Phương pháp Discontinuous galerkin trong tính toán mô phỏng dòng khí loãng tốc độ cao

Bài viết Phương pháp Discontinuous galerkin trong tính toán mô phỏng dòng khí loãng tốc độ cao trình bày phương trình Navier-Stokes-Fourier mở rộng xem xét đến quá trình khuếch tán khối lượng; Phương pháp Discontinuous Galerkin cho phương trình N-S-F mở rộng.

Trần Hà Nam, Lê Tuấn Phương Nam 62 PHƯƠNG PHÁP DISCONTINUOUS GALERKIN TRONG TÍNH TỐN MƠ PHỎNG DỊNG KHÍ LỖNG TỐC ĐỘ CAO DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD IN HIGH-SPEED RAREFIED GAS SIMULATIONS Trần Hà Nam1, Lê Tuấn Phương Nam2 Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh Trường Đại học Tơn Đức Thắng; letuanphuongnam@tdtu.edu.vn Tóm tắt - Trong báo này, sơ đồ giải thuật số phương pháp Discontinuous Galerkin (DG) đề xuất cho phương trình NavierStokes-Fourier mở rộng, mà xem đến tượng khuếch tán khối lượng mơ tính tốn dịng khí lỗng tốc độ cao Hai trường hợp khí động lực học dịng khí lỗng qua phẳng ngang hình trụ trịn lựa chọn cho tính tốn mơ để kiểm chứng sơ đồ giải thuật số phương pháp DG đề xuất Mỗi trường hợp mơ thực với phương trình N-S-F phương trình N-S-F mở rộng Tất kết tính tốn so sánh với liệu mơ thống kê Monte-Carlo (DSMC), cho thấy kết dùng phương trình N-S-F mở rộng cho kết tính tốn gần với liệu DSMC so với kết dùng phương trình N-S-F, đặc biệt trường hợp dòng qua phẳng Abstract - In this paper, a numerical scheme of the Discontinuous Galerkin (DG) method is proposed for the extended Navier-StokesFourier equations in high-speed rarefied gas simulations Two basic configurations in aerodynamics such as rarefied gas flows over the flat plate and past a circular cylinder in cross-flow, are adopted to verify the DG scheme aforementioned Each configuration is simulated using the classical N-S-F and the extended N-S-F equations All calculated results are compared with the Direct Simulation Monte-Carlo (DSMC) data, and show that those using the extended N-S-F equations are close to the DSMC data while those using the classical N-S-F equations are not, especially in the flat plate case Từ khóa - Khuếch tán khối lượng; phương trình N-S-F mở rộng; Discontinuous Galerkin (DG); dịng khí lỗng; sóng (shock) Key words - Extended Navier-Stokes-Fourier equations; Discontinuous Galerkin (DG); rarefied gas flow; shock Giới thiệu Dịng khí lỗng đặc trưng số Knudsen, Kn, tỉ lệ khoảng cách chuyển động tự trung bình trước va chạm hạt khí, λ, chiều dài đặc trưng L vật thể Với trường hợp mà mật độ hạt khí cao, trị số λ nhỏ, dẫn tới số Kn nhỏ nên trường hợp mơ cách giải phương trình Euler (Kn < 0,001) phương trình Navier-Stokes-Fourier (N-S-F) (0,001≤ Kn ≤ 0,01) Khi mật độ hạt khí thấp, giá trị λ lớn dẫn đến số Kn lớn cân khí trở nên đáng kể Lúc phương trình N-S-F trở nên khơng cịn thích hợp để tính tốn cho dịng khí lỗng Việc áp dụng điều kiện biên trượt vận tốc nhảy nhiệt độ bề mặt giúp cải thiện phương trình N-S-F sử dụng vùng trượt (0,01≤ Kn ≤ 0,1) [1] Khi số Kn nằm khoảng (0,1 ≤ Kn ≤ 10), vùng chuyển tiếp, trường hợp Kn > 10, vùng gọi vùng phân tử chuyển động tự Phương trình N-S-F khơng thể dùng để tính tốn mơ dịng khí lỗng cho hai trường hợp sau Một phương pháp số khác mô thống kê Monte-Carlo (DSMC) mơ xác tất trường hợp dịng khí lỗng nêu thời gian tính tốn phương pháp DSMC lâu so với phương pháp tính tốn động lực học lưu chất (CFD) mà giải phương trình N-S-F Trong dịng khí lỗng chênh lệch phân bố mật độ hạt khí chúng dẫn đến khuếch tán hạt khí di chuyển từ vùng có mật độ hạt khí cao đến vùng có mật độ hạt khí thấp chúng đạt cân mật độ hạt khí, q trình gọi khếch tán khối lượng Hình mơ tả q trình khuếch tán khối lượng hạt khí Ban đầu, bên trái có mật độ hạt khí cao hơn, ngăn cách với bên phải có mật độ hạt khí thấp vách ngăn Khi vách ngăn bỏ đi, hạt khí khuếch tán từ bên trái (nơi mật độ khí cao) sang bên phải hạt khí bên phải khuếch tán theo chiều ngược lại mật độ hạt khí hai bên cân Phương trình N-S-F bỏ qua trình khuếch tán khối lượng chúng phát triển lý thuyết dòng liên tục Tuy nhiên, dịng khí lỗng, mật độ hạt khí thấp nên việc khuếch tán khối lượng trở nên có ảnh hưởng lớn q trình bảo tồn khối lượng Hơn trường hợp dịng khí lỗng tốc độ cao, ảnh hưởng thành phần khuếch tán khối lượng tăng lên (do tăng lên gradient mật độ hạt khí) cần xem xét phương trình N-S-F tính tốn mơ dịng khí lỗng Hình Quá trình khuếch tán khối lượng Hai phương pháp tính tốn số thường dùng cho khí động lực học phương pháp thể tích hữu hạn (FVM), phần tử hữu hạn (FEM) Tuy nhiên, phương pháp FVM có giới hạn tính bất ổn định cho giải thuật số bậc cao thường giới hạn bậc hai [2] Phương pháp FEM có nhược điểm tính liên tục lưu chất biên phần tử Phương pháp Discontinuous Galerkin (DG) xem phương pháp thay cho FVM [3, 4] Phương pháp kết hợp ưu điểm phương pháp FVM (cho phép không liên tục lưu chất biên phần tử thông qua việc dùng hàm thông lượng FVM) phương pháp phần tử hữu hạn FEM (cho phép tính tốn xấp xỉ bậc cao) ứng dụng để giải nhiều vấn đề lĩnh vực khí động lực ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 7, 2020 học, âm học từ động lực học [3-7] Phương pháp DG chia thành “modal” “nodal” tùy thuộc vào hàm dạng sử dụng [4] Trong phương pháp DG, hàm dạng chọn cho biến trường dịng khí (vận tốc, nhiệt độ, …), đạo hàm chúng, thường hai, xem bất liên tục ngang qua biên phần tử, tính chất liên tục miền tính tốn trì Để tính tốn trường hợp đa chiều (multidimensions), cần phải có hàm dạng hàm nội suy định nghĩa không gian đa chiều Các hàm xây dựng cách mở rộng hàm dạng trường hợp chiều Phương pháp DG áp dụng hiệu cho toán mà q trình đối lưu chiếm ưu (các toán động học lưu chất truyền nhiệt), trì linh hoạt khả đáp ứng hình học đa chiều độ xác cao thông qua việc sử dụng phần tử bậc cao Bên cạnh đó, phương pháp dễ dàng lập trình để tính tốn song song tính chất cục nó, điều có ích tính tốn tốn đa chiều có số lượng phần tử lớn [4] Phương pháp số DG dùng để giải phương trình N-S-F cho tính tốn khí động lực học [3, 8] Bài báo tập trung vào việc xây dựng sơ đồ tính tốn số dùng phương pháp DG để giải phương trình N-S-F mở rộng hai chiều (2D) có xét đến tượng tự khuếch tán (self-diffusion) khối lượng mơ dịng khí lỗng dùng lưới tam giác Phương trình N-S-F mở rộng đề xuất [9] để giải tốn sóng thẳng chiều (1D) tốc độ cao phương pháp FVM Vì vậy, giới hạn báo điều kiện biên trượt vận tốc nhảy nhiệt độ không áp dụng bề mặt vật thể việc tính tốn mơ dịng khí lỗng, khí đơn phân tử argon lựa chọn cho tính tốn Hai trường hợp xem xét dịng khí lỗng argon qua phẳng [1] ngang qua hình trụ trịn [10] Kết tính tốn mơ dịng khí lỗng đạt từ phương trình N-S-F N-S-F mở rộng so sánh với liệu DSMC thu từ sử dụng giải dsmcFoam phần mềm mã mở OpenFOAM [11] Phương trình Navier-Stokes-Fourier mở rộng xem xét đến trình khuếch tán khối lượng Quá trình khếch tán khối lượng xảy ngược chiều với chiều giảm mật độ khí, tức theo chiều âm gradient khối lượng riêng biểu diễn thông qua định luật Fick [9], jd = - Dm ∇ρ, (1) Trong đó, jd thơng lượng khuếch tán khối lượng, ∇ gradient, ρ khối lượng riêng, Dm hệ số khuếch tán khối lượng [9] Đối với phương trình bảo tồn khối lượng, có góp mặt q trình khuếch tán khối lượng, thành phần tổng thông lượng khối lượng đơn vị thể tích viết thành ρum = ρu + jd , um gọi vận tốc khối lượng trung bình, u vận tốc dịng khí Dùng định luật Fick để biểu diễn jd , lúc phương trình bảo tồn khối lượng theo thời gian t trở thành [9] 𝜕𝜌 + ∇ ∙ [𝒖𝜌] − ∇ ∙ [𝐷𝑚 ∇𝜌] = (2) 𝜕𝑡 63 Giá trị hệ số Dm phụ thuộc vào tính chất loại khí khác nhau, với khí argon, Dm ≈ 1,32 [9], đại lượng ν hệ số nhớt động học, ν = μ/ρ với μ hệ số nhớt động lực học Đối với phương trình động lượng, Öttinger [12] định nghĩa thêm động lượng ρu thay ρum , động lượng liên quan đến thông lượng khối lượng đối lưu thông lượng động lượng khuếch tán Điều hợp lý thơng lượng đối lưu gây chuyển động tịnh tiến hạt khí, liên quan đến lượng học, thông lượng khuếch tán gây chuyển động ngẫu nhiên hạt khí, liên quan đến lượng nhiệt Theo lập luận trên, phương trình bảo tồn động lượng mở rộng có dạng giống phương trình bảo tồn động lượng phương trình N-S-F vận tốc um thay u [9] 𝜕(𝜌𝒖) (3) + ∇ ∙ [𝒖𝒎 (𝜌𝒖)] + ∇𝑝 − ∇ ∙ 𝝉 = 0, 𝜕𝑡 Trong đó, p áp suất, 𝝉 ten-xơ ứng suất tính sau: (4) 𝝉 = 𝜇 [∇𝒖 + (∇𝒖)𝑻 − 𝑰𝑡𝑟(∇𝒖)], Với, 𝑇 kí hiệu phép tốn chuyển vị, I ten-xơ đơn vị tr phép toán vết Đối với phương trình bảo tồn lượng, có mặt trình khếch tán khối lượng, tổng lượng đơn vị khối lượng E tổng nội e, động dịng khí chuyển động với vận tốc u động khuếch tán khối lượng Phương trình bảo tồn lượng [9], 𝜕(𝜌𝐸) + ∇ ∙ [𝒖𝒎 (𝜌𝐸)] + ∇ ∙ [𝒖𝑝] − ∇ (5) 𝜕𝑡 ∙ [𝝉 ∙ 𝒖] + ∇ ∙ 𝒒 = 0, Trong đó, 𝐸 = 𝑒 + |𝒖2𝒎 |/2; q thông lượng nhiệt khuếch tán tính cơng thức 𝒒 = −𝑘𝛻𝑇, với T nhiệt độ k hệ số truyền nhiệt tính cơng thức 𝑘 = 𝐶𝑃 𝜇/𝑃𝑟 với Cp nhiệt dung riêng đẳng áp, Pr số Prandtl Phương pháp Discontinuous Galerkin cho phương trình N-S-F mở rộng Lưới tam giác sử dụng cho mô báo Vì vậy, phép ánh xạ phần tử tam giác thật miền tính tốn phần tử tam giác chuẩn [4]: 𝐱 = (1 − 𝑎)(1 − 𝑏) (1 + 𝑎)(1 − 𝑏) 𝐱𝐀 + 𝐱𝑩 4 (1 + 𝑏) + 𝐱𝑪, (6) với, xA, xB xC tọa độ đỉnh phần tử tam giác thật, xem Hình [4] Hình Ánh xạ phần tử thật phần tử chuẩn Các phương trình N-S-F mở rộng cho trường hợp hai Trần Hà Nam, Lê Tuấn Phương Nam 64 chiều (2D) viết dạng véc tơ sau: 𝜕𝑼 (7) + ∇ ∙ 𝑭𝒊𝒏𝒗 (𝑼) + ∇ ∙ 𝑭𝒗𝒊𝒔 (𝑼, ∇𝑼) = 0, 𝜕𝑡 Trong đó, 𝑼 biến bảo toàn; Finv =(Finv1 ,Finv2 ) với Finv1 Finv2 thành phần không nhớt theo phương Ox Oy, Fvis =(Fvis1 , Fvis2 ) với Fvis1 Fvis2 thành phần có độ nhớt theo phương Ox Oy 𝜌𝑢 𝜌𝑣 𝜌 𝜌𝑢𝑢𝑚 + 𝑝 𝜌𝑢𝑚 𝑣 𝜌𝑢 𝑈 = ( 𝜌𝑣 ) , 𝐹𝑖𝑛𝑣1 = ( 𝜌𝑢𝑣 ) , 𝐹𝑖𝑛𝑣2 = ( 𝜌𝑣𝑣 + 𝑝 ), 𝑚 𝑚 𝜌𝐸 (𝜌𝐸 + 𝑝)𝑢𝑚 (𝜌𝐸 + 𝑝)𝑣𝑚 𝐹𝑣𝑖𝑠1 𝑗𝑑𝑥 𝑗𝑑𝑦 𝜏𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 =( ) , 𝐹𝑣𝑖𝑠2 = ( ), 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑦 𝜏𝑥𝑥 𝑢 + 𝜏𝑥𝑦 𝑣 + 𝑞𝑥 𝜏𝑦𝑦 𝑣 + 𝜏𝑥𝑦 𝑢 + 𝑞𝑦 (8) Trong đó, u, v, um, vm thành phần theo phương Ox Oy vận tốc u um Để tính đạo hàm biến bảo tồn U thơng lượng khuếch tán khối lượng jd , biến phụ { 𝑺 = - 𝜇∇𝑼 𝑺𝒎 = - 𝐷𝑚 ∇𝜌 (9) Giả thiết miền tính tốn chia thành phần tử nhỏ khơng chồng lên Trong phương pháp DG, biến U, S Sm phần tử tính xấp xỉ thông qua hệ số Uh, Sh Smh theo công thức 𝑛 𝑼𝒉 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = ∑ 𝑈 𝑖 (𝑡)𝜑𝑖 (𝑥, 𝑦), 𝑖=0 𝑺𝒉 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = ∑𝑛𝑖=0 𝑆 𝑖 (𝑡)𝜑𝑖 (𝑥, 𝑦), (10) 𝑛 𝑖 (𝑡)𝜑 𝑖 (𝑥, 𝑺𝒎𝒉 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = ∑ 𝑆𝑚 𝑦), 𝑖=0 Trong đó,  hàm dạng, n bậc phép xấp xỉ Hàm dạng sử dụng báo hàm dạng Dubiner bậc viết cho hệ tọa độ gắn với phần tử tam giác chuẩn sau [3]: (11) 𝜑 = 1, 𝜑1 = 𝑎(1 − 𝑏), 𝜑 = (3𝑏 + 1) Thay phương trình (11) vào phương trình (7) (9), sau nhân phương trình với  lấy tích phân phần tồn miền tính tốn phần tử I, ta thu hệ phương trình ghép phương pháp DG sau 𝜕 ∫ 𝑈𝜑𝑑𝑉 − ∫ 𝛻𝜑𝐹𝑖𝑛𝑣 𝑑𝑉 + ∫ 𝜑𝐹𝑖𝑛𝑣 ⋅ 𝑛𝑑𝑉 𝜕𝑡 𝐼 𝐼 𝜕𝐼 thức Gauss với số điểm Gauss 2n+1 để đảm bảo độ xác Các hàm thơng lượng 𝜌 ∙ 𝒏, 𝑼 ∙ 𝒏, 𝑭𝒊𝒏𝒗 ∙ 𝒏 𝑭𝒗𝒊𝒔 ∙ 𝒏 tích phân biên xấp xỉ hàm thông lượng số Hàm thông lượng Lax-Friedrichs (LxF) sử dụng để tính 𝑭𝒊𝒏𝒗 ∙ 𝒏 Đây hàm thơng lượng đơn giản sử dụng phổ biến phương pháp DG Nó hàm thơng lượng có độ tiêu tán lớn nhất, nhiên giúp giải thuật DG ổn định [3] 𝐹𝑖𝑛𝑣 ⋅ 𝑛 = [𝐹𝑖𝑛𝑣 (𝑈 + ) + 𝐹𝑖𝑛𝑣 (𝑈 − ) − 𝐶(𝑈 + − 𝑈 − )], 𝐶 = 𝑚𝑎𝑥 (|𝒖− | + 𝑎𝑠− 𝑎𝑠+ , |𝒖+ | + ), 𝑀 𝑀 (13) (14) với 𝑎𝑠 = √𝛾𝑅𝑇 vận tốc âm thanh, γ tỉ lệ nhiệt dung, R số riêng khí M số Mach Thơng lượng thành phần có nhớt 𝑭𝒗𝒊𝒔 ∙ 𝒏 tính hàm thơng lượng trung tâm [3], (15) 𝑭𝑣𝑖𝑠 ∙ 𝒏 = [𝑭𝑣𝑖𝑠 (𝑼+ , 𝑺+ ) + 𝑭𝑣𝑖𝑠 (𝑼− , 𝑺− )] ∙ 𝒏, Hàm thông lượng cho biến phụ (16) 𝑼 ∙ 𝒏 = [𝜇+ 𝑼+ + 𝜇− 𝑼− ] ∙ 𝒏, (17) 𝜌 ∙ 𝒏 = [𝜌+ + 𝜌− ] ∙ 𝒏, Trong đó, dấu + – ký hiệu bên biên (Hình 1) Hệ phương trình (12) giải phương pháp Runge-Kutta bậc với bước thời gian Δt tính công thức [3] ∆𝑥𝐶𝐹𝐿 ∆𝑡 = , (18) (𝑛 + 1) |𝒖| + 𝑎𝑠 + 𝜇 𝑀 ∆𝑥 Trong đó, CFL hệ số Courant-Friedrichs-Lewy (CFL