TỔNG hợp lý THUYẾT và DẠNG bài tập OXYZ

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 1 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Trong không gian Oxyz cho    ; ; , ; ; A A A B B B A x y z B x y z và   .

PHẦN 1: TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho: A  xA ; y A ; zA  , B  xB ; yB ; zB  a   a1 ; a2 ; a3  , b   b1 ; b2 ; b3  , k  Khi đó: x  x A    yB  y A    zB  z A  AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  zA  AB  AB  a  b   a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3  k.a   ka1 ; ka2 ; ka3  2 a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3 a a, b      b  a3 a3 ; b3 b3 (k 2 ) a1  b1  a  b  a2  b2 a  b  a  a a a 2 B a1 a1 ; b1 b1 m o c a  b  a.b   a1 b1  a2 b2  a3 b3  a, b  a  Tính chất:      a , b   b  a2   b2  u, v   u v sin  u, v  a a a 10 a phương b  a  k.b  a , b        b1 b2 b3 p ta i a b 11 a , b, c đồng phẳng  m, n  : a  mb  nc hay  a , b  c    12 a , b, c không đồng phẳng  m, n  : a  mb  nc hay  a , b  c     x  kxB y A kyB z A kzB  ; ; 13 M chia đoạn AB theo tỉ số k   MA  kMB  M  A   k  k  k    x  xB y A  y B z A  z B  ; ; Đặc biệt: M trung điểm AB : M  A  2    x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC  ; ; 14 G trọng tâm tam giác ABC : G  A  3    x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zD  ; ; 15 G trọng tâm tứ diện ABCD : G  A  4   16 Vectơ đơn vị: i  (1; 0; 0); j  (0;1; 0); k  (0; 0;1) 17 Điểm trục tọa độ: M( x; 0; 0)  Ox; N(0; y; 0)  Oy; K(0; 0; z)  Oz 18 Điểm thuộc mặt phẳng tọa độ: M( x; y; 0)  Oxy  ; N(0; y; z)  Oyz  ; K( x; 0; z)  Oxz  (C{ch nhớ phần 17 v| 18: Thiếu tọa độ n|o cho tọa độ 0, cịn lại giữ ngun Ví dụ (Oxy) thiếu z nên tọa độ M  (Oxy) có z  , tức l| M( x; y; 0) ) 19 Diện tích tam giác: SABC  1 AB, AC   2 20 bình Diện tích hình hành ABCD : S ABCD   AB, AC    21 Thể tích khối tứ diện ABCD : 1 AB, AC  AD  6 22 Thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' : VABCD  VABCD A' B'C ' D'   AB, AD  AA '   II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng A, B, C thẳng hàng  AB, AC phương   AB, AC     Dạng A, B, C ba đỉnh tam giác  A, B, C không thẳng hàng  AB, AC không phương   AB, AC     m o c Dạng G  xG ; yG ; zG  trọng tâm tam giác ABC thì: Dạng x  xB  xC y  yB  yC z z z xG  A ; yG  A ; zG  A B C 3 Cho ABC có chân E, F đường phân giác ngồi góc A ABC EB   BC Ta có: p ta AB EC , AC FB  i a b AB FC AC   AB, AC   diện tích hình bình hành ABCD là: SABCD   AB, AC     2 Dạng SABC Dạng Đường cao AH ABC : SABC  Dạng Tìm D cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto AB  DC   2.SABC  AB, AC   AH.BC  AH  BC BC AD  BC  tọa độ D Dạng Chứng minh ABCD tứ diện  AB; AC; AD không đồng phẳng   AB, AC  AD    Dạng G  xG ; yG ; zG  trọng tâm tứ diện ABCD thì: xA  xB  xC  xD y  yB  yC  yD z z z z ; yG  A ; zG  A B C D 4 Dạng 10 Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD   AB, AC  AD  6 3V Dạng 11 Đường cao AH tứ diện ABCD : V  S BCD AH  AH  S BCD xG  Dạng 12 Thể tích hình hộp: VABCD A' B'C ' D'   AB, AD  AA '   Dạng 13 Hình chiếu điểm A  xA ; y A ; z A  lên mặt phẳng tọa độ trục: Xem lại mục 1, công thức 17, 18 Dạng 14 Tìm điểm đối xứng với điểm A  x A ; yA ;z A  qua mặt phẳng tọa độ, trục gốc tọa độ: (Thiếu tọa độ đổi dấu tọa độ đó, có mặt tọa độ để ngun tọa độ đó) OXY  : A  x ; y ; z  OX  : A  x ; y ; z  Qua gốc O : A  x ;  y A A A A A A A OXZ  : A  x OY  : A  x A A ; yA ; zA  A ; y A ; z A  OYZ  : A  x ; y OZ  : A  x ; y A A A ; zA  A ; zA  ; zA  MẶT CẦU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: Dạng S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 Dạng x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  ĐK : a2  b2  c  d    2 1 m o c   Tâm I  a , b, c  : Tính a, b, c cách lấy hệ số x, y , z chia cho 2 Bán kính R  a2  b2  c  d Chú ý: Với phương trình mặt cầu  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a2  b2  c2  d  p ta 2  S  có tâm I  – a; –b; –c  bán kính R = i a b a2  b2  c2  d Vị trí tương đối điểm với mặt cầu Cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R điểm A  Điểm A thuộc mặt cầu  IA  R  Điểm A nằm mặt cầu  IA  R  Điểm A nằm mặt cầu  IA  R Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu (S) :  x  a    y  b    z  c   R2 mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  2 Tính: d  d  I ;    Aa  Bb  Cc  D A  B2  C  d  R : mặt cầu  S  mặt phẳng ( ) khơng có điểm chung  d  R : mặt phẳng ( ) tiếp xúc mặt cầu  S  H  - Điểm H gọi tiếp điểm - Mặt phẳng ( ) gọi tiếp diện d  R : mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến đường trịn Chú ý: Tìm tiếp điểm H hình chiếu tâm I mặt phẳng ( ) :  Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc mp ( ) : ta có ud  n  Tọa độ H giao điểm d ( ) Tìm bán kính r tâm H đường trịn giao tuyến mặt phẳng mặt cầu:  Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc mp ( ) : ta có ud  n  Tọa độ H giao điểm d ( )  Bán kính r  R2  d2 với d  IH  d  I ;   Vị trí tương đối hai mặt cầu: đựng cắt |R1 - R2| tiếp xúc tiếp xúc I1 I2 I1 I2 I1 I2 m o c I1 I2 I1 I2 I1 I2  TH1: I1I  R1  R2 : Hai mặt cầu đựng (nằm nhau)  TH2: I1I  R1  R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc  TH3: R1  R2  I1I  R1  R2 : Hai mặt cầu cắt  TH4: I1I  R1  R2 : Hai mặt cầu tiếp xúc  TH5: I1I  R1  R2 : Hai mặt cầu II R1 + R2 p ta i a b CÁC DẠNG TỐN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng Biết trước tâm I  a; b; c  bán kính R : Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 Dạng Tâm I qua điểm A :  Bán kính R  IA  Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 Dạng 2 Mặt cầu đường kính AB xA  xB yA  yB  Tâm I trung điểm AB : xI   Bán kính R  IA   Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 ; yI  ; zI  AB 2 2 zA  zB 2 Dạng Mặt cầu tâm I  a; b; c  tiếp xúc mặt phẳng   : Aa  Bb  Cc  D  Bán kính R  d  I ;     Phương trình S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 A  B2  C 2 Dạng 2 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (đi qua điểm A, B, C , D )  Giả sử mặt cầu  S  có dạng: x2  y  z2  2ax  2by  2cz  d     Thế tọa độ điểm A, B, C , D vào phương trình (2) ta phương trình  Giải hệ phương trình tìm a, b, c , d viết phương trình mặt cầu Dạng Mặt cầu qua A, B, C tâm I    : Ax  By  Cz  D  :  Giả sử mặt cầu  S  có dạng: x2  y  z2  2ax  2by  2cz  d     Thế tọa độ điểm A, B, C vào phương trình (2) ta phương trình  I  a; b; c      Aa  Bb  Cc  D   Giải hệ phương trình tìm a, b, c , d  Viết phương trình mặt cầu Dạng m o c Mặt cầu  S  qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d Cách 1:  Tham số hóa tọa độ tâm I theo đường thẳng d (tham số t )  Ta có A, B  (S)  IA  IB  R  IA  IB Giải pt tìm t  tọa độ I , tính R p ta Cách 2: i a b  Viết phương trình mặt phẳng trung trực  P  đoạn thẳng AB  Tâm mặt cầu giao mặt phẳng trung trực đường thẳng d (giải hệ tìm tọa độ tâm I )  Bán kính R  IA Suy phương trình mặt cầu cần tìm (Chú ý: Nếu d   P  khơng sử dụng c{ch n|y) Dạng Mặt cầu  S  có tâm I tiếp xúc với mặt cầu T  cho trước:  Xác định tâm J bán kính R ' mặt cầu T   Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu  S  (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Dạng Mặt cầu  S '  đối xứng Mặt cầu  S  qua mặt phẳng  P   Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua mp  P  (xem cách làm phần mặt phẳng)  Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’  R Dạng 10 Mặt cầu  S '  đối xứng mặt cầu  S  qua đường thẳng d  Tìm điểm I ’ đối xứng với tâm I qua đường thẳng d (xem cách làm phần đường thẳng)  Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm I ’ có bán kính R’  R MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến mp ( ) : n  véctơ pháp tuyến    n    Nếu n vtpt ( ) kn  k   vtpt ( ) Cặp vecto phương mặt phẳng ( ) : hai vectơ không phương a , b cặp vtcp mặt phẳng    a, b có giá song song nằm ( ) Quan hệ vtpt n cặp vtcp a, b : n   a , b    Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax  By  Cz  D  ( A2  B2  C  0)   Mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có vtpt n   A ; B ; C   Mặt phẳng ( ) qua M0  x0 ; y0 ; z0  có vtpt n   A ; B ; C  :  ( ) : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )   Các trường hợp riêng: Các hệ số m o c D0 Phƣơng trình mặt phẳng () Ax  By  Cz  ( ) qua gốc tọa độ O A0 By  Cz  D  ( ) / /Ox ( )  Ox B0 Ax  Cz D  p ta i a b Tính chất mặt phẳng () ( ) / /Oy ( )  Oy Ax  By  D  ( ) / /Oz ( )  Oz Cz  D  ( ) / / Oxy  ( )  Oxy  AC 0 By  D  ( ) / / Oxz  ( )  Oxz  BC 0 Ax  D  ( ) / / Oyz  ( )  Oyz  C0 AB0 Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn n|o ( ) song song chứa trục tương ứng Phương trình mặt chắn cắt trục tọa độ điểm A  a; 0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c  : x y z    , abc  a b c Phương trình mặt phẳng tọa độ: Oyz  : x  0; Oxz  : y  0; Oxy  : z  Chùm mặt phẳng (lớp chuyên): Giả sử     '   d đó: ( ) : Ax  By  Cz  D  ( ') : A ' x  B ' y  C ' z  D '  Pt mp chứa d có dạng: m  Ax  By  Cz  D   n  A ' x  B ' y  C ' z  D '   (với m2  n2  0) Vị trí tương đối hai mp    '  : Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  ( ') : A ' x  B ' y  C ' z  D '  ( )  ( ')  A : B : C  A ' : B ' : C '  ( )  ( ')  AA ' BB ' CC '  A B C D    A' B' C ' D' A B C D ( ) / /( ')     A' B' C ' D' ( )  ( ')  A B B C C A  hay  hay  A' B' B' C ' C ' A' (trường hợp mẫu ta có quy ước ) Khoảng cách từ M0  x0 ; y0 ; z0  đến ( ) : Ax  By  Cz  D   Ax0  By0  Cz0  D  d M ,    A  B2  C Chú ý:  Khoảng c{ch hai mặt phẳng song song khoảng c{ch từ điểm mặt phẳng n|y đến mặt phẳng  Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng c{ch chúng m o c 10 Góc hai mặt phẳng: cos( ,  )  n1 n2 n1 n2  AA ' BB ' CC '  Góc ( ),(  ) bù với góc hai vtpt n1, n2  00  ( ),( )  900   11 Các hệ hay dùng: với n1 , n2 vtpt ( ),(  ) A  B2  C A '  B '  C ' p ta  ( )  (  )  n1  n2  AA ' BB ' CC '  i a b  Mặt phẳng   //      có vtpt n  n với n vtpt mặt phẳng     Mặt phẳng   vng góc với đường thẳng d   có vtpt n  ud với ud vtcp đường thẳng d  Mặt phẳng  P  vng góc với mặt phẳng  Q   n P   nQ ; n P   uQ ; nQ  u P   Mặt phẳng  P  chứa song song với đường thằng d  n P   ud ; u P   ud  Hai điểm A, B nằm mặt phẳng  P   AB  n P  u P   AB (trong c{c công thức ngầm quy ước n vtpt, u vtcp) II CÁC DẠNG TỐN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT THẲNG Muốn viết phương trình mặt phẳng cần x{c định: điểm véctơ pháp tuyến Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vtpt n   A; B;C  (): A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   hay Ax  By  Cz  D  với D    Ax0  By0  Cz0  Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp vtcp a , b  Khi vtpt () n   a , b     Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm không thẳng hàng A, B, C  Cặp vtcp: AB, AC  Mặt phẳng ( ) qua A (hoặc B C ) có vtpt n   AB, AC     Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng Mặt phẳng trung trực đoạn AB  Tìm tọa độ M trung điểm đoạn thẳng AB (dùng công thức trung điểm)  Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n  AB  Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng  Mặt phẳng ( ) qua M vng góc đường thẳng d (hoặc AB ) Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt vtcp đường thẳng d m o c (hoặc n  AB )  Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng Mặt phẳng ( ) qua M song song (  ) : Ax  By  Cz  D   Mặt phẳng ( ) qua M có vtpt n  n   A; B; C   Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng p ta Mặt phẳng   qua M , song song với d vng góc với    i a b    có vtpt n  u , n    với u  Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) d Dạng d vtcp đường thẳng d n   vtpt    Mặt phẳng ( ) chứa M đường thẳng d không qua M  Lấy điểm M0  x0 ; y0 ; z0    d   Tính MM0 Xác định vtcp ud đường thẳng d  Tính n   MM0 , ud     Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc M0 ) có vtpt n Dạng Mặt phẳng ( ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt (  ) , (  ) :  Xác định vtpt n , n (  ) (  )  Một vtpt ( ) là: n  u , n       Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 10 Mặt phẳng ( ) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1 , d2 :  Xác định vtcp a , b đường thẳng d1 , d2  Một vtpt ( ) là: n   a , b     Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 11 Mặt phẳng ( ) qua M , N vng góc (  ) :  Tính MN  Tính n   MN , n     Mặt phẳng ( ) qua M (hoặc N ) có vtpt n  Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 12 Mặt phẳng   chứa đường thẳng d vng góc với       có vtpt n  u , n  với u vtcp d Lấy điểm M  x ; y ; z   d  M  x ; y ; z   ( )  Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( )  d d 0 0 0 0   Dạng 13 Mặt phẳng ( ) chứa  d  song song d / (với (d),(d ') chéo nhau) m o c  Lấy điểm M0  x0 ; y0 ; z0   d  M0  x0 ; y0 ; z0   ( )  Xác định vtcp ud ; ud ' đường thẳng d đường thẳng d '  Mặt phẳng ( ) qua M0 có vtpt n  ud , ud '     Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) p ta Dạng 14 Mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song 1 ,  i a b  Chọn điểm M1  x1 ; y1 ; z1   1 M2  x2 ; y2 ; z2   2  Tìm vtcp u1 đường thẳng  vtcp u2 đường thẳng   Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) n  u1 , M1 M2  n  u2 , M1 M2       Sử dụng tốn để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 15 Mặt phẳng ( ) qua đường thẳng cắt d1 , d2 :  Xác định vtcp a , b đường thẳng d1 , d2  Một vtpt ( ) là: n   a , b     Lấy điểm M thuộc d1 d2  M  ( )  Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 16 Mặt phẳng ( ) qua đường thẳng  d  cho trước cách điểm M cho trước khoảng k khơng đổi:  Giả sử ( ) có phương trình: Ax  By  Cz+D   A2  B2  C  0  Lấy điểm A, B  (d)  A, B  ( ) (ta hai phương trình (1), (2))  Từ điều kiện khoảng cách d( M ,( ))  k , ta phương trình (3)  Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn cịn lại) Dạng 17 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu  S  điểm H :  Giả sử mặt cầu  S  có tâm I bán kính R Vì H tiếp điểm  H  ( )   Một vtpt ( ) là: n  IH Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng ( ) Dạng 18 Mặt phẳng ( ') đối xứng với mặt phẳng ( ) qua mặt phẳng ( P)  TH1: ( )  ( P)  d : - Tìm M , N hai điểm chung ( ),( P) - Chọn điểm I  ( ) Tìm I ’ đối xứng I qua ( P) - Viết phương trình mp ( ') qua I ’, M , N  TH2: ( ) / /( P) - Chọn điểm I  ( ) Tìm I ’ đối xứng I qua ( P) - Viết phương trình mp ( ') qua I ’ song song với ( P) m o c III CÁC DẠNG TOÁN KHÁC Dạng  Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên ( ) - H hình chiếu điểm M  P   - Giải hệ tìm H  Cách 1: Cách 2: i a b p ta ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ { - Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với ( ) : ta có ud  n - Khi đó: H  d  ( )  tọa độ H nghiệm hpt:  d  ( ) Dạng Tìm điểm M ’ đối xứng M qua ( )  Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên ( )  H trung điểm MM / (dùng công thức trung điểm)  tọa độ H Dạng  Viết phương trình mp ( P ') đối xứng mp ( P) qua mp  Q  TH1: (Q)   P   d - Lấy hai điểm  A, B  ( P)  (Q) (hay A, B  d ) - Lấy điểm M  ( P) ( M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q) - Mặt phẳng ( P ') mặt phẳng qua d M '  TH2: (Q) / /  P  - Lấy điểm M  ( P) ( M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q) - Mặt phẳng ( P ') mặt phẳng qua M ' song song ( P) ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT: 1) Vecto phương đường thẳng  Vectơ u  véctơ phương d  u / / d u nằm d  Nếu u vtcp d ku  k   vtcp d 2) Phương trình tham số phương trình tắc  Đường thẳng d qua M0  x0 ; y0 ; z0  có vtcp u   a; b; c  có:   x  xo  at  Phương trình tham số:  y  y0  bt (t  R)  z  z  ct   Phương trình tắc: x  x0 y  y0 z  z0   a b c ( a.b.c  0) 3) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d qua M0  x0 ; y0 ; z0  d ' qua M0  x '0 ; y '0 ; z '0  có phương trình tham  x  x0  a1t  số là: d :  y  y0  a2t z  z  a t    x  x '0  a '1 t '  d :  y  y '0  a '2 t ' z  z '  a ' t '  m o c a , a ' cung phuong   x  a t  x '0  a '1 t ' d / / d '   (ẩn t , t ’ ) vô nghiệm y  a t  y '  a ' t '   2  z  a t  z '  a ' t '  p ta i a b   a, a '   a , a ' cung phuong  a , a ' cung phuong     '  M0  x0 ; y0 ; z0   d '    a, M M   a , M0 M '0 khong cung phuong     x0  ta1  x0'  t ' a1' a , a ' cung phuong  d  d hệ  y0  ta2  y0 ' t ' a2' có vô số nghiệm    M0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d '  ' z  ta  z '  t ' a 3   a, a ', M M 0' phương   a, a '  a, M M 0'      d, d cắt  x0  a1t  x '0  a '1 t '   hệ  y0  a2t  y '0  a '2 t ' (ẩn t, t) có nghiệm z  a t  z '  a ' t '  { ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗   a, a '      a, a ' M M 0'      a , a ' khong cung phuong   x  a t  x '0  a '1 t ' d, d chéo    (ẩn t , t ’ ) vô nghiệm y  a t  y '  a ' t '   2  z  a t  z '  a ' t '   a, a ', M M 0' không đồng phẳng   a, a ' M M 0'   d  d  a  a  a.a  SƠ ĐỒ TÓM TẮT CÁC BƢỚC KIỂM TRA VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI Tính m o c Trùng p ta i a b Song song Cắt Chéo 4) Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng Đường thẳng d qua M0  x0 ; y0 ; z0  có vtcp ud  (a; b; c) mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  có vtpt n   A; B; C  Khi đó: Phương pháp 1:  d cắt ( )  Aa  Bb  Cc    Aa  Bb  Cc  d / /( )   ( n vng góc với ud M0  ( ) )  Ax0  By0  Cz0  D    Aa  Bb  Cc  d  ( )   ( n vng góc với ud M0  ( ) )  Ax0  By0  Cz0  D   d  ( )  ud / / n  ud , n     Phương pháp 2: ( n khơng vng góc với ud )   x  x0  a1t  Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  đường thẳng d :  y  y0  a2t z  z  a t  Xét phương trình: A( x0  a1t)  B( y0  a2t)  C( z0  a3t)   d // ( )  d cắt ( )  (*) có nghiệm  d  ( )  (*) có vơ số nghiệm (ẩn t ) (*)  (*) vô nghiệm Δ 5) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu H R I I I Δ A H R R Δ H B  x  x0  a1t  Cho đường thẳng   y  y0  a2t z  z  a t  (1) mặt cầu (S) :  x  a    y  b    z  c   R2   2 m o c Để xét VTTĐ   S  ta thay (1) vào (2), phương trình (*)  d cắt  S  hai điểm ph}n biệt  d  I ,    R  (*) có hai nghiệm ph}n biệt  d tiếp xúc với  S   d  I ,    R  (*) có nghiệm  d  S  khơng có điểm chung  d  I ,    R  (*) vô nghiệm p ta Chú ý: Tìm giao điểm đường thẳng mặt cầu i a b  x  x0  a1t  d :  y  y  a2 t z  z  a t  1 (S) :  x  a    y  b    z  c   R2   2  Thay phương trình tham số (1) vào phương trình mặt cầu (2), giải tìm t  Thay t vào (1) tọa độ giao điểm 6) Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng d có vtcp u  (a; b; c) đường thẳng d ' có vtcp u '  (a '; b '; c ') Gọi  góc hai đường thẳng ta có:   u u' cos     u u'  a.a ' bb ' cc ' a  b  c a'  b'  c ' 2 2 2 (0    900 ) 7) Góc đường thẳng với mặt phẳng Cho đường thẳng d có vtcp u  (a; b; c) mặt phẳng ( ) có vtpt n   A; B; C  Gọi  góc hợp đường thẳng d mặt phẳng ( ) ta có:   u n sin      u.n Aa  Bb  Cc A  B2  C a  b  c  8) Khoảng cách từ điểm M1  x1 ; y1 ; z1  đến đường thẳng  có vtcp u :  Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M1 vng góc với  - Tìm tọa độ giao điểm H  mặt phẳng ( ) - d  M1 ;    M1H  Cách 2: Sử dụng công thức: d  M1 ,     M M , u   u (với M0   ) (c{ch n|y thường dùng casio cho nhanh) 9) Khoảng cách hai đường thẳng chéo m o c  Cho hai đường thẳng chéo  qua M0  x0 ; y0 ; z0  , có vtcp u đường thẳng  ' qua  M '0  x '0 ; y '0 ; z '0  , có vtcp u '  Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa  song song với  ' p ta - Tính khoảng cách từ M '0 đến mặt phẳng ( ) i a b - d( ,  ')  d( M '0 ,( ))  Cách 2: u , u '  M M '   0 Sử dụng công thức: d(  ,  ')  (c{ch n|y thường dùng casio cho nhanh) u , u '    10) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng ( ) 11) Các kết hay dùng  Hai đường thẳng song song có vtcp  Đường thẳng vng góc mặt phẳng vtpt mặt phẳng vtcp đường thẳng II CÁC DẠNG TỐN LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Để lập phương trình đường thẳng d ta cần x{c định điểm thuộc d VTCP Dạng Viết phương trình đường thẳng  d  qua M0  x0 ; y0 ; z0  có vtcp a   a1 ; a2 ; a3  :  x  xo  a1t  (d) :  y  yo  a2t z  z  a t o  ( t  R) ( d) : x  x0 a1  y  y0 a2  z  z0 a3 Dạng Đường thẳng d qua A B :  Đường thẳng d qua A (hoặc B ) có vtcp ad  AB  Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng d qua A song song   Đường thẳng d qua A có vtcp ud  u  Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng d qua A vng góc mp ( )  Đường thẳng d qua A có vtcp ud  n  Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng Đường thẳng  d  qua A vng góc đường thẳng d1 d2 :  Đường thẳng d qua A có vtcp u  ud1 , ud2     Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng  Đường thẳng  d  giao tuyến hai mặt phẳng  P  , Q  : m o c Cách 1: Tìm điểm vtcp  – Tìm toạ độ điểm A  d : Bằng cách giải hệ phương trình ( P) (Q) (với việc chọn gi{ trị cho ẩn ta giải hệ tìm gi{ trị hai ẩn cịn lại) – Tìm vtcp d : ud  nP , nQ     p ta Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng i a b Đường thẳng  d  qua điểm M0  x0 ; y0 ; z0  vng góc với hai đường thẳng d1 , d2 :  Vì d  d1 , d  d2 nên vtcp d là: ud  ud1 , ud2     Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng  Đường thẳng  d  qua điểm M0  x0 ; y0 ; z0  , vng góc cắt đường thẳng  Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng  H   Ta có   M0 H  u H Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0 , H (trở dạng 2)  Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M0 vng góc với  ;  Q  mặt phẳng qua M0 chứa   Khi d   P    Q  (trở dạng 6) Cách 3: Gọi  P  mặt phẳng qua M0 vng góc với  - Tìm điểm B   P    - Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm M0 , B (quay dạng 2) Dạng Đường thẳng (d) nằm mặt phẳng ( P) , vng góc cắt đường thẳng   Tìm giao điểm M  ( P)  M  d  u  u   ud  u , nP  Vì  d   ud  nP Dạng 10 Đường thẳng  d  qua A cắt d1 , d2 :  d  ( )  (  ) với mp ( ) chứa A d1 ; mp (  ) chứa A d2 (trở dạng 6) Dạng 11 Đường thẳng (d) nằm mặt phẳng ( P) cắt hai đường thẳng d1 , d2 :  Tìm giao điểm A  d1   P  , B  d2   P  Khi d đường thẳng AB (về dạng 2) Dạng 12 Đường thẳng  d  / /  cắt d1 , d2 :  Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa d d1 , mặt phẳng  Q  chứa d d2 Khi d   P    Q  (trở dạng 6) Dạng 13 Đường thẳng (d) qua A  d1 , cắt d2 :  - Viết phương trình mp ( ) qua A vng góc với d1 - Tìm B  d2  ( ) - Khi  d  đường thẳng AB (về dạng 2)  m o c Cách 1: p ta Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A vng góc với d1 i a b - Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa A d2 - Khi d   P    Q  (trở dạng 6)  Cách 3: - Viết phương trình tham số t đường thẳng d2 (nếu chưa có) - Tìm điểm B  d  d2 ( B có tọa độ theo tham số t ) thỏa mãn AB.ud1  Giải phương trình tìm t  B - Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm A, B Dạng 14 Đường thẳng  d    P  cắt d1 , d2 :  Tìm mp ( ) chứa d1 ,   P  ; mp(  ) chứa d2 ,   P   d  ( )  (  ) (trở dạng 6) Dạng 15 Đường thẳng d ’ hình chiếu d lên ( ) :  Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng    chứa d vng góc với ( ) - Đường thẳng d ' giao tuyến ( ) (  ) (trở dạng 6)  Cách 2: - Xác định A giao điểm d ( ) - Lấy điểm M  A d Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với ( ) - Tìm tọa độ điểm H giao điểm  với ( ) - Đường thẳng d ' đường thẳng AH (trở dạng 2) Đặc biệt: Nếu d song song ( ) d ' đường thẳng qua H song song với d Dạng 16 Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo  d1   d2  :  Cách 1: - Chuyển phương trình đường thẳng  d1  ,  d2  dạng tham số xác định u1 , u2 vtcp  d1  ,  d2  - Lấy A, B thuộc  d1  ,  d2  (tọa độ A, B phụ thuộc vào tham số)  AB  u   - Giả sử AB đường vng góc chung Khi đó:  AB  u    AB.u    AB.u2  *  m o c Giải hệ phương trình  *  tìm giá trị tham số Từ tìm A, B - Viết phương trình đường vng góc chung AB  Cách 2: - Vì d  d1 d  d2 nên vtcp d là: ad   ad1 , ad2    p ta - Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng cắt d d1 , cách: i a b + Lấy điểm A d1 + Một vtpt  P  là: nP   a , ad1    - Tương tự lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa đường thẳng cắt d d2 Khi d   P    Q  (trở dạng 6)  Cách 3: - Vì d  d1 d  d2 nên vtcp d là: ad   ad1 , ad2    - Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng cắt d d1 , cách: + Lấy điểm A d1 + Một vtpt  P  là: nP   a , ad1    - Tìm M  d2  ( P) Khi viết phương trình d qua M có vtcp ad III CÁC DẠNG TỐN KHÁC Dạng  Tìm H hình chiếu M đường thẳng  d  Cách 1: - Viết phương trình mp ( ) qua M vng góc với  d  : ta có n  ad - Khi đó: H  d  ( )  tọa độ H nghiệm hpt:  d  ( )  Cách 2: H  d - Đưa  d  dạng tham số Điểm H xác định bởi:   MH  ad Dạng  Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d : Cách 1: - Tìm hình chiếu H M  d  - Xác định điểm M ' cho H trung điểm đoạn MM ' (công thức trung điếm)  Cách 2: - Gọi H trung điểm đoạn MM ' Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M , M ' (cơng thức trung điếm)  - Khi toạ độ điểm M / xác định bởi:  MM '  ad H  d Dạng  Đường thẳng (d ') đối xứng đường thẳng (d) qua mặt phẳng  P  m o c TH1: (d)   P   A - Xác định A giao điểm d ( P) - Lấy điểm M  d ( M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P) - Đường thẳng d ' đường thẳng AM '  p ta TH2: (d) / /  P  i a b - Lấy điểm M  d ( M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P) - Đường thẳng d ' đường thẳng qua M ' song song d ... CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng A, B, C thẳng hàng  AB, AC phương   AB, AC     Dạng A, B, C ba đỉnh tam giác  A, B, C không thẳng hàng  AB, AC không phương   AB, AC     m o c Dạng. ..   2 Dạng SABC Dạng Đường cao AH ABC : SABC  Dạng Tìm D cho ABCD hình bình hành: Từ t/c hbh có cặp vecto AB  DC   2.SABC  AB, AC   AH.BC  AH  BC BC AD  BC  tọa độ D Dạng Chứng...  A ; zA  ; zA  MẶT CẦU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: Dạng S  I ; R  :  x  a    y  b    z  c   R2 Dạng x2  y  z  2ax  2by  2cz  d