Giáo trình Đại số sơ cấp và thực hành giải toán gồm có 7 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 gồm 5 chương như sau: Chương 1 giải bài toán như thế nào, chương 2 các tập hợp số, chương 3 đa thức - phân thức hữu tỉ - biến đổi hữu tỉ, chương 4 căn số và biến đổi vô tỉ, chương 5 hàm số và đồ thị. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 2Mục lục Mở đầu Chương 1 ai bài tốn như thể nà
1 Cách giải mật bài tốn 1.1, Tìm hiểu sơ bộ để tốn Khai thác để tốn 1.8 Tìm tơi lời giải “Trình bày lời gì 1.5, Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toản 23
§Ð Các phương pháp suy luận thường gặp uà năng li
khi giải tốn 2.1, Quy nạp và diễn dị Phương php suy diễn 3, Phương pháp phản chứng Bide Phan tich va tong hgp g quát hoi Tương tự hố 7 Trừu tượng hy
Thực hành giải tốn chương 1 “
Trang 33.3 Phép tốn trong Z 2.3 Quan hệ thứ tự trong Z
§9 Lí thuyết chia hết trong uành Z
3.1 Chia hết và chia cĩ dư 3.9, Ước chung lớn nhất 3.4 Số nguyên tổ L trường số hữu tỉ iB \y dựng trường s én — số hữu tỉ ~ phân số 5.9, Quan hệ thứ tự trên R 3 Can trén (sup), cn dudi (inf) Phép toan trén R Định lí m
Thực hành giải tốn chương
Trang 43.4 Dinh If Badu (Bezout)
3.5 Sơ đồ Hooene (Horner)
§4 Ước chung lớn nhất của hai đa thức ịnh nghĩ:
“Thuật tốn Ởelit (Euelide) §6 Nghiệm của đa thức
5,1 Định nghĩa
Số nghiệm và hệ thức giữa các nghiệm 5.3 Nghiệm bị
4 Áp dụng vào bài tốn chia hết
5.5 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ §6 Đa thức nhiều ẩn 6,1 Đơn thức 9 Đa thức 6.8 Hằng đẳng thức 7.1 Dinh ng!
7.3 Cae dinh li vé phan tich da thức
1.4 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tì
§8 Phân thức hữu ti
8.1 Định nghĩa
Trang 51.8 Căn số số học 1.8 Nhận xét về luỹ thừa của một 1.4, Định nghĩa cân sí Định lí cơ bản về căn s ác hệ quả 7 Các tính chất của phép khai căn 1.8, Các hệ quả của các tính chị
1.9 Quy đồng bậc của các căn §2 Các pháp biển đổi uơ tỉ thường gặp
1 Phép luge" căn thức của tí
3 Phép giản lược căn thức của thương Ning một căn thức lên luỹ thừa 4 Luật phân phối:
5 Nhân, chia các căn thức cĩ chỉ số bậc khác nhau 6 Đa thức của một căn thức
7 Cơng thức biến đổi căn bậc hai "phức tạp) §3 Nhân tử liên hợp 3.1 Định nghĩa 3.2, Tim nhân tử liên hợp Ví dụ và thực hành Thực hành gì
Bài lập đại số sơ cấp
Bài tập thực hành giải tốn Chương 5 Hàm số và dé thi §1 Đại cường vé him 1.1, Các khái n 1.9, Các hàm | 1.8, Phân loại các hàm số sơ Khảo sát hàm số: bằng phương pháp sơ cấp 8.1 Miền xác định của 8 Khảo sát sự biển thiên của hàm số, Vẽ đồ thi $
tác phép biển đổi đồ thị thường dừng 1 Phép tịnh tiến song song với trục tung
Phép tịnh tiến song song với trục hồnh Phép lấy đối xứng qua trục toạ độ,
Trang 6
3.4 Phép eo dân đồ thị 3.5 Phép cong va phép nhân đồ thị §4 Một số áp dung 4.1, Ham số tuyến tính 4.2 Hàm số bậc hai 4.3 Hàm số phân tuyển tính 4.4 Ham sé vneN 4.5, Hàm số cĩ chứa đấu giá
§ð* Hai quan điểm nghiên cứu uễ đa thức uà phân thức hữu tỉ
5.1 Quan diém dais
5.2 Quan diém ham số 5.3 Kiến thức chuẩn bị 5.4, Định lí
5.5, Cae hé qu
5.6 Su thé hién hai quan diém Thực hành giải tốn chương Bai tap dai s6 so cap
Bai tập thực hành giải tốn Chương 6 Phương trình - hệ phương trình §1 Các khái niệm 1,1 Phương trìn
1.3 Phân loại phương trình
1.3 Phương trình chứa tham 1.4 Hệ phương trình „ 1.5 Tuyển phương trình §2 Sự tương đương giữa các phương trình, hệ phương trình, tuyển phương trình 2.1 Các định nghĩa 3.5 Định lí về tuyển phương trình tướng đương 3.6 Tập hợp phương trình §3 Phương trình cĩ dấu giá trí tuyết đổi 3.1, Phương trình đạng |f()| 3.2 Phương trình dạng |f(x)|
Phuong trinh dang f(x) =
Trang 7$4 §7 §8 Chương 7 Bất đẳng thức bất phương trình §2
Phuong trinh bac ba, bậc bởn
¿Phương trình bậc cao Phương trình phân thức 3.5 Phương trình dang | HfG)1 = 1gQ)1 một số biểu thức cĩ dấu giá trị phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn 4.1 Phương trình tuyến tính (bậc nhất) 4.9 Phương trình bậc hai „ Dạng thu gọn của phương trình bậc ba Cơng thức Cácdanơ Biện luận về số nghiệm thực của phương trình bậc ba Phương trình bậc bốn og a 6.1 Phương trình tam thức 6.3 Phương trình phân thứ 8.3, Một số phương pháp riêng để Một số hệ phương trình đại số bậc cao
1.1 Hệ bậc eao cĩ phương trình tuyển tính 7.3 Hệ phương trình đẳng cấp (thuần nhất) 7.3 Hệ phương trình bậc hai mà cả hai đều cĩ một vế là đẳng cấp (thuần nhất) 1.4 Hệ phương trình dạng Hệ phương trình dạng phương trình bậc cao Phương trình uơ tỉ
8.1 Định nghĩa Định lí cơ bản về căn 8.2 Các định lí tương đương cơ bản
Trang 83.4 Bất đẳng thức Beenuli (Bernoulli)
§9 Các phương pháp chứng mảnh: bất đẳng thức 3.1, Phương pháp dựa vào định nghĩa
3.3 Phương pháp biến đổi tương đương
3.3 Phương pháp quy nạp tốn học 3.5 Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết § Ứng dụng bất đẳng thức để 4.1 Các định lí 4.2 Ap dụng §5 Dai cutang vé bat phitung trinh va hé bat phutang trinh 5.1 Dinh nghia 5.3, Sự tương đương của các bất phương trình §6 Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nÀ 6.1 Bất phương trình bậc nhất một ẩi 6.3 Hệ bất phương trình tuyến tính giải một số bái tốn cực trị hệ bất phương trình bậc cao
8.1 Bất phương trình bac cao một
8.3 Một số hệ bất phương trình bậc cao đơn giản
§9 Bất phương trình 0õ tỉ
inh nghĩa
le định lí về biến đổi tương đương
Phương pháp nâng lên luỹ thừa
9.4 Phương pháp đặt ẩn số phụ Thực hành giải tốn chương 7
Bài tập đại số sơ cấp
Bài tập thực hành giải toản
Đáp số và hướng dẫn giải bài tập Bảng tra cứu thuật ngữ
Tài liệu tham khảo
Trang 9
Mở dầu
Giáo trình này được viết theo quyết định của Bộ Giáo dục và Dao tạo, chủ yếu dùng cho sinh viên các trường Cao đẳng Sư phạm (CĐ8)), đồng thời cĩ thể dùng cho học viên các trường, lớp đào tạo bồi dưỡng hoặc
chuẩn hố giáo viên THCS (các hình thức chính quy hoặc khơng chính
quy, tập trung hoặc tự học) ~ mà sau đây sẽ gọi chung là "sinh vi
Trong chương trình mới, mơn *Đại số sơ cấp” (theo nghĩa thường hiểu gồm cĩ các phép biến đổi đại số, các hàm sổ sơ cấp, các phương
trình, bất đẳng thức, bất phương trình và các hệ phương trình) được kết
hợp với một phần mơn “Thực hành giải Tốn” thành mơn “Đại số sơ cấp và thực hành giải Tốn”, song song với mơn “Hình học sơ cấp và thực hành giải Tốn”, Do vi ð trình gồm bảy chướng:
Chương 1 (giải bài tốn như thế nào) trình bày một số lí luận
chung về thực hành giải tốn (cách giải một bài tốn) và
pháp suy luận và năng lực tư duy tốn học sau đĩ là một số bài tập ấp
dụng trong hai chủ điểm thực hành
Chương 2 (các tập hợp sổ) thực chất nhằm hướng dẫn thực hành giải tốn Số học một là nội dung quan trọng trong chương trình THCS
Vi thế, phẩn lí thuyết chỉ nhằm hệ thống hố các kiến thức về xây dung
tập hợp số tự nhiên N, mở rộng tập N thành tập số nguyên Z2, mở rộng tập Z thành tập số hữu tỉ Q mở rộng tập Q thành t thực
phép tốn và các quan hệ trên các tập số đĩ Nội dung chính của chương
này là các chủ điểm trong phần thực hành giải tốn về số nguy tinh chia hết, UCLN, BCNN, phương trình nguyên
Chương 3 (đa thức phân thức hữu tỉ v: việc xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều
Trang 10Chiténg 4 (căn số và các phép biển đổi vơ t) là một phần quan trọng của các phép biển đổi đại số Hai chương 3 và 4 hợp thành phần đầu tiên của mơn Đại số sơ cấp theo nghĩa cổ điển là *Các phép biển đổi Dai so”
Chuang 5 (ham số và đỗ thị) dành cho việc trình bày các hàm số sơ ïp và các phép biến đổi sơ cấp các đổ thị, Chương này tạo thành phần thứ hai trong chương trình Đại số sơ cấp cũ
hưởng 6 (phương trình, hệ phương trình) dành cho lí thuyết về
các phương trình, hệ và tuyển phương trình 8au khi trình bày về sự
tương đương của các phương trình, hệ phương trình, trong giáo trình đã dạng phương trình và hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, gia tri tuyệt đối, vơ tỉ )
Chương 7 (bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bất phương trình)
là một trong những chương quan trọng của giáo trình Ngồi việc trình bày các bất đẳng thức quan trọng và các phương phấp thường dùng chứng minh các bất đẳng thức, trong chương này cũng trình bày các vấn để về bất phương trình tương tự như đối với phương trình
Trang 111 Kiến thức (khải Mm, KEL qua, vi du ) 2 Thue hanh giai toan {các chủ điểm) 3, Bài tập
~ Bãi tập Đại số sơ cấp, - Bãi tấp thực hành giải tồn ~ Bài tập lớn 4 Tổng kết chương — Kiến thức cơ bản — Ki năng cơ bản ~ Hướng dẫn Riêng chương 1 và chương lÌ chỉ cĩ hị bài tập lớn,
Tất cả các bài tập (khâu "4" trong lược đỏ) của tất củ các chương đều cĩ đáp số hoặc hướng đẫn hoặc bài giải, in chưng ở cuối sách Cuối
mỗi chương lại cĩ một bài tập lớn, cĩ tính chất tập đượt nghiên cứu, yêu
cẩu sinh viên phải đọc kĩ tài liệu tham khảo, hệ thống hố, phân tích, tổng hợp, để xuất kiến nghị, đặc biệt chủ ý đến tính khoa học, tỉnh sự
phạm và tính thực tiễn
Trong khâu *1" (kiến thức), mỗi chương chia thành nhiều tiết (§), mỗi tiết chia thành nhiều điểm được đãnh số bởi hai chữ sở nếu trong cùng chương, bởi ba chữ số nếu khác chương Chẳng hạn 3.1 nghĩ
điểm 1 của §3, con 3.3.1 nghĩa là điểm 1,§3, chương 3 tập thực hành giải tốn và là Chúng tơi cổ gắng trình bày các vấn để theo quan điểm hiện đại, đồng thời cũng đảm bảo hướng dẫn thực hành, rên luyện ede ki nang co
bản của Tốn sơ
Trang 12
Do dae điểm của bộ mơn, để đảm bảo tính hệ thống của giáo trình nên một số phần của nội dung cĩ tính chất ơn tập những kiến thức đã
học trong những mơn khác, vì vậy cĩ thể để sinh viên tự đọc Các chứng minh cé thé tim thấy trong các giáo trình khác được in chữ nhỏ để tiện ứu, diéu đĩ được ghi rõ trong phản tổng kết từng chương (hướng
sử dụng giáo trình của chướng)
Các kiến thức tổi thiểu về nhĩm, vành, trường và về
xem như đã biết trong phần nhập mơn của các gì ý phức được trình khác nên o trình xếp theo thứ tự A, B, €
Sinh viên cĩ thể sử dụng thêm các sách từ [1] đến [4] và các giáo
trình [8], [9] trong phần "tài liệu tham khảo” ở cuối sách để mở rộng
kiến thức, chuẩn bị sinh hoạt xeminar, thuyết trình, thu hoạch, làm bài tập lồn, tiểu luận, v
Chúng tơi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Mạnh Quý vi
tham gia Dự ân Đào tạo giáo viên THCS đã tạo điều kiện thuận lợi về tài
liệu, trao đổi, thảo luận trong quá trình viết giáo trình: xin chân thành
cảm un G§ Đồn Quỳnh và T§ Nguyễn Duy Thuận (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội), TS Trin Phương Dung (Nhà xuất bản Giáo dục), Biên tập viên Nguy m Trung (Nhà xuất bản Đại học Sư phạm) đã đọc kĩ bản thảo và gĩp nhiều ý kiến quý báu; cảm ơn NGƯT Hồng Trọng Thái (Trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội), PG§8.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS ng (Đại học Vinh), đã giúp đỡ tải liệu, trao đổi khoa học; cảm on ThS Hé Thanh Quỳnh (Đại học Hồng Đức) đã gĩp ý chính xác hố một số
Chúng tơi sẵn sảng tiếp nhận và cảm ơn những ý kiến đĩng gĩp của bạn đọc giúp cho cuổn sách được tốt hơn
Các tác gia
Trang 13CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG GIÁO TRÌNH No: Tập hợpsốtựnhiên,N=J0,1, N* ; ‘Tap hgp số tự nhiên khác khơng N Zz ap hop các số nguyên, N” = |0, +1, a ác sổ nguyên kháe khơn 2 sé nguyén dung, Z = H1, ‘Tap hyp c " 7 hợp các số hữu tỉ khác khơng R :— Tậphgpcácsốthực R : Tập hợp các số thực khác khơng Co: Tap hợp các sổphức Œ số phức khác khơng P hợp các phần tử khác khơng của P x g Kí hiệu phép lấy tổng từ 1 đến n ll z Ki hiệu phép lấy tích từ 1 đến n 1 i 3 Don vj ao, i? = ~1
t Map hap, tap
đ,^: ——_ Giao của hai tập, hội của hai mệnh để
Uve Hợp của hai tập, tuyển của hai mệnh để
N,~z — Hiệu của hai tập
= Phép kếo theo, phương trình hệ quả
« Phép tương đương (khí và chỉ khi), phương trình
tương đương
Kết thúc chứng minh
Trang 14
CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ĐPCM : Điều phải chứng minh
CDSP, THCS : Cao đẳng Sư phạm, Trung học cơ sở ĐSSG, THGT : Đại số sơ cấp, Thực hành gi
Trang 15Chương 1 GIẢI BÀI TỐN NHƯ THẾ NÀO Xét đến cùng thì việc học tốn là để nhằm “giải các bài tốn” cĩ thể là các tập áp dụng bằng số, các bài tập lí thuyết
thực tế, các bài tốn mình hoạ, các bài tốn cĩ tính nghiên cứu, thoạt nhìn thì khĩ cĩ thể nĩi bài tốn đang xét là thuộc “trình độ Chẳng hạn hai bài tốn
chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tổ” (chẳng hạn 4= 3 + 2,
6=3+.8=õ + 3 ) và "chứng mình rằng mỗi số lẻ lớn hơn hay bằng 8 các bài tốn Mới nào ơnhách nổi tiếng "chứng mình rằng mỗi sé
déu là tổng của ba số nguyên tổ" thì mỗi học sinh trung học cơ sở (THCS) trở lên đếu hiểu được để bài, nhưng Gơnbách đã nêu ra từ năm
1742 (trong một bức thư gữi cho nhị
chưa tìm được lời giải, dù rằng nhờ việc nghiên cứu để giải bài tốn đĩ mà các nhà tốn học đã xây dựng được nhiều lí thuyết rất sâu sắc và
giải quyết được rất nhiều vấn để khoa học khác
tốn học Euler) mà đến nay vẫn
Tuy nhiên, ngay trong phạm vi giải các bài tốn thuộc chương trình THCS, ngồi việc cúng cố các kiến thức học trong chương trình, giáo viên cĩ thể rèn luyện cho học sinh tư duy lưgie, các phương pháp suy luận (sẽ trình bày trong š1, š2) tính chính xác và cả "giáo dục phẩm chất" nữa (tính trung thực, chu đáo, cẩn thận, cĩ kiểm tra kết quả, v.v.), Dạy tốt cho học sinh gi
Trang 16§1 CÁCH GIẢI MỘT BÀI TỐN
“Thơng thường, để giải một bài tốn, cần qua các cơng đoạn” sử
tìm hiểu sơ bộ để bài, khai thác để bài, tìm tơi lời giải, trình bay lời ø đánh giá lời giải, khai thác lời giải, để xuất ếc bài tốn mới Tất nhiên khơng phải bất kì bài tốn nào cũng phải trải qua đủ các cơng doạn đĩ,
song chúng giúp ích rất nhiều cho việc giải các bài tốn, đổi vái
những bài được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kĩ theo trình tự đĩ
để rên luyện các thao tác tự du
1.1 TÌM HIỂU SƠ BỘ BE TỐN
Khi chọn bài tốn, khơng nên chọn bài khĩ quá, mà cũng khơng nên chọn bài dễ quá Cẩn trình bày bài tốn sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú eho học sinh, khiến cho học sinh thích giải bài tốn đĩ, và
niểu gợi được sự “tị mì 1a hoe sinh thì càng hay,
Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề tốn để thấy đượe "tồn cảnh” của bài tốn, càng sáng sửa, rã rằng càng hay, khơng vội đi vào
chỉ tiết, nhất là các chỉ tiết rắc rổi
Cần cố gắng "khoanh vùng" phạm vi của để tốn: bài tốn nay n thức nào? sẽ cẩn cĩ những kiến thức, kĩ năng gì? nếu
giải được thi sẽ giải quyết được vấn để gì thuộc “vũng” 1.2 KHAI THẮC ĐỂ TỐN u là
Ầ tuần về tìm tơi thi cân xác định rõ đâu là ẩn? Cần phải tìm gì? đâu là các dữ kiện? đã cho biết những
cẩn tìm và cái chưa biết là gì? (
? mổi tương quan giữa ái
e điều kiện ràng buộc) Nếu là bài tốn
chứng minh thi cần nêu rõ các giả thiết, kết luận
Nếu bài tốn cần cĩ hình vẽ thì phải vẽ hình Đổi với các bài tốn
dại số
học, đĩ cĩ thể là các đổ thị, cũng cĩ khi là các sơ đỗ, đoạn
thắng: cĩ thể là các hình hình học (ching hạn các bài tốn về
hoặc các bài tồn hình học giải bằng phương p
thể sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt, hoặc đùng màu trong hình
vẽ, Cảm nhận trực giáo trên hình vẽ cĩ thể giúp tà nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề tốn
p đại sổ) Nếu cần, cĩ
Trang 17
Đổi với nhiều để tốn, ta phải đưa vào một é
hiệu thích hợp cĩ thể giúp ta hiểu rã đề tốn nhanh chĩng hơn
hiệu dùng để ghỉ các đối tượng và quan hệ giữa chúng trong bài tốn (nhất là các bài tốn đại số
nhìn, đễ nhớ,
Khi chọn các kí hiệu, cẩn lưu ý sao cho khơng cĩ kí hiệu nào dùng để chỉ hai đối tượng khác nhau và các kí hiệu cùng kiểu dùng để chỉ các đối tượng cùng loại Chẳng han các ăn được kí hiệu bởi x, y
tham số được kí hiệu bởi a, b c d„, a., ; kí hiệu (1) £ (2), (1) ~ (3) để chỉ sự tương đương của phương trình (b phương trình hệ phương trình hệ bất phương trình) (1) và (2)
cắn được đưa vào một cách ngắn gon, dé 1.3 TÌM TỎI LỠI GIẢI
Đây là bước quan trọng = nếu khơng nĩi là quan trọng nhá ng giải bài toản Khơng cĩ một thuật toản tổng quất nào để giải được
vi
moi bài tốn,
nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tơi lời giải dược đúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khủ năng đẫn tới thành cơng hơn Tuy từng trường hợp cụ thể mã vận dụng các kinh nghiệm đĩ, càng linh
hoạt, càng nhuần nhuyễn thì càng để tối thành cơng hơn; và càng nhiều
thành cơng, cảng giải được nhiều bài tốn thì chúng căng trẻ thành "của minh”, thành những "kinh nghiệm sống” chứ khơng phải chỉ chỉ dẫn khơ khan a chi cĩ thể đưa ra những lời khuyên những kinh 1.3.1 Nhận dạng vả tập hợp kiến thức
Như đã nĩi trong điểm 1.1, cả
được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp ta nhận dang được bài tốn thuộc Khi đã nhận đạng, đã phân loại được bài tốn thì trong ĩc phải tổ chức các kiến thức đã hạc, đã biết từ trước; dung mot loạt yếu tố cần thiết để giải loại là "tự phát" nhất là khi đã quen với việc
n “khonnh vùng” bài tốn, và vũng
loại nà
nhanh chĩng huy
phải nhớ lại để eh i tốn nây, Quá trình đĩ
fing han, gap bai to:
tứ” thì trong ĩe lập tức hiện lên rất nhanh một loạt phương pháp cĩ thể
giải tồn CI n tích đa thức sau thành nhân
Trang 18tử, tim nghiệm rồi chia liên tiếp, đặt ẩn phụ, sử dụng hãng đẳng thức, ) Mới đầu, cĩ thể phải nhẩm lại các kiến thức và phương pháp đĩ để chuẩn bị, nhưng khi đã quen giải tốn thì quá trình đĩ cĩ thể
được tái hiện một cách "vơ thứt
1.3.2 Phân tích bài tốn để đưa về những bải tộn đơn giản hơn
Một bài ốn, nhất là bài tốn tổng hợp, bài tốn khĩ thưởng được
xây dựng từ những bài tốn đơn giản hơn Cần thử xem cĩ thể phân tích bài tốn dang xét thành những bài tốn đơn giản hơn khơng, rồi giải từng bài tốn nhỏ ấy, sau đĩ kết hợp chúng lại để cĩ lời giải của bài tốn đã cho Chẳng hạn, để chứng mình rằng “nếu p là số nguyên tổ > ư thì p°
~ 1 chia hết cho 24, ta cĩ thể tách thành hai bài toan; a) (p*— 1) : 8,
bị (pš— 1) š 3 Khi đĩ để giải bài tốn a) ta nhận xét rằng p (p+ Wp 1) là tích của hai sỡ chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8; và bài tốn b) giải được do nhận xét rằng số nguyên tố p >5 cĩ dạng p= 8k + 1 nên (p°~ 1) : 8 1.3.3, Liên hệ và sử dụng các bài tốn đã giải
“Thật ra khĩ mã đặt ra được một bài tốn hồn tồn mị
giống hất kì bài tốn nào, hoặc khơng liên quan gì với bài tốn
kháe (mà lại chỉ sử dụng các kiến thức trong phạm vi chương trình) Vị
thể, khi gập một bài tốn, ta gắng nhớ lại xem đã gặp một bài tốn tương tự hoặc gản giống với tốn cẩn giải chưa, và nhớ lại con đường đi đến lời giải bài tốn đã biết Điều đĩ sẽ giúp ta rút ngắn việc tìm tơi lời giải của bài tốn “mới” này và tạo thêm rất nhiều thuận lại „ khơng
Chẳng hạn, để giải bài tốn: "Hai 6ơ dì từ A nà B trên đường tảnh
đai của thành phố — là một đường trịn tới bán kính lR ~ nếu đỉ cùng chiểu thì sau œ giờ sẽ gặp nhau, nếu đĩ ngược chiếu thì sau b giờ sẽ gặp
dhau, Tìm uận te tia moi
va khoảng cách của chúng”, (trong đỏ a, b,
R được cho bằng số) Ta nhớ lại rằng đã gặp bài tốn hai xe ơtơ (người di hộ, đí xe đạp, hai thuy my hai đồn tẩu, ) đi cùng chiêu, đi ngượ
Trang 19đi được; và "khoảng cách" AB sẽ là hai cung (cung nhỏ và cung lớn trên đường trịn), nếu để tốn khơng nĩi rõ là “khoảng cách gần nhất" (tương tự bài tốn kinh điển về tính thời gian để hai kim đồng hồ trùng nhau)
Như vậy khi nhớ được một hay một số bài tốn tưởng tự bài tốn đang xét, cĩ thế về dạng tốn, về phương pháp, về vấn để đặt ra, về cải chưa biết phải tìm, ta đã lợi dụng được những điểm tương đồng về
phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả,
1.3.4 Mị mắm, dự đốn
Trong khi tìm tơi lời giải cho bị ta cĩ thể thử nghiệm với một số trường hợp đặc biệt, nhiều khi sẽ cho ta những gợi ý để giải
quyết trong trường hợp tổng quát Việc này cũng là nội dung của phương
pháp “đặc biệt hố” (2), nhưng ở đây được sử dụng để gợi ý (chứ khơng phải để kiểm nghiệm), để tìm tơi lời giải và phương phấp đi tới kết quả Chẳng hạn để tính tổng toa S=14+3+5+ +2005 Ta ¢6 thể thấy ngay 1+3=2⁄1+8+ð 1+3+5+7=16=42 "| 7 2 từ đĩ cĩ thể nghĩ rằng s-( } roi chứng mình kết quả dự đốn đĩ bằng quy nạp (§2) hoặc bằng cách tính trực t 1.3.5 Bản gợi ý của Pưlya « Bạn đã gặp bài tốn này lắn nào chưa? Hay dạng bơi khác?
« Bạn cĩ biết một bài tốn nào liên quan khơng? Một định lí nào cĩ
thể sử dụng ở đây được khơng?
® Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài cĩ cùng ẩn hay cĩ ẩn tương tự
đ gặp bài tốn này ở
Trang 20
« Day là một bài tốn liên quan mã bạn đã cĩ lần giải rồi Gĩ thể
sử dụng nĩ khơng? Cĩ thể sử dụng kết quả của nĩ khơng? Cĩ thể sử dụng phương pháp của nĩ khơng? Cĩ cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thï mới sử dụng được khơng?
* Cĩ thể phát biểu bài tốn một cách khác khơng?
« Nếu bạn vẫn chưa giải được bài tốn đã cho thì hãy thử giải một bài tốn liên quan mâ dễ hơn được khơng? Một bài tốn tổng quát hơn?
ẩn được xác định đến một chừng mực nào đĩ, nĩ biến đổi như thể nào?
Bạn cĩ thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố cĩ ích khơng? Cĩ thể nghĩ ra những dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn khơng? Cĩ thể thay In hoặc các dữ kiện (hoặc ea hai) sao cho các ẩn mới và các đữ kiên mới gắn nhau hơn khơng?
* Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa? Đã để ÿ đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài tốn chưa?
1.4 TRÌNH BẢY LỜI GIẢI
Khi đã tìm được cách giải rồi thi việc trình bày lời giải khơng cịn
khĩ khăn nữa, song tính chất hai cơng việc cĩ khác nhau Việc trình bày lồi giải là văn bàn để đánh giá kết quả hoạt động giải tốn
Khi dang tim toi lời giải, ta cĩ thể mị mẫn, dự đốn (1.3:4) thể dùng cách lập luận tạm thời cảm tính Nhưng khi trình bày lời gị thì chỉ được đùng những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chỉ
tiết, Phải chú ý đến trình tự các chỉ tiết, đến tính chính xác của từng chỉ tiết, đến mối liên hệ giữa chi trong từng đoạn é
trong tồn bộ lời giải Khơng cĩ chỉ tiết nào "bỗng nhiền” xuất hiện mà khơng căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chỉ tiết mà tà trình bây trước đĩ, cĩ
Trang 21
gon, ta lai thường dùng phương pháp tổng hợp (thường gọi là
lên" — sẽ được trình bày kĩ hơn trong §2) phần tích dị Lời giải phải dược trình bay gọn găng, mạch lạc, sáng súa, dễ dục,
1:5 KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ LỠI GIẢI, KHAI THẮC BÀI TỐN
Cơng đoạn cuối cùng này cũng cẩn thiết v hay bi bé qu
bố ích nhưng thường „ Trong khi trình bày lời giải, rất cĩ thể eĩ thiếu sĩt, nhầm lẫn Việc kiểm tra lại sẽ giúp ta trành được những gai sốt đỏ
giúp ta tích luỹ thêm kinh nghiệm cho những bài tốn kháe, Hơn n
việc nhìn nhận lại tồn bộ cách giải cĩ thể giúp tì phát hiện dug
giải khác tốt hơn, ngắn gọn hn, hay hơn hồ
nhìn lại tồn hộ
mới, mà bài tốn vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt, Cơng đo được gọi là khai thác hài tốn Cĩ thể khai thác theo
i cbr
h hơn Ngồi ra, giải nhiều khi gợi ý cho ta tìm được những bài tốn © âu in nay eon hướng sat © Hướng 1: Phát biểu bài tốn tương tự, bài tốn này cĩ thể được khơng?
« Hướng 3: Khái quật hố, cĩ thể phát biểu bài tấn tổng quất được
khơng? Bài tốn tổng dì cư cịn đúng nữa khơng? Trải lại với khái
quất hố là đặc biệt hố (xem §2) luơn luơn đưa đến kết quả đúng, cĩ thê mạnh hơn + Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được bài tốn mới Phương pháp giải một bài tốn khác ® Hướng 4: Từ ý nghĩa bài tốn đã giải dân đến phương pháp giải một bài tốn khác
Ví dụ 1: Từ bài tốn “chứng mình rằng tích hai số tự nhiên liên
tiếp chia hết cho 9", đưa đến
Bai tốn tương tự 1: Chứng mình rằng tích 3 số tự nhiên liên tí
chia hết cho 3
Bài tuần tưởng tự 2: Chứng mình rằng tích của 4 số tự nhiên liên
n tiếp chia hết cho 4
Vĩ dụ 9 Từ bài toản “Chứng mình rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3" cĩ thể khải quát thành
Trang 22
Bài tốn khái quát 3: 'Tích của n sổ nguyên liên tiếp chia hết cho n (đúng) Bài lốn đặc biệt hố: Tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 (mạnh hơn)
Chú ý rằng bài tốn khái quát cĩ thể khơng đúng Chẳng hạn bài tốn “nếu số nguyên tố p > õ thi pŠ — 1 chia hết cho 24” khơng đúng khi
p là số nguyên tố bất kì
Vĩ dự 3 Xuất phát từ bài tốn: “Tính biểu thức
A= (xt y= (ey
(học sinh cĩ thể tính được A = 4xy) Từ đĩ cĩ thể lặp được các bài tốn
mới theo hướng 3 và 4 nĩi trên, đĩ là:
Chứng mình rằng nếu tổng x + y khơng đổi thì tích xy lồn nhất
(khi (x- y)? nhỏ nhất) khí x = y
Chứng minh rằng nếu x > 0, y > 0 và tích xy khơng đổi thì tổng x + y
lớn nhất (khi (x ~ y)? nhỏ nhất) khi x = y
Bang cach ap dụng đẳng thức trên, cĩ thể đưa bài tốn “tìm hai số
biết tổng (hiệu) và tích của chúng”
Hai bài tốn sau đây (cùng với các bài trong chủ điểm 1 phần
thực hành giải tốn) là các ví dụ phân tích các “cơng đoạn” của quá
trình giải tôn
Ví dụ 4 Tìm hai số biết rằng hiệu của chúng bằng 312 và nếu viết
thêm chữ số 5 vào sau sổ bị trừ thì được một số lớn hơn số trừ là 36
Giải (gợi ý) Đây là loại tốn "tìm sổ", mà chủ yếu là loại tốn về “vách vị Mấu chốt của bài tốn là: nếu thêm chữ số 5 vào sau mat
Trang 23Khai thắc:
19 Cĩ thể thay các dữ kiện 319, 96 ư bởi các số a, b, e, với điều kign a, b> 0,0 <¢ <9, (n + b—c) chia hét cho 9
2°/ C6 thé thay “hiệu” bởi “tổng”, khi đĩ hai số phải tìm cĩ vai trỏ
bình đẳng, chỉ cẩn nĩi "số này”, kia”, và các số đã cho a, b, e thoả
mãn diều kiện a, b >0, 0 <e< 9, (a +b — e) chia hết cho 11 Vi du 5 Hai vơi cùng chị vào một bể trong 12 giủ thì đẩy bể chảy với một máy bơm nhỏ làm nĩ tăng lưu lượng gấp đơi, do đĩ chỉ sau
3h30' nữa thì đẩy bể Hỏi mỗi vịi chây một mình thì trong bao lâu sẽ đầy bể (khơng cĩ máy bơm tăng cường)
Giải Cơng đoạn 1, 3, 3 4 (phân tích tìm tơi lồi giải và giản Đây là loại bài toần về vịi nước, quan hệ giữa lưu lượng và thời gian Theo để bài, cĩ thể sắp xếp các dữ kiện như sau:
+ thời gian vơi 1 chảy đầy bể (1 bể) x(x>0)
3 ư }
+ lượng nước vịi 1 chảy trong Ì giờ =
+ thời gian vịi 2 chảy đầy bể i y
+ lượng nước vơi 2 chảy trong 1 giờ đầu
Trang 24"Từ đĩ ta được hệ phương trình: Jeter = 21 (gid) 28 (gid)
Giải hé nay ta duge x Khai thác bài tốn:
1) Cĩ thể giải các bài tốn “tương bự" cùng loại, như bài tốn về
năng suất lao động của hai tổ sản xuất v.v
2) Khi giải hệ phương trình, nên xem Ì„ Ì là ẩn để các phép tính
xy,
được đơn giản
Chú ÿ: Trong thực hành cĩ thể ghép hai cơng đoạn 1 và 2 thành “phân tích”, cơng đoạn 3 và 4 thành “giải” (như trong các bài tốn sẽ
trình bày trong giáo trình)
§2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN THƯỜNG GẶP VÀ NĂNG LỰC TƯ DUY CẦN CĨ KHI GIẢI TỐN
2.1 QUY NẠP VẢ DIEN DỊCH
Nếu từ các khẳng định trên một
luận chung cho mọi trường hợp thì suy luận đĩ gọi là quy nạp Cĩ hai loại quy nạp: quy nạp hồn tồn và quy nạp khơng hỗn tồn,
trường hợp riêng ta rút ra kết
Quy nạp khơng hồn tồn là quy nạp mà kết l tổng quát được
khẳng định từ một số trường hợp eụ thể Do đĩ, kết luận của phép quy Đập khơng hồn tồn cĩ thể đúng, cĩ thé sai, cĩ thể chưa biết đúng sai +1, 42+ 1, đếu khơng cho 8 với mọi n >1, Ví đụ 1 Từ nhận xét 1° + 1,32 + 1,3
hịa hết cho 3 ta kết luận nẺ + 1 khơng chia
9c N, Kết luận của phép quy nạp khơng hồn tồn này là đúng (cĩ
thê chứng mình trực tiếp hoặc bằng phép quy nạp hồn tồn như sẽ
nĩi dưới đây),
Trang 25
Ví dụ 2 Từ nhận xét #7 + 1 en td, 27+ 1 7 là số nguyên tổ, 3''4 1 = là sổ ngu én tố, tả suy ra (quy nạp khơng hồn tồn) rằng với Vn e N, “+ 1 là số nguyên tố Kết luận này sai Vi du 3, Tit nhận x +345, IT=B474+ 719254747, 21574747, B+ 545, 15 34547 =5+74+ 11, 5+7
+ 18, ta suy ra (quy nạp khơng hồn tồn) rằng “mỗi số lẻ lớn hơn 9
déu là tổng của ba số nguyên tổ” Kết luận nà
đúng hay sai (bài tốn Gơnbách từ 1743)
2
điến nay vẫn chưa biết là
Quy nạp hồn tồn là phếp quy nạp mà kết luận chung được khẳng
định cho tất cả các trường hợp được xét bằng một chứng mình chật chế tốn học đưởi đây) hoặc bằng cách thử rác trường hợp (nếu cĩ thể thử được)
(bằng phương pháp quy tất
Giả sử A(n) là một khẳng định đổi vải số tự nhiên n Để chứng minh ring A(n) đúng với mọi n € N, ta sử dụng phương phâp quy nạp
tốn học theo n, gam hai bước như sau:
1 thì AO@) đúng,
b) Giả sử A(n) đã đúng với n = k - 1, chứng minh rằng A(n) đúng
Với n = k (hoặc giả sử An) đã đúng với n = k, chứng minh rằng A(n)
Trang 26tức là mệnh đề cũng đúng với đ= k+ 1
Vậy mệnh để đúng với mại n & N
Chủ ý: Với bài tốn này cĩ thể chứng mình trực tiếp bằng cách
viết tổng 8, theo thứ tự ngược lại rồi cơng hai tổng vế với vế ta được
28, = nín* 1)
Ngược lại với phép quy nạp là phép điễn địch, quy nạp và diễn dịch đối lập của một quá trình tư duy thống nhất, Cơ sở của phép
diễn dịch là quy tác lơgie sau day; Nếu biết rằng thuộc tính P thuộc về
(hay khơng thuộc về) mỗi đối tượng hợp thành lớp đã cho thì thuộc tính
đĩ cũng sẽ thuộc về (hay khơng thuộc về) mọi đối tượng cá thể ki
trang láp đĩ
Quy tắc đĩ cơn được gọi là tiên để của luận ba đoạn (hay “tam đuạn luận”), được biểu thị bởi:
mồi đổi tượng thuộc A đểu cĩ tinh chất P' xeA x cĩ tính chất P Nhân xĩt:2=1+1,4=8+1,6
khẳng định rằng “mỗi số chân đều phân tích được thành tổng hai số lê", đĩ là phép quy nạp Khẳng định đĩ cĩ thể chứng mình trực tiếp hoặc
bằng phương pháp quy nạp tốn học (bạn đọc tự thực hiện) Bây giỡ xét số 3006 Vì 2006 là một số chân nên nĩ phản tích được thành tổng hai
103 + 3 = Do li: phép điễn dịch
Phép diễn dịch, luận ba đoạn tốn học se xét đưui đầy
le chang han 2006
.„ là một loại phương phap suy dién
2.2 PHƯƠNG PHÁP SUY DIỄN
Suy diện là phương pháp phố dụng của quá trình giải tốn, được sử dụng thường xu ong moi bài tốn, mọi
nĩi "suy điễn là đậe trưng của suy là peti
Phương pháp này
uy luận tốn học Cĩ thể n tốn học” (đến nỗi cĩ câu nĩi vui
nhà tốn học là suy diễn”),
hủ yếu dựa trên các tính chất của phép kéo theo (ki higu la =) trong logie, được định nghĩa bởi bảng chân lí sau
Trang 27
0 \ 0 0 | | 1 | | 1 o | o |
trong dé A BIA edie ménh dé da cho, A => Bla ménh dé “A kéo theo BY
(hoặc "A suy ra B" hoặc * nếu A thì B” hoặc "A đủ để cĩ B7; 1 và 0 là để
chỉ mệnh để đúng hay
Tit din nghĩa trên suy ra một số hệ quả, trong đĩ cĩ hai quy tắc dụng thường xuyên như sau; aug 1" Néw A => Ba A ding thi B din ASB A B Cĩ thể viết quy tắc này dưới dạng lại quy tắc "luận ba đoạn” đã nĩi ở trên dưới một dạng khác, 29, Nếu Á = B và B = € thì A = C “Tổng quát hơn, nếu À¡ =
A Ay => Ags 0 9 Ayo 9 Ay thi Ay =
Quy tắc này thường được gọi là quy
ác suy diễn liên tigp
Ví dự 6 Một số cơ tổng các chữ số chia hết cho # thi chia hét cho 3 ống các chữ số ch a hét cho: 2007 + Ví dụ 7 Hai gĩc đổi đỉnh thì bằng nhau 6, và Ø, đối đỉnh Ví dụ 8 Sau đây Với mọi m.n < N
là một đoạn trích trong lời giải của một bài tốn:
Trang 28“Trong ví dụ 6 và 7, tà đã dùng quy tắc "luận bà đoạn” trong ví dụ
y lùi giải của quy tắc
8 ta đã dùng quy tắc suy diễn liên tiếp, Bạn dọc cĩ thể
) và chỉ ra các một bài tốn bất kì (đại số, số học, hình họi
suy diễn đã được sử dụng như thế nào Thơng thường trong quá trình
tục các quy tắc suy diễn một cách “lăng le", La giải tồn, “ty pl dụng nhiên” mà khơng cẩn vạch tưởng mình e: ¿ quy tắc suy “ma diễn đã sử dụng 2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Ta nhắc lại rằng hai mệnh để A, l được gọi là fương đương, kí hiệu
boi A B (hoae A= B) néu A => B va B => A, Noi khác đi, nếu A và B i luần luơn cùng đúng hoặc cũng
Giả sử A là một mệnh để đã cho 'a gọi mệnh để phủ định của Á kí hiệu bởi Ä (hoặc TA) là mệnh để đúng khi A sai va sai khi A đúng
Giá sử A B là các mệnh để đã cho Nếu A => B là mệnh để thuận
thì B => A được gọi là mệnh để đđo, A =+ B là mệnh để phản,
BS A
là mệnh để phản đảo
Hằng cách lập bảng chân lí, căn cứ vào các định nghĩa trên ta chứng minh được rằng các mệnh để thuận và phản đảo là tương đương, các mệnh đế đảo và phan là tương đương Đặc biệt, ta quan tâm đến
Đỗ là cơ sở của một phướng pháp suy luận tốn học: phương pháp
phản c é ° 4
phản chững; Để chứng mình mệnh để A =: một loạt suy ảng l3 sai và sau
các quy tắc duy diễn nĩi
ộ luận trung gian (sử dụng liên tí
Trang 29củn một bất đẳng thức với cùng một số dương thì bất đẳng thức khơng
đổi chiều”, tà được: <b = vada < Và th < vi =(á)" <(ỨB)" =ä < b, trấi với y <b) if thiét, (Dpem) bb = (9a Phương pháp phan chứng được đùng trong hình học nhiều hơn trong đại số,
2.4 PHAN TICH VA TONG HOP
Để phát triển trí tuệ cho học sinh, cẩn coi trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích và tổng hợp
Phan tich là đồng trí Ge để tách ra từng thuộc tính hú
riêng bị n thể ra thành từng phản y khía cạnh e thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái tồn thể hoặc hợp lại từng phần eủa cái tồn thể, Đĩ là hai mặt đối lập của một qu
tuy đĩ là những thao tác trấi ngược n trình thống nhất trong tư Au,
'Trong hoạt động di tốn, trước hết phải nhìn nhậ mét each tony hợp để xem bài tốn đĩ thuộc loại gì, cẩn huy động những kiến thức
thuộc vùng nào, cĩ thể sử dụng những phương pháp nào sau đĩ phải phân tích cái đã cho và cải phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bãi tốn
tố của bài tốn đê tìm ra lời
giải Sau khi tìm được lời giải của các bài tốn bộ phân, phải fing hap
lại để được lồi giải của œ n đang xét Thơng thường, khi tìm tài
lùi giải, ta đùng phương pháp phđn tich nhiều hơn, nhưng khi trình bày
lời giải, tạ dùng phương pháp tổng hợp cho ngân gọn, dù đơi khi cĩ vẻ
thiểu tự nhiên, Các kiến thức trong sách giáo khoa thường được trình
bày theo phương pháp tổng hợp để
i to:
Trang 30
tich di lén, con phương pháp phân tích được gọi là phương pháp phán tịch đi xuống Vĩ dụ 10 'Tìm cơng thức giải phương trình bậc hai tổng quát ax’ + bx +¢=0 (a 40)
Sau khi chia hai vế cho a, cân phải phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc nhất, mà đã cĩ hai hạng tử x7 và P x (tức ø ” x), vậy cẩn phải a 2 thêm bĩt hạng tử nào nữa? (thêm bớt ( : ~) Khi đã đạt đến
hiện yêu cầu phải đật bŸ — đae = A và nĩ là biệt số, và phải Xết các trường hợp A>0,A=0, A<0, Đối với mỗi trưởng hợp, lại đặt
câu hưi phân tích tiếp €ĩ thể trình bày lời giải bài tốn đĩ theo phương pháp tổng hợp như sau: Với 4 ~ 4ae được gọi là biệt số Xét các trường hợp: À >0: phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x Ä =0: phương trình cĩ nghiệm kép x À0: phương trình võ nghiệm 2:5 TỔNG QUÁT HỐ, ĐẶC BIỆT HỐ “Tổng quát hố cĩ ý nghĩ
Trang 31
chứa tập hợp ban đầu làm tập con Nhờ tổng quát hố, cĩ thể để xuất được những giả thuyết, những dự đốn Tổng quát hố một bài tốn cĩ thể đưa tới một bài tốn rộng hơn (cĩ thể đúng hoặc khơng đúng (hoặc
khơng giải được) Cĩ khi tổng quất hoa mot bai tốn lại giúp ta tìm t lồi giải thuận lợi hơn, đễ đăng hơn đổi với bài tỗn đã cho Tổng quát
hố cịn dược gọi là khái quát hố
Ngược lại với tơng quát hố là đặc biết hố, Đĩ là suy luận chu: từ việc khảo sắt một tấp hợp sang việc kỉ p hợp
ban đầu Đặc biệt hố cĩ tác dụng để kiểm nghiệm lại kết quả trong
những trưởng hợp riêng hoặc để tìm ra những kết quả khả (thường sâu
sắc hơn) Trong việc tốn, vì
$e xét trường hợp đặc biệt cĩ khi gọi ÿ cho tả tìm được lời giải của bài tốn đang xét hoặc thấy được phương pháp giải 'Tổng quát hố và đặc biệt hố cũng là hai mặt đối lập trình tư duy thống nhất một quá Ví dụ 11 Sau khi giải được các phương trình bậc hai, ta cĩ thể
tổng quát hố bằng cách xét các phương trình tam thức dang:
XÊP + bự" + e =0 (az0neN)
Các phương trình trùng phương dạng ax' + bx” + e = 0, ä # 0 lại là trường hợp đặc biệt của phương trình tam thức với n= 9
Vĩ dụ 12 Phương trình ax + bx + e= 0, a z 0 với các hệ số thoả mãn a +b+e= 0 (hoặc ä ~ b + e = 0) là trường hẹp đặc biệt của phương
trình bậc hai tổng quất, cĩ hai nghiệm là 1 và Ê (tương ứng, ~1 và
2.6 TƯƠNG TỰ HỐ
Xét hai đối tượng X, Y, trong đĩ X cĩ các đấu hiệu a, b, e, d, cơn Y cĩ các dấu hiệu a, b, ¢, ta dự đốn rằng Y cũng cĩ đấu hiệu đ và nĩi rằng “tương tự, ta thấy " Vậy nếu từ hai đối tượng giống nhau ở một số đấu hiệu ta dự đốn rằng hai đối tượng đĩ cũng giống nhau ở dấu hiệu khác
thì suy luận ấy được gọi là phép tương tự hộ Khi đĩ kết luận rút ra từ
Trang 32thể giúp ta nhanh chĩng tìm ra lời giải Trong việc trình bày lời giải để tránh việc lập đi lập lại dài dịng khơng cẩn thiết, khi gập trưởng hợp trình tự lơgic tương tự và khơng cĩ gì mới khác thì ta viết gọn là "tương tự như trên ta cĩ ”, hoặc "chứng minh tương tự tạ được ” Ví dụ 13 Để chứng mình bất đẳng thức Bunhiaeơpski (ae + bdj? < (a? + e9)(b* + d3) ta cĩ thể giải như sau: Nhận xét rằng Vx e R ta cĩ (ax ~ 0) 2 0 => a*x® — Qacx + e820 a) Tương tự tả cố: b?x? — 8hđ + đẺ > 0, (8) Cong (1) va (2) vẽ với vế ta được (a? + b3)” ~ 2(áe + bd)x + (c£ + d2) >0 (3)
Về trải của (3) là một tam thức bậc hai thoả mãn Vx e R và hệ số của x° That +b*> Onén ta e6 A’ <0, tue
(ac + bd)® < (a2 + £2(b + đ9 (đpem)
Chú ÿ: Để nâng cao độ tỉn e các kết luận bằng phương pháp tương tự,
đ lưu ý những diểm sau đây:
n cố uắng xác lập càng nhiều càng tốt các dấu hiệu chung cho
các đổi tượng được so sinh
„ °› Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng dược so sánh là điểm hình nhất đổi với các đổi tượng đĩ Nĩi khác đi, các đấu hiệu chung của các đổi tượng so sánh cẩn được liên hệ càng mật thiết
# tốt đối với các thuộc tỉnh khác của các đối tượng đang xét
3Ÿ- Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung xác lập giữa các đối tượng dude so sinh 1a cing cing #iểu càng tốt với dấu hiệu đợc chuyển từ đổi tượng này sang đối tượng kỉa, tức là với đấu hiệu mà kết luận bằng tương tự đã xác nhận là vốn cĩ của đối tượng này hay đối tượng khác,
Trang 33
4” Cần cố gắng sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng được so sánh là đặc trưng, riêng biệt đối với chúng (trong mọi trường hợp, là những đấu hiệu thuộc về một nhĩm đối tượng càng hẹp cảng hay)
27 TRUU TUQNG HOA, CU THỂ HỐ
Cùng với tính chính xác, tính lơgïe, người ta xem khả năng trừu tượng hố là một trong những mật mạnh nhất của Tốn học Ngay từ khi cịn hé, trẻ em đã được biết rằng số cĩ thể chỉ hai cải bút chỉ, haủ con gà, hai quả cam, hai ngĩn ta tít, các em được lâm quen với a, b, e cĩ thể chỉ bất kì số nào, và về sau các em sẽ thấy chúng khơng chỉ là các con số Quả trình trừu tượng hố được nâng dẫn lên, tuỳ thuộc vào trình độ của từng người Tốn học giúp ta làm vi trên những kí hiệu đĩ Từ các “hình dạng khơng gian” và các "quan hệ số lượng" người ta tiến hành trữu tượng hố từng cấp độ, khơng những chỉ dùng các con số các chữ, các kí hiệu lơgic mà cịn dùng các phương trình, bất phương trình, các hàm số để càng ng: ng biểu thị được trung tốn cho học sinh (trong đĩ cĩ việc
luyện khả năng trừu tượng hoả trong quá trình tư du
Ngược lại với trừu tượng hố là cụ thể hố, Đĩ cũng là hai mặt đổi lập của quá trình thống nhất trong tư duy Trong Tốn học (đặc biệt là
khi giải tốn), ta làm việc với những kí hiệu những biểu thức, những phương trình, bất phương trình, tuân theo những quy luật lơgie mà
phản lớn khơng cẩn để ý đến ý nghĩa thực tiễn củ y nhiên trong nhiều bài tốn (nhất
các Ấn, các kí hi dang dang T các bài tốn về lận
phương trình, bất phương trình) thì uất phát điểm của bài tốn là thực tiển, là mật trường hợp cụ thể được trừu tượng hố và kết lu
cố gắng đưa vào các loại "tốn": từ các biểu thức, phương trinh đã cho tạo nên những tình huống phù hợp vỏi thực tế đưa đến các phương
trình, biểu thức đĩ Việc này khĩ - và khơng phải bao giữ cũng thực h
được - nhưng khi làm được thì sẽ tạo được sự ham mê mơn Tốn và chỉ
Trang 34
rõ hơn sự lợi ích của Tốn học, vì học sinh sẽ thấy cùng một phương
trình cĩ thể biểu thị nhiều sự kiện xảy ra trang cuộc sống
Ví dụ 13 Tuán cổ Việt Nam: Vừa gà vừa chĩ, bĩ lại cho trịn, ba mưới sầu con, một trăm chân chấn Hỏi cĩ mấy gà? mấy cÍ
Bằng cách đật các câu hỏi gợi ý (bạn đọc tự làm) ta đi đến hệ phương trình [x+y =36 Í3x+ 4y =100 trong đĩ x là số gà, y là số chĩ; tạ tìm được x Vĩ dụ 14 Hãy đặt mật bài tốn din đến phương trình 90 x x-10 90 a7
bai to’in ddn gifin nhat 1a “tim sé x sao cho " Song dé
, chẳng hạn cĩ thể đặt; "Quảng đường từ Hà Nội đến Nam canơ đi và về hết 7h30!
ng Hồng chảy bình thường là
Dĩ nhiề
"cĩ nội dung’
Định theo đường sơng dài 90km, một c† tốc độ của ennơ biết rằng vận tốc nước
10km/h Thể thì nếu đặt x là vận tốc cand di xudi dong, ta duge phương trình trên, dưa vẻ phương trình bậc hai, giải ra ta được xị = 30km/h, x = 4kmUh, chi lấy được nghiệm x
Song cũng cĩ thể đặt bài tốn “năng suất lao động”, "vơi nước để đưa đến phương trình trên (bạn đọc thử xem), sẽ rất vui vì Sẽ xuất hiện những bài tốn thực tế mà “phi thực tế”,
chảy",
THỰC HÀNH GIẢI TỐN CHƯƠNG 1
CHU ĐIỂM 1: CÁCH GIẢI MỘT BÀI TỐN
Trang 35
Vì a, b, e là các số tự nhiên nên %, „ là số hữu tỉ khi VhỶ - đae là số
chính phương Ta đi đến lời giải bài tỗn như sau: b Lời gi G phương trình ax” + bx + e = 0 cĩ nghiệm hữu tí Khi đĩ A=bŸ~ đạc = mổ, m € Z
Ta cĩ — đa.ahe = 4a(100a + 10b +e)
= 400a* + 40ab + dac
= (20a +b)? =m
= (20a + b + m)(20a + b~m) Vi abe 1a sé nguyén to nén (20a +b +m) | abe hoặc (30a + b ~ m) ¡ abe-
Vậy (20a + b +m) = abe Ma abe 1008 + 10b #¢> 20a + 2b > 20a +b +m > abo Vay abe > abe v6 li,
Điều này chứng tơ phương trình khơng thể cĩ nghiệm hữu tỉ œ Khai thác bài tốn:
Muốn phương trình bậc hai hệ số nguyên cĩ nghiệm hữu tỉ chứng mình A là số chính phương Vì vậy tạ cĩ thể đứa ra bài tố cùng phương pháp (nhữ tính biệt số A)
" cần
giải Bài lốn 1.1 Cho cấc số nguyên p d Chứng mình rằng nếu phương trình x? + px + q = 0 cĩ nghiệm hữu tỉ thì các nghị
nghiệm nguyên
em đỏ là "Tổng quát bài tốn 1 nĩi trên ta được bài tốn 2
Trang 36
cĩ thể cĩ các bài tốn 3, 4 như s
“Tương tự bài tốn 1,
Bài lốn 1.3 Cho 3 số nguyên lẻ a, bạ e: Chứng mình rằng phương trình
ax’ + bx +e=0 khơng cĩ nghiêm hữu tỉ
Hải tuản 1.4 Chủ 3 số nguyên a, b, e sao cho ä + b + e lẻ và œ
minh rang phương trình ax + bụ + e =0 khơng cĩ nghiệm nguyên
„ Chứng
“Tổng quát hố bài tốn 4 ta cĩ bài t
ải tốn 1.5, Choa, © Zi = 0, Lee, 0) va ay # 0 Chứng mính rằng
phương trình
gn" teagxt tect ay +-8y =O
khơng cĩ nghiệm nguyên nếu f0) và f(1) lẻ
Tổng quất bài tốn 1 ta được bài tốn 6 như sau:
Bai todn 1.6 Chop „;n> Ø là một số nguyên tố Chứng
mình rằng phương trình
ax? taux" +a, xt
khơng cĩ nghiệm hữu tỉ
Bài tốn sổ 8 Cho x, y là các số thoả mãn điều kiện (x+y =x ty" Chitng minh rang (x + y)'=x" + y" a Phan tic!
‘Tit gid thiét (x + y)’ =x" + ý° phải chứng mình (x + y)"= x” + y" Ta
Nn Xét xem giữa x, ý cĩ thể cĩ mối quan hệ cụ thể nào chăng? Vì thế ta
Trang 37<> Bxy(x ty) =0
x=0
Tie dd cĩ 3 trudng hop:
® Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hiển nhiên +y° (&ty)P=x « Nếu x = -y thi vé trai (x + y)’ = 0° = 0 con về phải x y= Cy) + yO Vay là vẫn cĩ diều phải chứng minh Kết luận: Nếu (x+y)"=x'+ y*thi (x+y Ẳœ Khai thác bài tốn: xe0 Vi (x+y)'=x'+y'©ly=0 x=-y
Nên với các số mũ lẻ ta cĩ bài tồn tưởng tự sau:
Bài tốn tưởng tự: Nếu (x + yy! = x" + y} thì:
= x ý
Lại cũng căn cứ vào đặc điểm “sổ mũ lẻ" ta được bài tốn tổng quát:
Bài tốn tổng quát: Chứng mình rang néu (x + y)' = x! + y" thi voi mọi số tự nhiên lẻ n tr cĩ
(x+y)"=xh ty
Cần chú ý rằng yếu tổ "số mũ lẻ" quyết định tính đúng đắn của bài tốn và hơn nữa luy thừa bậc lẻ của số âm là một số âm nên nếu trong bài tốn tổng quát bớt đi yếu tố "số mũ lẻ" thì kết quả khơng cịn
đúng nữa,
Bài tốn số 3 Cho N = 1.2.8 + 9.3.4 + + nứn + 1)(n +2)
Trang 395 + 3.4.5.6 + + nín + 1)(n + #)(n + 3) ~I1.8,8.4+ 9,8, 4.5 + + nữn + LJín + 9).4| T-4N= 123.4209 4 ỗ + + ni =l)(n + 1)(n + 2) T= nín # 1)(n # 3)(n + 3) nin + l)(n + 2)(n £3) Vay N= Do đồ 4N + 1= (nỶ + ấn + 1) © Khai thác bài tốn:
“Thực chất bài tốn trên thuộc dạng tính tổng hữu hạn Trong thực
tế, để tính những tổng hữu hạn loại này, người ta thường phân tích sao cho m ú hai số hạng “nhủ” và các số hạng "nhỏ" của tổng này cĩ thể khủ với các số hạng "nhỏ" củả tổng bên cạnh Vi vay ta co thé el số hạng (của tổng) được tách thành hỉ kiểu phân tích: i -i(4 1 Ì “đn+k) kn nek) nàn! =nf [0+ 1) 1|=(n+ 1) ~ nŸ
Do đĩ cĩ thể để xuất bài tốn tương tự
Trang 40Đài tốn số 4 Cho p, g là các sổ nguyên tố khúc nhau, q lẽ, ạ z 5 chứng mình
a Phan tích:
+ Vì q lễ nên q2 9, hơn nữa q 2
vái mại N suy rủ (q, 10) = 1 => (q, 10 + Mật khác hiệu các sở dạng p p là số dạng pp‹p 0.0 nay chia hét cho q thì đo (10°, q) = 1 do d6 pp,.p chia hét cho q vì vay ta di dén | ), nếu hiệu lải sau: 6, li giải: (sử dụng ngụy on tắc suy luận Diriehlet) Xết q + 1 số tự nhiên sau PPPs PPI
Ta chia q + 1 sé tu nhién nĩi trên cho q, vì chỉ cĩ q khả năng dư là 1, q~— 1 nên trong q + 1 số tự nhiên nĩi trên ít nhất phải cơ hai số:
cĩ cũng số dư trong phép chia cho q (nguyên tắc DirichleU Giả sử đĩ ph.p - ppap chia hét cho q q => ppp.10924 mà (10", g) = 1 nén p.p
+ Khai thác bài tốn:
Đặc biệt hĩa với p= 3, q = 3 ta cĩ bài tốn 3