THAI NGUYEN UNIVERSITY OF EDUCATION MATHEMATICS PROBLEM SEMINAR Problem Dirichlets Principle and some applications Subject Discrete math Lecturer Tran Nguyen An Author Nguyen Nhu Quynh Unit English for students of mathematics (NO1) June, 2022 27 CONTENT Introduction Page Chapter 1 Basic knownledge 3 1 1 Basic Dirichlet Principle 3 1 2 The Generalized Dirichlet Principle 3 1 3 Extended dirichlet principle 4 1 4 Dirichlets principle of set form 5 1 5 Dirichlets principle of the extended set 5 1.
THAI NGUYEN UNIVERSITY OF EDUCATION MATHEMATICS - - PROBLEM SEMINAR Problem: Dirichlet's Principle and some applications Subject: Discrete math Lecturer: Tran Nguyen An Author: Nguyen Nhu Quynh Unit: English for students of mathematics (NO1) June, 2022 CONTENT Page Introduction Chapter 1: Basic knownledge 1.1 Basic Dirichlet Principle 1.2 The Generalized Dirichlet Principle 1.3 Extended dirichlet principle 1.4 Dirichlet's principle of set form 1.5 Dirichlet's principle of the extended set 1.6 Application method Chapter 2: Application of Dirichlet Principle to compined geology problem Chapter 3: Appication of Dirichlet’s Principle to arithmetic Chapter 4: Application of Dirichlet Principle in the field of combinatorial theorem Chapter 5: Appication of Dirichlet Principle to other problems 5.1 Apply Dirichlet’s principle in proving inequality 5.2 Aproximate a real number Conclution References 3 5 6 13 19 21 21 28 29 30 INTRODUCTION The first formalization of the pigeonhole concept is believed to have been made by Dirichlet (1805–1859) as what he called Schubfachprinzip or the “drawer/shelf principle” As Dirichlet published works in both German and French, he would alternate between calling the principle Schubfach and tiroir, which both translate to drawer However, as Dirichlet’s father was a postmaster it is believed that the type of drawer he was referring to might have best been translated to English as pigeon-hole, such as those commonly used for storing and sorting mail The first appearance of the term “pigeonhole principle” was used by mathematician Raphael M Robinson in 1940 One of the important principles of mathematics is the Dirichlet principle Dirichlet's principle was proposed by the German mathematician Johnann Peter Gustav Lejeune Dirichlet This is a fairly simple principle, but it has many applications in reasoning and solving problems such as arithmetic, combinatorics, That's why we often encounter this theorem in major exams like IMO or other international competitions There are many problems that just need to prove the existence of a thing or a phenomenon without explicitly indicating that thing or phenomenon Therefore, the Dirichlet principle may seem simple, but it is a very effective tool for proving many profound results in different areas of mathematics Dirichlet's principle is a very effective tool used to prove many profound results of mathematics It especially has many applications in different areas of mathematics This principle in many cases is easy to prove the existence without giving a specific method, but in fact in many problems we just need to show the existence is enough For the above reasons, in this essay we have chosen the topic "Dirichlet's principle and its application" Hope it can become a useful document for readers However, in the process of researching and understanding, despite efforts, it is difficult to avoid errors Hope to receive suggestions from teachers and readers Thank you sincerely! CHAPTER 1: BASIC KNOWLEDGE Dirichlet’s principle also known as the pigeonhole principle or the principle of rabbit cages or the principle of arranging objects in drawers (The Drawer Pinciple) – gives a principle of elemental division of classes Nguyên tắc Dirichlet gọi nguyên tắc chuồng chim bồ câu hay nguyên tắc chuồng thỏ hay nguyên tắc xếp đồ vật ngăn kéo (The Drawer Pinciple) - đưa nguyên tắc phân chia lớp theo nguyên tố 1.1 Basic Dirichlet Principle (Nguyên lý Dirichlet bản): If k is a positive integer and k+1 or more objects are placed into k boxes, then there is at least one box containing two or more of the objects Nếu k số nguyên dương k + nhiều đồ vật xếp vào k hộp, có hộp chứa hai nhiều đồ vật Proof (Chứng minh) We prove the pigeonhole principle using a proof by contraposition Suppose that none of the k boxes contains more than one object Then the total number of objects would be at most k This is a contradiction, because there are at least k + objects Ta chứng minh nguyên tắc chuồng chim bồ câu chứng minh phản đảo Giả sử khơng có hộp k hộp chứa nhiều đồ vật Khi tổng số đồ vật nhiều k Đây mâu thuẫn, có k + đồ vật a Definition (Định nghĩa): Let x be a real number The ceiling function of x, denoted by , is defined to be the least integer that is greater than or equal to x Cho x số thực Phần nguyên x, ký hiệu ⌈x⌉, xác định số nguyên nhỏ lớn x b Remark 1(Nhận xét 1): (i) = min{n | n x} (ii) x – < x < x + (iii) – = 1.2 The Generalized Dirichlet Principle (Nguyên lý Dirichlet Tổng quát): If N objects are placed into k boxes, then there is at least one box containing at least objects Nếu xếp N đồ vật vào k hộp có hộp chứa ⌈N / k⌉ đồ vật Proof (Chứng minh) We will use a proof by contradiction Suppose that none of the boxes contains more than - objects Then by remark 1, the total number of objects is at most k( -1) < k((- 1) = N This is a contradiction because there is a total of N objects Ta sử dụng chứng minh phản chứng Giả sử khơng có hộp chứa nhiều - đồ vật Khi đó, theo nhận xét 1, tổng số đồ vật nhiều k( -1) < k((- 1) = N Đó mâu thuẫn có tổng cộng N đồ vật 1.3 Extended dirichlet principle (Nguyên lý Dirichlet mở rộng): If n rabbits are kept in m ≥ cages, there exists a cage with at least [rabbits Nếu n thỏ ni m ≥ lồng tồn lồng có [thỏ Proof (Chứng minh) If n rabbits are kept in m ≥ cages, then there exists a cage with at least [] rabbits, here the symbol [α] denotes the integer part of the number α We prove that the Extended Dirichlet's Principle is as follows: If otherwise every rabbit cage does not have up to [] = [ + 1] = [] + rabbits, then the number of rabbits in each cage is smaller or equal to [] rabbits From that, it follows that the total number of rabbits does not exceed m[] ≥ n − rabbits This makes no sense since there are n rabbits Therefore, the hypothesis is false Nếu n thỏ nuôi m ≥ lồng tồn lồng có [] thỏ, ký hiệu [α] biểu thị phần nguyên số α Ta chứng minh Nguyên lý Dirichlet mở rộng sau: Nếu trái lại chuồng thỏ khơng có tối đa [] = [ + 1] = [] + thỏ số thỏ chuồng nhỏ [] thỏ Từ suy tổng số thỏ khơng vượt m m[] ≥ n−1 thỏ Điều vơ lý có n thỏ Do đó, giả thuyết sai 1.4 Dirichlet's principle of set form (Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp) Let A and B be two non-empty sets with a finite number of elements, where the number of elements of A is greater than the number of elements of B If by some rule, each element of A gives the equivalent corresponds to an element of B, then there exist at least two distinct elements of A that correspond to an element of B Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B a1 b1 b2 a2 b3 a3 b4 a4 a5 1.5 Dirichlet's principle of the extended set (Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng) Suppose A and B are two finite sets, and S(A), S(B) are denoted by the numbers of elements of A and B respectively Suppose there is some natural number k that S(A)>k.S(B) and we have a rule that corresponds each element of A to an element of B Then there exist at least k+1 elements of A that correspond to the same element of B Note: When k = 1, we immediately have Dirichlet's principle Giả sử A, B hai tập hợp hữu hạn S(A), S(B) tương ứng kí hiệu số lượng phần tử A B Giả sử có số tự nhiên k mà S(A) > k.S(B) ta có quy tắc cho tương ứng phần tử A với phần tử B Khi tồn k + phần tử A mà chúng tương ứng với phần tử B Chú ý: Khi k = 1, ta có lại nguyên lý Dirichlet 1.6 Application method (Phương pháp ứng dụng) Dirichlet's principle may seem so simple, but it is a very powerful tool used to prove many profound results of mathematics Dirichlet's principle is also applied to problems of geometry, which is demonstrated through the following system of exercises: To use Dirichlet's principle, we must make a situation where "rabbit" is locked in a "cage" and satisfy the following conditions: + The number of "rabbits" must be more than the number of cages + "Rabbits" must be put in all "cages", but it is not mandatory that every cage has rabbits Often the Dirichlet method is applied together with the counterargument method In addition, it can also be applied to other principles Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ có hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc tốn học Ngun lí Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt "thỏ" vào "chuồng" thoả mãn điều kiện: + Số "thỏ" phải nhiều số chuồng +"Thỏ" phải nhốt hết vào "chuồng", khơng bắt buộc chuồng nàocũng phải có thỏ Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngồi cịn áp dụng với nguyên lý khác CHAPTER 2: APPLICATION OF DIRICHLET PRINCIPLE TO COMBINED GEOLOGY PROBLEM Theorem 2.1: Dirichlet's principle for area (Nguyên lí Dirichlet cho diện tích) If K is a plane figure, and K1, K2, , Kn are plane figures such that Ki K and i=and where is the area of the plane K, and Ki is the area of the plane Ki,i= then there exist at least two planes Hi, Hj (1) such that Hi and Hj have a common interior point.( Here we say that P is the interior point of the set A on the plane, if there exists a shape in the center of P with a small enough radius such that the circle is completely inside A.) Nếu K hình phẳng, cịn K1, K2, , Kn hình phẳng cho Ki ⊆ K với i = < Ở diện tích hình phẳng K, cịn |K i| diện tích hình phẳng Ki, i=, tồn hai hình phẳng H i, Hj, (1 ≤ i ≤ j ≤ n) cho H i Hj có điểm chung (Ở ta nói P điểm tập hợp A mặt phẳng, tồn hình trịn tâm P bán kính đủ bé cho hình tròn nằm trọn A) Theorem 2.2: Infinite Dirichlet's Principle (Ngun lí Dirichlet vơ hạn) If an infinite set of apples is placed into a finite number of drawers, then at least one drawer must contain infinitely many apples Nếu chi tập hợp vô hạn táo vào hữu hạn ngăn kéo, phải ngăn kéo chứa vô hạn táo Problem 1: Let the base pyramid be a nine-sided polygon All sides and 27 diagonals of the base polygon are highlighted in either red or blue Prove that there exist three vertices of the pyramid such that they are the vertices of the triangle with the edges highlighted in the same color Cho hình chóp đáy đa giác chín cạnh Tất cạnh bên 27 đường chéo đa giác đáy bôi hai màu đỏ xanh Chứng minh tồn ba đỉnh hình chóp cho chúng đỉnh hình tam giác với cạnh bơi màu Solution (lời giải) Consider the side Since these nine edges are painted with only two colors, blue or blue, according to Dirichlet's principle there are five edges painted with the same color No reduction in general can be said that the edges SA 1, SA2, SA3, SA4, SA5 are painted with the same red, points A1, A2, A3, A4, A5 are arranged in a counterclockwise direction Considering the polygon A1A2 A3A4A5 there are two possibilities: S A5 A1 A4 A2 A3 If is the diagonal of the bottom, then of course are also the diagonals of the bottom The following two possibilities happen again a) If all three segments , are highlighted in blue Then are the three vertices to be found, because triangle is a triangle with three green sides b) If one of the segments , is red Assuming is red, then S is a triangle with three red sides Now S, are the three vertices to be found Case has been solved If A1A2 is the base edge Then of course A 1A3, A3A5 is definitely the bottom diagonal a) If is the base diagonal, we return to the case just considered, where is a triangle with three sides being the base diagonal b) If is the base edge Then it is clear that , are the bottom diagonals If is the base diagonal, we return to the case 1, if is the side Consider the following two possibilities: If is the base diagonal, is triangle with three sides are the three diagonals of the base, we return to the case If is the base egde Then consider triangle and return to the case 1 Xét cạnh bên Vì cạnh bơi hai màu đoe xanh, nên theo nguyên lý Dirichlet tồn năm cạnh bên bôi màu Không giảm tổng cho cạnh bên SA1, SA2, SA3, SA4, SA5 bôi màu đoe, điểm A 1, A2, A3, A4, A5 xếp theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Xét đa giác A 1A2 A3A4A5 Có hai khả sau xảy ra: Nếu đường chéo đáy, dĩ nhiên đường chéo đáy Lại có hai khả sau xảy ra: a) Nếu ba đoạn, bôi màu xanh Khi ba đỉnh cần tìm, tam giác tam giác với ba cạnh xanh b) Nếu đoạn, đỏ Giả sử đỏ, tam giác S với ba cạnh đỏ Lúc S, ba đỉnh cần tìm Trường hợp giải xong Nếu A1A2 cạnh đáy Khi dĩ nhiên A1A3, A3A5 chắn đường chéo đáy a) Nếu A1A5 đường chéo ta quay trường hợp 1, với tam giác với ba cạnh ba đường chéo đáy b) Nếu A1A5 cạnh đáy Khi rõ ràng , đường chéo đáy Nếu đường chéo đáy, ta quay trường hợp 1, cạnh bên Lại xét hai khả sau: Nếu đường chéo đáy, tam giác tam giác với ba cạnh ba đường chéo đáy, ta quay trường hợp Nếu cạnh đáy Khi ta xét tam giác quay trường hợp Problem 2: In the unit square (side equals 1) there are 101 points Prove that there are five points in the selected points covered by a circle of radius Trong hình vng đơn vị( cạnh 1) có 101 điểm Chứng minh có năm điểm điểm chọn phủ đường trón bán kính Solution.(Lời giải) Divide the square into 25 equal squares, each side of the square is 0.2 The wallet has 101 points, but only 25 squares, so according to Dirichlet's principle there exists a small square containing at least five points (of which 101 points are given) Since this square is inscribed in a circle of radius R= = Since ,the circle is concentric with the above circumscribed circle and has radius containing at least five of the aforementioned points Chia hình vng làm 25 hình vng nhau, cạnh hình vng 0,2 Vì có 101 điểm, mà có 25 hình vng, nên theo ngun lý Dirichlet tồn hình vng nhỏ chứa năm điểm (trong 101 điểm cho) Vì hình vng nội tiếp đường trịng bán kính R= = Do nên dĩ nhiên đường tròn đồng tâm với đường ngoại tiếp có bán kính chứa năm điểm nói Problem 3: In space for 30 non-zero vectors Prove that among them are two vectors whose angle is less than 45o Trong không gian cho 30 vectơ khác không Chứng minh số có hai vectơ mà góc chúng nhỏ 45o Solution ( Lời giải) It can be assumed that all vectors have the same starting point O Take OA of length on the first vector We construct a vertex cone O on the axis OA, whose vertex angle is 45o The problem will be proven if we show that at least two of the 30 cones have an interior point in common We draw a sphere S with center O and radius Each time we construct a cone that intersects the sphere S a shape with an area that can be calculated We also see that two cones have a common interior if and only if the parts of the sphere must also have a common interior From this and Dirichlet's principle we only need to check that the sum of the areas of the 30 shapes on the sphere is greater than the area of the sphere (which is equal to 4π) We have that = 2π(1-)=2π(1-) So 30 2π(1-) 4π 10 Solution According to the Dirichlet's principle, in 700 numbers, at least [] + = 234 numbers having the same remainder when they divided by Let 234 numbers be a a2 … a234 2006 Suppose that there is no two numbers ai, aj satisfying - aj {3; 6; 9} So – aj 12 (since (ai - aj)3 and aj) In 234 above numbers, the two adjacent numbers are more or less each other at least 12 units So, a 234 - a1 233.12 = 2796 2006, this is illogical Therefore, the problem is proved Note: +) We can tighten the problem by reducing the number of given numbers initially or increasing the value for the number that can be received I can tighten the problem by changing 700 numbers to 504 numbers Let 504 different positive integers, that are considered, be a a2 … a504 2006 Considering 504.4 = 2016 positive integers as follows: a1 a1 + a1 + a1 + a2 a2 + a2 + a2 + … … … … a503 a503 + a503 + a503 + a504 a504 + a504 + a504 + Since the numbers in the above table take integer values from to 2006.9 = 2015, according to Dirichlet's principle, there are at least [] + = numbers that have the same value or two numbers that are equal This implies that the problem is proved Theo ngun lí Dirichlet 700 số có [] + = 234 số có số dư chia cho Gọi 234 số a a2 … a234 2006 Giả sử không tồn hai số a i, aj thỏa mãn - aj {3; 6; 9} – aj 12 (vì (ai - aj)3 and aj) Trong 234 số trên, hai số kề nhau 12 đơn vị nên a 234 - a1 233.12 = 2796 2006, điều vơ lý Như ta có điều phải chứng minh Chú ý: + Ta làm chặt toán cách giảm số số cho ban đầu tăng giá trị cho số nhận Ta làm chặt tốn cách thay 700 số thành 504 số Gọi 504 số nguyên dương đôi khác cho 2006 Xét 2016 số nguyên dương sau: a1 a1 + a2 a2 + … … 17 a503 a503 + a504 a504 + a1 + a1 + a2 + a2 + … … a503 + a503 + a504 + a504 + Vì số bảng nhận giá trị nguyên từ đến 2006 + = 2015 nên theo ngun lí Dirichlet, có [] + = số nhận giá trị hay có hai số nhau, suy điều phải chứng minh SELF PRACTICE EXERCISES Exercise 1: In a rectangle with size 1x2, we take 6n + points with n is a positive integer Prove that there exists a circle with radius containing not less than of the given points Trong hình chữ nhật kích thước 1x2 ta lấy 6n2 + điểm với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng số điểm cho Exercise 2: In a national football championship competition, there are 20 teams participating What is the minimum number of matches such that in any teams, there are always teams that have played each other? Trong tranh giải vơ địch quốc gia bóng đá có 20 đội tham gia Số nhỏ trận đấu để đội ln tìm đội chơi với Exercise 3: Prove that in 39 consecutive natural numbers, there exists at least one number whose sum of digits is divisible by 11 Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chia hết cho 11 Exercise 4: Given the set A = {1; 2; 3; …; 16} Finding the smallest positive integer k such that in every subset consisting of k elements of A, there exist two distinct numbers a and b, of which a2 + b2 is a prime number Cho tập A = {1; 2; 3; …; 16} Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b mà a + b2 số nguyên tố Exercise 5: Given distinct positive integers such that each of them has no prime divisors other than and Prove that in these numbers, there exist two numbers whose product is a square number Cho năm số nguyên dương đôi phân biệt cho số chúng khơng có ước số nguyên tố khác Chứng minh năm số tồn hai số mà tích chúng số phương 18 CHAPTER 4: APPLOCATION OF DIRICHLET PRINCIPLE IN THE FIELD OF COMBINATORIAL THEOREM Problem 1: To celebrate the 20th anniversary of the liberation of the South, in a city a meeting was held with 20-year-olds On April 30 of that year, 400 young people attended the ceremony Prove that at least two of the attendees share the same birthday Để kỷ niệm 20 năm ngày giải phóng Miền Nam, thành phố người ta tổ chức buổi lễ gặp mặt người 20 tuổi Ngày 30 tháng năm có 400 niên đến dự lễ Chứng minh có hai người số người tới dự chung ngày sinh Solution: The year 1995 has 365 days We treat each day as a rabbit cage and number it from to 365 (The last rabbit cage is December 31, 1995), the number of young people attending is rabbits We put bars years with the same date of birth in the same cage with the exact same number as the date of birth Since the number of rabbits is greater than the number of cages, according to the dirichle principle at least two rabbits should be placed in the same cage That means they have the same birth day Năm 1995 có 365 ngày Chúng ta coi ngày chuồng thỏ đánh số từ đến 365 (Chuồng thỏ cuối ngày 31 tháng 12 năm 1995), số niên tới dự thỏ Chúng ta đặt niên có ngày sinh vào chuồng có số ngày sinh Vì số thỏ lớn số chuồng nên theo ngun lý đirichlê có hai thỏ đặt vào chuồng Điều có nghĩa họ sinh ngày Problem 2: Thirty students their spelling work One of the students makes 14 mistakes, and the other students make less Prove that at least three people make the same number of mistakes Ba mươi học sinh làm viết tả Một số học sinh bị 14 lỗi, cịn học sinh khác mắc số lỗi Chứng minh có ba người mắc số lỗi Solution: Let's consider 15 rabbit cages numbered from to 14 We put each rabbit (student) in a cage with the exact number of mistakes that the student makes If no three students have the same number of mistakes then in each cage with numbers from 0, ,13 there will be at most two students Then the maximum number of these students is 28 plus the students who make 14 mistakes in cage number 14 we will get at most 29 students write dictation, which contradicts the hypothesis of 30 students in the problem 19 Chúng ta xét 15 chuồng thỏ đánh số từ đến 14.Chúng ta đặt thỏ (học sinh) vào chuồng mang số số lỗi mà học sinh mắc.Nếu khơng có ba học sinh có số lỗi chuồng mang số từ 0,…,13 có nhiều hai học sinh.Khi số lượng học sinh nhiều 28 cộng với học sinh mắc 14 lỗi chuồng số 14 nhận nhiều 29 học sinh viết tả,điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết có 30 học sinh tốn Problem 3: In a dormitory live 123 people Their total age is 3813 Prove that it is possible to choose 100 people living in this compound whose sum of ages is not less than 3100 Trong khu tập thể sống 123 người Tổng số tuổi họ 3813 Chứng minh chọn 100 người sống khu tập thể mà tổng số tuổi họ không nhỏ 3100 Solution Let's choose 100 oldest people and suppose their sum of ages is less than 3100 Then the youngest among selected people is 3100:100=31 years old Otherwise this person is not younger than the other 23 then the sum of the ages of these 23 people is not greater than 23.31=713 Inferring that the total age of all people living in the dormitory is less than 3100+713=3813, which leads to absurdity Chúng ta chọn 100 người nhiều tuổi giả sử tổng số tuổi họ nhỏ 3100 Khi người trẻ số người chọn 3100:100=31 tuổi Mặt khác người không trẻ 23 người lại theo cách chọn Khi tổng số tuổi 23 người khơng lớn 23.31 = 713 Suy tổng số tuổi tất người sống khu tập thể nhỏ 3100 + 713 = 3813 dẫn đến vơ lí SELF PRACTICE EXERCISES Exercise 1: Five couples hold a get-together When they see each other they shake hands, but no one shakes the hand of family members and people whose spouses already shake hands No one shakes hands with the same person more than once After the initial congratulatory meeting, a man named Hung asked everyone present, including his wife, how many times they had shaken hands They found that respondents all answered different numbers How many times did Hung's wife shake hands? Năm cặp vợ chồng tổ chức buổi gặp mặt Khi gặp họ bắt tay nhau, không tự bắt tay người gia đình người mà vợ chồng bắt tay Cũng không bắt tay người nhiều lần Sau gặp chúc mừng ban đầu, người đàn ông tên Hùng hỏi tất người có mặt, kể vợ mình, họ bắt tay lần Họ nhận thấy người hỏi trả lời số khác Như vợ Hùng bắt tay lần? 20 Exercise 2: A class has 40 students Prove that there are at least students with the same birth month Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống Exercise 3: A pine forest has 800000 trees, each tree has no more than 500000 leaves Prove that there exist two trees with the same number of leaves Một rừng thơng có 800000 cây, có khơng q 500000 Chứng minh tồn có số Exercise 4: Prove that in each group of friends there are at least two people who have the same number of acquaintances among the people in that group Chứng minh nhóm bạn người có hai người có số lượng người quen người nhóm CHAPTER 5: APPLICATION OF THE DIRICHLET PRINCIPLE TO OTHER PROBLEMS 5.1 Apply Dirichlet’s principle in proving inequality Method: "If more than n rabbits are locked in n naked, then at least one is more than naked rabbit." From Drichlet's principle deduce the proposition: "Given any real numbers, we can always get numbers such that their product is not negative" Apply to the problem of proving inequality: Suppose we need to prove that f(a,b,c, ) ≥ Step 1: Try to find a=b=c= =k, the inequality has equal sign Step 2: Apply the above proposition: Among the numbers a-k,b-k,c-k, is there a pair that has a product of no negative Assume (a-k)(b-k) ≥ Step 3: Exploit (a-k)(b-k) ≥ to prove the inequality to be proved "Nếu nhốt nhiều n thỏ vào n truồng truồng nhiều thỏ." Từ nguyên lý Drichlet suy mệnh đề : "Cho số thực ,bao ta lấy số cho tích chúng khơng âm " Vận dụng vào tốn chứng minh bất đẳng thức: Giả sử cần chứng minh bđt f(a,b,c, ) ≥ 21 Bước 1: Thử để tìm a=b=c= =k bất đẳng thức xảy dấu Bước 2: Áp dụng mệnh đề : Trong số a-k,b-k,c-k, có cặp có tích khơng âm Giả sử (a-k)(b-k) ≥ Bước 3: Khai thác (a-k)(b-k) ≥ để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh Problem 1: Let a, b, c be any positive real numbers We prove that: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: Solution: It is easy to predict that the equality occurs at a= b=c =1 According to a familiar evaluation we have So we need to prove Observing the above inequality, we think of the Bunhiacopsky inequality So we need to evaluate the word to appear, notice we see The proof is complete if we can show Equivalent transformation we have: So we can only show , however because of the role of a, b, c are the same, so according to Dirichlet's principle, in the three numbers there are always two numbers with the same sign and we can completely assume that the two numbers are Thus, the problem is proved Comment: We can prove the above inequality in another way: According to Dirichlet's principle in three numbers there exist two numbers with no opposite sign,Without loss of generality we assume the two numbers we then we get deduce The inequality to be proved can be rewritten we have we get and From the above inequalities we get So the above inequality is proved Equality occurs if and only if a= b= c= Dễ dàng dự đoán đẳng thức xảy a= b=c =1 Theo đánh giá quen thuộc ta có 9(ab+ bc+ ca) ≤ 3( a+ b+ c)2 Như ta cần chứng minh 22 Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta cần đánh giá từ làm xuất , để ý ta thấy Phép chứng minh hoàn tất ta Biến đổi tương đương ta có Như ta cần ,tuy nhiên vai trị a,b,c nên theo nguyên tắc dirichlet ba số tồn hai số dấu ta hồn tồn giả sử hai số Như toán chứng minh xong + Nhận xét: Ta chứng minh bất đẳng thức theo cách khác sau Theo nguyên lý dirichlet ba số tồn hai số không trái dấu.không tính tổng qt ta giải sử hai số ta suy Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành Ta có Ta có Từ bất đẳng thức ta Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c=1 Problem 2: Let a, b, c be positive real numbers satisfying prove that Cho a, b, c số thực thỏa mãn Chứng minh rằng: 23 Solution: Predict the equality sign occurring at According to Dirichlet's principle, out of numbers same sign Without loss of generality, suppose then On the other hand we have: deduce Dự đoán bất đẳng thức xảy Theo nguyên lý dirichlet sốcùng dấu Khơng tính tổng qt, giả sử Mặt khác ta có Suy Problem Let a, b, c be positive real numbers satisfying abc= Prove that: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: Solution: The inequality is rewritten Without loss of generality suppose and same non-negative Then deduce We have So, the inequality is proved Bất đẳng thức viết Khơng tính tổng qt giả sử khơng âm Thì suy Ta có Vậy bất đẳng thức chứng minh Problem Let a, b, c be positive real numbers Prove that: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: Solution According to Dirichlet's principle, out of numbers same sign, no loss of generality 24 assuming deduce 2( The proof is complete if we can show Indeed, the above inequality is equivalent to The above inequality is always true So the problem is proven Equality occurs if and only if Theo nguyên lý dirichlet số dấu, khơng tính tổng quát giả sử suy 2( Phép chứng minh hoàn tất ta Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với Bất đẳng thức ln Vậy tốn chứng minh xong Đẳng thức xảy SELF PRACTICE EXERCISES Exercise Let a, b, c be non-negative real numbers Prove that: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: Exercise Let a, b, c be positive real numbers such that Prove that: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Exercise Let a, b, c be positive real numbers satisfying Prove that: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Exercise Let a, b, c be positive real numbers that satisfy Prove that: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Chứng minh Exercise Let a, b, c be positive real numbers satisfying Prove that: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Chứng minh Exercise Let a, b, c be positive real numbers such that Prove that: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: 25 Exercise Let a, b, c be any non-negative real numbers Prove that: Cho a, b, c số thực khơng âm Chứng minh rằng: 5.2 Aproximate a real number Problem: Let x be a real number and n a natural number Then there are integers p and q that satisfy and Cho x số thực, n số tự nhiên Khi tồn số nguyên p q thỏa mãn Solution (Lời giải) We consider the numbers (k=0, 1, 2,…,n) They consist of n+1 numbers in the range [0,1] We divide the interval [0,1] into n equal subintervals and the length of each of these intervals is According to Dirichlet's principle, there exist two distinct numbers k and l located in 0, 1, 2,…, n such that the numbers and lie in the same mth subinterval Hence the distance between them is not more than ,, i.e ≤, or Because k≠l, does not affect the proof, we can assume that k>l Because there is also , so We set and Then p and q are positive integers satisfying With this setting, it is returned to the form , from here dividing both sides by q we have something to prove Chúng ta xét số (k=0, 1, 2,…,n) Chúng gồm n+1 số nằm khoảng Chúng ta chia khoảng n khoảng độ dài khoảng Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số khác k l nằm 0, 1, 2,…, n cho số nằm khoảng thứ m Do khoảng cách chúng không , tức , Bởi k khơng ảnh hưởng đến kết chứng minh ta giả thiết Bởi ngồi cịn có , nên Ta đặt Khi p q số nguyên dương thỏa mãn Với cách đặt đưa dạng , từ chia hai vế cho q ta có điều phải chứng minh 26 CONCLUSION In short, the study and understanding of Dirichlet's principle is very necessary It helps us to better understand knowledge and based on that make necessary applications for mathematics and life The essay includes: Basic knowledge of Dirichlet's principle Some typical applications of Dirichlet's principle The above is the knowledge of my group in the process of researching and learning about Dirichlet's principle and its application It is hoped that this essay will help the reader to better understand the principle Due to the limited time of the essay, if there is anything lacking, I hope you and everyone can give me suggestions to make the essay more and more perfect Thank you sincerely! 27 References Nguyên lý Đirichle ứng dụng, Nguyễn Hữu Điển, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Nguyên lý Dirichlet ứng dụng vào toán sơ cấp, Luận văn thạc sĩ Khoa học Toán học, Trịnh Việt Phương, Đại học Thái Nguyên- trường Đại học Khoa học Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet ứng dụng PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, Giáo trình lý thuyết tổ hợp, 2010 [5] Phan Huy Khải, Các tốn hình học tổ hợp, NXB Giáo dục, 2007 [6] Phan Huy Khải, Số học dãy số, NXB Giáo dục, 2009 [7] Nguyễn Vũ Thanh, Số học, NXB Giáo dục, 2006 [8] Phạm Minh Phương, Các chuyên đề số học, NXB Giáo dục, 2006 [9] Nguyễn Văn Vĩnh, 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp, NXB Giáo dục,2005 [10] Tập san Toán học tuổi trẻ năm [11] GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc [12] Trương Công Nên, Bài báo nguyên lý Dirichlet [13] Nguyễn Văn Linh, Bài báo nguyên lý Dirichlet 28 ... Basic knownledge 1.1 Basic Dirichlet Principle 1.2 The Generalized Dirichlet Principle 1.3 Extended dirichlet principle 1.4 Dirichlet' s principle of set form 1.5 Dirichlet' s principle of the extended... tắc dirichlet ba số ln tồn hai số dấu ta hoàn toàn giả sử hai số Như toán chứng minh xong + Nhận xét: Ta chứng minh bất đẳng thức theo cách khác sau Theo nguyên lý dirichlet ba số tồn hai số. .. knowledge of Dirichlet' s principle Some typical applications of Dirichlet' s principle The above is the knowledge of my group in the process of researching and learning about Dirichlet' s principle and