TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI
Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất
Chúng ta sẽ phân tích sự đóng góp của các photon thực trong quá trình tán xạ đàn tính Các giản đồ Feynman sẽ minh họa những đóng góp quan trọng của các photon thực này.
Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ trong trường điện từ ngoài bức xạ photon thực “mềm”
Hình 2.1 minh họa quá trình tán xạ của electron trong điện từ trường Cụ thể, trong hình (2.1a), electron với xung lượng p bị tán xạ và phát ra một photon xung lượng k, dẫn đến việc năng lượng của electron giảm xuống còn p’ Trong hình (2.1b), electron cũng có xung lượng p, nhưng trước khi tán xạ, nó phát ra một photon k, làm giảm xung lượng của nó và sau đó tiếp tục bay vào điện từ trường ngoài, cuối cùng ra ngoài với xung lượng p’.
Theo công thức tính tiết diện tán xạ vi phân ta có:
Để tính toán hiệu ứng của spin electron, chúng ta cần xem xét sự định hướng spin trong trạng thái cuối cùng Khi chùm electron ở trạng thái đầu là không phân cực, ta phải tổng hợp các giá trị hình chiếu spin của electron ở trạng thái cuối và tính trung bình dựa trên các giá trị hình chiếu spin của electron ở trạng thái đầu.
(2.2) Theo quy tắc Feynman ta có các hàm truyền:
Thay (2.3) và (2.4) vào (2.2) ta được:
2 0 2 2 ext ext u p ie u( p') ip' ip p' k M p A q A q k.p' k.p k '
, (2.5) khi đó ta có biểu thức:
Giá trị nhỏ nhất của tiết diện tán xạ đàn tính được xác định từ giản đồ Feynman (1a) và công thức (1.22) Tích phân được thực hiện theo biến k trong vùng k < ΔE, với ΔE là năng lượng phân giải cho phép theo thực nghiệm.
Trong đó tiết diện tán xạ B :
Biểu thức tổng quát của B có dạng:
Tích phân này chỉ phụ thuộc vào n-4 thành phần của k trong argument của hàm
Trong biểu thức của B ta có phép biến đổi sau:
Để tính tích phân (2.9), cần chuyển đổi tích phân theo k và k0 thành tích phân theo k và ω, trong đó ω là độ dài của vectơ trong không gian con (n-4) chiều Ta đặt P = p = p' và Px = xp + p'(1 - x).
Trong biểu thức (2.9) thì k 0 chính là giá trị , viết lại biểu thức B dạng:
Tích phân (2.12) trong hệ toạ độ cực sử dụng công thức:
Kết quả ta thu được:
Tích phân theo k và với sự trợ giúp của công thức [9]
Bằng phương pháp này ta tìm được tiết diện tán xạ của bức xạ hãm như sau:
M E P E x x đại lượng là vận tốc của electron và là góc tán xạ.
Phương pháp min
Trong lý thuyết trường của QED, hiện tượng phân kỳ hồng ngoại thường xảy ra khi các tích phân phân kỳ ở vùng năng lượng xung lượng thấp Để đảm bảo các tích phân này hội tụ, cần quy định cho photon một khối lượng bổ trợ tối thiểu \( \lambda_{min} \) Điều này dẫn đến việc thay thế hàm truyền của photon \( \frac{1}{k^2} \) bằng hàm truyền \( \frac{1}{k^2 + \lambda_{min}^2} \) trong biểu thức dưới dấu tích phân.
Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét biểu thức 1/k + λ, với λ tối thiểu là 2 = m², trong đó m đại diện cho khối lượng của các hạt lepton Điều này tương đương với việc giới hạn tích phân ở mức k ≈ λmin, và trong kết quả cuối cùng, chúng ta sẽ để λmin tiến gần về 0.
Từ (2.8) ta dẫn lại công thức tính tiết diện tán xạ:
Chính tích phân này chứa phân kỳ hồng ngoại mà ta cần xem xét
Bây giờ, để tiện cho việc tính toán, ta thay thế p p 1 ; p ' p 2 và min Khi đó ta có k 0 k 2 2 ; pk pk Ek 0
Chú ý điều kiện 0 k , ở đây là giới hạn để tích phân (2.18) là phân kỳ hồng ngoại Khi đó ta có thể viết lại tích phân trên:
, (2.19) ở đây d là yếu tố góc đặc chứa xung lượng photon k Bây giờ ta sử dụng đồng nhất thức:
Bây giờ, ta có thể chứng minh rằng:
Thật vậy, trong toạ độ cầu ta thay d sin d d ,
Vậy công thức (2.23) đã được chứng minh Áp dụng (2.23) cho (2.22) ta thu được:
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng:
; (2.30) thay (2.30) vào (2.29) tha thu được:
Tiếp theo, ta tính tích phân thứ hai:
; thay vào (2.33) ta thu được:
, (2.37) thay kết quả thu được của tích phân I 1 ở (2.31), và tích phân I 2 ở (2.37), vậy công thức (2.27) đã được chứng minh
Sử dụng (2.27) vào (2.26), suy ra :
Trong hệ nghỉ ta có: p 1 0
, ta đặt E 2 mch y 2 , p 2 msh y 2 khi đó thay vào (2.38) :
E z m z mch y m ch y z ch y m ch y z sh y
1 1 z z 2 chy zshy chy zshy dz dz
E p m ch y z sh y m chy ch y z sh y dz
2 2 ln chy zshy dz dz m chy chy zshy chy zshy m chyshy chy zshy
2 n 2 chy shy y m sh y chy shy m sh y
0 0 0 lim ln lim ln lim ln 1 2 m x x m x x x x x m m x m x x x m x m x m x
J E p p E p ch y z sh y z sh ych y chy zshy
J y v y v dv h y ch y thy thv ch ythy sh y v sh y
Cuối cùng ta thu được:
(2.40) Để tiện cho việc so sánh với kết quả tính toán bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ở trên, ta đặt 2 y th 1 và cth y 2 1
, và E p 2 , 2 là năng xung lượng của hạt electron Từ (2.40) ta suy ra:
, (2.41) biểu thức này phân kỳ khi 0, trong đó:
Chúng ta tiến hành lập bảng so sánh kết quả tách phân kỳ thu được từ hai phương pháp khác nhau: phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp còn lại.
Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên
So sánh hai kết quả ta thấy phân kỳ bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên tồn tại khi n 4, còn bằng phương pháp min là khi 0.
Tiết diện tán xạ vi phân
Giá trị thặng dư của (2.17) khi n=1 ta nhận được:
Từ (1.41) và (2.42) tiết diện tán xạ vi phân trong vùng hồng ngoại được cho bởi công thức:
Ta thấy rằng khi n=4 thì (2.43) có giá trị:
Kết quả 2.44 cho thấy rằng các phân kỳ hồng ngoại của các bổ chính trong bài toán tán xạ gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn đã bị triệt tiêu lẫn nhau.
Chúng ta tính giá trị biểu thức IR trong giới hạn tương đối tính, P 1
Tương tự, trong giới hạn tương đối tính, q 2 m 2 ta có:
, (246) ở đây f là hàm phụ thuộc góc tán xạ /10/
Tiết diện tán xạ vi phân của electron trong trường điện từ bên ngoài, gần đúng theo lý thuyết nhiễu loạn, có thể được biểu diễn một cách chính xác.
0 vật lý đàn tính IR đàn tính d d d d d d d d