(SKKN mới NHẤT) rèn LUYỆN KHẢ NĂNG tư DUY THÔNG QUA GIẢI các bài TOÁN đếm BẰNG CÁCH lập sơ đồ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY THƠNG QUA GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẾM BẰNG CÁCH LẬP SƠ ĐỒ MƠN: TỐN TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NAM ĐÀN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG CÁCH LẬP SƠ ĐỒ MƠN: TỐN Họ tên: Phan Hải Bằng - Trần Thị Thủy Tổ: Toán -Tin Điện thoại: 0973489668 Năm học 2021 – 2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài:………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu:……………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu:…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu:………………………………………………… 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm:………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:… ………… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng sơ đồ để giải toán tổ hợp theo phương pháp đếm trực tiếp… 2.3.2 Sử dụng sơ đồ để giải toán tổ hợp theo phương pháp đếm phần bù… 10 2.3.3 Sử dụng sơ đồ để giải toán tổ hợp theo phương pháp lấy trước xếp sau……………………………………………………………………………… 15 2.3.4 Sử dụng sơ đồ để giải toán tổ hợp theo phương pháp tạo vách ngăn…18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường:……………………………………………………… 22 Kết luận, kiến nghị…………………………………………………………… 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Tốn đại số tổ hợp có vị trí quan trọng Tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số, Lý thuyết số mà cịn cơng cụ đắc lực cho nhiều lĩnh vực tốn học khác có Thống kê - Xác suất ba mạch kiến thức chương trình giáo dục phổ thơng 2108 Trong q trình giảng dạy nhận thấy học sinh hay ngại làm tập phần này, đặc biệt học sinh thuộc diện đại trà làm xong toán đếm em hay có đáp số khác Một phần học sinh thường nhầm lẫn khái niệm: quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ; phần đứng trước toán đếm học sinh thường lúng túng, giải dẫn đến kết sai, chí có nhiều em làm xong khơng giám làm Xuất phát từ mục đích dạy học phát huy tính tích cực học sinh nhằm giúp học sinh xây dựng kiến thức, kỹ tư tổng kết, hệ thống lại kiến thức, vấn đề vừa lĩnh hội Thì việc sử dụng sơ đồ tư dạy học nói chung dạy học mơn Tốn nói riêng đặc biệt phần Đại số tổ hợp giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, tư theo sơ đồ cụ thể toán Đây hoạt động vừa mang tính phân tích, vừa mang tính nghệ thuật Với mục đích gắn liền với thực tiễn, giáo dục toàn diện hỗ trợ cho việc dạy học môn khác, Đại số tổ hợp đưa vào chương trình lớp 11 Từ áp dụng kiến thức toán học vào đời sống, việc giải toán khoa học thực nghiệm Sách giáo khoa, sách tham khảo chưa viết nhiều đến toán mà đưa số tập cách áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, tổ hợp… Thực tế dạng tốn có nhiều kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi …Trong đa số học sinh nói chung, học sinh THPT Nam Đàn nói riêng khơng có hứng thú với loại toán này, lẽ hầu hết em cảm thấy khó khăn giải tốn này, làm tập đơn giản cịn thay đổi em dường giải theo cảm tính khơng biết kết tìm hay sai Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy, truyền thụ tri thức chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức suy nghĩ Ý tưởng “ lập sơ đồ tư duy” hay ngắn gọn “lập sơ đồ” giải toán tổ hợp xây dựng theo trình bước người dạy người học tương tác với Thơng qua học sinh lĩnh hội kiến thức nhanh hơn, u thích mơn Tốn phần Đại số tổ hợp Vì chúng tơi chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện khả tư thông qua giải toán đếm cách lập sơ đồ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: + Đề xuất số phương pháp lập sơ đồ giải toán tổ hợp để giúp học sinh hình thành tư giải tốn tổ hợp, từ giải toán xác TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com suất dễ dàng Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần tổ hợp xác suất, giúp học sinh trường THPT Nam Đàn u thích mơn Tốn + Nhằm hưởng ứng ngành giáo dục phát động sử dụng sơ đồ tư dạy học đổi phương pháp dạy học Thông qua cách sử dụng sơ đồ tư học sinh ghi chép ngắn gọn hơn, hiệu Đồng thời với toán tổ hợp cụ thể hình thành “lối mịn” tư để giải toán tổ hợp em 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Lập sơ đồ dạy phần tổ hợp giải toán tổ hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trong đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Thông qua kiến thức sách giáo khoa, sử dụng sơ đồ dạy phần quy tắc đếm, hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp Từ chia cách tư lập sơ đồ để giải toán tổ hợp Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1 Một số kí hiệu vẽ sơ đồ + Quan hệ trường hợp ngang hàng: + Quan hệ bước ngang hàng: + Quan hệ bao hàm: 2.1.2 Quy tắc đếm - Quy tắc cộng: Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m  n cách thực Khi dạy ta lập sơ đồ sau để học sinh dễ hiểu ghi chép dễ dàng: Từ ta mở rộng quy tắc cộng nhiều phương án - Quy tắc nhân: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp, có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.3 Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp - Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử tập hợp A hoán vị n phần tử - Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho - Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.4 Nguyên lý bù trừ - Cho A B hai tập hợp hữu hạn Khi đó: A B  A  B  A B - Cho A , B , C tập hợp hữu hạn Khi đó: A B C  A  B  C  A B  B C  AC  A B C 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: +Thực tế tài liệu viết chủ đề tổ hợp, xác suất nhiều, nhiên tài liệu chủ yếu đưa ví dụ lời giải, chưa hệ thống dạng toán phương pháp giải nên học sinh thường nhầm lẫn, khó phân biệt Hơn chủ đề chủ đề khó, số giáo viên nghiên cứu sâu đề tài cịn ít, nên hiệu dạy đến mảng kiến thức chưa cao Chính vậy, dẫn đến học sinh lúng túng gặp tập kì thi + Phần lớn học sinh gặp toán tổ hợp kết em làm cịn theo cảm tính, chưa dám tự tin khẳng định cách làm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Quy trình để giải tốn đếm sơ đồ sau: “Tìm hiểu phân tích đề – Thiết kế công việc – Lập sơ đồ – Trình bày” Ở bước tìm hiểu đề giáo viên cần phải tạo cho học sinh thói quen đặt câu hỏi “cơng việc”của tốn gì? Thực nào? Và để thiết kế công việc theo sơ đồ rõ ràng dễ hiểu học sinh phải trả lời câu hỏi đặt bước tìm hiểu đề Trong bước bước đầu ba bước khơng thức, làm giấy nháp thành thạo nhẩm đầu Tuy nhiên bước lại đặc biệt quan trọng từ ta suy luận trình bày lời giải cách xác Vì đề tài tơi trình bày cách hướng dẫn học sinh thiết kế công việc sơ đồ tính tốn để từ học sinh trình bày có lời giải xác, khoa học 2.3.1 Sử dụng sơ đồ để giải toán tổ hợp theo phương pháp đếm trực tiếp Đây hướng tư phần lớn toán đếm, đặc điểm phương pháp chia nhỏ công việc cần thực thành phần nhỏ để đếm Ví dụ 1: Trường THPT Nam Đàn có 47 học sinh giỏi có 32 học sinh giỏi lớp 12C1 15 học sinh giỏi lớp 12C6 Nhà trường cần học sinh giỏi để xét danh hiệu “Học sinh tốt” cấp trung ương Hỏi nhà trường có cách chọn Phân tích: Cơng việc chọn học sinh giỏi từ lớp 12C1 lớp 12C6 Sơ đồ toán sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải TH1: Học sinh chọn lớp 12C1 có 32 cách TH2: Học sinh chọn lớp 12C6 có 15 cách Vậy số cách chọn học sinh giỏi là: 32  15  47 cách Ví dụ 2: Có ba hộp đựng bi, hộp thứ đựng 10 viên bi màu xanh, hộp thứ hai đựng viên bi màu đỏ, hộp thứ ba đựng viên bi màu vàng Hỏi có cách chọn hai viên bi có hai màu khác nhau? Phân tích: Cơng việc tốn chọn viên bi khác màu, mà lại có ba loại màu nên phân chia thành nhóm màu: xanh đỏ; xanh vàng; đỏ vàng sau ta chọn hai viên bi từ nhóm màu đó, màu viên Sơ đồ toán sau: Lời giải TH1: Chọn bi màu xanh, bi màu đỏ có: C101 C61 (cách) TH2: Chọn bi màu xanh, bi màu vàng có: C101 C81 (cách) TH3: Chọn bi màu đỏ, bi màu vàng có: C61.C81 (cách) Vậy số cách chọn hai viên bi có C101 C61  C101 C81  C61.C81  188 (cách) hai màu khác là: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ 3: Có học sinh gồm học sinh trường A, học sinh trường B học sinh trường C xếp hàng dọc Có cách xếp mà hai học sinh trường C em ngồi hai học sinh trường A em ngồi hai học sinh trường B? Phân tích: Ta thấy em học sinh xếp thành hàng dọc học sinh lớp C em ngồi học sinh trường A, em lại ngồi học sinh trường B Bởi ta xếp em học sinh trường C vào hàng trước, tạo vị trí đánh số 1,2,3,4 sau: C C Tiếp đến xếp học sinh trường A vào hàng theo vị trí (1;2) (3;4), cuối xếp học sinh trường B vào hai vị trí cịn lại Sơ đồ toán sau: Lời giải Xếp học sinh trường C vào hàng có 2! Cách Khi đánh số vị trí sau C C Xếp học sinh trường A vào hàng có 2.2! cách Xếp học sinh trường B vào hàng có 2! Cách Theo quy tắc nhân có 2!.2.2!.2!16 cách Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng a b song song với Trên đường thẳng a có 12 điểm phân biệt đường thẳng b có điểm phân biệt Hỏi tạo tam giác có đỉnh điểm hai đường thẳng a b cho? TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Phân tích: Để tạo tam giác cần có điểm phân biệt không thẳng hàng lấy điểm đường thẳng a điểm phân biệt cịn lại phải lấy đường thẳng b ngược lại Sơ đồ toán sau: Lời giải TH1: Chọn điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b có C121 C92 tam giác TH2: Chọn điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b có C122 C91 tam giác Vậy theo quy tắc cộng có C121 C92  C91.C122  1026 tam giác Ví dụ 5: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên gồm chữ số đơi khác số chia hết cho 3? Phân tích: Số cần tìm có chữ số khác lấy từ tập hợp A  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 chia hết phân chia số thành nhóm: nhóm chữ số chia hết cho gồm số 3, 6, 9; nhóm chữ số chia cho dư gồm số 1, 4, nhóm chữ số chia dư gồm số 2, 5, Sau chọn ba số từ nhóm cho tổng số chọn chia hết cho 3, xếp ba số chọn thành số có ba chữ số Sơ đồ tốn sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy có tất 24  14  38 số thỏa mãn đề 2.3.2 Sử dụng sơ đồ để giải toán tổ hợp theo phương pháp đếm phần bù Khi phương pháp đếm trực tiếp có nhiều phương án, nhiều cơng đoạn phức tạp người ta sử dụng phương pháp đếm phần bù, nghĩa bỏ bớt giả thiết quan trọng  P  gây phức tạp Cơ sở phương pháp đếm thay đếm số phần tử tập A trực tiếp ta đếm số phần tử tập hợp A Cụ thể toán yêu cầu đếm số phương án cơng việc thỏa mãn tính chất T ta thực theo bước sau: Bước 1: Đếm số phương án thực công việc (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta a phương án Bước 2: Đếm số phương án thực cơng việc khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a - b Trong phương pháp tơi sử dụng kí hiệu đếm phần bù để biểu thị phương pháp Ví dụ 1: Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Hỏi từ chữ số lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác nhau? Phân tích: Đây tốn đếm số tự nhiên, ta gọi số cần lập abcd  a   Bài tốn giải trực tiếp cách theo quy tắc nhân, nhiên với điều kiện a  tất tốn đếm số tự nhiên ta giải tốn theo phương pháp lấy phần bù đếm số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu tốn mà số đứng đầu đếm số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu tốn có số đứng đầu Phương pháp thường dùng tập hợp chữ số tự nhiên cho trước có chứa chữ số Sơ đồ toán sau: 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải Gọi số cần tìm abcd ,  a   Số số tự nhiên chẵn mà số đứng đầu 4.A63 số Số số tự nhiên chẵn có số đứng đầu 3.A52 số Vậy số số tự nhiên cần tìm A63  A52  420 số Ví dụ 2: Cho đa giác lồi có 14 đỉnh Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho mà khơng có cạnh cạnh đa giác Phân tích: Đây toán mà ta đếm trực tiếp phức tạp khó thực nhiều ta đếm số tam giác có cạnh cạnh đa giác Sơ đồ toán sau: Lời giải Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác: C143 tam giác TH 1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn TH 2: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14.10  140 tam giác thỏa mãn Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu toán là: C143  14  14.10  210 tam giác 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ 3: Trong đồn tình nguyện tham gia hỗ trợ phòng chống dịch COVID-19 thành phố Hồ Chí Minh có tham gia bác sỹ tỉnh Nghệ An có nam nữ; bác sỹ tỉnh Hà Tĩnh có nam nữ bác sỹ tỉnh Thanh Hóa có nam nữ Hỏi có cách chọn nhóm gồm bác sỹ bệnh viện Chợ Rẫy với yêu cầu phải có đủ ba tỉnh có nam lẫn nữ để tham gia hỗ trợ phòng chống dịch, biết bác sỹ tham gia Phân tích: Trước hết ta đếm trực tiếp số cách chọn nhóm có đủ ba tỉnh Tiếp đến để đảm bảo điều kiện có “cả nam nữ” ta lại dùng phương pháp đếm phần bù trường hợp cần đếm trường hợp “4 bác sỹ có đủ ba tỉnh tồn nam” “4 bác sỹ có đủ ba tỉnh tồn nữ” Sơ đồ tốn sau: Lời giải Để chọn bác sỹ có đầy đủ tỉnh Nghệ An, Hà Tĩnh Thanh Hóa 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Số cách chọn bác sỹ N.An, bác sỹ H.Tĩnh , bác sỹ T.Hóa là: C72 C81.C61 Số cách chọn bác sỹ N.An, bác sỹ H.Tĩnh , bác sỹ T.Hóa là: C71 C82 C61 Số cách chọn bác sỹ N.An, bác sỹ H.Tĩnh , bác sỹ T.Hóa là: C71.C81.C62 Có C72 C81.C61  C71.C82 C61  C71.C81.C62  3024 cách Ta chọn bác sỹ có đầy đủ tỉnh mà có nam có nữ Số cách chọn có nam: C52 C51.C31  C51.C52 C31  C51.C51.C32  375 cách Số cách chọn có nữ : C22 C31.C31  C21.C32 C31  C21.C31.C32  45 cách Có 375  45  420 cách Vậy số cách chọn bác sỹ có đầy đủ tỉnh có nam lẫ nữ là: 3024  420  2604 (cách) Ví dụ 4: Có sách Tốn, sách Lý sách Hóa đơi khác Xếp ngẫu nhiêu tám sách nằm ngang kệ Số cách xếp cho sách Hóa khơng nằm liền kề hai sách Lý Phân tích: Thay đếm số cách xếp cho sách Hóa khơng nằm liền kề hai sách Lý, ta đếm số cách xếp để sách Hóa nằm liền kề hai sách Lý theo kĩ thuật “buộc” phần tử xếp Cụ thể xem sách Lý sách Hóa phần tử, sách Toán năm phần tử xếp phần tử, tiếp đến “mở” phần tử buộc hốn vị cho sách Hóa nằm liền kề hai sách Lý Sơ đồ toán sau: 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải + Xếp ngẫu nhiên sách khác vào vị trí ta có 8! cách + Ta xem sách Lý sách Hóa phần tử, sách Toán phần tử số hốn vị phần tử 6! tiếp đến hốn vị sách Lý có 2! Vậy số cách xếp sách cho sách Hóa nằm liền kề hai sách Lý 6!.2! cách + Số cách xếp sách thỏa yêu cầu tốn là: 8! 6!.2!  38880 cách Ví dụ 5: Đội tình nguyện trường THPT Nam Đàn có 15 người gồm học sinh nam có Long học sinh nữ có Hà Đồn trường cần chọn nhóm người tham gia Ngày chủ nhật xanh huyện đoàn tổ chức Hỏi có cách chọn cho nhóm có nam lẫn nữ đồng thời có Long Hà Phân tích: Trong trước hết ta đếm số cách chọn người có nam nữ theo phương pháp đếm phần bù, tức chọn người toàn nam người toàn nữ Tiếp đến đếm người có nam lẫn nữ khơng có Long Hà theo phương pháp đếm phần bù Đây tốn giải cách đếm trực tiếp phép tính dài phức tạp Sơ đồ toán sau: 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải TH1: Chọn nhóm người có nam nữ - Chọn người có C155 cách - Chọn người tồn nam có C95 cách - Chọn người tồn nữ có C65 cách Suy số cách chọn người có nam lẫn nữ C155   C95  C65   2871 cách TH2: Chọn nhóm người có nam nữ, đồng thời khơng có mặt Long Hà - Chọn người khơng có Long Hà C135 cách - Chọn người toàn nam khơng có Long C85 cách - Chọn người tồn nữ khơng có Hà C55 cách Suy số cách chọn người có nam lẫn nữ khơng có Long Hà C135   C85  C55   1230 cách Vậy số cách cần tìm 2871  1230  1641 cách 2.3.3 Sử dụng sơ đồ để giải toán tổ hợp theo phương pháp lấy trước xếp sau Dùng cho tốn có xếp, cạnh nhau, có mặt….Trong dạng tốn có điều kiện mà ta phải chọn tập hợp đối tượng thoả mãn vài điều kiện trước xếp để đạt kết sau Cụ thể: Bước 1: Chọn trước cho đủ số lượng thỏa mãn tính chất mà tốn u cầu Bước 2: Sắp xếp Ví dụ 1: Có số tự nhiên có chữ số đơi khác khác mà số ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ? Phân tích: Điều kiện cuả toán là: “ 4chữ số” “khác nhau” “khác 0” “có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ” Điều kiện: “ 4chữ số” “khác nhau” khơng có đáng ý Điều kiện “khác 0”chỉ đơn giản giúp ta nghĩ đến trường hợp rắc rối số đứng vị trí đầu Điều kịên chủ chơt tốn là: “có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ” Do ta cần chọn trước chữ số chẵn chữ số lẻ xếp vị trí cho chữ số Sơ đồ tốn là: 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải Gọi số cần tìm abcd ,  a   Chọn chữ số chẵn khác có C42 cách, chọn chữ số lẻ có C52 cách xếp chữ số chọn có 4! cách Vậy theo quy tắc nhân ta có: C42 C52 4! = 1440 số Ví dụ 2: Có số tự nhiên có chữ số khác mà số có chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ ( chữ số liền trước liền sau chữ số số lẻ)? Phân tích: Điều kiện chủ chốt tốn là: “ có chữ số lẻ chữ số đứng chữ số lẻ” Do ta cần chọn trước chữ số lẻ, ưu tiên xếp vị trí cho chữ số 0, chọn số lẻ xếp trước sau chữ số 0, ta xếp vị trí cho số cịn lại Sơ đồ tốn sau: 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải Chọn số lẻ có C54 cách Do chữ số liền trước liền sau chữ số số lẻ nên xếp số vào có cách (trừ vị trí đầu cuối) Chọn số lẻ số lẻ chọn xếp đứng hai bên số có A42 cách Xếp số cịn lại có 6! cách Vậy có C54 A42 6! = 302400 cách Ví dụ 3: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác số có chữ số chẵn chữ số lẻ? Phân tích: Điều kiện chủ chốt tốn là: “ có chữ số chẵn chữ số lẻ”, toán ta dùng phương pháp lấy trước xếp sau Mặt khác số đề cho có số nên ta sử dụng kết hợp thêm phương pháp đếm phần bù Sơ đồ toán sau: Lời giải Gọi số cần tìm abcde,  a   TH1: Số cần tìm bao gồm số đứng đầu Chọn chữ số chẵn có C42 cách Chọn chữ số lẻ có C43 cách 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xếp chữ số chọn có 5! cách Vậy có C42 C43 5! số TH2: Số cần tìm có số đứng đầu Chọn thêm chữ số chẵn có C31 cách Chọn chữ số lẻ có C43 cách Xếp chữ số chọn có 4! cách Vậy có C31.C43 4! số Như số số cần tìm C42 C43 5! C31.C43.4!  2592 số Ví dụ 4: Trong kỳ thi THPT quốc gia, hội đồng thi X, trường THPT A có thí sinh dự thi Hỏi có cách xếp thí sinh trường THPT A xếp vào phòng thi, biết hội đồng thi X có 10 phịng thi, phịng thi có nhiều thí sinh việc xếp thí sinh vào phịng thi hồn tồn ngẫu nhiên? Phân tích: Điều kiện chủ chốt tốn “3 thí sinh trường A xếp vào phòng thi” Để giải tốn chọn thí sinh sau xếp thí sinh vào phịng thi Tiếp theo xếp thí sinh cịn lại vào phòng thi khác với phòng thi xếp thí sinh trước Sơ đồ tốn sau: Lời giải Chọn thí sinh để xếp vào phịng thi có C53 cách Xếp thí sinh chọn vào phịng có 10 cách Xếp hai thí sinh cịn lại vào phịng thi có 9.9 cách Vậy số cách xếp là: C53 10.9.9= 8100 cách 2.3.4 Sử dụng sơ đồ để giải toán tổ hợp theo phương pháp tạo vách ngăn Bước 1: Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí đường thẳng coi chúng vách ngăn tạo m+ vách ngăn Hoặc xếp m đối tượng vào m vị trí đường trịn, coi chúng vách ngăn tạo m vách ngăn 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bước 2: Sắp xếp đối tượng khác theo yêu cầu toán từ m+ (hoặc m) vách ngăn Ví dụ 1: Đội văn nghệ trường THPT Nam Đàn gồm nam nữ Hỏi có cách xếp học sinh thành hàng dọc để tham gia múa dân vũ chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS HCM huyện đoàn tổ chức cho bạn nam nữ đứng xen kẽ nhau? Phân tích: u cầu tốn nam nữ phải đứng xen kẽ nên ta xếp bạn nữ vào hàng trước, lúc bạn nữ tạo khoảng trống, có khoảng trống tạo (do số bạn nam số bạn nữ người) Xếp bạn nam vào khoảng trống Sơ đồ toán sau: Lời giải Xếp bạn nữ vào hàng có 6! cách Khi bạn nữ tạo khoảng mà khoảng xếp bạn nam vào Xếp bạn nam vào khoảng có 5! cách Vậy số cách cần tìm 6!.5! cách Ví dụ 2: Đội học sinh giỏi tỉnh trường THPT Nam Đàn gồm nữ nam Hỏi có cách xếp học sinh thành hàng ngang để nhận phần thưởng cho khơng có bạn nam đứng cạnh nhau? Phân tích: Điều kiện chủ chốt tốn “ nam khơng cạnh nhau” Chúng ta thấy khơng có bạn nam ngồi cạnh bạn nam ln có bạn nữ, hay nói cách khác, khoảng bạn nữ liên tiếp khơng có nhiều bạn nam Từ ta giải toán cách đảm bảo khoảng cách bạn nữ ln có nhiều bạn nam Sơ đồ toán sau: 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải Xếp bạn nữ vào hàng có 9! cách Khi bạn nữ tạo 10 khoảng mà khoảng có nhiều bạn nam đứng vào Xếp bạn nam vào 10 khoảng có A103 cách Vậy số cách cần tìm 9!A103 cách Ví dụ 3: Một nhóm 10 học sinh gồm nam có Quang, nữ có Huyền xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học Có cách xếp cho bạn nữ gần có bạn nam, đồng thời Quang khơng ngồi cạnh Huyền Phân tích: Với ta sử dụng kết hợp phương pháp đếm phần bù phương pháp tạo vách ngăn Xếp bạn nữ vào hàng trước để tạo ba khoảng trống mà vách ngăn bạn nữ, xếp bạn nam vào khoảng trống cho khoảng có bạn nam Đếm số cách xếp chỗ ngồi cho bạn nữ gần có bạn nam đồng thời Huyền Quang ngồi cạnh Nếu Huyền ngồi ghế đầu ghế cuối có cách xếp chỗ ngồi cho Quang, Huyền ngồi ghế có cách xếp chỗ ngồi cho Quang Tiếp đến xếp bạn nữ vào, Huyền bạn nữ tạo khoảng trống xếp bạn nam lại vào khoảng Sơ đồ tốn sau: 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải - Xếp bạn nữ vào hàng trước có 4! cách, xếp bạn nam vào khoảng trống cho khoảng có bạn nam có 6! cách Suy số cách xếp cho bạn nữ gần có bạn nam là: 4!.6! cách - Số cách xếp chỗ ngồi cho Quang Huyền ngồi liền 2.1  2.2  cách Tiếp đến xếp bạn nữ vào có 3! cách, Huyền bạn nữ tạo khoảng trống xếp bạn nam lại vào khoảng có 5! cách Suy ra, số cách xếp 10 người cho bạn nữ gần có bạn nam đồng thời Huyền Quang ngồi cạnh 6.3!.5! cách Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 4!.6! 6.3!.5!  12960 cách Ví dụ 4: Có số tự nhiên có chữ số đơi khác cho số có mặt đồng thời bốn chữ số 4;5;6;7 bốn chữ số đơi khơng kề Phân tích: Trước hết ta chọn số số A  0, 1, 2, 3,8, 9 xếp, số tạo khoảng mà vách ngăn chữ số chọn Tiếp đến xếp số 4, 5, 6, vào khoảng Vì nguồn chữ số chọn có chứa số nên ta dùng phương pháp đếm phần bù Sơ đồ toán sau: Lời giải Gọi số cần lập a1a2 a9 ,  a1   - Lấy chữ số chữ số 0,1,2,3,8,9 có C65 cách 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xếp chữ số thành hàng ngang có 5! cách Ta có khoảng trống từ cách xếp nên có A64 cách xếp chữ số 4;5;6;7 Vậy có C65 5! A64 số - Chữ số đứng đầu Lấy chữ số chữ số 1,2,3,8,9 có C54 cách Xếp chữ số thành hàng ngang (sau chữ số ) có 4! cách Ta có khoảng trống từ cách xếp nên có A54 cách xếp chữ số 4;5;6;7 Vậy có C54 4! A54 số Ta có C65 5! A64  C54 4! A54  244800 số 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Qua số năm áp dụng đề tài “Rèn luyện khả tư thông qua giải toán đếm đếm cách lập sơ đồ” nhận thấy tiết học đạt hiệu cao nhiều so với cách dạy truyền thống đọc chép tiết dạy sử dụng giảng điện tử cho học sinh nhìn chép Khi dạy theo kĩ thuật lập sơ đồ để dạy “quy tắc đếm” “Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp” (SGK Đại Số Giải Tích 11) đặc biệt đến phần tập phần lớn gây hứng thú cho học sinh, phát huy tính tích cực cho học sinh tránh tình trạng lớp học thụ động, nhàm chán giáo viên khơng phải lặp lặp lại câu hỏi có cấu trúc gần giống Qua cách học theo kĩ thuật lập sơ đồ học sinh tư duy, so sánh nội dung kiến thức với nhau, qua khắc sâu kiến thức học Học sinh nắm kiến thức cách chắn hơn, sâu rộng Học sinh biết hiểu thêm, hiểu số phương pháp giải tốn Học sinh có hứng thú học tập môn nhiều hơn, say mê Việc phân loại tập đề tài nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển kiến thức kỹ cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Từ giúp học sinh có khả tự rút kiến thức, tự tham gia hoạt động để củng cố vững kiến thức, rèn luyện kỹ Kết luận, kiến nghị * Kết luận: Môn tốn nhiều mơn học khác địi hỏi chăm nổ lực trình học tập Sự đầu tư thời gian công sức để học nhân tố quan trọng làm nên thành công Khi dạy học thầy cô không nên cứng nhắc phương pháp, mà phải có linh hoạt giảng Không dạy theo kiểu “thầy đọc trị chép”, hậu đến thi học trị “chép hết thầy đọc” Nên dạy cho học sinh cách phân tích, đánh giá, tự chủ động tìm cách giải cho 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com toán đếm Để học sinh thực nhập vào học, chủ động lối suy cách nghĩ Chúng ta cần đa dạng hóa cách dạy cách học Dạy học mà khn cứng bóp chết lòng đam mê học tập học trò * Kiến nghị: Sau đây, xin nêu số kiến nghị để việc dạy học Toán trường THPT ngày có hiệu cao hơn, đáp ứng mục tiêu giáo dục nay: - Tổ chức bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên phương pháp dạy học tích cực việc đổi kiểm tra đánh giá cách sâu rộng hiệu - Nhà trường cần đại hóa sở vật chất bổ sung đầy đủ trang thiết bị để tạo điều kiện cho việc áp dụng phương pháp dạy học - Đổi việc đánh giá dạy giáo viên - Đối với giáo viên: Khi giao cho học sinh tốn (khơng riêng tốn đếm ) suy nghĩ phải tự hỏi để làm ? mục đích nó? Nếu ta dạy bài, học sinh biết khơng nên Ta nên chọn giảng cho học sinh hiểu sau nâng lên dần đến tổng quát hóa cố gắng chọn cho có nhiều mối liên hệ với nhiều khác để em xây dựng - Trong khuôn khổ đề tài SKKN, nêu việc áp dụng phương pháp dạy học tốn đếm Từ tạo điều kiện cho việc mở rộng nghiên cứu áp dụng sang phần khác chương trình góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT Mặc dù cố gắng tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận trao đổi, góp ý đồng nghiệp bạn bè vấn đề để viết hoàn thiện Vinh, ngày tháng năm 2022 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 Phương pháp giải tốn: Giải tích tổ hợp – Lê Hồng Đức chủ biên Chinh phục tổ hợp, xác suất Tạp chí tốn học tuổi trẻ 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... tài ? ?Rèn luyện khả tư thông qua giải tốn đếm cách lập sơ đồ? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu: + Đề xuất số phương pháp lập sơ đồ giải toán tổ hợp để giúp học sinh hình thành tư giải tốn tổ hợp, từ giải. .. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐẾM BẰNG CÁCH LẬP SƠ ĐỒ MƠN: TỐN Họ tên: Phan Hải Bằng - Trần Thị Thủy Tổ: Toán -Tin Điện thoại: 0973489668... giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Qua số năm áp dụng đề tài ? ?Rèn luyện khả tư thơng qua giải tốn đếm đếm cách lập sơ đồ? ?? nhận thấy tiết học đạt hiệu cao nhiều so với cách dạy truyền thống