Phương pháp Front -Tracking cho định luật bảo toàn doc

              • u t + H(u) x = 0 (x, t) ∈ R × (0, ∞). • v t + H(v x ) = 0 (x, t) ∈ R × (0, ∞), v(x, 0) = v 0 (x) x ∈ R.               u ∈ L ∞ (R × (0, ∞)) u t + H(u) x = 0 (x, t) ∈ R × (0, ∞), u(x, 0) = u 0 (x) x ∈ R,  ∞ −∞  ∞ 0 (uϕ t + H(u)ϕ x )dxdt +  ∞ −∞ u 0 (x)ϕ(x, 0)dx = 0. ϕ(x, t) ∈ C 1 0 (R × [0, ∞))        u C 1 u  ∞ −∞  ∞ 0 (uϕ t + H(u)ϕ x )dxdt = 0, ϕ(x, t) ∈ C 1 0 (R × (0, ∞)) C (x, t) u C 1 u H(u l ) − H(u r ) = ˙s(u l − u r ) C, x = s(t) C u l,r = lim x→s(t) −,+ u(x, t)        C σ u l , u r , H(u l ), H(u r ) C  [H(u)]  = H(u l ) − H(u r ) σ  [u]  = ˙s(u l − u r ) u ∈ L ∞ (R × [0, ∞)) u  ∞ −∞  ∞ 0 (|u − k|ϕ t + sign(u − k)(H(u) − H(k))ϕ x )dxdt+ +  ∞ −∞ |u 0 (x) − k|ϕ(x, 0)dx ≥ 0, ϕ(x, t) ∈ C ∞ 0 (R × [0, ∞)), ϕ ≥ 0 k ∈ R        R×(0, T ]  ∞ −∞  T 0 (|u − k|ϕ t + sign(u − k)(H(u) − H(k))ϕ x )dxdt+ +  ∞ −∞ |u 0 (x) − k|ϕ(x, 0)dx −  ∞ −∞ |u(x, T ) − k|ϕ(x, T )dx ≥ 0 ϕ(x, t) ∈ C ∞ 0 (R × [0, T ]), ϕ ≥ 0 k ∈ R u t + divH(u) = 0 (x, t) ∈ Ω × (0, T ) u(x, 0) = u 0 (x) x ∈ Ω,        u(x, t) = r(x, t) ∂Ω × (0, T ) H = (H 1 , H 2 , , H n ) T > 0 sign(γu(x, t)−k)(H(γu(x, t))−H(k)).n(x) ≥ 0, ∀k ∈ I(r(x, t), γu(x, t)), (x, t) ∈ ∂Ω×(0, T ) I(α, β) α β γu L 1 u u(x, t) ∈ L ∞ (Ω × (0, ∞)) u        L ϕ (u) =  Ω  T 0 [|u − k|ϕ t + sign(u − k)(H(u) − H(k)).∇ x ϕ]dxdt− −  ∂Ω  T 0 [sign(r − k)(H(γu) − H(k))ϕ].n(x)dxdt+ +  Ω |u 0 (x) − k|ϕ(x, 0)dx ≥ 0, ϕ(x, t) ∈ C ∞ 0 (Ω × [0, T )), ϕ ≥ 0 k ∈ R        u u t + H(u x ) = 0 x ∈ R, t > 0; u(x, 0) = u 0 (x) x ∈ R. u = g R × {t = 0}, u ϕ ∈ C ∞  R × (0, ∞)  u − ϕ (x 0 , t 0 ) ∈ R × (0, ∞) ϕ t (x 0 , t 0 ) + H(ϕ x (x 0 , t 0 )) ≤ 0, u ϕ ∈ C ∞  R × (0, ∞)  [...]... > 0 (i) Pháp chứng front- tracking minh sự tồn cho tại ta một nghiệm phương entropy pháp duy nhất mới của dùng bài để toán Cauchy (và cả bài toán biên Dirichlet) đối với định luật bảo toàn vô hướng Do đó cũng chứng minh được sự tồn tại nghiệm nhớt duy nhất của bài toán Cauchy đối với phương trình HamiltonJacobi 20/34 Phương pháp front- tracking cho bài toán biên Dirichlet đối với định luật bảo toàn vô... front- tracking 26/34 Chuyển phương pháp front- tracking sang cho bài toán Cauchy đối với phương trình HamiltonJacobi Xét bài toán Cauchy đối với PT Hamilton-Jacobi vt + H(vx) = 0 (x, t) R ì (0, ), v(x, 0) = v0(x) x R (28) và định luật bảo toàn vô hướng tương ứng trong không gian một chiều ut + H(u)x = 0 (x, t) R ì (0, ), u(x, 0) = u0(x) x R, (29) 27/34 Lấy đạo hàm một cách hình thức theo x phương. .. dãy {un(x, t)}n sao cho unk (x, t) u(x, t) khi k , (x, t) (a, b) ì [0, ); unk (., t) u(., t) trong L1 (a, b) khi k , t [0, ) loc Hơn nữa hàm khoảng u có biến phân toàn phần bị chặn theo biến (a, b) và ta có ||u(., t)||L C; T V (u(., t)) C, t [0, ) ||u(., t) u(., s)||L1 C|t s|, t, s [0, ) và x trên Phương pháp front- tracking cho bài toán Cauchy đối với định luật bảo toàn vô hướng trong... hướng Trong mục này ta chuyển phương pháp front- tracking sang áp dụng cho định luật bảo toàn vô hướng trong không gian một chiều ut + H(u)x = 0, (x, t) (a, b) ì (0, T ], (20) với điều kiện ban đầu và điều kiện biên kiểu Dirichlet u(x, 0) = u0(x) x (a, b), u(a, t) = ua(t) u(b, t) = ub(t) trong đó H t (0, T ), t (0, T ), u0, ua (a, b) là hàm liên tục Lipschit, biến phân toàn phần bị chặn trên (21)... hạn chế nghiệm front- tracking của bài toán Riemann tại x=b với điều kiện ban đầu u(x, 0) = lên miền toán (, b) Riemann Ta biên cũng bên u0(b) nếu x 0 không phụ thuộc n sao cho ||un||L C thì tồn tại một dãy con và T V (un) C {unk (x)} của dãy {un(x)}n sao cho unk (x) u(x) khi k , x (a, b) Hơn nữa hàm u có biến phân toàn phần bị chặn trên khoảng (a, b) và ta có tính chất nửa liên tục dưới T V (u) lim inf T V (un) n Định lý 2 [H-R, Theorem A.8] Giả sử (a, b) ì [0, ) Khi C > 0 không phụ thuộc vào n sao cho hàm xác định trên ||un(., t)||L C;... một dãy các hàm tuyến tính liên tục từng khúc với hữu hạn điểm gãy Sau đó giải chính xác các bài toán xấp xỉ 19/34 này bằng phương pháp front- tracking và lấy giới hạn dãy nghiệm này trong không gian thích hợp ta sẽ thu được hàm giới hạn u nghiệm của bài toán tổng quát (19)-(20) Định lý 3 Hàm u(x, t) thu được ở trên là nghiệm entropy của bài toán (19)-(20) Ngoài ra ta còn có các đáng giá ||u(., t)||... ) = ub(t) t (0, T ) 25/34 u(t, x) được xây dựng bằng phương pháp front- tracking Với mỗi t, nghiệm này là một hàm hằng trên từng đoạn theo biến x và u(x, t) nhận giá trị trong tập hữu hạn {u0(x), ua(t), ub(t)} {các điểm gãy của H} u với nhau biên x = a, b, Hơn nữa, chỉ có hữu hạn các va chạm giữa các front của và hữu hạn các va chạm giữa các front của u với các ngoài ra ta còn có các đánh giá: (i)...nếu u có một cực tiểu địa phương tại điểm (x0, t0) Rn ì (0, ) thì t(x0, t0) + H(x(x0, t0)) 0 11/34 Hàm với biến phân toàn phần bị chặn 12/34 Một trong những tính chất đáng chú ý nhất của các hàm có biến phân toàn phần bị chặn là kết quả sau Định lý 1 (Nguyên lý lựa chọn Helly) Giả sử {un(x)}n là một dãy các hàm có biến phân toàn phần bị chặn trên khoảng hữu hạn hoặc vô hạn