  i /F  (c i x τ y). Si d E i /F est le discriminant de E i /F , c’est-`a-dire l’id´eal d E i /F = Nr E i /F (D E i /F ) de O F , le discriminant de Φ c i est la classe λ i (c i ) ∈ Z/2Z de l’´el´ement Nr E i /F (c i )x ∈ F × dans F × / Nr F  /F (F  × ) pour n’importe quel g´en´erateur x de l’id´eal d E i /F . Comme n i est premier `a la caract´eristique r´esiduelle par hypoth`ese, on a d E i /F =  n i e i −1 e i F O F LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 483 et λ i (c i ) ≡ v F (Nr E i /F (c i )) + n i − n i e i = n i v E i (c i ) e i + n i − n i e i (mod 2). Plus g´en´eralement, pour chaque partie J de I et chaque c J = (c i ) i∈J ∈ E × J , on munit le F  -espace vectoriel E  J de la forme hermitienne Φ J,c J = ⊕ i∈J Φ i,c i : E  J × E  J → F  . Le discriminant de Φ J,c J est la somme  i∈J λ i (c i ) ∈ Z/2Z des discriminants des Φ i,c i . 1.4. R´eseaux auto-duaux. Pour chaque partie J de I et chaque c J ∈ E × J , on consid`ere l’ensemble {M J ⊂ E  J | M ⊥ c J J = M J et γ J M J ⊂ M J } des O F  -r´eseaux M J de E  J qui sont `a la fois auto-duaux pour Φ J,c J et stables par γ J . Ici on a not´e M ⊥ c J J = {x ∈ E  J | Φ J,c J (x, M J ) ⊂ O F  } l’orthogonal de M J pour la forme hermitienne Φ J,c J . Lemme 1.4.1. Pour chaque partie J de I et chaque c J ∈ E × J , l’ensemble de r´eseaux ci-dessus est un ensemble fini. D´emonstration. Pour tout r´eseau dans cet ensemble, on a a J M J ⊂ M J ⊂ O E  J M J et (O E  J M J ) ⊥ c J ⊂ M J ⊂ (a J M J ) ⊥ c J . Or on a O E  J M J =  −m J E  J O E  J pour une famille d’entiers m J = (m i ) i∈J index´ee par J, et donc a J M J =  a J −m J E  J O E  J , (O E  J M J ) ⊥ c J =  m J E J (O E  J ) ⊥ c J =  −b J +m J E J O E  J et (a J M J ) ⊥ c J =  −a J +m J E J (O E  J ) ⊥ c J =  −a J −b J +m J E J O E  J o`u b J = (b i ) i∈J est la famille d’entiers d´efinie par c −1 i D −1 E i /F =  −b i E i O E i . On en d´eduit que b i ≤ 2m i ≤ 2a i + b i , ∀i ∈ J, 484 G ´ ERARD LAUMON AND BAO CH ˆ AU NG ˆ O et que  a J −[ b J 2 ] E  J O E  J ⊂ M J ⊂  −a J −b J +[ b J 2 ] E  J O E  J , d’o`u le lemme. L’ensemble des r´eseaux M J de E  J qui sont `a la fois auto-duaux pour Φ J,c J et stables par γ J , admet encore la description suivante qui est le point de d´epart de ce travail. Consid´erons la O F  -alg`ebre A J = O F  [γ J ] = O F  [T ]/(P J (T )) o`u P J (T ) =  i∈J P i (T ), munie de l’involution qui induit τ sur O F  et qui envoie T sur −T . Alors, E  J est l’anneau total des fractions de A J et les O F  - r´eseaux M J ⊂ E  J tels que γ J M J ⊂ M J ne sont rien d’autre que les id´eaux fractionnaires de A J . Un tel id´eal fractionnaire admet un inverse M −1 J = {m ∈ E  J | xM J ⊂ A J }. Lemme 1.4.2. Pour tout c J ∈ E × J , l’orthogonal du O F  -r´eseau A J ⊂ E  J relativement `a la forme hermitienne Φ J,c J est (A J ) ⊥ c J =  ⊕ i∈J 1 c i dP i dT (γ i )P J−{i} (γ i )  A J ⊂ E  J . Plus g´en´eralement, pour tout c J ∈ E × J et tout id´eal fractionnaire M J de A J on a la relation M ⊥ c J J =  ⊕ i∈J 1 c i dP i dT (γ i )P J−{i} (γ i )  M −1 J . D´emonstration. Voir la d´emonstration de la proposition 11, §6, ch. III, de [Ser].  En particulier, si on note c 0 J,i = ε n J −1 dP i dT (γ i )P J−{i} (γ i ) ∈ E × i , ∀ i ∈ J, o`u ε est un ´el´ement de F q 2 ⊂ F  tel que ε τ = −ε, on a c 0 J = (c 0 J,i ) i∈J ∈ E × J et le O F  -r´eseau A J ⊂ E  J est auto-dual pour la forme hermitienne Φ J,c 0 J . Lemme 1.4.3. On a λ 0 J,i := λ i (c 0 J,i ) ≡  j∈J−{i} r ji (mod 2) pour toute partie J de I et tout i ∈ J. D´emonstration. On a vu que λ i (c 0 J,i ) ≡ n i v E i (c 0 J,i ) e i + n i − n i e i (mod 2). LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 485 Or v E  i  dP i dT (γ i )P J−{i} (γ i )  = 2δ i e i n i + e i − 1 +  j∈J−{i} e i r ji n i , d’o`u le lemme. 1.5. ´ Enonc´e du lemme fondamental. Pour chaque J ⊂ I et pour chaque c J tel que  i∈J λ i (c i ) = 0, le cardinal de l’ensemble fini de r´eseaux O c J γ J = |{M J ⊂ E  J | M ⊥ c J J = M J et γ J M J ⊂ M J }| ne d´epend que de λ J (c J ) = (λ i (c i )) i∈J . Soit Λ J = {λ J ∈ (Z/2Z) J |  i∈J λ i = 0}. Pour chaque λ J ∈ Λ J on peut donc noter O λ J γ J = O c J γ J pour n’importe quel c J tel que λ J (c J ) = λ J . En fait O λ J γ J est une int´egrale orbitale. Plus pr´ecis´ement, choisissons c J ∈ E × J tel que λ J (c J ) = λ J . Comme le discriminant de Φ J,c J est ´egal `a 1, le F  -espace vectoriel hermitien (E  J , Φ J,c J ) est isomorphe au F  -espace her- mitien standard (F  n J , Φ n J ). Choisissons un tel isomorphisme et consid´erons le plongement de l’alg`ebre de Lie de T J (F ) =  i∈J {x ∈ E  i | x τ x = 1} dans l’alg`ebre de Lie u(n J ) de U(n J ) qu’il induit. La classe de G(F )-conjugaison de l’image γ λ J J de γ J par ce dernier plongement ne d´epend pas des choix que l’on vient de faire. Alors, O λ J γ J est pr´ecis´ement l’int´egrale orbitale de la fonction caract´eristique du compact maximal standard K n J de u(n J )(F ). Soit I = I 1  I 2 une partition de I. La donn´ee de cette partition ´equivaut `a la donn´ee d’un caract`ere κ I 1 ,I 2 : Λ I → {±1} `a savoir le caract`ere κ d´efini par κ(λ I ) = (−1) P i∈I 1 λ i = (−1) P i∈I 2 λ i . On a alors la  κ-int´egrale orbitale  O κ γ =  λ I ∈Λ I κ(λ I − (λ 0 I 1 , λ 0 I 2 )) O λ I γ et l’  int´egrale orbitale endoscopique stable  SO H γ =  λ I 1 ∈Λ I 1 λ I 2 ∈Λ I 2 O λ I 1 γ I 1 × O λ I 2 γ I 2 . [...]... parcourt les caract`res de Γ a valeurs dans E × , o` pour chaque χ et chaque u e ` u γ ∈ Γ, γ − χ(γ) op`re de mani`re nilpotente sur H n (K)χ , et o` H n (K)χ = (0) e e u pour tous les χ sauf un nombre fini Alors, il existe une unique d´composition Γ-´quivariante e e K= Kχ χ 511 LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES dans Db (A) o` χ parcourt les caract`res de Γ a valeurs dans E × , o` pour u... de la e e e H, proposition LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 505 Il existe c ∈ κ(a) tel que les expressions d((b1,i1 − c v )/v) − d(b2,i2 /v) ∈ Ω1 e K/κ(a) soient toutes non nulles et que v ne s’annule en aucune des images dans κ(a)⊗k X des points d’intersection de Yc v ·a1 et Ya2 Pour un tel c notons Uc un ouvert dense de U tel que les fonctions rationnelles (b1,i1 − c v )/v et b2,i2... Hn (fR,∗ Q )κ LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 509 suivant les caract`res κ de (Z/2Z)2 , tous les facteurs directs sont potentiellee ment purs de poids n et, pour κ endoscopique, le facteur p Hn (fR,∗ Q )κ est a support dans le ferm´ S de R En particulier, pour chaque caract`re en` e e p Hn (f doscopique κ, la restriction a S de ` R,∗ Q )κ est potentiellement pure de poids n D´monstration... globale e θ ∈ H 0 (XS , End OX (E) ⊗OX OX (2D)) S LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 495 munit E d’une structure de (OS k SymOX (OX (−2D)))-Module Puisque ce triplet a pour caract´ristique a, ce (OS k SymOX (OX (−2D)))-Module e est en fait un (OS k SymOX (OX (−2D)))/Ia -Module Le OYa -Module correspondant F est alors S-plat et fibres par fibres un Module sans torsion de rang 1 sur Ya (voir [B-N-R])... courbes spectrales Ya1 , Ya2 et Ya = Ya1 + Ya2 trac´es sur la surface Σ = P(OX ⊕ (LD )⊗−1 ) e Faisons les hypoth`ses sur a suivantes: e – Ya1 et Ya2 sont distinctes, g´om´triquement irr´ductibles et g´n´riquement e e e e e ´tales au-dessus de X; e – les images inverses Ya1 et Ya2 de Ya1 et Ya2 dans le revˆtement double e ´tale Ya = X ×X Ya de Ya sont aussi g´om´triquement irr´ductibles; en e e e e... elliptique si et seulement si τ agit trivialement e sur l’ensemble des composantes irr´ductibles Irr(Ya(s) ) Pour d´montrer que e e a(η) est elliptique, il suffit donc de d´montrer qu’il existe une application e LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 499 τ -´quivariante surjective e Irr(Ya(s) ) Irr(Ya(η) ) En effet, la surjectivit´ de cette application force τ ` agir trivialement sur e a Irr(Ya(η)... κ(a) ⊗k V(LD ) est e normal LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 493 2.6 Champs de Picard Pour tout S-point a de Ared , on note πa : Ya = X ×X Ya → Ya le revˆtement double ´tale d´duit du revˆtement double ´tale e e e e e π : X → X et pa : Ya → X la projection canonique L’involution τ de X au-dessus de X induit une involution not´e encore τ de Ya au-dessus de Ya e Le champ de Picard relatif... k SymOX ((LD )⊗−1 ) LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 491 On note D(a) le discriminant de la caract´ristique a, c’est-`-dire le r´sultant e a e du polynˆme o un + a1 un−1 + · · · + an et de sa d´riv´e e e nun−1 + (n − 1)a1 un−2 + · · · + an−1 ; c’est une section globale de (LD )⊗n(n−1) En fait, on a une courbe spectrale universelle Y ⊂ Σ ×k A vv vv vv  zvvv A dont le changement de base... de cet article est de d´montrer le th´or`me suivant conjectur´ par e e e e Langlands et Shelstad (cf [La-Sh]) et appel´ par eux le lemme fondamental e pour les groupes unitaires (ou plutˆt sa variante alg`bre de Lie) o e ´ ` Theoreme 1.5.1 Sous les hypoth`ses pr´c´dentes, on a la relation e e e κ r r H Oγ = (−1) q SOγ o` on a pos´ u e ri1 ,i2 r = rI1 ,I2 = i1 ∈I1 i2 ∈I2 En faisant passer le terme (−1)r... dans l’expression de la κ-int´grale orbitale comme combinaison lin´aire ıtre e e d’int´grales orbitales, des coefficients e κ(λI − (λ01 , λ02 ))(−1)r q −r I I qui sont ´gaux aux facteurs de transfert de Langlands-Shelstad (cf [La-Sh]), e d’apr`s des calculs de Waldspurger valables pour tous les groupes classiques e (cf la proposition X.8 de [Wal 4]) Ces facteurs sont aussi les mˆmes que ceux e d´finis par . Le lemme fondamental pour les groupes unitaires By G_erard Laumon and Bao Ch^au Ng^o Annals of Mathematics, 168 (2008), 477–573 Le lemme. Φ n } o`u pour tout X-sch´ema S, on a not´e par un indice S le changement de base par le morphisme structural S → X. LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES