Giáo trình Đại số sơ cấp và thực hành giải toán: Phần 2

Giáo trình Đại số sơ cấp và thực hành giải toán: Phần 2 gồm có 2 chương với những nội dung cụ thể của từng chương như sau: Chương 5 phương trình và hệ phương trình, chương 6 bất đẳng thức và bất phương trình. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

Trang 1

Chương 6 PHƯƠNG TRÌNH — HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1 PHƯƠNG TRÌNH Cho hai ham số của n biến phức xụ, xạ, BX), X, x„) Ta gọi hợp n số phức x

điển trong khơng gian phức n chiều f(x,

X,) VA B(X;, Xey eee, Ny) được xem là các hàm một biển f(x), g(x) trong C" Giả sử f(x) cĩ miền xác định là D, c C*, gíx) cĩ miền xác định là D, C* x) va Cla mot Ta định nghĩa phương trình f(x) = g(x) là kí hiệu của hàm mệnh để ' "giá trị của hai hàm sé f(%) va g(x) là bằng nhau”

Ta gọi x là ẩn của phương trình (1); nếu coi f và g là hàm của n biến xạ x„ x„ trong khơng gian € thi (1) là phương trình của n ẩn x,,

x„ Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số được gọi là miễn xác định (tập xác định) của phương trình (1), đố là tập S=D.9D

Nếu x lấy giá tri a e § mà f{a) = gía) là một đẳng thức đứng thì a

được gọi là một nghiệm của phương trình (1), hoặc a thoả mãn phương

trình (1), hoặc phương trình (1) được thoả mãn với x,

Trang 2

Cĩ thể xay ra mot trong ba trường hợp sau đây:

1) Phương trình 0ố nghiệm: Trong trường hợp này, khơng cĩ giá trị a nào của 8 sao cho f(a) va gla) bang nhau, tức là f(a) = gía) là một mệnh

để sai với mọi a 6 §, Nĩi khác đi, tập nghiệm của M của phương trình

(1) là rỗng: M = Ø,

2) Bat ki gid trị a nào của x (a e 8) cũng thoả mãn phương trình, tức

là M= 8, Trong trường hợp nây phương trình là hẳng đẳng trơi ae 8 thỏa 3ĩ ít nhất một giá trị (nhưng khơng phải mọi giá trị mãn phương trình (M + Ø, Mc 8) ' rong hai trưởng hợp 2) và 3) ta nĩi rằng phương trình cĩ nghiệm,

Giải một phương trình là tìm tập hợp nghiệm M của nĩ, Nếu M được biểu thị bồi một hay nhiều cơng thức thì chúng được gọi là nghiệm

tổng quát của phương trình M cĩ thể là một tập hữu hạn hay võ hạn

“Trong tất cả các định nghĩa trêa, thay cho trường C, tạ cĩ thể lấy

một trường số K-bất kì (cĩ thể là Q, R) làm trường cĩ sở, Khi đĩ cần chú

ý rằng tập hợp nghiệm của phương trình phụ thuộc bào trường cơ sở Vi du 1 Phương trình (x? ~ 3)(x* + 4) =0 võ nghiệm n Q, tập nghiệm trên R là [/3., -V3}, tập nghiệm trên © a (Ja 5 \ A s là [⁄3, -V3, 3i, -2i) Ví dụ 2 Phương trình trên R Ix} cĩ tập ngh

la M= {x © R/x> 0}, tap hgp tất cả các số thực khơng âm

1.2, PHAN LOAI PHUONG TRINH

‘Tuy theo f(x) va g(x) la biéu thite tốn học loại gì (§1 chương 1) mà

phương trình được gọi tên theo loại đĩ

Nếu cả hai biểu thức f(x) và g(x) đều là biểu thức sổ thi (1) là

phương trình đại số trong trường hợp trái lại thì (1) là phương trình

siêu tiệt,

Trang 3

Nếu cả hai biểu thức Í{x) và gíx) đều là biểu thức đại số hữu tỉ (da thức hoặc phân thức hữu tỉ) thì (1) gọi là phương trình đại sở hữu tỉ

Date biệt, nếu f(w) và g@) đều là đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) thì (1) được gọi là phương trình đã thức hoặc phương trình đại

trá số nguyên Nếu

lại, ít nhất một trong hai biểu thức f(x) hoặc g(x) 1a phân thức hữu

tỉ thực sự và biểu thức cịn lại là đa thức thì (1) được gọi là phương trình phân thức

Nếu ít nhất một trong hai biểu thức f@) hoặc gíx) là đại số võ tỉ (tức là cĩ chứa căn số của ẩn) và biểu thức cịn lại là hữu tỉ thì (1) được Hoi là phương trình 0õ tỉ Ví dụ: Phương trình đa thứt v #1 Z4 +1, Phương trình phân thức: Phương trình vo ti: ~_ Phương trình siêu việt: sinx + cosx log(x + 1) ~

1.3 PHƯƠNG TRINH CHUA THAM SO

Cho hàm số f(s), ngồi đổi số ra cịn cĩ các chữ a, b, ¢ Nếu trong việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, e như là đã biết thì

chúng được gọi là tham sĩ, hay thơng số, hay tham biển, Giả sử a = œ,b

B e = y là tập hợp giả trị bằng số nào đĩ của các chữ a, b, Nếu

thay các giá trị đĩ vào hầm số f thì ta được f(x, a, fh, y) xác định một ham số nào đĩ của đổi số x thi a J y được gọi là hệ thống giá trị thưa

nhận được của các tham số Nếu Í(x, œ, Í † ii trị bằng số e

khơng cĩ nghĩa với mại la x trên trường số ä cho thì œ ƒ y là một hệ thống tri khơng thừa nhận được của các tham số:

Phương trinh f(x, a, b , ¢) = 0 với Ẩn số x e C* và các tham số a,

b, , e được gọi là phương trình chứa tham số Khi cĩ một hệ thống gi

trị thừa nhận được của tham số, phương trình này trỏ thành phương

trình eụ thể:

Trang 4

với ẩn số x € C"

tồn xác định Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả các nghiệm của nĩ với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận được của các tham số:

Vĩ dụ 1 Các phương trình ax+b=0

ax’ +bx+e=0

là các phương trình chứa tham số a, b, « tham số này cĩ thể lấy mọi

giả trị thực bất kì Với mỗi hệ thống giá trị (thực bất kì, đếu thừa nhận được) của các tham số ta được một phương trình cụ thể và cĩ thể giải chúng để tìm tập nghiệm Chẳng hạn với phương trình (*®): ~ Vớia=1,b= ~'Vơla=b=le= €=3 thì tập nghiệm M = {1, 3} 3thì M=Ø, v.v Vĩ dụ 3 Phương trình +x+1=0

chứa tham Các giá trị thừa nhận được của tham số ä được xác định bởi điều kiện a > 0

Ví dụ 3 Phương trình

ox? + (bax + vi

b Các giá trị thừa nhận được của các tham số được

xác định bởi điểu kiện: lai <1 và [bị > lai Ching han a tham số, =0 là các giá trị khơng thừa nhai được của các 1.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Cho m phương trình f,(x) = g(x), Ê(x) = B60) oer fol) = #n(X), miền xác định lấn lượt là §,, §¿, §„ (Cĩ thế xem f(x) và g(x)

ác hầm n biến, bằng cách xem biến x e C° như trên)

Trang 5

Hệ m phương trình fi@0=g0) — @) f6)=g,() (m) trong đĩ mỗi phương trình déu được xét trên miền xác định chung hệ (S=( ÌS,) là kí hiệu của hằm mệnh đề:

Giả trị tại x của hai hàm số:

trong từng phương trình là bằng nhau”

Mot gid tri a e § của x làm cho từng phương trình đều trở t

đẳng thute ding: f(a) = g(a), i = 1, 2 ảnh m, được gọi là một nghiệm của

he Trong trường hợp này ta nĩi hệ phương trình cĩ nghiệm Nếu mỗi

Trang 6

2.2 CAC ĐỊNH LÍ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Quá trình giải một phương trình là quả trình biển đổi phương trình đĩ để đi đến một phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Nếu các phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm của phương

trình thì phương trình đã cho được biến đổi tưởng đương, cịn nếu làm

thay đối miễn xác định của phương trình thì cĩ thể tập hợp nghiệm của phương trình đã cho cũng đã bị thay đổi, Muốn biết rõ hơn, ta dựa vào các định lí sau

Định lí 1 Cho phường trình fix) = g(x) Nếu hạ cĩ nghĩa trong miễn xác định của phương trình đã cho thị: ffx) = ce) <> fix) + hid = yl) + hex Chưng minh: Trong (1) cho x một giá trị a nào đĩ thuộc miển xác định của phương trình f(x) = g(x), thi ta fla) = ua} <> fla) + h(a) = g(a) + h(a) là một mệnh để luơn luơn đúng, là một tính chất của đẳng thức Vậy (1) là ing dung

H6 qué 1 C6 thé chuyén cic hang te tit vé nay sang v6 kia cia hương trình, nhưng phải đi dấu của nĩ

That vậy, nếu ta cơng vào hai về của phương trình

f(x) + h(x) = Bex)

cùng một biêu thức =h(4) thì ta được phướng trình tương đương,

Trang 7

Phương trình sau được biến đổi tương đương từ phương trình

trước, bằng cách chuyển h(x) sang vế phải và đổi dấu nĩ

Hệ quả 3 Mọi phương trình đều cĩ thể đưa vẻ dạng mà uể phải bằng khơng Vi thể, ta luơn cĩ thể kí hiệu phương trình là F(x) = 0 Cha ý: Nếu điếu kiện híx) cĩ nghĩa trong miền xúc định của

ấy thi các phương trình trong (1) là tương đương, cịn nêu khơng cĩ điêu

kiện ấy thì hai phương trình trên khơng nhất thiết tương đương Ví dụ Các phương trình là tương đương, vì tập nghiệm đều là |1, ~1‡ dù rằng hQ) khơng cĩ nghĩa tại x = # thuộc miền xác định của phương trình đã cho Nhưng phương trình 1 a khơng tương đương với phương trình

Như vậy, điểu kiện của định lĩ cĩ thé phat biéu la: h(x) cĩ nghĩa tại

tất cả các nghiệm của phương trinh f(x) = g(x) Nhưng điều kiện “

hơn này lại khơng cĩ tắc dụng trong việc giải phương trình, vì nếu biết

trước câc nghiêm rỗi thì chẳng cẩn phải biển đổi nĩ nữa!

Trang 8

Hệ quả Cĩ thể nhân hai khơng từ

'Ta cũng cĩ thể nhận xét về h(x) tương tự như trong định lí 1

Định lì 3 Nếu nâng hai uế của một phương trình lên luỹ thừa bác lẻ thí ta được một phương trình Hương đường uối phương trình đã cho

(trên trường số thực),

Thật vậy, nếu a là nghiệm của phương trình fx) = gx) Œ) tức là fla) = g(a) la ding thi ta cĩ IfA)J** = Ig(@)Jf**! (2), nghĩa là a cũng là nghiệm của phương trinh: [f@«)J***= [g@9]**! (3)

Đảo lại, nếu a là nghiệm của phương trình (3), tức là đẳng thức (2)

đúng thì ta cĩ f0 = g(a), do đĩ a là nghiệm của phương trình (1)

Chủ ÿ: Nếu tà nâng hai vế của phương trình trên R lên một ly

thưa bậc chăn thì nĩi chung ta chỉ được phương trình hệ quả của phương

trình đã cho mà khơng thu được phương trình tương đương # cĩ tập nghiệm M, Vĩ dụ phương trình x ~ °= 8” cĩ tập nghiệm là M, Phương trình (x

Nghiệm ngoại lai, mất nghiệm

sau một phép biên đối nào đĩ, miền xác định của phương trình

đã cho mũ rộng ra thì tập hợp nghiệm của nĩ cũng cĩ thể mỡ rộng ra, cĩ

thé x nhimg nghiém ngoại lai (đối với phương trình đã cho) Những nghiệm ngoại lai đĩ (nu cĩ) là những nghiệm của phương trình biển dồi, thuộc vào nhắn mỏ rộng của miền xác dịnh Nếu miễn xác định t0 rộng tà nhưng khơng cĩ nghiệm ngoại lai thì phương trình đã chú và phương trình biển đối vẫn tương đương

Nếu sau một phép biến đối nào đĩ, miền xác định của phương trình

da cho bj thu hep lại thì tập hợp nghiệm của nĩ cũng cĩ thể bị thu hẹp

lại, một số nghiêm nào đồ cĩ thể bị mất đi Những nghiệm mất đi đĩ

(nếu cĩ) là những nghiệm của phương trình đã cho thuộc vào phản bị

Trang 9

thu hẹp của miễn xáe định Nếu tất cả

bị thu hẹp khơng thoả mãn phương trình

và phương trình biến đổi vẫn tương đương

Ví dụ Trên trường số thực, xét hai phương trình

Mx-IAx+1=2/2 ú)

ý? ~I=2/2 ®

=1) 2 [1, #z),

+8, 3) Khi biến đổi (1) = (2) đã mớ rộng miễn xác định 8, c 8, nên đã xuất hiện nghiệm ngoại lai ~3, và

phép biến đối từ (1) thành (2) khơng phải là phép biến đổi tương đương ác giá trị của ẩn số trong miền

cho thì phương trình đã cho

2.3 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Như ta đã biết, khi giải hệ phương trình, ta thường dùng phương pháp thể và phương pháp cộng Cơ số Ì{ thuyết của các phương phầp này

la hai định lí sau đây: Định lí 1 Nếu Bj, Rees Ny) = 0 2X; = fi thi tị, x, = fOr, | ?tRisee Tu, Efile Chứng mình:

“Thật vậy, nếu F, = 0 vơ nghiệm thì (1) e (11) vì đều vơ nghỉ

Giả sử E, cĩ nghiệm và (x, x¿ x,) = (a,, aạ a2) là nghiệm của

nĩ, nghĩa là a, = flay, a,) la một đẳng thức đúng Khi đĩ, trong đẳng

thite Flay, ads, es A sess m, vige thay thé số a, bởi fila

khơng làm ảnh hưởng gi đẳng thức đĩ cả Do đồ nếu (a,

nghiệm của hệ (I) thì cũng là nghiệm của hệ (II) và ngược lại

Trang 10

Dinh li 2 Igy + ag Ba + thạ cĩ thể là các sổ, cĩ thể là hàm số của các ẩn, nạa Nays Rn #0 trơng miền xác định của (D) Chứng mình:

Các nghiệm của (J) cũng là nghiệm của (II) vì nếu F, = 0 ¡ =

m thì vế trái của các phương trình trong (I1) cũng bằng khơng Đảo lại,

các nghiệm của (I1) cũng là nghiệm của (I) Thật vậy, nếu F, = 0 thì n),F, = 0 do d6 n,,F, = 0 ma ny, # 0 nén F, = 0 Tudng ty, néu F, = F,=0

thi nF, do đĩ từ dịng thứ ba của hệ (II) ta được nạF;

mã nạ z 0 nên E;= 0 Cuối cùng ta cĩ E, F„=0 2.5 ĐỊNH LÍ VỀ TUYỂN PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Định lí này được suy ra từ một mệnh để quen thui “Muốn cho

một tích bằng khơng thì cần uà đủ là tích đỏ cĩ một thừa số bằng khơng” (vi một trường khơng chứa ước của khơng)

Vĩ dụ

x-2=0,

Trang 11

Song số # khơng thuộc miễn xác định của tuyển (cũng là của phương trình đã chĩ), Vậy tập nghiệm c

phương trình là fi, ~i}

2.6 TẬP HỢP PHƯƠNG TRÌNH

‘Ta goi là đập hợp phương trình, một hệ hay một tuyển của tuyển hay hệ phương trình, một hệ hay một tuyển của tuyển và hệ phương trình,

Chang han

§3 PHƯƠNG TRÌNH CĨ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trang 12

sinx+e0sx =1

jsinx +cosx]=1 <> sin x +cosx i

Cĩ thể tìm ngay được nghiệm của tuyển (tức là nghiệm của phương trình đã cho) là x= S*, 3.2 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG |f(x)| = g(x) 'Ta cĩ mệnh để fix) = gtx) ess 20 |fix)=~atx) tite — fx) = glx) |) >0 [fo] = ela) <> Ví dụ Giải phương trình |2 ~ 5| =x—1 Phương trình đã cho tương đương với tuyển hai hệ hoặc (2) áy [#-$S*=! 24-5 <-x+l x-120 x-120 Gidi (2) ta cb x= 2 Vậy M = {2, 4]: Giải (1) ta cĩ x = 3:3 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f(|x|) = a Ta cĩ mệnh đề fiaU=a [reo fi-x)=a x<0 f(ll)=œ =>

Trang 13

Vi du Giải phương trình x°~ |x| = 6

Ta gia x=6 (với x > 0) được nghiệm là x = 3, Do dé nghiém

của phương trình đã cho là x = 8 và x = 3.4 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f(lx|) = g(x) “Ta cĩ mệnh để fe) = wo) x20 = atx) lu buyản [f= goo x30 ~1 trên R [x`~2x+t=0 | x20 x`-lš|=x~le x‡l=0 x<0 Trên R, tuyển chỉ cĩ một nghiệm x = 1, đĩ cũng là nghiệm của phương trình đã cho 3-5 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG |f(x)| = Jg(x)| “Ta cĩ mệnh để fix) = gíx) fo) = atx) Vi du, Giải phương trình | 2x —

Phương trình tương đương với

|/+J=|e9| = [

Trang 14

3.6 PHƯƠNG TRINH CO CHUA DAU GIA TRI TUYET BO! Ví dụ Giải phương trình Ix~1l+lx~3|+lx~5I 4 Giải: x | = 1 + x-11 | -w*1 - x-1 [x= -x+3 -1 x-8 [x-51 | -x+5 «+5 x-5 Phuong ase trình Nghiệm Từ bảng trên ta suy ra:

Với x < 1, nghiệm của phương trình là x= Š: khơng thích hợp a

nghiệm của phương trình là x 13 : thoả mãn Với L<x Voi x > 5, nghiệm của phương trình là 3 : khơng thích hợp

K : Phương trình cĩ một nghiệm duy nhất là x = 3

Trang 15

trong đĩ x là ấn, trường số K cĩ thể là Q, R C Để giải phương trình, ta thực hiện cac bước:

« Nếu a z0, phương trình cĩ nghiệm duy nhất là x- -P' Nếu a =0 thì: Nếu b z 0; phương trình võ nghiệm; Nếu b Vĩ dụ 1 Giải và biện luận phương trình : phương trình cĩ vơ số nghiệm (Vx = K) 3(m + 1)x + 4= 2x + 5m + 1), Giải Phương trình đã cho tướng đương với: (8m + 1)x=õm + 1 ~ Néu3m+120 ome 4 phường trình cĩ nghiệm duy nhất là: Sm+! Ä3m+l - Nếu 8m +1=0 «am ta cĩ: 0x= a 1: phương trình vơ nghiệm Vi du 2, Phương trình đưa về bậc nhất, Giải và biện luận

Giải; Điều kiện: x # 0, x z 2,

Với điều kiện đĩ, phương trình đưa về dạng (m + 1)x = 6,

~_ Với m =~l: phương trình võ nghiệm,

Trang 16

Kết hợp tìm giá trị của m để —Ố— là nghiệm của phương trình: mel 6 #0 me „| Vm | 6 cụ lmz2 mài Kết luận:

Véi m+ —1 vam #2 thi phương trình cĩ nghiệm duy nhất là x = al ` m+ Với m = ~1 hoặc m = 9: phương trình vơ nghiệm

4.2 PHƯƠNG TRÌNH BAC HAI Cĩ dạng chính tấc Ì

ax? + bx+ =0 ay

trong đĩ a, b, e là các tham số thực, a z 0 Biểu thức ở về trái

f(x) = ax® + bx + ¢

được gọi là tam thite bée hai đối với biến x

Trang 17

Xây ra ba trường hợp: a) Néu A> 0, phương trình (1) cĩ hai nghiệm thực là: -b‡+VA 2a b) Nếu A = 0 khi đĩ (1) cĩ một nghiệm kép: b =

©) Nếu A < 0: Phương trinh (1) vo ng! nghiệm phức liên hợp trên là:

trên R, nhưng cĩ hai

Chú ý: Nếu b là số chẵn b = 9b' thì A = 4(b°— ac)

Đặt b#~— ae = A` và gọi biệt thức thu gọn Khi đĩ, nếu A' > 0, phương

trình cĩ hai nghiệm thực (phân biệt hoặc kép) là

Giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (1) ta cĩ định lí thuận và đảo sau đây của Viết, là trường hợp riêng quan trọng của định lí Viet đã xét trong §5, chương 3 Định lí Viết Nếu phương trình bậc hai ax’ + bx + ¢ = 0 cĩ nghiệm: Xp X, thi: x, FY,

Đảo lại, nếu hai số x, y thoả man x + y = S va xy = P thì x, y là nghiém ciia phitong trink bac hai X? SX +P = 0

'Từ đĩ suy ra một hệ quả rất thơng dụng:

Trang 18

3) Nếu œ - b + œ= 0 thi phương trình (1) cĩ một nghiệm băng ~l nà nghiệm kia bằng —^ ‹ a Vi dw Cho phudng trink x? = 2 + #m)x # 3+ 4m =0 (3) a) Tìm điểu kiện để phương trình cĩ nghiệm b) Tính biểu thức x,” # x¿' theo m

©) Tìm m cĩ một nghiệm bằng ba nghiệm kìÌa:

đ) Viết phương trình bậc hai cĩ nghiệm 1A x," va x2, trong đĩ

¡ nghiệm của phương trình (3) Giải: a) Điều kiện b) Ta 06 A= x," + xe = ( + X,)|[G + Xĩ)” “Theo Viết ta cĩ xy + x2 = 20 +2m); xk, = 844m “Thay vào, tà cĩ A = 2(1 + 2m)(16m* + 4m ~ 5) ©) Ta cĩ: xy FX, = 201+ 2in) (a) Xi; =3+£ 4m (b) aan (c)

‘Thay (¢) vào (a) ta cĩ x, = 142" do dé x, = = h

Trang 19

I#2m 3+6m =4m+3 2 2 2m? + 12m + 3= 16m +12 2 12m?’ -4m-9=0¢3m= Kết hợp với điểu kiện ban đầu (câu a) ta thấy hai giá trị này của m đểu thoả mãn ad (x, #5) = 2x)x5 =[2(1+2m)} -2G + 4m) = 208m? +4m ~ 1) 3+4my phương trình cẩn tìm là: X?~ 3(§mỶ + 4m ~ 1)X + (3 + 4m)” = 0

§5 PHUONG TRINH BAC BA, BAC BON

5.1 DANG THU GON CUA PHUONG TRINH BAC BA Phương trình bậc ba một din ¢6 dang tng q a) ax'+ bx? + ex +d =0(a 20) đĩ, thường là Q, R, € ất bao giờ trong đĩ a, bị e, dc KIả Bang cach chia

Trang 20

"Thay vào (2), ta được:

hay

Ề 2a‘ 4P, ta được phương trình

Dat p= thera “ate ta được phương

y°+£py+q=0.p.q<R 4)

Dạng (3) được gọi là dạng thu gon của phương trình bậc ba Người ta đã chứng mình được rằng một phương trình bậc ba dạng tổng quất

luơn cĩ thể đưa về dạng thu gọn

5.2 CƠNG THỨC CÁCĐANƠ

Nhà tốn học người Italia, Cardano Ginolamo, năm 1545 đã tìm ra cơng thức nghiệm của phương trình bậc ba thu gọn (3) trình bày theo

cách kí hiệu hiện nay là:

42 |8 y9) „||23— J8E„P— 2*Va tan V2 Va‘ 27

trong đĩ, nếu kí hiệu u„, v, là một cặp giá trị đã biết của hai căn thức

Trang 21

5.3 VE SỐ NGHIỆM THỰC CỦA PHƯƠNG TRÌNH BAC BA

[4p + 274] và gọi là biệt thức của phương trình (3) Ta thu được kết quả sau:

a, Néu A > 0: phương trình (3) cĩ ba nghiệm thực phân biệt, tính

theo cơng thức (5), trong đĩ uụ, vị là các giá trị nào đĩ của các căn bậc ba

trong cơng thức Cácđanơ (4)

b Nếu A = 0: phương trình (3) cĩ ba nghiệm thực, trong đĩ cĩ một

uy,

Trang 22

Ví dụ 8 Giải phương trình: 0 xt — 19x + 3 Oday A =-(p" + 27q") > 0 Cĩ thể thấy một trong ba giá trị của căn số bậc ba là: xi =u£Vị wet ye Xy = Ue + ye 5.4 PHUONG TRINH BAC BON

Dang tổng quát của phương trình bậc bốn là

a'x! + b’x? + e'xđ + dx + Â = 0, (a #0) qa) khác khơng nên bao giờ cũng đưa (1) về dạng: Vi hé sé eno nl x! +ax' + bx’ +ex +d =0 (2)

Sau đây là phương pháp giải tổng quát của Luđơvicơ Ferari (nhà

tốn học người Italia) đưa ra vào giữa thế kỉ XVI “Ta cĩ thể làm mất các số hạng bậc ba trong (3) bằng cách đặt: = Khi đĩ đưa nhương trình bac bốn về dạng thu gon: yi + py +ay+r=0 (3)

vip qr e R BA h “để xuất bình phương đủ”, ta dưa việc giải phương trình bậc bổn thu gọn (8) về việc:

Trang 23

bằng cách dùng cơng thức một nghiệm edanơ hoặc đơn giản lún, bằng cach nham ao đồ của nĩ: P, A= q? 808 +phar+ 20 “) b Sau đĩ giải hai phương trình bậc hai: v2 {2 ts 2 22h,

trong đĩ 2„ là một nghiệm của phương trình (4) nĩi trên,

Như vậy, về lí thu

được bảng căn thức trong trương hợp tơng quát, Tuy nhiên, phương bổn lu: ất, phương trình n luơn cố thể giải

rình bậc n > 5 trong trường hợp tổng quát là khơng thể giải được bằng cân thức Đĩ là một kết quả quan trọng của lỉ thuyết

học Pháp diy huyển thoại Galoa phát mình từ m (Evarist Galois, 1811 ~ 1883) jaloa do nha toan + đầu thé ki XIX

§6 PHUONG TRINH BAC CAO

Trang 24

Giải Đặt xÌ = t, ta được phương trình: RƯ-0L+1=0 iệm là tụ = 1,t¿= 4 (nhận xết; a + b + e= 0), từ đĩ ta được các nghiệm thực là x, = 1, x Nếu giải trên C, ta được các nghiệm phức của phương trình đã cho là:

6.2 PHƯƠNG TRINH PHAN THUC

Về thực chất cäc phương trình phân thức (tức là các phương trình

Trang 26

Dé x, 1a nghiệm thì: vee | sz0 - aed atl 2 OV sae la va (do A, =-7<0) Nồi luận =0: phương trình khơng xác ä =1: phương trình cĩ nghiệm x = ~1 3¡ phương trình cĩ nghiệm x=

Voi a ¢ 10, 1, 2}: phương trình cĩ nghiệ

6.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP RIÊNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRINH BAC CAO

'Ta đã biết các phương trình bậc cao hơn bốn dưới đạng tổng quất khơng thổ giải được bằng căn thức Vì thế khơng cĩ phương pháp chung để giải tất cả các phương trình bậc cao mà phải căn cứ vào từng phương

trình để tìm cách giải thích hợp Người ta đã cố gắng nêu lên một số phương pháp riêng để giải một số loại phương trình cao, 6.2.1 Phương pháp phân tích thành nhãn tứ Cĩ một số phương pháp sử cấp đê phân tích một đa thức thành nhân tử (chương 3, §7) ta sử dung chúng để phân tích về trái của phương trình F = 0 dua dén việc giải một tuyển phương trình bậc thấp hơn

Vĩ dụ Giải phương trình sau trên trường yt= 9y) + dy? + 91 y — 18 =0,

Giải 'Ta thấy tổng các hệ số bằng khơng, vậy phương trình cĩ một nghiêm bảng 1 Dũng sở đơ Hooene, chia vé trai của phương trình cho (ý — 1Ì, tả được phương trình:

Trang 27

Biến đổi thành: y?— 8y? — 4y°— 9y + 6y + 18= 0 e» 9y'— 3y? — 9y— +6y+18=0

Đặt thừa số chung (y - 3)(2y? - 3y - 9) =0

“Tam thức bậc hai cĩ nghiệm là 4 và 3, Vậy phương trình đã cho

cĩ 4 nghiệm là y, = 1, yo = 83 yy= ae

Phương pháp phân tích thành nhân tử để giải phương trình bậc

cao được dùng từ xa xưa Chẳng hạn nhà tốn học Pháp Iơne Để,

(ené Deseartes, 1596 ~ 1650) đã giải phương trình:

xt — 4x? — 19x? + 106x — 120 = 0

bằng cách đĩ Xưa hơn nữa từ thể kỉ XI nhà tốn học Ẩn Độ

Bkhasơcara trong luận văn của mình, đã giải phương trình xÌ+ 12x - 6x5 -35=0 như sau: ox 6.2.2 Phương pháp hệ sổ bất định Cơ sở của phương pháp hệ sổ bất định là lí thuyết về đa thức hãng đẳng (chương Ví dụ, Giải phương trình sau trên trường số thực: x*+ 2x"— 12x'~ 18x” + 42 =0 "Ta thay vé trái của phương trình chỉ chứ

của x nên cĩ thể biến đổi thành một tam thức bắc

ác luỹ thừa bậc e

Trang 28

x" + 2x" — 19x! — 18x” + 42 = (x! + ax? + by? + efx! + ax’ +b) +d Hãng đẳng hai vé, ta duge: 3a=2 a) a’ + 2b+c=12 (2) 2ab + ac=-13 (8) b + be + d= 48 4)

vito (2) hay (8) ta cĩ 9b + e = ~18 => e=~#b ~ 14

“Thay giá trị của e vào (4) và đưa về một vế, ta được:

bể + 13b + (42 — d) = 0

Nếu gần cho d một giá trị nào đĩ, ta sẽ tính được hai giá trị của b,

từ đĩ tính được hai giá trị của e, như vậy sẽ cĩ hai phương trình tương

Trang 29

“Từ đĩ ta được hai phương trình bậc hai

4x? — 3x ~1= 0; 8x*~ 6x - õ = 0 và đo đĩ ta được nghiệm của phương trình ban đầu là

6.2.4 Phương pháp đổ thị

“Ta cĩ thể biến đổi vế trái của phương trình thành một hàm số quen

thuộc, cĩ thể vẽ được đổ thị, hoặc đặt ẩn phụ để biến thành tìm giao

điểm hai đường cong quen thuộc Ví dụ Giải phương trình

#'+ đểể + 3ểể — 8ø + 1+0

Để cho luỹ thừa bậc ba của x trong phương trình mới cĩ hệ số bằng khơng, ta đặt z = x ~ 1 Từ đĩ, ta được phương trình: x'~8x'~ 6x + 9=0 Biến đổi thành x! — 4x? + (x + 3)? hay (x — 2)° + (x - 3)!

Dua thêm vào ẩn phụ thứ hai y

bởi hộ: , ta thay phương trình đã cho

ay

(x-3F +(y-1) =4 @)

Parabol (1) và đường trịn (2) cất nhau tại hai điểm (1,1; 1,2) và

Trang 30

§7 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC CAO

Phương pháp tổng quát d giải hệ phương trình bậc cao đã được

nghiên cứu trong Đại số œ ip vai lí thuyết các kết thức, biệt thức v.v, Song phương pháp đĩ thường khá cổng kếnh, phức tạp, mà đối với một

số hệ đặc biệt, ta cĩ thé sử dụng những phương pháp riêng thích hợp

(phương pháp sơ cấp) để giải nhanh, gọn hơn nhiều 7.1 HE BAC CAO CĨ PHƯƠNG TRÌNH TUYỂN TÍNH Vĩ dụ ải hệ .~ ~8z=-13 Sxtây-z=0 2x” + đy) =zˆ £6yz~Đxz + 15xy + ŠÍx + By +R.=0)

‘Trude hết, ta tìm nghiệm tổng quát của hệ con tuyến tính

Trang 31

Đặt tx, ta Đt+6)=() age [vw +t-6=0 ee Với x #0, ta giải hệ Ít ~5t+6=0 {£+i-6=0 ta rút được t= 3, Do đĩ, hệ đã cho cĩ thêm vơ số nghiệm khơng tam thường dạng (x 2x), x tuỳ ý 7-3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MÀ CA HAI DEU CO MOT VE LA DANG CAP (thuần nhất) A thy te =0 (1) NỈ + bay +eyyÏ =d, (2) Giải Nhân hai về của (1) với d, và bai về của (3) với -d, rối cong ve Với vế, ta dược: (ad, —a,d)x* + (bd, — byd)xy + (ed, — ed)y* = 0, Kí hiệu các hệ của phương trình này là A, B, C, tả cĩ: Ax?+ By + Cý” = 0, Đĩ là phương trình đẳng cấp bậc 9 đối với x và y, và vấn để trở nên dễ giải quà 7.4, HỆ PHƯƠNG TRINH DANG x" ty"=a (1) |xy=b (2)

Giải Nâng hai vé ca (2) lén lug thita n, va coi x", y" nhu nghiém

của phương trình bậc hai:

Trang 32

sau đĩ lấy căn

Đến đây, giải và biện luận phương trình bậc hai, bậc n của các nghiệm thu được, 7.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG [art +by"=p () lw=a (2) Giải Từ (3) rút ra x Thay vao (1), ta được: y

by" — py" +aq"=0

Đây là dạng phương trình tam thite (xem 5.1), đặt y" = t và giải tiếp

§8 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ

8.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ CAN SO

Ta gọi là phương trình nơ tỉ, mọi phương trình cĩ chứa ẩn dưới dấu căn thức Hay nĩi khác đi, đĩ là một phương trình cĩ dang f@) = 0, trong đĩ f(x) là một hàm số đại số vơ tỉ (eĩ chứa căn thức của biến sổ); x

cĩ thể là một biển (khi đĩ phương trình cĩ một ẩn); x cĩ thể xem là n

biến với x = Œ, xạ xụ) c Ơ* (khi đĩ phương trình cĩ n ẩn)

'Ta biết rằng về lí thuyết căn số cĩ định 1ý cơ bản sau đây:

Căn số bậc n của một số phức a €, a z 0 cĩ n giá trị phân biệt,

Moi số thực ấm, ä e R,a < 0, khơng tổn tại căn thức thực bậc chẵn bất

kỉ, Mọi số thực đương, ä e R, a >0, cĩ hai căn thức bậc chân đối nhau,

tr dưỡng của căn thức được gọi là căn số số học và được kí

Trang 33

U) A>0 (để cĩ nghĩa) 2") XÍA >0 (định nghĩa trong đĩ A cĩ thể là một số thực bất kì, hoặc một biểu thức tuy ý ăn số số học)

8.2 CAC ĐỊNH LÍ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BAN

Trên trường số thực, dựa vào định lí eớ bản về cân số nĩi trên chứng minh được ngay các định lí sau, dùng làm cơ sở cho việc giải các phương trình vơ ti, ta Định lí 1 *2ÚfB)< s60 e ƒ)=#*"'C): Dinh li 2 0x6) [Ơn Dinh li 3 agi (e)=efale) © f(x)= #(x) Định lí 4 a T=) = 8) tote (M00 : f(x)= 8) ae [f(*)=

Chẳng han ta chứng minh định lí 4 Gid sit x, 1A mot nghiém cba

phitdng trinh da cho, nghia 1a f(xq) 2 0, exo) 2 0 va AYE (Xo) = Ye(%o)

Nâng cả hai vé lén luy thita bac 2k, ta được f(x,) = g(x¿) nghĩa là xụ

là nghiệm của cả hai hệ của tuyển

Đảo lại, giả sử xạ là nghiệm của ít nhất một hệ của tuyển (do đĩ

Trang 34

f(xu) = gu), [(Xu) =O

) =f@u)), Khi đĩ, vì f(xu) và g@u) đểu là

n của chúng là cĩ nghĩa, và cân số (từ đĩ ta cũng cĩ g(xu) > vì gŒ hai số khơng â cùng bậc chân của chúng là bằng nhau, tức là: Vi6u)= Vậy xụ cũng là nghiệm của phương trình đã cho , nên căn số

Dựa vào các định lí tương đương nĩi trên, ta cĩ các phương: pháp

giải phương trình 0õ tÌ (nâng lên luỹ thừa, đặt ẩn phụ) sau đây Trên trường số thực cần nhớ bi ác điểu kiện dé dam bảo biểu thức trong căn ân (nếu cĩ) phải khơng âm, và đấu 2Ä” chỉ căn số số học nên cũng

phải khơng âm đối với căn bậc lẻ thì khơng cần điều kiện gì về căn

thức Trên trường số phức, khi áp dụng các phương pháp đĩ (năng lên

uỹ thừa, đặt ẩn phụ) khơng cần thêm điểu kiện gì về căn thức

Phương pháp nâng lên luỹ thừa

V¿ dụ 1 Giải phương trình vơ tỉ sau trên trường số thực R: x+Vx=1~7=0: a) Giải Điều kiện để căn số cĩ nghĩa: x > 1 ) 0)©x=1=7~x @) Điểu kiện để cĩ thể bình phương hai vế: x 7 4) ()(8)x-I=(~-*) —14x +49 &@ gÌ~l3x+150=0 0 2 x25 X=

Đối chiếu với các điều kiện (2) và (4) thì (1) cĩ nghiệm x = 5 Ví dụ 3 Giải và biện luận phương trình vơ tỉ trên R:

Ýx ~Ýx=m =m a

Trang 35

x20 toa @ ~ Với m= 0: (1) 2 ve — vx = 9% ¥ ~ Với m < 0; Khi đĩ điểu kiện là * 2 ova x=m (3) Điều kiện (để bình phương hai về) JX-m>0 tức jx >m luơn thoả mãn vì m < 0 Khi đĩ, bình phương hat về của (3), ta cĩ: =m (3) e2 x—2mvx +m? mil 2=“ (a) Điều kiện để bình phướng tiếp hai về của mel ml og tie -1 <m <0: 5 >0 tức (5) (mi) 4 Khi đĩ nghiệm của phươnE trình là: x= thoả mãn (3) ~ Với m > 0: Điểu kiện làx>m>0- khi đĩ đa) œ4)

Vi m > 0 nên hai về của (4) đền đương và bình PRƯỚNG iiniiv tact l[e+= (m+ qhỗ mãn điều kiện 4 (): x > m:

Trang 36

Giải Đặt t={(0x 3)" Khi đĩ al Vậy (1) trổ thành Baz es 8-2-8206 t 4, ==l, ty =8: lo, + Với tị =—1, ta cĩ 7x — 3= 8, tả cĩ Tx— 3 = 8 co x; = 8 + Véi ty Vậy phương trình cĩ hai nghiệm là: Ví dụ 2, Giải phương trình vơ tỉ sau trên trường số thực: đ§+x-4Vs+t+Vl0+x~6Vš+1 =l a) Giải: Ta đặt u=Vx+1 Diéu kign x2-1,u20 (2) Khi đĩ (1) y(u-2)' + y(u-3) =1 (3) u —» 2 3 +

Trang 37

2sVx+1<3

©4<x+I<9 ©S3<x<8

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ¥x e [3, 8] Ví dụ 2 Giải và biện luận phương trình Va+x=a~vä=x a) Giải Điều kiện: -a <x <a @ Khi đĩ (i) Jatxtva-x=a @) Điểu kiện: a >0 (4) Dat: u=Ja+x v=va-x, u20,v20 Khiđĩ uÊ=a+x;vÌ=a-xvà Vậy u, v là nghiệm của phương trình bậc hai 2X! — 2aX + a(a ~ 9) =0 (6)

Ta cé A’ = a(4— a), vì u >0, v> 0 nên (5) phai c6 hai nghiệm khơng

âm Điều này tương đương với

jA>0 0<a<4 a=0

a>0

Sa 2<a<4

Peo a>2 hoặc a<0

* Nếu a =0 hoặc a = 4 thì (1) cĩ nghiệm duy nhất x = 0;

Trang 38

aya ay ana 2 — ¡u>0v>0 Đo đố phương trình (1) đã cho cĩ hai nghiệm 2

'Thử lại ta thấy các điều kiện ~n < xụ x¿ < a luơn luơn được thoả

mân với mọi a © [2, 4]

THUC HANH GIAI TOAN CHƯƠNG 6

Trang 39

~ Nếu m = n thi vx e R là nghiệm, Khai thác bài tốn:

~ Nếu giữ nguyên ân và các tham số, thay đối phép tộn ta sẽ được

bài tốn sau:

Giải phương trình: mx +n= ng + m mã quá trình giải được thực

hiện như trên

~ Nếu tăng độ "phức tạp” cho các tham số chẳng hạn khơng phải là

m,n ma là một biểu thức nào đĩ chứa m n, chẳng hạn:

Giải phương trình (m'— 1)x— n= (n' — 1) — m cũng sẽ được bài tồn mà lời giải được thực hiện cũng theo quả trình tương tự như trí ớ Bài tốn số 2 Giải phương trình: +2x4+3=0 0®) Phân tích: Nếu quy đồng và khử mẫu ta sẽ phải làm việc với phương trình cao, phức tạp hơn thức cĩ mặt ở về trải trước của x bing eich rat gọn các phan Ti giải: Đ@ +x£D), 2+ TX+ oe cg x'+x+I xứ <x—1+3(x+1)+ 9x +3 =0 6x + 5 =0 Khai thác bài tốn:

Trang 40

thay thế ở 3 vế các biểu thức của x cĩ thể rút gọn được (để giảm bậc của

biến) thì ta cũng cĩ các bài tốn mà cách giải tướng tự Vĩ dụ +5x-1 1 tu X+) NX eX eR eX ENT V.Vo

“Tổng quát hơn, ta cĩ bài tốn sau:

Giải phương trình sau với m, n là các sổ tự nhiên lẻ, m, n > 1, k là tham số +(k+l)x+l=0 (3) xe +x+1

Bài tốn số 8 Một đơn vị bộ đội hành quân với vận tốc 6kmh Đi

được một nửa quãng đường, trời mưa do đĩ vận tốc giảm đi 1km/h

trên nửa quãng đường cịn lại, vì vậy đơn vị đến nơi tập kết chậm hơn so với dự định một giờ Tính độ đài quãng đường hành quân

Phân tích:

Gọi quãng đường hành quân là 2x (x > 3, km) Khi đĩ cĩ thể tính

được thời gian thực đi và so sánh vái thời gian dự định sẽ được phương

trình để tính x

Lời giải:

Goi 2x là quãng đường hành quân (x > 3 km)

“Thời gian đi nửa quãng đường đầu š (h) “Thời gian đi nửa quãng đường sau 3 (h) Thời gian dự định đi cả quảng đường “Theo bài ra ta cĩ phương trình: Š~

36