(LUẬN văn THẠC sĩ) problème de tournées de véhicules avec livraisons divisibles

Institut de la Francophonie pour l’Informatique MEMOIRE DE FIN D’ETUDES MASTER D’INFORMATIQUE Probl` eme de tourn´ ees de v´ ehicules avec livraisons divisibles par NGUYEN Thanh Tuan Responsable de stage: Sophie MICHEL-LOYAL Ce stage a ´et´e r´ealis´e au sein de lequipe REAOPT de lINRIA Hanoă, 2008 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ` ma famille A TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Remerciements Tout d’abord, je tiens `a remercier ma famille qui m’a soutenu dans mes ´etudes et aussi dans mon stage Je tiens `a remercier l’Institut de la Francophonie pour l’Informatique qui me permet d’effectuer mon Master et de faire ce stage en France Je tiens a` remercier Madame Sophie Michel-Loyal pour m’avoir dirig´e dans mes travaux tout au long de mon stage Je la remercie de ses conseils et encouragements Je remercie tous les professeurs, les doctorants du Laboratoire Math´ematique Appliqu´ees du Havre, Monsieur Fran¸cois Vanderbeck, C´edric Joncour et les membres de l’´equipe REALOPT - INRIA qui m’ont donn´e les meilleurs supports toute la dur´ee de mon stage Merci enfin `a mes camarades de promotion 12 IFI qui m’ont donn´e les meilleurs sentiments dans mes ´etudes a` l’IFI i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com R´ esum´ e Dans le probl`eme de tourn´ees de v´ehicules (Vehicle Routing Problem - VRP) une flotte de v´ehicules est disponible pour servir un ensemble de clients avec la demande connue Chaque client est n´ecessaire pour ˆetre visit´e exactement par un v´ehicule et l’objectif est de r´eduire la distance totale voyag´ee Dans Le probl`eme de tourn´ees de v´ehicules avec livraisons divisibles (Split Delivery Vehicle Routing Problem - SDVRP) la restriction que chaque client doit ˆetre visit´e exactement une fois est supprim´ee, c’est-`a-dire, des livraisons divisibles sont autoris´ees, plusieurs v´ehicules peuvent ˆetre utilis´es pour satisfaire la demande de chaque client Dans cette m´emoire, nous pr´esentons un ´etat de l’art de SDVRP et l’approche de la g´en´eration de colonnes pour le SDVRP qui a ´et´e impl´ement´ee avec la plateˇ forme BapCod Des r´esultats num´eriques montrent lSefficacit´ e de la m´ethode propos´ee Mots cl´ es : Le probl`eme de tourn´ees de v´ehicules, Le probl`eme de tourn´ees de v´ehicules avec livraisons divisibles, Recherche Op´erationnelle, G´en´eration de Colonnes ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Abstract In the classical Vehicle Routing Problem (VRP) a fleet of capacitated vehicles is available to serve a set of customers with known demand Each customer is required to be visited by exactly one vehicle and the objective is to minimize the total distance traveled In the Split Delivery Vehicle Routing Problem (SDVRP) the restriction that each customer has to be visited exactly once is removed, i.e., split deliveries are allowed, the demand of each customer can be fulfilled by several vehicles In this report we present a survey of the state-of-theart on the SDVRP and a column generation approach which is implemented for the SDVRP with the place-form BapCod Computational results show the effectiveness of the proposed method Keywords: Vehicle Routing Problem, Split Delivery Vehicle Routing Problem, Operations Research, Column Generation iii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Table des mati` eres Remerciements i R´ esum´ e ii Abstract iii Table des mati` eres iv Table des figures vi Introduction 0.1 Equipe REALOPT - Reformulations et algorithmes pour l’Optimisation combinatoire 0.2 Description du stage 0.2.1 Objectifs d´etaill´es du stage 0.2.2 Organisation du rapport Le probl` eme de tourn´ ees de v´ ehicules avec livraisons divisibles 1.1 Introduction 1.2 D´efinition et formulation du probl`eme 1.3 Propri´et´es et complexit´e 1.3.1 La complexit´e 1.3.2 Les propri´et´es 1.3.3 Analyse au pire cas 1.3.4 Un exemple 1 6 10 10 11 14 14 iv TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ` TABLE DES MATIERES v G´ en´ eration de Colonnes et Reformulations 2.1 Introduction 2.2 La g´en´eration de colonnes 2.3 La reformulation du SDVRP 2.3.1 La reformulation en g´en´eration de colonnes 2.3.2 L’algorithme de g´en´eration de colonnes 16 16 18 21 21 23 Impl´ ementation et Test´ e 3.1 BAPCOD - a generic Branch-And-Price Code 3.2 Impl´ementation 3.2.1 Codes 3.2.2 Instances 3.2.3 R´esultats 25 25 26 27 27 28 Conclusion et Perspectives 30 Bibliographie 32 A Un exemple d’instance 35 B Codes de SDVRP dans BapCod 36 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Table des figures 0.1 0.2 0.3 Un exemple du TSP Un exemple du VRP Un exemple du SDVRP 1.1 1.2 Un cycle 4-split Un exemple de VRP et SDVRP 12 15 2.1 L’algorithme de g´en´eration de colonnes 24 3.1 3.2 R´esultats 28 Le changement de borne duale dans l’instance ”test02” 28 vi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Introduction 0.1 Equipe REALOPT - Reformulations et algorithmes pour l’Optimisation combinatoire Ce stage a ´et´e r´ealis´e au sein de l’´equipe REAOPT de l’INRIA Pr´ esentation de l’´ equipe de recherche L’´equipe REALOPT commune avec le LaBRI (CNRS/Universit´e de Bordeaux 1/ENSEIRB) et l’IMB (CNRS/Universit´es de Bordeaux et 2) L’objectif de l’´equipe est de travailler sur la qualit´e des formulations de probl`emes d’optimisation combinatoire S’approche consiste a` combiner des techniques avanc´ees telles que l’approche poly´edrale, l’approche de d´ecomposition Lagrangienne, et les techniques venant de l’optimisation nonlin´eaire et de la th´eorie des graphes En partenariat avec des industriels, l’´equipe REALOPT travaille sur des applications complexes en logistique (probl`emes de tourn´ees), en planification de la production et ordonnancement des tˆaches, conception et gestion des r´eseaux et des horaires, et sur des probl`emes de d´ecoupe et de placement TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TABLE DES FIGURES Axes de recherche Le projet de l’´equipe rassemble des expertises compl´ementaires en optimisation combinatoire : programmation en nombres entiers (´etudes poly´edrales, m´ethode de ”branch-and-price-andcut ”), programmation quadratique (”semi-definite-programming”), et th´eorie des graphes (mod´elisation dans les graphes et exploitation de r´esultats pour r´eduire l’espace des solutions) REALOPT d´eveloppe des solutions approch´ees aux probl`emes de grande taille et des heuristiques primales bas´ees sur des approches de programmation math´ematiques 0.2 Description du stage Le sujet du stage Le probl`eme du Voyageur de Commerce (Traveling Salesman Problem - TSP) est un des probl`emes d’optimisation combinatoire les plus connus, Il pose le probl`eme suivant; Avec seul v´ehicule partir d’un d´epˆot, trouver un chemin de longueur totale minimale qui passe exactement une fois par chaque client et revienne au d´epˆot (voir figure 0.1) Le probl`eme de tourne´es de v´ehicules (Vehicle Routing Problem - VRP) est une version tendue du Probl`eme du Voyageur de Commerce, qui consiste visiter des clients partis d’un d´epˆot et au moyen d’une flotte de v´ehicules, avec un coˆ ut minimal (voir figure 0.2) Le probl`eme de tourn´ees de v´ehicules avec livraisons divisibles (Split Delivery Vehicle Routing Problem - SDVRP) est un assouplissement du VRP o` u il s’autorise que plusieurs v´ehicules peuvent ˆetre utilis´es pour satisfaire la demande de chaque client (voir figure 0.3), si elle r´eduit les coˆ uts globaux Cette relaxation est tr`es importante si la demande de chaque client peut TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chapitre Impl´ ementation et Test´ e 3.1 BAPCOD - a generic Branch-AndPrice Code Le prototype BaPCod ∗ que l’´equipe REALOPT-INRIA a d´evelopp´e, automatise les manipulations qui sont demand´ees `a l’utilisateur et propose un cur de m´ethode commun `a toutes les applications Cet algorithme g´en´erique int`egre les derni`eres avanc´ees en recherche dans le d´eveloppement de la m´ethode de ”branch-and-price” Le corps du logiciel BaPCod repr´esente 32500 lignes de code C++ Par d´efaut, BaPCod fait appel a` une soeur de programmation lin´eaire en variables enti`eres et continues (”MIP-solveur”) pour r´esoudre le programme maˆıtre et les sous-probl`emes issus de la d´ecomposition Le logiciel est donc con¸cu comme une couche au-dessus de la couche de base qu’est un ”MIP-solveur” Le BaPCod peut ainsi ˆetre interfac´e avec des ”MIP-solveurs” commerciaux ou ”open-source” Les interfaces actuellement disponibles sont : Cplex, Xpress-mp, LpSolve (”open-source”) et GLPK (”open-source”) L’interface avec Coin-OR-CBC est a` r´ealiser Par ailleurs, les sous-probl`emes peuvent ˆetre r´esolus par des algorithmes combinatoires sp´eci∗ http://realopt.math.cnrs.fr/team/pmwiki.php/Project/Software 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ´ ´ CHAPITRE IMPLEMENTATION ET TESTE 26 fiques Le BaPCod en offre certains dans sa distribution (essentiellement les soeurs pour les variantes du probl`eme de sac-`ados) Pr´ec´edentes tentatives ont ´et´e limit´ees a` offrant fait ”boˆıteutil”afin de faciliter l’impl´ementation d’algorithmes combinants ”branch-and-price-and-cut” Avec lesquelles, l’utilisateur doit impl´ementer trois fonctionnalit´es de base pour son application : la reformulation, la mise en place de la proc´edure de g´en´eration de colonnes et le sch´ema de branches Autres disponibles codes qu’offrent que plus par d´efaut ont ´et´e d´evelopp´es pour une classe sp´ecifique d’applications (comme le probl`eme de tourn´ee de v´ehicule et ses variantes) Le prototype BaPCod est une impl´ementation faite ”boˆıte-noire” qui ne n´ecessite pas l’entr´ee utilisateur et n’est pas une application sp´ecifique Les fonctionnalit´es sont les processus de : (i) l’automatisation de la reformulation de Dantzig-Wolfe (l’utilisateur d´efinit un probl`eme de programmation enti`ere mixte en termes de variables et les contraintes, identifie les sousprobl`emes et peut fournir les associ´es solutionneurs si disponible, mais il ne doit pas d´efinir explicitement la reformulation, la forme explicite des colonnes, leur coˆ ut r´eduit ou les limites de Lagrangien) (ii) une proc´edure de g´en´eration de colonnes par d´efaut avec l’initialisation du standard et stabilisation (il peut offrir une s´election de solution pour le probl`eme maˆıtre), et (iii) un sch´ema de branches `a par d´efaut 3.2 Impl´ ementation Notre application a ´et´e impl´ement´ee dans C ++ utilisant BapCod avec Xpress-mp † pour ”MIP-solveur” Tous les codes † http://www.dashoptimization.com/ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ´ ´ CHAPITRE IMPLEMENTATION ET TESTE 27 ont ´et´e install´es et les exp´eriences ont ´et´e men´ees sur un ordinateur Linux avec un processeur d’Intel 3GHz 3.2.1 Codes Notre application a ´et´e impl´ement´ee comme suit: – D´efinition et lisant de donn´es : Les donn´ees sont les v´ehicules avec leurs capacit´es et les sommets (clients et d´epˆot) avec leurs coordonn´es et leur demande – Construire les classes de Variables et Contraintes Les variables dans formulation originale de SDVRP : xijk ,aijk ,yik ,uik et tous ses contraints Dans cette application nous ´etudions le cas que aijk est enti`ere – Appel `a des constructeurs de variables, des contraintes, le probl`eme maˆıtre et le sous-probl`eme 3.2.2 Instances Les instances de SDVRP sont mises en forme (voir l’Appendice B) – nombre de clients, – v´ehicule capacit´e, – pour chaque client (ou d´epˆot) : num´ero de client (ou d´epˆot), x, y, sa demande, – num´ero de d´epˆot TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ´ ´ CHAPITRE IMPLEMENTATION ET TESTE test01 test02 test03 test04 28 Instances La borne Le temps Clients V´ehicules OptOri DBGC ForOri ForGC 46 37 545,59 0,23 48 48 7669,23 0,46 10 51 49 4161,28 0,56 11 58 55 263,17 1,22 Fig 3.1: R´esultats 3.2.3 R´ esultats Le figure 3.1 affiche la solution optimale (OptOri) obtenue dans le cas de la formulation originale et la borne duale obtenue dans le cas de la formulation de g´en´eration de colonne (DBGC), et le temps calcul pour instances pour lesquelles nous avons r´esoudre avec la formulation originale (ForOri) (Utiliser un ”MIP-solveur”) et la formulation de g´en´eration de colonnes (ForGC) Comparer entre deux formulations, en g´en´eral, l’approche de g´en´eration de colonnes prend moins temps pour calcul par rapport de la formulation originale Fig 3.2: Le changement de borne duale dans l’instance ”test02” TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ´ ´ CHAPITRE IMPLEMENTATION ET TESTE 29 Le figure 3.2 illustre les bornes duales obtenues dans l’instance test02 La borne duale est meilleur apr`es chaque it´eration Pour r´eduire le temps calcul dans le cas d’approche de g´en´erations de colonnes, on peut r´esoudre le sous-probl`eme par un algorithme dynamique Ce sous-probl`eme peut voir comme un probl`eme ´el´ementaire de chemin plus court avec ressources contraintes (resource constrained elementary shortest path problem - RCESPP) Le RCESPP est le probl`eme de trouver le chemin du coˆ ut minimum `a partir un sommet d vers un sommet t d’un graphe donn´e tels que le montant global des ressources consomm´ees ne d´epasse pas certaines limites donn´ees; ressources sont consomm´ees lors visitant sommets ou traversant arˆetes Les algorithmes du RCESPP sont d´evelopp´es pour le VRP, ils ont ´et´e pr´esent´es dans les articles de D Feillet, P Dejax, M Gendreau et C Gueguen”[2] et P.A.Mullaseril, M.Dror et J.Leung [9] ces algorithmes peuvent ˆetre adapt´es pour r´esoudre le sous-probl`eme de SDVRP TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Conclusion et Perspectives Le but du stage ´etait d’´etudier le SDVRP et impl´ementer un algorithme de g´en´eration de colonnes sur la plate-forme BapCod Nous avons introduit en premi`ere partie de ce rapport le SDVRP Ce probl`eme est un assouplissement du VRP, qui est un des probl`emes d’optimisation combinatoire les plus connus Ensuite, nous avons pr´esent´e la m´ethode de g´en´eration de colonnes, et reformul´e le SDVRP sur cette m´ethode Enfin, nous avons examin´e l’algorithme de g´en´eration de colonnes propos´ee pour le SDVRP avec la plate-forme BapCod Ces travaux du stage contribuent `a donner une autre approche pour r´esoudre le SDVRP et ´evaluer cette approche par rapport de la formulation originale du SDVRP En travaillant, certaines de mes connaissances ont pu ˆetre approfondies dans ˇ les domaines de lSoptimisation De plus, le stage m’a permis de mieux appr´ehender le travail de recherche, en synth´etisant plusieurs articles et en proposant une nouvelle approche Cependant, il y a certains points a` r´esoudre pour am´eliorer notre travail: – D´evelopper un algorithme du RCESPP pour r´esoudre le sous-probl`eme du SDVRP 30 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ´ ´ CHAPITRE IMPLEMENTATION ET TESTE 31 – Tester l’application sur des instances plus grandes du TSPLIB ou du SDVRPLIB ‡ – Comparer l’efficacit´e de l’approche de g´en´eration de colonnes avec les autres approches ‡ http://www.uv.es/ belengue/SDVRP/ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bibliographie [1] Mingzhou Jin ; Kai Liu et Burak Eksioglu A column generation approach for the split delivery vehicle routing problem Operations Research Letters, (36):265–270, 2008 [cit´e `a p 17, 21] [2] D Feillet ; P Dejax ; M Gendreau et C Gueguen An exact algorithm for the elementary shortest path problem with resource constraints: ˝ application to some vehicle routing problems Networks, 44:216U229, 2004 [cit´e `a p 18, 29] [3] Michel Gendreau ; Pierre Dejax ; Dominique Feillet et Cyrille Gueguen Vehicle routing with time windows and split deliveries Technical report, Laboratoire d’Informatique d’Avignon, 2006 [cit´e `a p 18] [4] J.M.Belenguer ; M.C.Martinez et E.Mota A lower bound for the split delivery vehicle routing problem Operations Research, 48(5):801–810, Sep - Oct 2000 [cit´e `a p 7, 16, 17] [5] Gerard Sierksma et Gert A Tijssen Routing helicopters for crew exchanges on off-shore locations Annals of Operations Research, 76:261– 286, 1998 [cit´e `a p 7] [6] P.A.Mullaseril ; M.Dror et J.Leung Split-delivery routeing heuristics in livestock feed distribution The Journal of the Operational Research Society, 48(2):107–116, Feb 1997 [cit´e `a p 7] [7] Claudia Archetti ; Martin W P Savelsbergh et M Grazia Speranza Worst-case analysis for split delivery vehicle routing problems Transportation science, 40(2):226–234, May 2006 [cit´e `a p 6, 13, 14] [8] Claudia Archetti ; Martin W.P Savelsbergh et M Grazia Speranza To split or not to split: That is the question Transportation Research, E(44):114–123, 2008 [cit´e `a p 7] [9] Giovanni Righini et Matteo Salani Symmetry helps: Bounded bidirectional dynamic programming for the elementary shortest path problem with resource constraints Discrete Optimization, 3:255–273, 2006 [cit´e `a p 29] 32 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BIBLIOGRAPHIE 33 [10] C Archetti ; A Hertz et M.G Speranza A tabu search algorithm for the split delivery vehicle routing problem Transportation Science, (40):64–73, 2006 [cit´e `a p 11, 16] [11] C Archetti ; R Mansini et M.G Speranza Complexity and reducibility of the skip delivery problem Transportation Science, (39):182–187, 2005 [cit´e `a p 7, 10, 11] [12] Claudia Archetti ; Martin W.P.Savelsbergh et M.Grazia Speranza An optimization-based heuristic for the split delivery vehicle routing problem to appear in Transportation Science [cit´e `a p 16] [13] M Dror et P Trudeau Savings by split delivery routing Transportation Science, (23):141–145, 1989 [cit´e `a p 3, 6, 16] [14] M Dror et P Trudeau Split delivery routing Naval Res Logist, (37):101–116, 1990 [cit´e `a p 3, 6, 7, 12] [15] M Jin ; K Liu et R.O Bowden A two-stage algorithm with valid inequalities for the split delivery vehicle routing problem International ˝ Journal of Production Economics, (105):228U242, 2007 [cit´e `a p 17] [16] Chi-Guhn Lee ; Marina A.Epelman ; Chelsea C.White et Yavuz A.Bozer A shortest path approach to the multiple-vehicle routing problem with split pick-ups Transport Research, Part B(40):265–284, 2006 [cit´e `a p 17] [17] Fran¸cois Vanderbeck Column Generation, chapter Implementing Mixed Integer Column Generation Springer Science+Business Media, Inc., 2005 [cit´e `a p 19] TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Appendices 34 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Annexe A Un exemple d’instance NAME : B-n9-k7 TYPE : SDVRP DIMENSION : EDGE_WEIGHT_TYPE : EUC_2D CAPACITY : NODE_COORD_SECTION 3 3 1 5 6 5 DEMAND_SECTION 4 4 DEPOT_SECTION EOF 35 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Annexe B Codes de SDVRP dans BapCod D´ efinition de donn´ ees /******************** Vertex in the graph ********************/ class Vertex { public: int vertexId; //identifiant of the vertex = a customer or a depot protected: double _xcoord; //coordonnes of the vertex double _ycoord; double _objCost; //dual cost int _demand; //demand: d_i vector _lengthCost; //length between two customers or depot double _dualValue; //initial dualValue bool _visit; public: Vertex(); Vertex(const int& vertexId, const double& xcoord, const double& ycoord, const double& objCost, const int& demand); Vertex(const Vertex& o); ~Vertex(){} }; /*******************************************************************/ //class sdvrpVertex, derivation de Vertex class sdvrpVertex: public NamedNumbered, public Vertex { static int _staticCounter; 36 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ANNEXE B CODES DE SDVRP DANS BAPCOD 37 public: sdvrpVertex(const int& vertexId, const double& xcoord, const double& ycoord, const double& objCost =0.0, const int& demand =0); ~sdvrpVertex(){} static void resetCounter(const int & nb = 0) { _staticCounter = nb; } static const int& nbVertex() { return _staticCounter; } std::ostream& print(std::ostream& os = std::cout) const; }; inline std::ostream& operator