TÍNH TOÁN TẦN SUẤT THEO PHÂN BỐ PEARSON III

Đường tần suất theo phân bố Pearson III có thể được vẽ bằng MS Excel hoặc các phần mềm phân tích tần suất như FFC http://coastal.wru.edu.vn/index.asp?lang=vn&page=ffc2008.. Hàm mật độ xá

TÍNH TOÁN TẦN SUẤT THEO PHÂN BỐ PEARSON III

Nghiêm Tiến Lam

Khoa Kỹ thuật Biển, Đại học Thuỷ lợi

1 Giới thiệu

Phân bố xác suất Pearson loại III (hay còn gọi là phân bố xác suất Gamma ba thông số (Haan,

1977)) là phân bố xác suất được sử dụng rất rộng rãi trong thuỷ văn, đặc biệt là ứng dụng cho

dòng chảy lũ

Đường tần suất theo phân bố Pearson III có thể được vẽ bằng MS Excel hoặc các phần mềm

phân tích tần suất như FFC (http://coastal.wru.edu.vn/index.asp?lang=vn&page=ffc2008)

1.1 Hàm mật độ xác suất

Hàm mật độ xác suất biểu thị xác suất xuất hiện giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X bằng với

một giá trị x cụ thể nào đó theo luật phân bố xác suất Pearson III như (1):

exp

c

c

b

c

−

với a – thông số vị trí, b – thông số tỷ lệ, c – thông số hình dạng

và Γ(c) là hàm gamma

0

c t e dt

∞

− −

Nếu sử dụng thông số tỷ lệ là giá trị nghịch đảo 1/b thì sẽ nhận được hàm phân bố xác suất

Gamma với 3 thông số là a, 1/b và c (cần phân biệt với hàm phân bố xác suất Gamma tổng

quát 3 thông số, còn được gọi là hàm phân bố xác suất Kritsky-Menkel cũng được xây dựng

từ hàm phân bố xác suất Pearson III)

1.2 Hàm phân bố tần suất luỹ tích

Hàm phân bố tần suất luỹ tích biểu thị xác suất xuất hiện các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên

X nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị x cụ thể nào đó:

c

γ

−∞

Γ

Trong thực tế ngành thuỷ lợi thường dùng tần suất vượt P (thường chỉ được gọi tắt là tần

suất) là xác suất xuất hiện các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên X lớn hơn hoặc bằng một giá

trị x cụ thể nào đó

x

c x

c

Γ

với γ(c,x) và Γ(c,x) là các hàm gamma khuyết, P(c,x) và Q(c,x), là các hàm gamma chính quy

x

c x t e dt

( ),

x

c x t e dt

1.3 Xác định các thông số theo phương pháp moments

Quan hệ giữa các thông số của phân bố với các đặc trưng thống kê theo phương pháp momens

như sau

c

x a

b

= + (7)

V

c C

ab c

=

2

S

C

c

Hay

S

C

C

2

V S

b

xC C

2 4

S

c C

2 Tính toán hàm phân bố Pearson III bằng MS Excel

Dựa trên phương pháp moments và thư viện các hàm thống kê của MS Excel, đường tần suất

Pearson III có thể được xây dựng cho chuỗi số liệu X gồm có N số (x1, x2, …, xN) với các

bước như sau:

Bảng 1 Bảng tần suất kinh nghiệm

Thứ hạng Chuỗi số giảm dần xi ↓ Tần suất kinh nghiệm Pi = i/(N+1)

2.1 Lập bảng phân bố tần suất thực nghiệm (Bảng 1)

1 Sắp xếp chuỗi số liệu xi theo thứ tự giảm dần và điền vào cột (2) của bảng tính toán Trong

Excel, chọn cột số liệu từ hàng 1 đến hàng N, sau đó chọn trên trình đơn Data → Sort

Chọn cột định sắp xếp trong Sort by và hướng sắp xếp là Descending, sau đó bấm nút OK

Cột 1 là thứ hạng i của các giá trị trong chuỗi số liệu xi theo thứ tự nhỏ dần Để điền cột

này tự động trong Excel, nhập số 1 vào hàng đầu tiên và chọn ô đầu tiên đó, sau đó chọn

trên trình đơn Edit → Fill → Series Chọn Series in là hướng điền Columns, chọn loại

chuỗi Type là Linear, Step value là 1, Stop value là giá trị của N, sau đó bấm nút OK

2 Tính tần suất kinh nghiệm Pi = i/(N+1) trong cột (3)

2.2 Tính các đăc trưng thống kê của chuỗi số theo phương pháp moments:

1 Tính toán các đặc trưng thống kê Giá trị độ dài chuỗi N = COUNT(X) với đối số X là

chuỗi số liệu đã nhập vào

2 Giá trị trung bình của chuỗi số x =AVERAGE(X)

3 Hệ số phân tán C V = STDEV(X)/N

4 Hệ số thiên lệch CS = SKEW(X)

2.3 Tính các thông số của phân bố Pearson III theo phương pháp moments:

Các thông số của phân bố Pearson III được xác định theo các công thức (10), (11) và (12)

1 Thông số vị trí a tính theo công thức a = (1-2*CV/CS)* x

2 Thông số tỷ lệ b tính theo công thức b = 2/( x *CV/CS)

3 Thông số hình dạng c tính theo công thức c = 4/CS^2

2.4 Lập bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2)

1 Cột (1): Thứ tự của các giá trị tính toán trong bảng

2 Cột (2): Cho các tần suất cần tính toán (tần suất vượt) P

3 Cột (3): Thời kỳ lặp lại tính theo năm, xác định theo công thức T = 1/P

4 Cột (4): Giá trị thiết kế tương ứng với tần suất ở cột (2) tính toán theo phân bố Pearson

III dựa trên phân bố Gamma bằng hàm =a+GAMMAINV(1-P,c,1/b)

2.5 Vẽ đường tần suất

1 Vẽ đồ thị các điểm (XY Scatter) quan hệ giữa P và giá trị quan trắc trong cột (3) và

(2) của bảng phân bố tần suất thực nghiệm (Bảng 1) dưới dạng các điểm chấm

2 Bổ sung thêm đồ thị (XY Scatter) quan hệ giữa P và giá trị thiết kế trong cột (3) và (4)

của bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) dưới dạng đường nối liền nét

3 Ví dụ tính toán

Xác định các thông số và vẽ đường tần suất theo phân bố Pearson III cho chuỗi số liệu dòng

chảy năm đã được sắp xếp giảm dần như trong cột (4) Bảng 1, Hình 1 Các bước tính toán

thông số và vẽ đường tần suất theo phân bố Pearson III như sau

Hình 1: Bảng tính tần suất theo phân bố Pearson III

3.1 Tính các thông số thống kê theo phương pháp moments

1 Ô C7: Độ dài chuỗi số (N) =COUNT(D16:D35)

2 Ô C8: Trị trung bình =AVERAGE(D16:D35)

3 Ô C9: Hệ số phân tán tính theo phương pháp moments (CV) =STDEV(D16:D35)/C8

4 Ô C10: Hệ số thiên lệch tính theo phương pháp moments (CS) =SKEW(D16:D35)

3.2 Tính bảng tần suất kinh nghiệm

1 Tính tần suất kinh nghiệm Pi = i/(N+1) trong cột 5,

ví dụ ô E16: =100*A16/($C$7+1)

2 Ô I9: Thông số tỷ lệ (b) =2/(D8*D9*D10)

3 Ô I10: Thông số hình dạng (c) =4/D10^2

3.4 Lập bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) và đường tần suất

1 Lập bảng tần suất lý thuyết của phân bố Pearson III với giá trị thiết kế trong cột (4)

bằng hàm =a+GAMMAINV(1-P,c,1/b),

ví dụ ô J16: =$I$8+GAMMAINV(1-0.01*I16,$I$10,1/$I$9)

2 Đường tần suất vẽ quan hệ giữa cột (3) và cột (4) của bảng 2 như Hình 2

ĐƯỜNG TẦN SUẤT PEARSON III DÒNG CHẢY NĂM TRẠM ABC

0 1 2 5. 10.00 20

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Tần suất vượt, P (%)

Hình 2: Đường tần suất phân bố Pearson III vẽ bằng MS Excel

4 Chú ý

1 Giá trị CV tính theo phương pháp moments thường có giá trị thiên nhỏ Theo kinh nghiệm,

giá trị cận trên của khoảng sai số cho phép CV + δCV thường cho đường tần suất phù hợp với

các điểm kinh nghiệm hơn Trong đó, δCV là sai số ước lượng CV theo phương pháp

moments:

4 2

n

2 Phân bố xác suất log Pearson loại III cũng thường được ứng dụng trong thuỷ văn, nhất là

dùng để vẽ đường tần suất cho các chuỗi mực nước Để vẽ đường tần suất log Pearson loại III,

chuỗi số liệu cần phải được biến đổi log trước, sau đó tiến hành tính toán các tham số thống

kê như đối với phân bố Pearson loại III Giá trị của đường tần suất cuối cùng được chuyển đổi

ngược lại bằng hàm mũ Giả sử chuỗi tính toán là Y, tiến hành chuyển đổi và tính toán với

được chuyển đổi lại yp = EXP(xp)

Tài liệu tham khảo

Haan, C.T., (1977), Statistical Methods in Hydrology, The Iowa State University Press /

Ames

Mục lục

TÍNH TOÁN TẦN SUẤT THEO PHÂN BỐ PEARSON III 1

1 Giới thiệu 1

1.1 Hàm mật độ xác suất 1

1.2 Hàm phân bố tần suất luỹ tích 1

1.3 Xác định các thông số theo phương pháp moments 2

2 Tính toán hàm phân bố Pearson III bằng MS Excel 2

2.1 Lập bảng phân bố tần suất thực nghiệm (Bảng 1) 3

2.2 Tính các đăc trưng thống kê của chuỗi số theo phương pháp moments: 3

2.3 Tính các thông số của phân bố Pearson III theo phương pháp moments: 3

2.4 Lập bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) 3

2.5 Vẽ đường tần suất 3

3 Ví dụ tính toán 3

3.1 Tính các thông số thống kê theo phương pháp moments 4

3.2 Tính bảng tần suất kinh nghiệm 4

3.3 Tính các thông số thống kê theo phương pháp moments 4

3.4 Lập bảng phân bố tần suất lý thuyết (Bảng 2) và đường tần suất 5

4 Chú ý 5

Tài liệu tham khảo 6

Mục lục 6