TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH HUỲNH HỮU DINH Email: hhdinh19@gmail.com TP HỒ CHÍ MINH 2/2012 Chương SỐ XẤP XỈ, SAI SỐ 0.1 Số gần sai số Trong thực tế, muốn biết giá trị đại lượng người ta tiến hành đo đạc, tính tốn số phương pháp định Nhiều nhận xác giá trị thật đại lượng cần biết mà nhận số gần (hoặc xấp xỉ) với giá trị thật Việc đánh giá độ xác giá trị xấp xỉ sai số phép đo phương pháp tính tốn cần thiết Điều dẫn tới việc đưa khái niệm số xấp xỉ sai số nhận Nội dung trình bày khái niệm Định nghĩa 0.1.1: Giả sử A số đúng, a số gần A (trong trường hợp A số vô tỷ số e hay số π số hữu tỷ với phần thập phân vơ hạn tuần hồn số ) Ta gọi hiệu Δ ta lần số Δa = A − a sai số xấp xỉ số gần a Khi đại lượng Δ = Δa ; δa = A lượt gọi sai số tuyệt đối sai số tương đối a Rõ ràng ta có a − Δ ≤ A ≤ a + Δ A = a ± Δ Nếu A khơng phải số có hữu hạn chữ số lẽ đương nhiên ta cần a số có hữu hạn chữ số Δ có dạng với A Chẳng hạn, lấy A = π; a = 3,14 Δ = 0, 0015926 Định nghĩa 0.1.2: Sai số tuyệt đối giới hạn số xấp xỉ a số không nhỏ sai số tuyệt đối a Kí hiệu sai số tuyệt đối giới hạn Δa thì: Δa ≥ Δ Theo định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn không đơn trị Từ định nghĩa ta suy a − Δa ≤ A ≤ a + Δa Trong thực tế, người ta thường chọn sai số tuyệt đối giới hạn Δa số nhỏ sai số tuyệt đối giới hạn, qui ước viết: A = a ± Δa Định nghĩa 0.1.3: Sai số tương đối giới hạn số xấp xỉ a , kí hiệu δa , số khơng nhỏ sai số tương đối giới hạn a Có nghĩa δa ≥ δa hay δa ≥ Δ A Từ δa A ≥ Δ Theo định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn, ta chọn Δa = A δa Nhưng thực tế ta khơng biết xác giá trị A a số xấp xỉ A nên người ta thường dùng công thức: Δa = a δa Từ ta có cơng thức: A = a (1 ± δa ) 0.2 Sai số làm tròn số Giả sử cho số A = smsm −1 s , s−1s−2 sm−n +1sm−n Chữ số thứ n A số sm −n +1 tính từ trái qua phải Kí hiệu a = smsm−1 s 0, s−1s−2 sm −n +1 số làm tròn đến chữ số thứ n từ số A Qui tắc làm tròn sau: Nếu sm −n > sm−n +1 = sm−n +1 + ; Nếu sm −n < sm−n +1 = sm−n +1; Nếu sm−n = sm−n +1 = sm −n +1 + sm −n +1 số lẻ, sm−n +1 = sm−n +1 sm −n +1 số chẵn Từ qui tắc làm tròn ta thấy, sai số tuyệt đối giới hạn Δa = 5.10m −n = 10m−n +1 0.3 Số chữ số đáng tin cậy Xét hai số A a mục Ta nói tất n chữ số a tin cậy, ta có Δ = Δa = A − a ≤ 5.10m −n = 10m−n +1 = Δa Chẳng hạn a = 2, 7183 số làm tròn đến năm chữ số số e nên ta có Δ = 0, 00001 < 0, 00005 nên a có năm chữ số tin cậy với số cuối làm tròn Với số A a nói mục 0.2, ta thấy δa ≤ δa ≤ 2sm 2sm n −1 ⎛1⎞ ⎜⎝⎜10 ⎠⎟⎟ , lấy: n −1 ⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝10 ⎠ (1) Theo công thức số a = 2, 7183 có sai số tương đối giới hạn so với số e là: 5−1 δa = ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ × ⎜⎝10 ⎠ Ví dụ 0.1: Phải tính = 0, 0025% 29 với chữ số thập phân để có δa = 0,1% Ta thấy phần nguyên số Do áp dụng (1) ta 101−n ≤ 0, 001 ⇒ n ≥ Ta chọn n = , nghĩa phải lấy bốn chữ số thập phân, 29 = 3, 072 Đơi người ta nói số a có q chữ số đáng tin cậy sau dấu phẩy, hàm ý q chữ số phần thập phân đáng tin cậy Khi đương nhiên tất chữ số phần nguyên số a tin Giả sử số a có p chữ số phần nguyên Khi ta có: m = p − n = p + q Khi ta Δa = 0, 5.10−q 0.4 Sai số thực phép toán 0.4.1 Sai số phép cộng Xét tổng u = x + x + + x n với x i số gần với sai số tương ứng Δx i Hiển nhiên ta phải có: Δu = Δx + Δx + + Δx n Δu ≤ Δx + Δx + + Δx n Từ suy Δu = Δx1 + Δx + + Δxn (2) Ta có qui tắc cộng số có sai số tuyệt đối khác sau: Giữ nguyên số hạng có số chữ số sau dấu phẩy nhất; Các số hạng khác làm tròn đến hai số sau dấu phẩy nhiều số hạng chọn bước Cộng tất số lại với làm tròn tổng, bớt chữ số thập phân Liên quan đến δu , trường hợp x i dấu thấy: δu ≤ max (δx 1, δx , , δx n ) Từ ta suy δu = max (δx1 , δx , , δxn ) 0.4.2 Sai số phép trừ Về nguyên tắc đánh giá (2) cho phép trừ Tuy nhiên, xét riêng trường hợp để nhấn mạnh điều cần ý lập trình Xét hiệu số u = x − x Ta thấy rằng, Δx Δx dấu x ≈ x δu >> δx 1, δx x − x 0, i = 1, n Khi ta có ln u = ln x + ln x + + ln x n Mặt khác, ta có ⎛ Δz Δz ⎞⎟ Δz r số phương trình nhiều số ẩn phương trình vơ nghiệm Do mong muốn s lớn tốt nên cố định r , ta lấy tối đa s = r Khi số ẩn nhiều số phương trình r − Vì thế, hệ phương trình (*) nói chung có nghiệm, không nghiệm 5.3.1 Công thức Rung-Kutta bậc hai: Xét trường hợp r = , ta có: có m − phương trình Do đó, số phương trình xác định hệ số có tất k1 = hf (x 0, y ) k2 = hf (x + α2h, y + β21k1 ) Δy = c1k1 + c2k2 Ta có bốn hệ số cần xác định c1, c2, α2, β21 Ta có số kết sau: k1 (0) = k2 (0) = k1′ (0) = f (x 0, y ) ; k1′′ (0) = k2′ (0) = f (x 0, y ) k2′′ (0) = 2α2 fx ′ (x 0, y ) + 2β21 f (x 0, y ) fy ′ (x 0, y ) Từ (**) kết tính bên ta hệ phương trình ⎪⎧⎪2c1 f (x 0, y ) + 2c2 f (x 0, y ) = f (x 0, y ) ⎪⎨ ⎪⎪⎪2c2α2 fx ′ (x 0, y ) + 2c2β21 f (x 0, y ) fy ′ (x , y ) = fx ′ (x 0, y ) + f (x , y ) fy ′ (x 0, y ) ⎩ Rút gọn hệ ta nhận ⎧⎪c + c = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨2c2α2 = ⎪⎪ ⎪⎪2c2β21 = ⎪⎩ Ba phương trình dùng để xác định bốn hệ số nên có nhiều lời giải Nếu ta lấy c1 = ta có c2 = 1, α2 = β21 = Khi sơ đồ Rung-Kutta tương ứng sau: ⎧⎪ ⎪⎪k = hf (x , y ) 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨k2 = hf (x + h, y + k1 ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪y1 = y + (k1 + k2 ) + O (h ) ⎪⎩ 5.3.2 Công thức Rung-Kutta bậc ba: 117 Bằng cách tương tự trên, ta sơ đồ Rung – Kutta bậc ba ⎧⎪k1 = hf (x , y ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪k2 = hf ⎛⎜x + h, y + k1 ⎞⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎪⎪⎨ ⎪⎪k = hf (x + h, y − k + 2k ) 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪y1 = y + (k1 + 4k2 + k ) + O (h ) ⎪⎩ 5.3.3 Công thức Rung-Kutta bậc bốn: Có nhiều sơ đồ Rung – Kutta bậc bốn, sơ đồ sau thường dùng ⎧⎪k1 = hf (x 0, y ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪k2 = hf ⎛⎜x + h, y + k1 ⎞⎟⎟ ⎝⎜ ⎪⎪ 2 ⎠ ⎪⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎪ ⎨k = hf ⎜⎜x + h, y + k2 ⎟⎟ ⎝ ⎪⎪ 2 ⎠ ⎪⎪ ⎪⎪k = hf (x + h, y + k ) ⎪⎪ ⎪⎪y = y + (k + 2k + 2k + k ) + O (h ) ⎪⎪ ⎩ Ví dụ 5.3.1: ⎧⎪y ′ = x + y ⎪ với x ∈ [0; 0, 5] Cho phương trình vi phân ⎨ ⎪⎪y (0) = ⎪⎩ Tính y (0, 25) phương pháp Rung – Kutta bậc bốn Giải Ta có: k1 = hf (x 0, y ) = 0, 25 (0 + 1) = 0, 25 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0, 25 ⎞ k2 = hf ⎜⎜x + h, y + k1 ⎟⎟ = 0, 25 ⎜⎜0 + + + 0, 25⎟⎟ = 0, 3125 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0, 25 0, 3125 ⎞⎟ k = hf ⎜⎜x + h, y + k2 ⎟⎟ = 0, 25 ⎜⎜ +1+ ⎟ = 0, 320312 ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ k = hf (x + h, y + k ) = 0, 25 (0, 25 + + 0, 320312) = 0, 392578 y1 = y + (k1 + 2k2 + 2k + k ) = + (0, 25 + × 0, 3125 + × 0, 320312 + 0, 392578) = 1, 318037 118 BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chương PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT Giải phương trình sau phương pháp lặp với sai số không 10−4 a x − 3x − = có đoạn li nghiệm [1, 5;2, 5] b x − x − = có đoạn li nghiệm [1;2] c e x − x + 3x − = có đoạn li nghiệm [0, 2; 0, 5] d x cos x − 2x + 3x − = có đoạn li nghiệm [1, 2;1, ] e x − x + arcsin x + = có đoạn li nghiệm [−0, 8; 0] (x + 1) − x (x − 1) f = có đoạn li nghiệm [1;2] (x + 1) g arctan x + − x = có đoạn li nghiệm [1;2] h ln (x + 1) − x + cos x = có đoạn li nghiệm [1;1, 2] i j x + 2x + x cos x − = có đoạn li nghiệm [0, 4; 0, 6] + x + − x = có đoạn li nghiệm [1;2] x +1 2 Giải phương trình sau phương pháp Newton với sai số không 10−4 a e x + 2−x + cos x − = có đoạn li nghiệm [1;2] b ln (x − 1) + cos (x − 1) = có đoạn li nghiệm [1, 3;2] c (x − 2)2 − ln x = có đoạn li nghiệm [1;2] [2, 8; ] d sin x − e −x = có đoạn li nghiệm [0;1], [3, ] [6; ] e + + + = có đoạn li nghiệm [ 0;1] x + (x + 1) (x + 1) (x + 1) (x + 2) − x (x + 1) f = có đoạn li nghiệm [−0, 8; 0] 3 (x + 2) g 2x − 3x − = có đoạn li nghiệm [1;2] h x ln (2x + 3) − x + = có đoạn li nghiệm [1, 5;2] i x − = có đoạn li nghiệm [1;2] , từ suy giá trị gần 5 j arctan2 x + x − x + = có đoạn li nghiệm [2;2, 5] Cho phương trình x − 2x − = có đoạn li nghiệm [2; 3] a Giải phương trình phương pháp lặp (lặp bước, đánh giá sai số bước 3) b Tìm số bước lặp nhỏ để nghiệm gần có sai số khơng q 10−10 119 Cho phương trình 3x − x − cos x = 10 có khoảng li nghiệm [1, 3;2] a Giải phương trình phương pháp Newton (lặp bước, đánh giá sai số bước 3) b Tìm số bước lặp nhỏ để chắn nghiệm gần có sai số khơng q 10−10 120 Chương GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn (lặp bước, đánh giá sai số bước 3) ⎧⎪5x + y + 2z = ⎪⎪ ⎪ a ⎨3x + 8y + z = ⎪⎪ ⎪⎪x − 3y + 10z = 10 ⎪⎩ ⎧ ⎪ −10x + y − z = −10 ⎪ ⎪ b ⎪⎨2x + 20y − z = 21 ⎪ ⎪ ⎪ −x + 3y + 16z = 18 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧⎪0, 5x + 0, 01y + 0, 2z = 0, ⎪⎪ ⎪ c ⎨0, 2x + 0, 8y + 0,1z = 0, 98 ⎪⎪ ⎪⎪0, 2x + y + 2z = 3, ⎪⎩ ⎧ ⎪ 1, 2x + 0, 2y − 0, 3z = 2,1 ⎪ ⎪ ⎪ d ⎨x + 4y − 2,1z = 2, ⎪ ⎪ ⎪ −0, 2x + 0, 3y + 1, 6z = 1, ⎪ ⎪ ⎩ 10x − y + z + 2t = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2x + 30y − z + 5t = e ⎪⎨ ⎪− x + 4y + 20z − t = 19 ⎪ ⎪ ⎪ 5x + 3y − z + 25t = 24 ⎪ ⎪ ⎩ 0,1 0,1⎞⎟ ⎛x ⎞ ⎛1, ⎞⎟ ⎛1, ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ −1 4, 0, 0, 3⎟⎟ ⎜⎜⎜y ⎟⎟ ⎜⎜⎜4, 5⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ f ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜z ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜0, −0, ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ 2, ⎠⎟⎟ ⎜⎝ t ⎠⎟ ⎝⎜⎜ ⎠⎟⎟ ⎜⎝ ⎧ x 9y −2z 3t = 149 ⎪ ⎪ ⎧⎪x 8y 2z = 90 ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ x 2y 15zt = 590 ⎪⎪ ⎪ ⎪ g ⎨x y z = 82 h ⎨ −2 −4 21 ⎪⎪ ⎪ x y z t = 908 ⎪ ⎪⎪x 3y 4z 10 = 120 ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎪ xy 3z 2t 10 = 1002 ⎪ ⎪ ⎩ Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Seidel (lặp bước, đánh giá sai số bước 3) ⎧ ⎪ 10x + y + 2z = 15 ⎪ ⎪ ⎪ a ⎨x + 10y + z = 28 ⎪ ⎪ ⎪ x + y + 10z = 10 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ 20x + y − z = 10 ⎪ ⎪ ⎪ b ⎨5x + 25y + 2z = 41 ⎪ ⎪ ⎪ 2x − 3y + 20z = 35 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ 1, 5x + 0,1y + 0, 3z = 1, ⎪ ⎪ c ⎪⎨0, 02x + y + 0,15z = 3, ⎪ ⎪ ⎪ 0,1x + 0, 3y + 2z = 4,1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧20x − y + 2z + t = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2x + 10y + z + 5t = e ⎪⎨ 2x + 4y + 20z − t = 21 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3x + 3y − z + 20t = 14 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ 4x + 0, 2y − 0, 3z = 4, ⎪ ⎪ ⎪ d ⎨x − 8y − 2,1z = 6, ⎪ ⎪ ⎪ 1, 2x + 0, 3y + 6z = 3, ⎪ ⎪ ⎩ −5 0,1⎞⎟ ⎛x ⎞ ⎛10⎞⎟ ⎛ 15 ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ −25 3, 2⎟⎟ ⎜⎜⎜y ⎟⎟ ⎜⎜⎜10⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ f ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜⎜0, −5 16 ⎟⎟ ⎜⎜⎜z ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2, ⎠⎟⎟ ⎜⎝ t ⎠⎟ ⎝⎜⎜ ⎠⎟⎟ ⎜⎝⎜ 121 ⎧ ⎪ x 20y 2z = 190 ⎪ ⎪ ⎪ g ⎪⎨x 8y 25z = 882 ⎪ ⎪ ⎪ xy 2z 16 = 320 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ x 9y −2z 3t = 149 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 2y 15zt = 590 ⎪ h ⎪⎨ −2 −4 21 ⎪ x y z t = 908 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xy 3z 2t 10 = 1002 ⎪ ⎪ ⎩ Cho hệ phương trình ⎧⎪10x − y − z = 18 ⎪⎪ ⎪ ⎨x + 20y − z = 21 ⎪⎪ ⎪⎪2x + 4y + 20z = 28 ⎪⎩ a Giải hệ phương pháp lặp đơn với sai số không 10−3 b Phải lặp bước sai số nghiệm gần khơng q 10−6 Cho hệ phương trình ⎛ 25 −2 ⎞⎟⎛x ⎞ ⎛ 24 ⎟⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ −10 ⎟⎟ ⎜⎜y ⎟⎟ ⎜⎜−8⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜−1 ⎟ 10 −1 ⎟⎟ ⎜⎜z ⎟⎟ = ⎜⎜ 10 ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ −1 20 ⎟⎟ ⎜⎜ t ⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ 16⎠⎟⎟ ⎜⎝u ⎠⎟ ⎝⎜⎜ ⎠⎟⎟ ⎜⎝⎜ Phải lặp bước sai số nghiệm gần không 10−6 Cho hệ phương trình ⎛ 20 −2 ⎞⎟ ⎛x ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ 25 ⎟⎟ ⎜⎜y ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜−1 −20 ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜z ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜−19⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ t ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ 10⎠⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎜ 11 ⎠⎟⎟ ⎝ a Giải hệ phương pháp lặp Seidel với sai số khơng q 10−3 b Phải lặp bước sai số nghiệm gần không 10−6 122 Chương ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT Xây dựng đa thức nội suy Lagrange hàm số y = f (x ) cho bảng sau a x y 10 15 x y 11 20 Tính f (6) b Tính f (3) c x y 10 16 20 x y 1,2 1,4 1,6 1,8 11 16 Tính f (3, 5) d Tính gần y (1, 5) e x y -1 -2 15 20 30 x y 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7 4 15 25 35 Tính f (5, 5) f Xây dựng đa thức nội suy Newton (đầu bảng cuối bảng) hàm số cho bảng: a x y 12 16 123 Tính gần y (3) b x y 1,0 1,3 1,6 1,9 2,2 8,1 12,2 17,4 Tính gần f (1, 4) c 12 -1 17 42 2,0 2,3 2,6 2,9 3,2 15 20 37 x y Tính gần y (12, 5) d x y Tính gần y (2, 8) e x y -0,1 0,2 0,5 0,8 1,1 1,4 0,1 1,12 1,74 1,91 2,1 2,91 10 4,9 5,7 7,2 Tính gần f (0, 4) f x y 1,3 2,6 3,8 Tính gần f (3) Tìm a, b để hàm số y = ax + b xấp xỉ tốt bảng số liệu sau a x y 10 12 124 b x y 11 11 13 x y 1,1 3,2 5,2 6,3 7,2 8,4 9,4 2,1 4,1 6,4 8,3 9,5 11,5 13,5 c Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = aebx bảng số liệu thực nghiệm sau: x y 2,1 4,8 10 21,1 112,1 400,1 1000,12 Xác định a, b từ tính y (9, 2) Nếu thay quan hệ y = aebx a, b xác định ? Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = ax b bảng số liệu thực nghiệm sau: x y 3,1 3,5 3,6 3,7 3,8 4,0 9,1 12,4 17,3 21,1 25,1 32,6 Xác định a, b từ tính y (3, 92) b Nếu thay quan y = a (x + 1) a, b xác định Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = ax + bx + c bảng số liệu thực nghiệm sau: x y 2,9 1,2 0,145 7,3 16,1 19,1 Xác định a, b, c từ tính y (7, 2) Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = a + b cos x + c sin x bảng số liệu thực nghiệm sau: x y 1,1 1,145 -1,3 1,01 3,1 Xác định a, b, c phương pháp bình phương bé nhất, từ tính y (5, 5) 10 Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = a ln (x + 1) + b sin x bảng số liệu thực nghiệm sau: 125 x y 1,1 1,145 -1,3 1,01 3,1 Xác định a, b phương pháp bình phương bé nhất, từ tính y (4, 5) 11 Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = a ln (x + 1) + b (e 2x − 1) bảng số liệu thực nghiệm sau: x y 1,1 1,145 -1,3 1,01 3,1 Xác định a, b phương pháp bình phương bé nhất, từ tính y (4, 5) 12 Hãy xây dựng hệ phương trình mà từ xác định hệ số a, b, c để hàm số y = af (x ) + bg (x ) + c xấp xỉ tốt bảng số liệu cho Áp dụng Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = a (x − 4) + b (x − 2) + c bảng số liệu thực nghiệm sau: x y 6 12 20 32 40 Xác định a, b, c phương pháp bình phương bé nhất, từ tính y (4, 5) 13 Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = a + (xe x )b + (xe x ) c bảng số liệu thực nghiệm sau: x y 6 12 20 32 40 Xác định a, b, c phương pháp bình phương bé nhất, từ tính y (4, 5) 14 Cho biết hai đại lượng x y có quan hệ y = a + (x cos x )b + (x cos x )2 c bảng số liệu thực nghiệm sau: x y 6 12 20 32 40 Xác định a, b, c phương pháp bình phương bé nhất, từ tính y (4, 5) 126 Chương TÍCH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Tính gần tích phân sau cơng thức hình thang suy rộng (không đánh giá sai số) 1,2 a ∫ ln (x + 5) + x x ln (2x + 1) 0,2 1,4 dx với n = b ∫ x2 + + 0,4 ⎛ ⎞⎟ c ∫ ⎜⎜x ln (x + 2) + ⎟ dx với n = ⎝ x + 1⎠⎟ 0,4 dx với n = 10 ⎛ ⎞⎟ x ⎟dx với n = 10 d ∫ ⎜⎜ x + + ⎜⎝ ln (x + 1)⎠⎟⎟ 1,3 2,3 2,2 e x4 −x +1 ∫e x −2x +3 dx với n = f ∫x x2 dx với n = 10 1,4 Tính gần tích phân sau cơng thức hình thang suy rộng (có đánh giá sai số) 3,1 a ∫ x dx với n = 10 b c ∫e −x dx với n = 10 d ∫ x dx với n = 10 f g ∫ ∫ e x3 ∫ x − 1dx với n = 2,1 ∫ sin 2x dx với n = x 2,5 h ∫ e 2x dx với n = 10 ex − (x + 1) − x (x − 1) dx với n = 10 (x + 1) 3x + dx với n = 10 x +3 Tính tích phân sau cơng thức Simson phần ba (không đánh giá sai số) 1,2 a ∫ sin (x + 5) + x x (x + 3) 0,2 1,4 dx với n = 2,4 ⎛ x ⎞⎟ c ∫ ⎜⎜xe x + ⎟⎟dx với n = ⎝ ⎠ x + 0,4 2,2 e ∫ 1,4 x sin (5x ) + x dx với n = x3 + x b ∫ tan (3x ) + x + x3 + 0,4 dx với n = 10 ⎛ x − 2, ⎞⎟ ⎟⎟dx với n = 10 d ∫ ⎜⎜x 3x + ⎟ ⎜⎝ ( ) ln x + ⎠ 1,3 2,3 f ∫ (2x ) sin(x ) dx với n = 10 Tính gần tích phân sau cơng thức Simson phần ba (có đánh giá sai số) 1 a ∫e x +4 dx với n = 10 b c ∫ e e ∫ ∫e x4 dx với n = 10 dx với n = 10 x +x ln x dx với n = 12 x +1 d ∫ ln xdx với n = 10 e f ∫x ln xdx với n = 10 127 π g 2,4 ∫ sin xdx với n = 10 h ∫ 1,4 x4 dx với n = 10 x +1 Tính gần tích phân sau cơng thức Simson ba phần tám (có đánh giá sai số) 1,8 a 0,9 x ∫ e dx với n = b 4,5 c ∫ e e e x2 dx với n = x +1 ln x ∫ x − 1dx x ∫ e dx với n = d ∫ ln xdx với n = π với n = f xdx với n = Xét tích phân I = ∫ cos ∫ 4x + dx 2x + a Tính tích phân I cơng thức hình thang với n = 10 đánh giá sai số kết b Phải chia [1;2] thành đoạn để áp dụng cơng thức hình thang số đoạn sai số khơng q 10−10 Xét tích phân I = ∫ x3 +x dx x −1 a Tính tích phân I công thức Simson phần ba với n = 10 đánh giá sai số kết b Phải chia [2; 3] thành đoạn để áp dụng công thức Simson phần ba số đoạn sai số khơng q 10−10 3,4 Xét tích phân I = ∫ 2,2 x4 −x dx x +1 a Tính tích phân I công thức Simson ba phần tám với n = 12 đánh giá sai số kết b Phải chia [2, 2; 3, ] thành đoạn để áp dụng công thức Simson phần ba số đoạn sai số không 10−10 128 Chương V GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải phương trình vi phân sau phương pháp Euler cải tiến ⎧ ′ ⎪ ⎪y = x + y a ⎨ với x ∈ [0; 0, 5] , ⎪ y (0) = ⎪ ⎪ ⎩ bước h = 0, 25 sai số không 10−5 ⎧ ⎪ y ′ = x + xy + + y ⎪ ⎪ với x ∈ [0; 0, ] , b ⎨ ⎪ y (0) = ⎪ ⎪ ⎩ bước h = 0, sai số không 10−5 ⎧y ′ = x ln (2x + y + 1) ⎪ ⎪ với x ∈ [0, 5; 0, 9] , c ⎪⎨ ⎪ y 0, = ( ) ⎪ ⎪ ⎩ bước h = 0, sai số không 10−5 ⎧ x − 2y ⎪ ⎪ ′ y = ⎪ xy + với x ∈ [0; 0, 2] , d ⎪⎨ ⎪ ⎪ y (0) = ⎪ ⎪ ⎩ bước h = 0,1 sai số không 10−5 ⎧ ⎪ y ′ = xy cos (x + y ) ⎪ ⎪ với x ∈ [0,1; 0, 3], e ⎨ ⎪ y (0,1) = ⎪ ⎪ ⎩ bước h = 0,1 sai số khơng 10−5 ⎧ x +1 ⎪ ′ ⎪ ⎪y = y f ⎨ với x ∈ [0;1] , ⎪ ⎪ y (0) = ⎪ ⎪ ⎩ bước h = 0, với sai số khơng 10−5 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Runge – Kutta bậc bốn y ⎧ ⎪ y ′ = 2x + ⎪ với x ∈ [0; 0, 5] h = 0, 25 a ⎪⎨ ⎪ ( ) y = ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ x + y2 ⎪ ⎪ ′ = y ⎪ ln (2x + 1) với x ∈ [0, 3; 0, 9] h = 0, b ⎪⎨ ⎪ ⎪ y (0, 3) = ⎪ ⎪ ⎩ 129 ⎧ x + xy ⎪ ⎪ ′ ⎪y = xy + với x ∈ [0; 0, 3] h = 0,15 c ⎪⎨ ⎪ ⎪ y (0) = ⎪ ⎪ ⎩ y ⎧ ⎪ y ′ = xy − ⎪ x với x ∈ [0, 5;1] Cho phương trình vi phân ⎪⎨ ⎪ y (0, 5) = ⎪ ⎪ ⎩ Tính y (0, 75) phương pháp Rung – Kutta bậc bốn ⎧⎪y ′ = x sin (x + 2y ) với x ∈ [0,1] Cho phương trình vi phân ⎪⎨ ⎪⎪y (0) = ⎪⎩ Tính y (0, 08) phương pháp Rung – Kutta bậc bốn ⎧y ′ = x cos (x + 2y ) ⎪ ⎪ với x ∈ [0,1] Cho phương trình vi phân ⎨ ⎪ y (0) = ⎪ ⎪ ⎩ Tính y (0, 08) phương pháp Rung – Kutta bậc bốn ⎧⎪y ′ = x ln (2y + 1) ⎪ với x ∈ [0; 0, ] Cho phương trình vi phân ⎨ ⎪⎪y (0) = ⎪⎩ Tính y (0, 2) phương pháp Euler cải tiến với sai số ε = 10−4 ⎧ ′ ⎪ ⎪y = ln (2x + 1) + y Cho phương trình vi phân ⎨ với x ∈ [0; 0, ] ⎪ y (0) = ⎪ ⎪ ⎩ Tính y (0, 2) phương pháp Runge – Kutta bậc bốn ⎧⎪y ′ = x ln (2yx + 2) ⎪ Cho phương trình vi phân ⎨ với x ∈ [0; 0, ] ⎪⎪y (0) = ⎪⎩ Tính y (0, 2) phương pháp Euler cải tiến với sai số ε = 10−4 ⎪⎧⎪y ′ = x ln (2y + x + 1) Cho phương trình vi phân ⎨ với x ∈ [0; 0, ] ⎪⎪y (0) = ⎪⎩ Tính y (0, 2) phương pháp Runge – Kutta bậc bốn ⎧ ′ ⎪ ⎪y = (x + y ) ln (x + y ) 10 Cho phương trình vi phân ⎨ với x ∈ [0; 0, 5] ⎪ y (0) = ⎪ ⎪ ⎩ Tính y (0, 25) phương pháp Rung – Kutta bậc bốn 130 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Minh Chương, Giải tích số, Nhà xuất giáo dục, 2009 Dỗn Tam Hịe, Tốn học tính tốn, Nhà xuất giáo dục, 2008 Lê Thái Thanh, Lê Ngọc Lăng, Nguyễn Quốc Lân, Giáo trình Phương pháp tính, nhà xuất Đại học quốc gia TP.HCM, 2003 Trần Văn Trản, Phương pháp số thực hành, Nhà xuất Khoa học Công Nghệ, 2009 BULIRSCH, STOER, Introduction to numerical analysis, Third Edition, Springer 2002 131