Thông tin tài liệu
Luận văn hoàn thành Trường Đại học Đại học KHTN - ĐHQGHN Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Duy Tiến TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Mảng phù hợp mảng hiệu martingale 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên 1.4 Một số dạng hội tụ mảng hai chiều biến ngẫu nhiên 1.5 Một số bổ đề 10 1.6 Khái niệm khả tích theo nghĩa Cesàro 15 Chương Luật số lớn hai số 16 2.1 Luật yếu số lớn 16 2.1.1 Luật yếu số lớn Feller 16 2.1.2 Luật yếu số lớn mảng khả tích 25 2.2 Luật mạnh số lớn 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận 33 Hướng phát triển khóa luận 33 Tài liệu tham khảo 34 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học khoa học tự nhiên ĐHQGHN hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học học sống Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn Cơ - Tin, Phịng sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo Bộ môn Lý thuyết xác suất thống kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tác giả trình học tập hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên khóa luận chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nguyễn Hữu Thành TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Luật số lớn đóng vai trị vơ quan trọng Lý thuyết Xác suất Luật số lớn J.Bernoulli công bố vào năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng Trong năm qua có hướng nghiên cứu luật số lớn mở rộng kết Luật số lớn trường hợp dãy (một số) cho trường hợp nhiều số Smythe (1972) thu luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều số biến ngẫu nhiên Luật số lớn Marcinkiewicz - Zygmund dãy nhiều chiều Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập Thời gian gần có nhiều báo nghiên cứu trường hợp hai số cho biến ngẫu nhiên thực nhận giá trị không gian Banach như: Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quang, Nguyễn Văn Huấn, Lê Văn Thành, Trên sở chúng tơi nghiên cứu đề tài LUẬT SỐ LỚN HAI CHỈ SỐ Bố cục khóa luận gồm chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm không gian Banach p- trơn đều, khơng gian Banach p- khả trơn, khái niệm tính bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm mảng phù hợp, mảng hiệu martingale, khả tích cấp r theo nghĩa Cesàro(r > 0) Đồng thời đưa số bổ đề chìa khóa để có kết Luật số lớn khóa luận • Chương Luật số lớn hai số Nội dung khóa luận trình bày chương này, bao gồn hai phần Phần 2.1 chúng tơi trình TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com bày luật yếu số lớn Feller thiết lập điều kiện khả tích điều kiện đủ để thu Luật yếu số lớn tổng kép biến ngẫu nhiên có số ngẫu nhiên Phần 2.2 thiết lập Luật mạnh số lớn cho mảng hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Kiến Thức Chuẩn Bị Trong tồn luận văn, ta ln giả sử (Ω, F , P ) không gian xác suất đầy đủ cố định Với a, b ∈ R, {a, b} max {a, b} kí hiệu a ∧ b a ∨ b Kí hiệu C số dương, số khơng thiết phải giống lần xuất Kí hiệu log logarit số log+ x = log (1 ∨ x) Với x ≥ 0, kí hiệu [x] số nguyên lớn không vượt x 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi không gian p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) modun trơn ρ(τ ) thỏa mãn: ρ(τ ) = O(τ p ) (khi τ → 0) modun trơn định nghĩa: x+y + x−y ρ(τ ) := Sup − 1; x, y ∈ E, x = 1, y = τ Nhận xét 1.1.2 Đường thẳng thực R trường hợp đặc biệt không gian Banach p-trơn với p = Định lí sau Assouad đưa điều kiện cần đủ để không gian Banach khả ly X không gian Banach p-trơn Định lí 1.1.3 (Assouad) Khơng gian Banach khả ly X không gian Banach p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) với q ≥ 1, tồn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com số C > cho với martingale {Sn , Fn , n ≥ 1} nhận giá trị X có: n E Sn p Si − Si−1 ≤ CE p q/ p (1.1) , ∀n ∈ N i=1 (Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund) Định lí 1.1.4 (Assouad, Hoffmann Jørgensen) Không gian Banach nhận giá trị thực X p-trơn (1 ≤ p ≤ 2) tồn số dương L cho với x, y ∈ X , ta có: p x+y + x−y p ≤2 x p +L y (1.2) p Hơn nữa, E không gian p-trơn (1 < p ≤ 2) khơng gian r-trơn ≤ r < p Chi tiết ta có đánh giá sau: ( x+y r p p + x − y r ) r ≤ r−1 (2 x p + C y p ) ≤ (2 x r p + C y r) r Định nghĩa 1.1.5 Không gian Banach E gọi không gian p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) tồn chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu cho E với chuẩn trở thành không gian p-trơn 1.2 Mảng phù hợp mảng hiệu martingale Cho (Ω, F , P ) không gian xác suất, X không gian Banach khả li B(X ) σ - đại số tất tập Borel X Mảng chiều {Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} σ - đại số F với số N x N Khi mảng chiều {Xmn , Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi mảng phù hợp thỏa mãn điều kiện sau (1) Xmn Fmn /B(X ) đo (2) Với n ∈ N m2 > m1 Fm1 n ⊂ Fm2 n với m ∈ N n2 > n1 Fn1 m ⊂ Fn2 m Kí hiệu F∞n = σ ( m≥1 Fmn ) , Fm∞ = σ ( n≥1 Fmn ) ∗ = σ (Fm−1,∞ ∪ F∞,n−1) Ta quy ước F0,∞ = F∞,0 = {φ, Ω} Fmn Một mảng phù hợp {Xmn , Fmn; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi mảng hiệu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ∗ martingale nếu: E {Xmn |Fmn } = 0, ∀m, n ∈ N Ví dụ sau cho thấy tồn khái niệm mảng hiệu martingale Ví dụ 1.2.1 Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng Với m ≥ 1, n ≥ 1, gọi Fmn σ - đại số sinh ∗ Xmn , E {Xmn |Fmn } = EXmn = {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} lập thành mảng hiệu martingale Ví dụ 1.2.2 Cho dãy (Xn , Fn, n ≥ 1) hiệu martingale (Xn , n ≥ 1) không độc lập Với n ≥ 1, đặt Xmn = Xn m = Xmn = m > 1; Fmn = Fn , m ≥ Ta có Xmn ∈ Fmn , ∀m, n ≥ ∞ ∗ Fmn = Fn−1, m = ∗ 1; Fmn Fn m > =σ n=1 Khi {Xmn , Fmn, m ≥ 1, n ≥ 1} mảng hiệu martingale không mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng Từ hai ví dụ ta thấy tập hợp tất mảng hiệu martingale thực rộng tập hợp tất phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên Mảng phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} gọi bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X tồn số C < ∞ thỏa mãn: P { Xmn > t} ≤ CP { X > t} , ∀t ≥ 0, m ≥ 1, n ≥ (1.3) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nhận xét 1.3.1 Nếu {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên phân phối bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X11 C=1 1.4 Một số dạng hội tụ mảng hai chiều biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4.1 Ta nói mảng {xmn} ⊂ E hội tụ tới x ⊂ E m ∨ n → ∞ với ε > tồn số nguyên dương n0 cho với (m, n) ∈ N2 mà m ∧ n ≥ n0 xmn − x < ε Định nghĩa 1.4.2 1) Mảng biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X m ∧ n → ∞ với ε > 0, lim P sup Xkl − X > ε = m∧n→∞ Khi đó, ta kí hiệu k≥m l≥n lim Xn = X h.c.c Hoặc Xn → X h.c.c m ∧ n → m∧n→∞ ∞ 2) Cho mảng biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1}, đặt m n Smn = Xkl Chuỗi k=1 l=1 ∞ ∞ m=1 n=1 Xmn gọi hội tụ hầu chắn Smn hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên E- giá trị m ∧ n → ∞ Khi đó, ta nói ∞ ∞ m=1 n=1 Xmn hội tụ h.c.c Định nghĩa 1.4.3 Mảng biến ngẫu nhiên E- giá trị {xmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} gọi hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên E- giá trị X m ∧ n → ∞ với ε > 0, lim P ( Xmn − X > ε) = m∧n→∞ P Khi đó, ta kí hiệu Xmn → X m ∧ n → ∞ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Do (2.4) nên để chứng minh Bmn → m ∧ n → ∞ ta cần chứng minh P max 1≤k≤u a m mn k l (V ′ mnij − Cmnij ) > i=1 j=1 1≤l≤vm ta có ε 2 → m ∧ n → ∞ E (V ′ mnij − E (V ′ mnij |Fij ) |Fij ) = với m ≥ 1, n ≥ 1, ≤ i ≤ um, ≤ j ≤ Áp dụng bất đẳng thức Markov bổ đề (1.5.2) ta P max 1≤k≤um amn 1≤l≤vn k (V ′ mnij − Cmnij ) > i=1 j=1 2p ≤ p p E max 1≤k≤um ε amn 1≤l≤vn u m C ≤ p p ε amn i=1 l k i=1 j=1 ′ E Vmnij − Cmnij p 2 p l ε (V ′ mnij − Cmnij ) → m ∧ n → ∞ (do (2.6)) j=1 Định lí chứng minh hồn tồn Định lí 2.1.4 Cho {Xij ; i, j ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p - khả trơn X (1 ≤ p ≤ 2) Cho {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} , {bmn , m ≥ 1, n ≥ 1} hai mảng số dương cho amn ր ∞ bmn ր ∞ m ∨ n → ∞ Cho {kmn ; m ≥ 1, n ≥ 1} mảng số nguyên dương cho kmn → ∞ m ∨ n → ∞ kmn → m ∨ n → ∞ apmn (2.8) 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Giả sử tồn hàm không giảm nhận giá trị dương g [0, ∞) thỏa mãn ∞ a→0 j=1 Và kmn Sup p m≥1,n≥1 amn kmn −1 Nếu Sup Sup a>0 m≥1,n≥1 kmn Và Lim Sup a→∞ m≥1,n≥1 j gp Lim g (a) = 0, kmn j=1 um (2.9) g (a)} = (2.12) i=1 j=1 um i=1 j=1 Thì max 1≤k≤um 1≤l≤vn k amn l P (2.13) (Xij − Cmnij ) → m ∨ n → ∞ i=1 j=1 Hơn nữa, {Tn ; n ≥ 1} , {τn ; n ≥ 1} dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (2.4), Tm amn τn P (2.14) (Xij − Cmnij ) → i=1 j=1 Trong Cmnij = E (Xij I ( Xij < g (kmn )) |Fij ) ′ Chứng minh Đặt bmn = g (kmn ) , Vmnij = Vij I ( Xij < bmn) Để chứng minh (2.13) ta chứng tỏ giả thiết định lí 2.1.1 thỏa mãn Từ (2.12) lấy a = kmn bmn = g (kmn ) (2.1) thỏa mãn Bây ta chứng tỏ điều kiện (2.2) thỏa mãn Vì g hàm khơng giảm nên apmn um E ′ Vmnij − Cmnij p ≤C i=1 j=1 apmn um ′ E Vmnij p (2.15) i=1 j=1 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (bất đẳng thức Cr ) =C +C apmn p E Xij I ( Xij < g (1)) apmn um um i=1 j=1 ∞ E Xij I (g (l − 1) < Xij ≤ g (l)) p i=1 j=1 l=1 (2.16) = C.Mmn + C.Nmn Do (2.8), (2.9) (2.11), ta có Mmn = ≤ ≤ ≤ apmn apmn um apmn um ∞ E Xij I g 1/(l + 1) < Xij ≤ g 1/l i=1 j=1 l=1 um v ∞ gp P l gp (l − 1) i=1 j=1 l=1 v ∞ i=1 j=1 l=2 g p 1/l g p (1) + (l + 1) g − gp < Xij ≤ g P l Sup Sup a>0 m≥1,n≥1 kmn ∞ kmn apmn p l=1 → m ∨ n → ∞ Xij > g um l l aP { Xij > g (a)} i=1 j=1 (2.17) Với Nmn , ta có Nmn ≤ apmn um g p (l) P {g (l − 1) < Xij < g (l)} i=1 j=1 l=2 ≤ g p (1) + apmn um vm vm kmn um apmn i=1 j=1 kmn −1 P { Xij > g (1)} (g p (l + 1) − g p (l)) P { Xij > g (l)} i=1 j=1 l=1 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com = g p (1) kmn −1 p kmn apmn kmn um i=1 j=1 p P { Xij > g (1)} um vm (g (l + 1) − g (l)) (lP { Xij > g (l)}) l i=1 j=1 l=1 um kmn = g p (1) p sup sup aP { Xij > g (a)} amn a>0 m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1 um vm kmn −1 p p (g (l + 1) − g (l)) kmn lP { Xij > g (l)} + p amn l=1 l kmn i=1 j=1 + apmn Lại (2.8) (2.11) ta có um kmn sup sup aP { Xij > g (a)} → m ∨ n → ∞ p amn a>0 m≥1,n≥1 kmn i=1 j=1 Mặt khác từ (2.10) (2.12) bổ đề Toeplitz ta có u kmn −1 v m m (g p (l + 1) − g p (l)) kmn lP { Xij > g (l)} p amn l kmn i=1 j=1 l=1 → m ∨ n → ∞ Nmn → m ∨ n → ∞ (2.18) Từ (2.15) , (2.17) (2.18) suy giả thiết (2.2) thỏa mãn Theo định lí 2.1.1 ta thu kết (2.13) Áp dụng định lí 2.1.3 ta có kết (2.14) Định lí chứng minh hồn tồn Hệ 2.1.5 Cho ≤ p ≤ < r < p Cho {Xij ; i, j ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p - khả trơn X Giả sử {Vmn ; m, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X Nếu Lim aP { X r > a} = a→∞ 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com max p 1≤k≤m (mn) 1≤l≤n k l P (Xij − Cmnij ) → m ∨ n → ∞ (2.19) i=1 j=1 Trong r Cmnij = E (Xij I ( Xij ≤ mn) |Fij ) 1 Chứng minh Lấy g (t) = t /r , un = = n, kmn = mn amn = (mn) /r điều kiện (2.8) , (2.9), (2.11) (2.12) thỏa mãn Mặt khác, từ bất đẳng thức kmn p p −1 r ,suy điều kiện (2.10) l r −2 ≤ C.kmn l=1 thỏa mãn Do ta thu kết (2.19) Hệ 2.1.6 Cho < r < Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy đại lượng ngẫu nhiên bị chặn phần tử ngẫu nhiên đại lượng X Nếu Lim aP {|X|r > a} = a→∞ 1 max n r 1≤l≤n l P (Xj − E (Xj I (|Xj |r ≤ n) |Fj )) → n → ∞ j=1 Fj = σ (Xj , ≤ i ≤ j) 2.1.2 Luật yếu số lớn mảng khả tích Định lí 2.1.7 Cho ≤ r < p ≤ {Xmn ; m, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p - khả trơn X Giả sử {Xmn ; m, n ≥ 1} khả tích cấp r theo nghĩa Cesàro Cho {Tn; n ≥ 1} {τn ; n ≥ 1} dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương cho Lim P {Tn > un } = Lim P {τn > un} = n→∞ n→∞ (2.20) 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tm 1 r kmn τn P (2.21) (Xij − E (Xij |Fij )) → m ∧ n → ∞ i=1 j=1 Chứng minh Với ε > tùy ý Tm τn (Xij − E (Xij |Fij )) > ε P k 1/r mn ≤P k /r Tm τn i=1 j=1 mn i=1 j=1 (Xij − E (Xij |Fij )) > ε (τn ≤ ) (Tm ≤ um ) (2.22) +P {Tm > um } + P {τn > vn} Với m, n, ≤ i ≤ um , ≤ j = vn, đặt V ′mnij = Xij I ( Xij r ≤ kmn ) , V ′′mnij = Xij I ( Xij r > kmn) U ′mnij = E V ′mnij |Fij , U ′′mnij = E V ′′mnij |Fij Ta có P k /r Tm τn mn i=1 j=1 ≤P um (Xij − E (Xij |Fij )) > ε 1/r kmn i=1 j=1 k i=1 j=1 =P max max k 1/r 1≤k≤um 1≤l≤vn mn max max ≤P k 1/r 1≤k≤um 1≤l≤vn mn l k (Tm ≤ um ) (τn ≤ ) (Xij − E (Xij |Fij )) > ε l (Xij − E (Xij |Fij )) > ε i=1 j=1 k l V ′mnij − U ′mnij i=1 j=1 26 > ε/2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com +P max max k 1/r 1≤k≤um 1≤l≤vn k V ′′mnij − U ′′mnij i=1 j=1 mn C ≤ p p ε kmn C ≤ r ε kmn ≤ + um E V ′mnij − U ′mnij E V ′′mnij − U ′′mnij r (theo bổ đề 1.5.2) i=1 j=1 C p/r εp kmn um E Xij p I ( Xij C p/r εp kmn r i=1 j=1 r j=1 um > kmn ) ( theo bất đẳng thức Cr ) i=1 j=1 um ≤ kmn ) E Xij p I ( Xij C sup εr m≥1,n≥1 kmn E Xij r I ( Xij ≤ p ε > /2 i=1 j=1 C εr kmn i=1 + um um l r ≤ kmn ) E Xij r I ( Xij i=1 j=1 r > kmn ) → m ∧ n → ∞(do bổ đề 1.5.1 với β = p (1.13)) (2.23) Vì từ (2.20) , (2.22) (2.23) ta có kết luận (2.21) 2.2 Luật mạnh số lớn Trong phần thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p- trơn Đầu tiên luật mạnh số lớn cho mảng hiệu martingale 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Định lí 2.2.1 Cho α > 0, β > < p ≤ Cho {Xij ; ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} họ m.n phần tử ngẫu nhiên không gian Banach khả li Khi < p ≤ ta giả thiết thêm {Xij , Fij ; ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} mảng hiệu martingale không gian Banach p- trơn Nếu ∞ ∞ i=1 j=1 Thì m α m nβ E Xij p p < ∞ (iα j β ) (2.24) n (2.25) Xij → h.c.c m ∨ n → ∞ i=1 j=1 Chứng minh Đặt m n Smn = Xij , Tkl = i=1 j=1 max 2k ≤m≤2k+1 2l ≤n≤2l+1 S2 k l Smn − mα nβ (2αk 2βl ) với ε > theo bất đẳng thức Markov ta có ∞ 2k i=1 ∞ ≤C k=1 l=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ≤C i=1 j=1 k=[log i] l=[log j] ∞ ∞ ≤C i=1 j=1 p 2l j=1 E Xij p (2αk 2βl ) E Xij p p ≤C (2αk 2βl ) ∞ (do(1.7)) ∞ i=1 j=1 E Xij p 2α[log i] 2β[log j] p E Xij p p < ∞ (theo 2.24) (iα j β ) theo bổ đề 1.5.1 ta có S2 k l → h.c.c k ∨ l → ∞ (2αk 2βl ) (2.26) tiếp theo, với ε > tùy ý, ta có P {|Tkl | > ε} ≤ P ε S2 k l > αk βl (2 ) 28 +P max k+1 2kl≤m (2αk 2βl ) ≤P ≤P ≤ 2p p E S2 k l (2αk 2βl ) εp +P p + ε Smn > k+1 (2αk 2βl ) 2 2kl≤m S2 k l max ≤n αp nβp m m=1 n=1 m (2.29) n Xij i=1 j=1 mα nβ (2.30) → h.c.c Lp với m ∨ n → ∞ Chứng minh Từ ∞ p 2l X ij j=1 αk 2βl 2k i=1 ∞ E k=1 l=1 ∞ ∞ ≤C 2k i=1 k=1 l=1 p 2l j=1 E Xij p (2αk 2βl ) (theo bổ đề 1.5.2) ∞ ∞ ≤C k=1 l=1 E Xij p p < ∞ theo (2.29) (iα j β ) (2.31) theo bổ đề 1.5.3, ta suy 2k i=1 2l j=1 Xij 2αk 2βl Đặt m → h.c.c k ∨ l → ∞ n Smn = Xij , m ≥ 1, n ≥ i=1 j=1 Và Tkl = max S2 k l Smn − mα nβ 2αk 2βl với k ≥ 1, l ≥ 2k ≤m
Ngày đăng: 13/07/2022, 16:14
Xem thêm:
