Jacobi
Xét bài toán Cauchy đối với PT Hamilton-Jacobi vt +H(vx) = 0 (x, t) ∈ R ì (0,∞),
v(x,0) = v0(x) x ∈ R. (28) và định luật bảo toàn vô hướng tương ứng trong không gian một chiều
ut +H(u)x = 0 (x, t) ∈ Rì (0,∞),
28/34 Lấy đạo hàm một cách hình thức theo x phương trình (28) ta nhận
được
vxt + (H(vx))x = 0 (x, t) ∈ Rì (0,∞),
vx(x,0) = v00(x) x ∈ R. (30) Do đó, nếu v là nghiệm cổ điển của (28) và v0 là hàm khả vi với v00 = u0 thì từ (30) ta thấy hàm
u(x, t) := vx(x, t) (x, t) ∈ Rì (0,∞),
là một nghiệm của bài toán (29). Ngược lại, nếu u là nghiệm cổ điển của (29) thì hàm v(x, t) = R0xu(y, t)dy rõ ràng là nghiệm của (28) với v0 = R0xu0(y)dy.
Đầu tiên ta giải bào toán (28) với điều kiện ban đầu có dạng đặc biệt (mà ta cũng gọi là bài toán Riemann)
v0(x) = v0(0) +
(
ulx với x < 0,
29/34 ở đây ul và ur là những hằng số. Đối với hai hằng số ul và ur
này ta có bài toán Riemann đối với định luật bảo toàn tương ứng ut +H(u)x = 0 (x, t) ∈ Rì (0,∞), (32)
u0(x) =
(
ul với x < 0,
ur với x ≥ 0. (33)
Gọi u(x, t) là nghiệm entrropy thu được như trong Mệnh đề 2.1 của bài toán Riemann này. Ta sẽ chứng tỏ rằng nghiệm nhớt của bài toán Cauchy (28)-(31) được cho bởi
v(x, t) = v0(0) + xu(x, t) − tH(u(x, t)). (34) Nhận xét. Ta thấy rằng hàm u(x, t) chỉ phụ thuộc vào một biến ξ = x/t, tức là u(x, t) = u(xt) cho nên
v(x, t) = v0(0) +
Z x
0
u(y, t)dy. (35)
30/34 Mệnh đề 3. [K-R, Proposition 2.3] Giả sử H là hàm tuyến tính từng
đoạn, ul và ur là các hằng số. Khi đó bài toán Riemann đối với phương trình Hamilton-Jacobi
vt +H(vx) = 0 trong R ì(0,∞), với điều kiện ban đầu
v(x,0) = v0(0) +
(
ulx với x < 0, urx với x ≥ 0, có duy nhất một nghiệm nhớt cho bởi
v(x, t) = v0(0) + xu(x, t) − tG(u(x, t)),
trong đó u(x, t) là nghiệm entropy duy nhất của định luật bảo toàn ut + H(u)x = 0, trong Rì (0,∞),
31/34 với điều kiện ban đầu
u(x,0) =
(
ul với x < 0, ur với x ≥ 0,
32/34 Tài liệu
[B-L-N] Bardos, C., LeRoux, A. Y., Nedelec, J. C., First or-
der quasilinear equations with boundary conditions, Com. Partial Differential Equations, 4(9), 1017-1034, 1979.
[C-I-Li] Crandall M. G., Ishii H., and Lions P. L., User's guide
to viscosity solutions of second order partial differ- ential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 27(1), 1-67, 1992.
[Daf] Dafermos, C., Polygonal approximation of solutions
of the initial value problem for a conservation law, J. Math. Anal. Appl., 38(1), 33-41, 1972.
33/34 [Go-Ra] Godlewski E., and Raviart P-A., Hyperbolic systems of
conservation laws, Mathematiques and Applications, Ellipses, Paris, 1991.
[H-H-HK] Holden, H., Holden, L. and Hoegh-Krohn, R., A nu- merical method for first order nonlinear scalar hyper- bolic conservation laws in one dimension, Comput. Math. Appl., 15(6-8), 595-602, 1988.
[H-R] Holden, H. and Risebro, N. H., Front tracking for hy-
perbolic conservation laws, Applied Mathematical Sci- ences, 152, Springer-Verlag, New York, 2002.
[K-R] Karlsen, K. H., and Risebro, N. H., A note on front
tracking and the equivalence between viscosity solu- tions of Hamilton-Jacobi equations and entropy so- lutions of scalas conservation laws, Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl., 50, 455-469, 2002.
34/34
[K-L-R] Karlsen, K. H., Lie, K. A., and Risebro, N. H., A front
tracking method for conservation laws with boundary conditions, Hyperbolic problems: theory, numerics, ap- plications (Seventh International Conference in Zurich, 1998), Eds., M. Fey and R. Jeltsch, Int. Series of Numerical Mathematics, 129, 493-502, Birkhauser, 1999.
[Kr] Kruzkov, S. N., First-order quasilinear equations in
several independent variables, Math. USSR Sb., 10(2), 217-243, 1970.