Mô hình phục vụ đán đông - Lê Viết Sơn

Mô hình phục vụ đán đông - Lê Viết Sơn

BÀI THUYẾT TRÌNH MÔ HÌNH

TOÁN KINH TẾ

Đề tài : Mô hình phục vụ đám đông

TÁC GIẢ: LÊ VIẾT SƠN

GVHD: Ths Nguyễn Vũ Tiến

I.Các đặc trưng cơ bản của hệ thống phục vụ

đám đông

1 Sơ đồ chung của hệ thống phục vụ đám đông

Trong nhiều trường hợp bài toán ứng dụng sơ đồ có dạng sau:

Có một dòng yêu cầu các hệ thống xếp thành hàng , các thiết bị của

hệ thống phục vụ các yêu cầu,các yêu cầu đi ra khỏi hệ thống trong dạng như dòng vào

2.Phân loại dòng vào

a.Dòng vào tiền định: Các yêu càu đi đến hệ thống tại các thời điểm cách đều nhau một khoảng bằng a Rõ ràng là hàm phân bố sự kéo dài của các khoảng thời gian giữa các thời điểm liên tiếp của việc đi tới các yêu cầu có dạng:

F (x) = ; 0 < a <

b.Dòng vào Poisson : Ở đó việc đi đến của các yêu cầu ứng với quá trình Poisson với tham số ʎ (0 <ʎ< ) và xác suất để có n yêu cầu đi tới trong khoảng thời gian (0, t) được phân bố theo luật Poisson

dừng(nghĩ là mật độ dòng không đổi (t)= ʎ(t) được tính theo công

Ta xét phân bố lũy thừa(mũ) của thời gian phục vụ bởi thiết bị ℥ bởi thiết bị

F(t)=P= 1- (1.3)

Trong đó: v là đại lượng hằng số, tỷ lệ nghịch với thời gian trung bình phục vụ ( t= ), hoặc v bằng trung bình số các yêu cầu được thiết bị phục vụ trong 1 đơn vị thời gian.

Chú ý : công thức 1.3 không phụ thuộc vào việc nó đã kéo dài trong bao lâu

•

4.Phân loại các hệ thống phục vụ

Trong các bài toán phục vụ đám đông xuất hiện cả vấn đề kỷ luật xếp hàng Nếu trong hệ thống không có xếp hàng thì yêu cầu đến được phục vụ ngay bởi bất cứ thiết bị nào Khi có xếp hàng thì có các dạng khác nhau của ky luật xếp hàng Đơn giản và tự nhiên

nhất phục vụ theo thứ tự xếp hàng là “ai đến trước thì được phục

vụ trước” nhưng có thể xảy ra trường hợp có sự ưu tiên của một vài yêu cầu so với các yêu cầu khác, nghĩa là chúng được phục vụ

không theo xếp hàng,chẳng hạn điện thoại giữa các thành phố được

ưu tiên hơn điện thoại trong thành phố

Vì dòng vào các yêu cầu và thời gian phục vụ chúng là ngẫu

nhiên nên có thể xảy ra tình huống là tất cả các thiết bị trong hệ thống đều bận.Trong trường hợp này yêu cầu hoặc bị xóa bỏ( rời khỏi hệ thống) hoặc xếp vào hàng Các hệ thống loại thứ nhất gọi

là hệ thống với các từ chối, các hệ thống loại thứ hai gọi là hệ

thống chờ đợi

Ví dụ: hệ thống có chờ đợi là các đơn vị phục vụ sinh hoạt

Các hệ thống có chờ đợi được phân chia theo cách tổ chưc xếp hàng:

Các hệ thống với thời gian chờ đợi không hạn

chếcuar các yêu cầu

Các hệ thống mà đối với chúng sự xếp hàng bị giới hạn bởi chỗ xếp hàng

Các hệ thống với thời gian chờ đợi hữu hạn, hoặc

ngẫu nhiên

5, Trạng thái của hệ thống

a) Trạng thái hệ thống và quá trình chuyển trạng thái

• Trạng thái của hệ thống phục vụ, ký hiệu là (t), là khả năng kết hợp dòng vào và dòng

• Ta gọi tập hợp hay một số đặc trưng mà trên cơ sở đó có thể phân

biệt sự tồn tại của hệ thống trong những tình trạng khác nhau tại một thời điểm là trạng thái của hệ thống , kí hiệu là (t)

• Việc hệ thống tồn tại ở một trạng thái cụ thể là một biến cố ngẫu nhiên nên tương ứng với mỗi trạng thái có một giá trị xác xuất gọi là xác suất trạng thái của hệ thống, kí hiệu là (t)

• Sau một thời gian hệ thống có thể chuyển từ trạng thái (t) đến trạng thái (t + ) nhờ sự tác động của các yếu tố ngẫu nhiên nào đó

Ta gọi xác suất của sự kiện đó là xác suất chuyển trạng thái Ta kí

hiệu cường độ của dòng biến cố làm cho hệ thống chuyển từ (t) đến (t + ) là (t).

•

b) Sơ đồ trạng thái và hệ phương trình trạng thái

Người ta dung một sơ đồ mô tả toàn bộ các trạng thái và quá trình chuyển

Đạo hàm bậc nhât theo thời gian của xác xuất trạng thái (t) bằng tổng của một

số số hạng;Mỗi số hạng là tích của cường độ dòng biến cố với xác suất trạng thái (dấu + nếu mũi tên đi tới, dấu – ngược lại)

=(t) - (t)

Với điều kiện chuẩn là =1

Điều kiện chuẩn thể hiện tập hợp (t) là một nhóm đầy đủ các biến cố, tức là tại một thời điểm hệ thống phải tồn tại ở một và chỉ một trạng thái nói trên.

•

3) Quá trình hủy và sinh – lời giải của hệ phương trình trạng thái

Với điều kiện chuẩn là :

Trong trường hợp hệ dừng ta có hệ phương trình sau:

b)Lời giải của hệ (1.1)

Công thức này sẽ được sử dụng làm giảm nhẹ việc giải hệ

phượng trình trạng thái các hệ thống phục vụ công cộng trình bày trong chương này Trong đó và , (v là con số trung bình các yêu cầu được một thiết bị hay kênh phục v)

Nếu đặt là số thiết bị cần thiết để phục vụ thì

(1.2)

•

6.Các tiêu chuẩn chất lượng của hệ thống phục vụ đám đông:

Bài toán cơ bản của lý thuyết phục vụ đám đông là xác định tính hiệu quả của

hệ thống phục vụ Hiệu quả hoạt động của hệ thống phục vụ được đặc trưng bởi một số lớn các tiêu chuẩn chất lượng khác nhau:

-Xác suất phải loại yêu cầu trong hệ thống phục vụ (xác suất từ chối) ký hiệu là :

II.Hệ thống phục vụ đám đông có từ chối cổ điển (Hệ

thống ERLANGO)

1 Mô tả hệ thống

• Hệ thống phục vụ đám đông có n kênh phục vụ, năng suất các kênh bằng nhau và bằng v, dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật độ ʎ Thời gian phục vụ 1 yêu cầu của

kênh tuân theo quy luật số mũ

• Nguyên tắc phục vụ của hệ thống như sau: mỗi yêu cầu đến hệ thống gặp lúc có ít nhất một kênh rỗi thì được nhận vào phục

vụ tại một kênh rỗi bất kỳ, ngược lại thì bị từ chối và phải đi ra khỏi hệ thống

2.Quá trình thay đổi trạng thái và sơ đồ trạng thái của hệ thống

b.Sơ đồ chuyển trạng thái:

Sơ đồ thiết lập trên cơ sở phân tích tính chất của các dòng

Poisson dừng như sau:

-Nhờ tính đơn nhất của dòng yêu cầu mà khi hệ thống ở trạng

thái nó chỉ có thể chuyển đến trạng thái , không thể chuyển thẳng đến trạng thái

•

- Nhờ tính không hậu quả của các dòng biến cố nêu trên mà

cường độ của các dòng biến cố không phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống khi nó tác động đến

- Với tính chất dừng ta có mật độ dòng yêu cầu không đổi, cũng như vậy mật độ dòng phục vụ chỉ phụ thuộc vào số kênh đang phục vụ

- Những phân tích trên cũng ứng dụng cho việc lập sơ đồ chuyển trạng thái của các hệ thống thống tương tự, vì vậy với các hệ

thống sau ta sẽ không ngắc lại

3 Hệ phương trình trạng thái và các xác suất trạng thái

Thay vào điều kiện chuẩn ta có:

(2.3)

Ký hiệu P( là xác suất đại lượng ngẫu nhiên phân phối

Poisson nhận giá trị k và R( là xác suất tích lũy tương ứng ta có:

Từ đó : = (2.4)

Các giá trị P( và R( được tính trong bảng giá trị phân phối Poisson(Xem bảng 1)

•

4.Các chỉ tiêu đánh giá hoạt động của hệ thống

Đới với hệ thống này các chỉ tiêu cơ bản đánh giá hệ thống là:

*Xác suất hệ thống có n kênh rỗi (nghĩa là số kênh phục vụ = 0):

*Xác suất hệ thống có n kênh bận (hay xác suất một yêu cầu đến

hệ thống bị từ chối ):

•

Đây cũng là hiệu suất lý thuyết tối đa của hệ thống

*Xác suất phục vụ(xác suất 1 yêu cầu đến hệ thống

được nhận phục vụ) là , đó là tỷ lệ các đối tượng được

III.Hệ thống chờ với độ dài hàng chờ và thời gian hạn chế

1 Mô tả hệ thống

• Hệ thống phục vụ có n kênh phục vụ, năng suất các kênh bằng nhau và bằng v, dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật độ ʎ Thời gian phục vụ 1 yêu cầu của kênh tuân

theo qui luật số mũ

• Nguyên tắc phục vụ: Một yêu cầu đến hệ thống gặp lúc ít nhất

có 1 kênh rỗi thì được nhận phục vụ cho đến thỏa mãn tại 1 trong các kênh rỗi đó Ngược lại nếu tất cả các kênh đều bận thì xếp hàng chờ bé hơn m Cần xác định các chỉ tiêu phân tích

hệ thống

2 Quá trình thay đổi trạng thái và sơ đồ trạng thái của hệ thống

b.Sơ đồ chuyển trạng thái

Sơ đồ được thiết lập trên cơ sở phân tích tính chất của các dòng Poisson như đã nói ở hệ thống Erlango

•

c.Hệ phương trình trạng thái và các xác suất trạng thái

Độ dài trung bình của hàng

Luật phân bố độ dài chờ đợi của yêu cầu cho tới khi được phục

vụ cho bởi công thức:

P (3.10)

•

Độ dài trung bình cuả thời gian chờ đợi:

Thời giant rung bình bị mất (xóa) trên sự chờ đợi bởi các yếu tố

đi đến hệ thống trong khoảng thời gian T bằng:

= (3.14)

•

IV.Các bài toán phục vụ trong các hệ thống hỗn hợp

1 Các hệ thống với thời gian chờ đợi trung bình hạn chế trong hàng

*Điều kiện:

-Có dòng vào các yêu cầu với mật độ ʎ đi tới hệ thống gồm n

thiết bị có năng suất như nhau

-Thời gian phục vụ của thiết bị cho mỗi yêu cầu là một đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố lũy thừa với tham số v=

Trong đó: là thời gian trung bình cần thiết để phục vụ yêu cầu.-Nếu lại có một yêu cầu mới đến mà các thiết bị đều bận thì nó tự xếp vào hàng và chờ phục vụ Thời gian lưu lại hàng là ngẫu

nhiên và tuân theo luật phân bố lũy thừa mũ với tham số

Trong đó: :thời gian chờ đợi trung bình

•

Các sự phụ thuộc đối với hệ thống n thiết bị(kênh phục vụ) trong việc xác định các đại lượng đặc trưng cơ bản của hệ thống dẫn ra dưới đây:

1.Xác suất để mọi thiết bị tự do (rỗi )khỏi sự phục vụ:

3.Xác suất để cả n thiết bị của hệ thống đều bận và s yêu cầu chờ phục vụ:

2 Hệ thống với hạn chế thời gian có mặt của yêu cầu trong hệ thống

Hệ thống này có đặc trưng là không phụ thuộc vào việc yêu cầu được phục vụ hay phải xếp hàng, nó sẽ rời khỏi hệ thống nếu thời gian ó mặt của yêu cầu trong hệ thống là ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố lũy thừa với tham số

Đối với trường hợp dừng nghĩa là kht thì hệ phương trình vi phân (4.13)trở thành hệ các phương trình đại số ta có:

Xác suất phục vụ một yêu cầu bất kì có thể được xác định như là tích kỳ vọng toán học của con số các yêu cầu tới tỷ số các mật độ phục vụ trên các yêu cầu đến hệ thống: