(SKKN mới NHẤT) phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toán hình giải tích từ những mối quan hệ giưã các điểm, điểm và đường thẳng

A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong cơng đổi tồn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Trong q trình cơng tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi nhận thấy phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” có nhiều ưu điểm phù hợp với công tác giảng dạy mơn Tốn trường phổ thơng nói chung dạy học tập tốn nói riêng Tuy nhiên để có thành cơng phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” lực chuyên môn lực sư phạm giáo viên đòi hỏi người giáo viên nhiều thời gian tâm huyết Để có giảng thu hút học trò, giúp học trò phát triển tư mơn tốn dẫn dắt học trị tới niềm say mê tìm tịi sáng tạo, tơi thường trăn trở với khó khăn học trị q trình tiếp cận tốn Bài tốn hình học giải tích mặt phẳng tốn thường xuất kì thi ln quan tâm đặc biệt học trò, bên cạnh tốn khó với nhiều đối tượng học trị đặc biệt với em có lực trung bình Băn khoăn trước khó khăn học trị, tơi tìm tịi định chọn phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” để giúp em tiếp cận loại toán cách hiệu Trong số toán hình giải tích mặt phẳng có lớp tốn thiên tính chất hình phẳng túy gây cho học trị nhiều khó khăn tiếp cận Vì tơi chọn đề tài “Phát giải vấn đề tốn hình giải tích từ mối quan hệ giưã điểm, điểm đường thẳng” để nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận tốn hình giải tích mặt phẳng thơng qua phương pháp dạy học: “Phát giải vấn đề” III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh khối 10, 11 trường THPT Đông Sơn I - Học sinh khối 12 ôn thi vào trường đại học trường THPT Đông Sơn I IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nhiều nguồn khác liên quan đến hình học phẳng - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực - Giảng dạy tiết tập toán lớp 11a2, 12a2 trường THPT Đơng Sơn I để nắm bắt tình hình thực tế học sinh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số điểm cần lưu ý 1.1 Những toán liên quan đến tam giác vng (đặc biệt tam giác vng cân), hình chữ nhật (đặc biệt hình vng), hình thang vng ta đặt cạnh a Từ sử dụng giả thiết, định lý Pitago, định lý hàm số côsin… xác định yếu tố cần thiết thuận lợi cho việc giải toán Bài tốn khoảng cách tốn góc thường sử dụng chủ đề 1.2 Vẽ hình xác, từ dự đốn xem có hai đường thẳng vng góc với hay khơng Từ sử dụng định lý Pitago, phương pháp vectơ hay cộng góc để chứng minh dự đoán Việc phát yếu tố vng góc mấu chốt để giải toán 1.3 Sử dụng định lý Talet, tam giác đồng dạng để so sánh khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Từ sử dụng toán khoảng cách phương pháp tham số hóa để giải tốn Một số tính chất hình học phẳng vận dụng vào tốn phương pháp tọa độ mặt phẳng Tính chất Các hệ thức lượng tam giác vuông Tính chất Định lý hàm số cosin, hệ định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin, hệ định lý hàm số cosin, công thức trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác Tính chất Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm AB BC Khi AN  DM Chứng minh Gọi cạnh hình vng Ta A M B có N D Suy Chứng minh hồn tồn tương tự ta có tính chất sau Tính chất Cho hình vng Gọi thuộc cho Khi Tính chất Cho hình chữ nhật điểm có C Gọi trung Khi TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Chứng minh Ta có M A D C B Suy Tính chất Cho hình chữ nhật trung điểm Chứng minh Gọi trực tâm tam giác Khi (vì vng góc với Do trung điểm nên đường trung bình tam giác Suy Gọi hình chiếu Khi lên A B M D E H N C Suy hình bình hành Vì trực tâm tam giác nên Thay đổi hình thức tính chất ta có hệ sau 6.1 Cho hình thang lên A vuông trung điểm H Gọi Khi C B D M M D C 6.2 Cho tam giác hình chiếu lên hình chiếu H D A B vng có hai trung tuyến trung điểm Khi Gọi A M H A N B M E B H C D C Trên tính chất khai thác nhiều toán TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG - Kiến thức sở mơn tốn em hầu hết tập trung mức độ trung bình - Kết khảo sát số lớp phần giải tập toán phần hình giải tích mặt phẳng qua tìm hiểu giáo viên dạy mơn tốn, có khoảng 10% học sinh hứng thú với tốn hình giải tích mặt phẳng III GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Đưa toán cụ thể tiết dạy học tập, phân tích tốn cụ thể để định hướng cho học sinh cách giải tốn mang tính chất tương tự IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua việc kiểm tra khảo sát cho thấy có 70% em học sinh có hứng thú với học số có khoảng 40% em học sinh biết cách vận dụng cách linh hoạt, số em chuẩn bị thi vào trường đại học - Đề tài làm tài liệu tham khảo cho em học sinh học khối 10 em học sinh khối 12 THPT ôn thi vào trường đại học cao đẳng V BÀI TẬP ÁP DỤNG -Trong khuôn khổ đề tài, sau tơi xin trình bày số tốn hình học giải tích phẳng liên quan đến tam giác vng, hình thang vng, hình chữ nhật hình vng - Ở tốn có phân tích tốn đưa hướng giải để giúp em học sinh tiếp cận toán cách dễ dàng hơn, qua học sinh vận dụng cho toán tương tự Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ B trung điểm AB, cho hình thang ABCD vng A Tìm toạ độ C biết Phân tích tốn Bài tốn theo hướng sau: Hướng thứ Vì 4x A D nên ta tham số hóa điểm C (ẩn c) Hình thang 3x H vng có cạnh liên hệ với qua đẳng thức M (9; 1) 2x y 4= nên đặt độ dài cạnh x ta tính tất cạnh cịn lại theo x Để tìm C, ta tính độ 3x B 4x K 2x C TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com dài đoạn thẳng MC Chú ý có Lời giải Đặt Suy Ta có AD =4x Do Suy Mặt khác Suy Suy Vì Khi Từ suy Hướng thứ hai Nếu viết phương trình đường thẳng tìm tọa độ Ta tìm cách tính từ sử dụng tốn góc Lời giải Đặt Suy AD = 4x Do Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác MCD ta có ( a2 + b2 # 0) Ta có Gọi Nếu Nếu (loại) chia hai vế phương trình (*) cho b2 ta có Từ suy Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trung điểm nằm đường thẳng hình chiếu A lên trung tuyến trung điểm cho tam giác Tìm tọa độ đỉnh vng Gọi tam giác ABC Biết TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Phân tích tốn Dựa vào tính chất hay hệ ta có Từ viết phương trình MI tìm tọa độ M Lời giải Gọi trung điểm Ta có nên hình bình hành Vì Từ P trực tâm tam giác Suy Đường thẳng qua vng góc với nên C M N H P A I B Do Gọi Suy Đường thẳng Dẫn đến qua vuông góc với Suy Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ đỉnh qua nên cho hình chữ nhật thuộc đường thẳng Hình chiếu vng góc có điểm đối xứng với lên đường thẳng Tìm tọa độ đỉnh Phân tích tốn Nút thắt toán độ đỉnh Dễ thấy nên lập phương trình (ẩn Dựa vào phương trình để tìm Từ tìm tọa Từ tham số hóa đỉnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com F H( 3; 13) B A (3; 5) D E C : 2x y+ 9= Lời giải Lấy đối xứng với qua tam giác vng ta có Khi trung điểm Suy Trong Suy Do Vì song song với nên Suy Ta có Vậy Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình vng trung điểm đỉnh Tìm tọa độ đỉnh Phân tích tốn Ta tính góc từ viết phương trình đường thẳng dựa vào tốn góc Dẫn đến tọa độ đỉnh D Lời giải Đặt cạnh hình vng Áp dụng định lý Pitago ta tính A x M 2x D 2x x có biết B 2x 2x C(6; 4) y+4=0 Suy TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Gọi phương trình đường thẳng Với Ta có chọn Với chọn Vậy Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình chữ nhật trung điểm Hình chiếu vng góc lên đường trung tuyến tam giác có phương trình phương trình cạnh A Phân tích tốn Từ tính chất ta có Do lập phương trình E đường thẳng suy tọa độ Từ lập phương trình H Suy tọa độ Lưu ý rằng, đường K thẳng qua song song với D Lời giải Gọi E trực tâm tam giác góc với Vì trung điểm nên giác Suy Do có Viết B M C Khi (cùng vng đường trung bình tam hình bình hành Dẫn đến Suy Vì trung điểm nên Vì Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ điểm đỉnh hình vng biết cho hình thang Điểm thuộc đoạn thuộc đoạn cho vng cho Tìm toạ độ có hồnh độ dương TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Phân tích tốn Mấu chốt tốn dự đốn chứng minh Từ viết phương trình tham số hóa điểm Từ độ dài sử dụng định lý Pitago ta tính độ dài cạnh hình thang cho 2a A B M ( 22/ 5; 4/ 5) D C N( 2; 4) Lời giải Bằng phương pháp véc tơ ta chứng minh Ta có Suy Suy Đặt Từ Suy Suy Tam giác Chú ý (vì vng cân nên phía so với Từ tìm Vậy Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình vng nằm cạnh Đường trịn đường kính cắt đoạn Điểm Đỉnh thuộc đường thẳng Tìm tọa độ đỉnh hình vng cho, biết đỉnh có tọa độ nguyên đỉnh có hồnh độ nhỏ Phân tích tốn Gọi trung điểm Dự đốn chứng minh vng cân nên tìm tọa độ suy tọa độ Vì nên ta tham số hóa điểm với ẩn Từ tìm tọa độ tâm hình vng cho theo Từ tính chất ta tìm Suy tọa độ B A I M(6;4) E H N(1;5) D : Lời giải Ta có tam giác vuông vuông cân Gọi trung điểm vuông cân Gọi trung điểm Do x C 2y + = nên tam giác Khi tam giác đường trung trực TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Ta có Vì đỉnh có hồnh độ nhỏ nên Vì Gọi tâm hình vng Khi Suy Vì Ta có có tọa độ ngun nên Do Vậy Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ đường cao Gọi điểm đối xứng với đường thẳng có phương trình cho tam giác qua Điểm vng thuộc đường trung tuyến kẻ từ tam giác Tìm tọa độ đỉnh tam giác D Phân tích tốn Trước hết tìm tọa độ Gọi trung điểm Mấu chốt toán dự đoán chứng minh Viết phương trình tìm E ( 11;15) A M B Lời giải Gọi Ta chứng minh trung điểm H x Vì 3y + = C 7x 11y + = nên phương pháp vectơ Ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 10 Suy Do Suy Đường thẳng vng góc với nên Vậy Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trọng tâm tam giác cắt BD cho hình vng Đường thẳng qua Biết vng góc với Tìm tọa độ đỉnh hình vng cho biết rẳng đỉnh có tung độ lớn Phân tích tốn Hình vng cho có hai đường chéo vng góc với Dự đốn Từ suy tam giác vng cân Do tìm tọa độ Lời giải Gọi tâm hình vng Khi nên trực tâm tam giác Suy A B G I M Từ suy tam giác Đường trung trực vng cân D Ta có TH1 E C Ta có (loại điều kiện TH2 Ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 11 Suy Vậy Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trung điểm Điểm cho hình vng thuộc có cho Biết Viết phương trình cạnh Phân tích toán Mấu chốt toán dự đoán chứng minh tam giác vng cân Từ tìm điểm Gọi giao điểm Từ định lý Talet ta tìm tọa độ Từ viết phương trình đường thẳng A M(5;3) B E D I 3x y+ 8= C Lời giải Đặt cạnh hình vng a Sử dụng định lý Pitago định lý hàm số cosin ta có Suy tam giác vng cân Vì Gọi Do Ta có Ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 12 Từ suy có hai phương trình đường thẳng Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trung điểm Biết rằng, trung điểm đỉnh thỏa mãn yêu cầu tốn cho hình vng hình chiếu lên Lời giải Gọi trung điểm Khi tính chất đường trung bình nên Lại có hình bình hành nên AM//CN Do thẳng hàng Ta có : tanBCN = qua Vì vng góc với thẳng hàng Sử dụng B I H M C nên nên (a2 +b2 # 0) Ta có Gọi Vì N A D trung điểm có hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh Phân tích tốn Gọi trung điểm Ta có nên viết phương trình Tính góc tốn góc ta viết phương trình Vì Gọi có hồnh độ dương nên Đường thẳng Đường thẳng qua qua vng góc với song song với nên nên Suy Vậy Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trung điểm cho tam giác Điểm Giao điểm tam giác biết nằm đường thẳng Phân tích tốn Giả thiết cho tam giác vng mà cạnh góc vng gấp thuộc đoạn vuông cho Xác định tọa độ đỉnh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 13 đơi cạnh góc vng nên ta nghĩ đến việc dựng hình vng để từ phát yếu tố vng góc Chẳng hạn, gọi trung điểm Dựng hình vng Theo tính chất ta có Đây mấu chốt tốn Lời giải Gọi trung điểm Dựng hình vng Từ giả thiết suy trung điểm Theo tính chất ta có Suy Vì Ta có đường trung trực nên trung điểm Vì trung điểm Vì trung điểm Khi nên nên Vậy Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình vng có trung điểm Đường trung tuyến kẻ từ tam giác có phương trình Tìm tọa độ đỉnh biết có tọa độ ngun Phân tích tốn Đặt cạnh hình vng tham số Sử dụng định lý Pitago, định lý hàm số cơsin để tính góc Từ đó, sử dụng tốn góc ta lập phương trình đường từ tìm tọa độ điểm Lời giải Lấy đối xứng với qua Khi I A B hình bình hành Suy E cắt trung điểm đường Gọi giao điểm với trọng tâm M (10;0) tam giác Do Đặt cạnh hình vng Pitago ta có Sử dụng định lý Áp dụng định lý hàm số côsin tam giác C D x 5y 50 = ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 14 Gọi Ta có Vì có tọa độ ngun nên Gọi Ta có Ta có Kiểm tra lại điều kiện suy Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Gọi trung điểm thuộc đoạn cho cho tam giác vuông cân trung điểm Tìm tọa độ biết điểm có hồnh độ âm Phân tích tốn Bài toán cho tọa độ hai điểm Mấu chốt toán phát chứng minh tam giác vng cân Từ tìm tọa độ Lời giải Gọi trung điểm Khi hình chữ nhật nội tiếp đường trịn I đường kính Vì nên G Suy Do Lại Từ suy tam giác M E B vuông cân H N C Suy TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 15 Vì Vì có hồnh độ âm nên trọng tâm tam giác Vì nên Gọi Ta có Ta có Vì trung điểm Suy trung điểm nên Vậy Nhận xét Bài tốn xây dựng từ tính chất Cho hình chữ nhật Gọi hình chiếu lên trung điểm Khi Xét trường hợp đặc biệt, Lúc này, kết cân A B A M H D C N hình vng ta cịn có hay tam giác vng A B M I D N C I M H D N C A E B Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ với điểm M B N C cho hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện có giao TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 16 điểm hai đường thẳng Cho biết điểm hồnh độ dương Tìm tọa độ điểm Phân tích tốn Tìm tọa độ thông qua tọa độ đẳng thức A có B K H Nếu đặt cạnh hình chữ nhật cho từ giả thiết D ta tính đoạn thẳng liên quan qua Lời giải Từ giả thiết suy Vì a  C Từ tìm thuộc cạnh BC nên Suy Vì vng nên Đặt Trong tam giác vng ta có Suy (*) Giả sử với Suy Từ từ (*) ta có Từ Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Lấy cạnh cho thuộc cạnh cho cho tam giác vng cân trung điểm Điểm Tìm tọa độ đỉnh biết đỉnh có hồnh độ TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 17 lớn trung điểm thuộc đường thẳng đỉnh thuộc đường thẳng đường thẳng IF có phương trình Phân tích tốn Mấu chốt toán dự đoán chứng minh Từ viết phương trình tìm A Lời giải Gọi trung điểm thẳng hàng Ta có tam giác nội tiếp đường trịn tâm Suy Suy tứ giác x + 3y M 12 = I (7;3) N F x + 2y nội tiếp Do hay Suy x+ y+ 2= B 13 = C E Vì Suy Ta có Vì có tung độ lớn Đường thẳng qua nên ta chọn trường hợp vng góc với nên Ta có Vì qua nên Từ suy Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật cạnh khơng song song với trục tọa độ Điểm Đường thẳng phương trình cạnh có trọng tâm tam giác qua đường thẳng qua biết diện tích hình chữ nhật cho Phân tích tốn Gọi VTPT Từ viết phương trình Diện tích hình chữ nhật tính thơng qua tích khoảng cách từ đến A M (1;0) Viết B G( 9;5) N(11; 5) D C TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 18 Lời giải Gọi VTPT đường thẳng Khi Ta có Vì hình chữ nhật cho có cạnh khơng song song với trục tọa độ nên Từ suy Vậy Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác trung tuyến trung điểm Điểm vuông cân thoả mãn Viết phương trình đường thẳng Phân tích tốn Để dễ dàng phát thêm mối quan hệ yếu tố toán, ta dựng hình vng Khi tâm hình vng này, trung điểm Gọi giao điểm với Từ định lý Talet ta tìm tọa độ Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng ta tính góc hai đường thẳng B H I D M E (3;5) G(5; 1) A C Áp dụng toán góc ta viết phương trình đường thẳng Lời giải Theo định lý Talet ta có Gọi trung điểm Trong tam giác vuông Theo định lý Talet ta có ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 19 Ta có Gọi Ta có Với chọn Khi Với chọn Khi Nhận xét Bài tốn ta có làm theo hướng khác sau Đặt Khi Ta có Suy Gọi Từ độ dài trung điểm suy Từ có đường thẳng AB Bài 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình thang thuộc đường thẳng có đỉnh đỉnh thuộc đường thẳng chiếu lên đỉnh Gọi trung điểm Hình Tìm tọa độ đỉnh biết có tọa độ ngun Phân tích tốn Giả thiết cho hình thang vng có cạnh góc vng liên hệ với Từ đặt ta tính độ dài đoạn thẳng liên quan Ta tìm cách lập phương trình tính Từ tìm Lời giải Đặt vng H A a M B K D C Suy Ta tính theo hai hướng sau: Hướng thứ Ta có Vì nên Do TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 20 Hướng thứ hai Ta có Mặt khác Từ suy Vì Ta có Vì có tọa độ ngun nên Vì đường thẳng Ta có qua giao điểm vng góc với nên nên Bài 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật trung điểm Đường thẳng qua vng góc với cắt thuộc đường thẳng Gọi Biết Tìm tọa độ biết đỉnh có tọa độ ngun Phân tích tốn Mấu chốt toán dự đoán chứng minh Từ viết phương trình Suy tọa độ điểm Ta có giao điểm với đường trịn đường kính Từ tìm E A Lời giải Trước hết ta chứng minh Thậy vậy, ta có B I C D(1;8) Gọi giao điểm tứ giác nội tiếp với Vì nên 5x + 7y 36 = F Suy Từ suy đường trịn đường kính Suy có phương trình Khi TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 21 Tọa độ đỉnh Vì nghiệm hệ phương trình có tọa độ ngun nên Vì trung điểm nên Ta có Vậy C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN - Bài toán phương pháp tọa độ mặt phẳng nói chung đề thi đại học nói riêng năm gần thuộc nhóm câu hỏi nâng cao Để giải ngững tốn này, ngồi việc nắm vững kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng, học sinh cịn phải biết vận dung tính chất túy hình học phẳng vào tốn Vì giáo viên cần phải giúp cho học sinh định hướng cách giải tốn thơng qua hệ thống tập - Trong đề tài đưa số tốn điển hình minh họa cho việc định hướng cách giải cho học sinh, qua giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học,đơng thời phát triển tư học toán tạo niềm vui hứng thú học toán II KIẾN NGHỊ Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 22 Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh khối 10 học sinh ôn thi vào trường đại học cao đẳng Thanh hóa, ngày 10 tháng năm 2016 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Tú Lệ TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 23 ... trình đường thẳng Phân tích toán Để dễ dàng phát thêm mối quan hệ yếu tố toán, ta dựng hình vng Khi tâm hình vng này, trung điểm Gọi giao điểm với Từ định lý Talet ta tìm tọa độ Sử dụng hệ thức... toán phần hình giải tích mặt phẳng qua tìm hiểu giáo viên dạy mơn tốn, có khoảng 10% học sinh hứng thú với tốn hình giải tích mặt phẳng III GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Đưa toán cụ... skknchat123@gmail.com 12 Từ suy có hai phương trình đường thẳng Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trung điểm Biết rằng, trung điểm đỉnh thỏa mãn yêu cầu tốn cho hình vng hình chiếu lên Lời giải Gọi trung điểm