TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN ĐS6.CHỦ ĐỀ 2.4 – ƯỚC VÀ BỘI CỦA SỐ TỰ NHIÊN ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT Ước bội:  Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b ta nói a bội b, b ước a  Tập hợp ước a là: Ư  a  , tập hợp bội b kí hiệu: B  b  Ví dụ: Ư  30   1; 2;3;5;6;10;15;30 B    0; 2; 4; 6;8; ; 2k ;  Ước chung ước chung lớn  Số tự nhiên n gọi ước chung hai số a b n vừa ước a vừa ước b  Số lớn ước chung a b gọi ước chung lớn a b  Ta kí hiệu: tập hợp ước chung a b là: ƯC  a, b  , tập hợp ước chung lớn a b kí hiệu: ƯC LN  a, b  Ví dụ:ƯC  30, 48  1; 2;3;6 , ƯCLN  30, 48  Chú ý: ước chung hai số ước ước chung lớn chúng Hai số nguyên tố hai số có ước chung lớn Phân số tối giản phân số có tử mẫu hai số nguyên tố Cách tìm ƯCLN: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số chung Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Bội chung bội chung nhỏ  Số tự nhiên n gọi bội chung hai số a b n vừa bội a vừa bội b  Số nhỏ khác bội chung a b gọi bội chung nhỏ a b  Ta kí hiệu: tập hợp bội chung a b là: BC  a, b  ,    tập hợp bội chung nhỏ a b kí hiệu: BCNN  a, b  Ví dụ:BC  4,5   0; 20; 40;60;  , BCNN  4,5  20 Chú ý: Bội chung nhiều số bội bội chung nhỏ chúng Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số   Cách tìm BCNN: Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số chung riêng Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm Nhận xét: BCNN  a,1  a BCNN  a, b,1  BCNN  a, b  PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI A ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Dạng Nhận biết số ước (bội) số cho trước I.Phương pháp giải + Để xét a có ước số cho trước hay khơng, ta chia số cho a Nếu chia hết a ước số + Để xét b có bội số khác hay khơng, ta chia b cho số Nếu chia hết b bội số II.Bài toán Bài Cho số sau 0;1;3;14; ;10;12;5; 20 , tìm số a) Là Ư   b) Là Ư 10  Lời giải a) Vì số cho chia hết cho 1;3 nên 1;3  Ư   b) Vì số cho 10 chia hết cho 1;5;10 nên 1;5;10  Ư 10  Bài Cho số sau 13;19; 20;36;121;125; 201; 205; 206 , số thuộc tập hợp sau: a) Là B  3 b) Là B   Lời giải a) Vì số cho 36 ; 201 chia hết 36; 201  B  3 b) Vì số cho 20;125; 205 chia hết 20;125; 205  B   Dạng Tìm tất ước (bội) số I.Phương pháp giải + Để tìm tất ước số a ta làm sau: Bước 1: Chia a cho số 1; 2;3; ; a Bước 2: Liệt kê số mà a chia hết Đó tất ước a + Để tìm bội số b  b  0 ta làm sau: Bước 1: Nhân b cho số 0;1; 2;3; Bước 2: Liệt kê số thu Đó tất bội b Lưu ý: Nếu toán tìm ước (bội) số thỏa mãn điều kiện cho trước ta làm sau: Bước 1: Liệt kê ước (bội) số Bước 2: Chọn số thỏa mãn điều kiện đề II.Bài toán Bài a) Tìm tập hợp ước 6;10;12 ;13 b) Tìm tập hợp bội 4; 7;8;12 Lời giải a) Ư    1; 2;3;6 Ư 10   1; 2;5;10 Ư 12   1; 2;3; 4;6;12 Ư 13  1;13 b) B    0; 4;8;12;16;  B    0;7;14; 21; 28;  B    0;8;16; 24;32;  B 12   0;12; 24;36; 48;  Bài Tìm số tự nhiên x cho a) x  Ư 12   x  c) x 13  x  78 b) x  B   20  x  36 d) 12  x x  Lời giải a) Ta có Ư 12   1; 2;3; 4;6;12 Vì x  Ư 12   x  nên x  2;3; 4;6 b) x  B   20  x  36 Vì x  B  5 nên x  0;5;10;15; 20; 25;30;35; 40;  Mặt khác 20  x  36  x  20; 25;30;35 c) x 13  x  78 Vì x nên x  B  5 x  0;5;10;15; 20; 25;30;35; 40;  Mặt khác 13  x  78  x  15; 20; 25;30;35; 40; 45;50;55;60; 65;70;75 d) 12  x x  Vì 12  x nên x  Ư 12   1; 2;3; 4;6;12 x  nên x  6;12 Bài Tìm tập hợp số tự nhiên vừa ước 100 vừa bội 25 Lời giải Gọi x số tự nhiên cần tìm Ta có Ư 100   1; ; 4;5;10; 20; 25;50;100 Vì x  B  25  nên x 25  x   25;50;100 Dạng Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết I.Phương pháp giải Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) định nghĩa ước số tự nhiên II.Bài toán Bài Tìm số tự nhiên n cho: a) 3 n b) 3 ( n  1) c) ( n  3)  ( n  1) d) (2n  3) (n  2) Lời giải a) 3 n  n  Ư  3  1 ;3  Vậy n   1;3 b) 3 (n  1)   n  1  Ư  3  1 ;3  Vậy (n  1)   1;3  n   0; 2 c) ( n  3)  ( n  1) Ta có ( n  3)  ( n  1) (n  1)  (n  1) Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có  (n  3)  (n  1) (n  1)  2 (n  1)   n  1  Ư    1 ;  Vậy n   1;0 d) (2 n  3)  (n  2) Ta có (2 n  3)  (n  2) ( n  2)  ( n  2) Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có  (2n  3)  2(n  2)  (n  2)  7 (n  2)   n    Ư    1 ;7  Vậy n   3;9 Dạng Viết tập hợp ước chung (bội chung) hai hay nhiều số I.Phương pháp giải Bước Viết tập hợp ước (bội) số cho Bước Tìm giao tập hợp II.Bài toán Bài Viết tập hợp sau: a) ƯC  24, 40  b) ƯC  20,30  c) BC  2,8 d) BC 10,15 Lời giải a) ƯC  24, 40  b) ƯC  20,30  Ta có Ư  24   1; ;3; 4;6;8;12; 24  Ta có Ư  20   1; 2;4;5;10; 20  Ư  40   1; ; 4;5;8;10; 20; 40  Ư  30   1; ;3;5; 6;10;30 ƯC  24, 40   1;2 ; 4;8  ƯC  20,30   1; 2;5;10  c) BC  2,8  d) BC 10,15 Ta có B    0; ; ;6;8;10;12;  Ta có B 10   0;10 ; 20 ;30;40;50;60;  B  8  0;8 ;16; 24;32; 40;48;  B 15  0;15 ;30; 45;60 ;  BC  2,8  0;8 ;16; 24;  BC 10,15   0;30 ; 60;90;  Dạng 5: Bài tốn có lời văn I.Phương pháp giải Bước 1: Phân tích đề bài, chuyển tốn tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) số cho trước Bước 2: Áp dụng cách tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) số cho trước II.Bài tốn Bài 1.Có 20 viên bi Bạn Minh muốn chia số viên bi vào hộp Tìm số hộp số viên bi hộp? Biết khơng có hộp chứa hay 20 viên bi Lời giải Số hộp số viên bi hộp phải ước số 20 Ta có Ư  20   1; ; 4;5;10; 20  Vì khơng có hộp chứa hay 20 viên bi, nên số viên bi hộp ; 4;5;10 tương ứng với số hộp 10 ;5; 4; Bài Năm Bình 12 tuổi Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình Tìm tuổi mẹ Bình biết tuổi mẹ lớn 30 nhỏ 45 Lời giải Gọi x số tuổi mẹ Bình  x  ;30  x  45  Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình nên x  B 12  Mà 30  x  45 nên x  36 thỏa mãn đk Vậy mẹ Bình 36 tuổi Bài Học sinh lớp 6A nhận phần thưởng nhà trường em nhận phần thưởng Cô hiệu trưởng chia hết 129 215 bút chì màu Hỏi số học sinh lớp 6A bao nhiêu? Lời giải Ta thấy số phần thưởng phải ƯC 129, 215  Có ƯC 129, 215  1; 43 Vì số học sinh lớp 6A khơng thể nên số học sinh lớp 6A 43 Bài Tính số học sinh trường biết lần xếp hàng , hàng , hàng , hàng vừa đủ hàng số học sinh trường khoàng từ 415 đến 421 Lời giải Gọi x số học sinh trường  x  ; 415  x  421 Vì lần xếp hàng , hàng , hàng , hàng vừa đủ hàng nên x chia hết cho 4;5; 6; Tức x  BC  4;5;6;   0; 420;840;  Mà 415  x  421 nên x  420 Vậy số học sinh trường 420 học sinh B ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Dạng Tìm ước chung lớn số cho trước I.Phương pháp giải Cách Để tìm ƯCLN số cho trước ta thực quy tắc bước phía Chú ý a  b  ƯCLN  a , b   b a : b dư r ƯCLN  a , b   ƯCLN  b , r  Cách Sử dụng thuật toán Ơclit Bước Lấy số lớn chia số nhỏ Giả sử a  b.x  r + Nếu r  ta thực bước + Nếu r  ƯCLN  a , b   b Bước Lấy số chia, chia cho số dư, + Nếu r1  ta thực bước + Nếu r1  ƯCLN  a , b   b Bước Quá trình tiếp tục phép chia hết II.Bài toán Bài Tìm ƯCLN số a) ƯCLN 18,30  b) ƯCLN  24, 48  c) ƯCLN 18,30,15 d) ƯCLN  24, 48,36  Lời giải a) ƯCLN 18,30  b) ƯCLN  24, 48  Phân tích số thừa số nguyên tố Phân tích số thừa số nguyên tố 18  2.3 , 30  2.3.5 24  23.3 48  24.3 Từ ƯCLN 18,30   2.3  Từ ƯCLN  24, 48  23.3  24 c) ƯCLN 18,30,15 d) ƯCLN  24, 48,36  Phân tích số thừa số nguyên tố 18  2.3 Phân tích số thừa số nguyên tố 24  23.3 , 48  24.3 , 36  2.32 30  2.3.5 , 15  3.5 Từ ƯCLN 18,30,15  Từ ƯCLN  24, 48,36   22.3  12 Bài Sử dụng thuật tốn Ơclit để tìm a) ƯCLN 174,18 b) ƯCLN 124,16  Lời giải a) Ta thực theo bước: Lấy 174 chia cho 18 ta 174  9.18  12 Lấy 18 chia cho 12 ta 18  1.12  Lấy 12 chia cho ta 12  2.6  Vậy ta ƯCLN 174,18   b) Ta thực theo bước: Lấy 124 chia cho 16 ta 124  7.16  12 Lấy 16 chia cho 12 ta 16  1.12  Lấy 12 chia cho ta 12  3.4  Vậy ta ƯCLN 124,16   Dạng Tìm ước chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Bước Tìm ƯCLN hai hay nhiều số cho trước Bước Tìm ước ƯCLN Bước Chọn số ước thỏa mãn điều kiện cho Lưu ý: khơng có điều kiện tốn ước chung hai hay nhiều số ƯCLN số Cách tìm ước chung thơng qua ƯCLN Bước Tìm ƯCLN hai hay nhiều số cho trước Bước Tìm ước ƯCLN II.Bài tốn Bài Tìm ước chung 24 180 thơng qua tìm ƯCLN Lời giải Phân tích số thừa số nguyên tố 24  23.3 , 180  22.32.5 Từ ƯCLN  24,180   22.3  12 Mà Ư 12   1; 2;3; 4;6;12 Vậy ƯC  24,180   1; 2;3; 4; 6;12 Bài Tìm số tự nhiên x thõa mãn 90 x ; 150 x  x  30 Lời giải Số tự nhiên x thõa mãn 90 x ; 150  x nên x  ƯCLN  90,150  Phân tích số thừa số nguyên tố 90  2.32.5 , 150  2.3.52 Từ ƯCLN  90,150   2.3.5  30 Mà Ư  30   1; 2;3;5; 6;10;15;30 Vì  x  30 nên x   6;10;15  Bài Tìm số tự nhiên a , b biết ƯCLN  a , b   a.b  891 Lời giải Ta có ƯCLN  a , b   nên a  3k , b  3m ƯCLN  k , m   Giả sử a  b  k  m Ta có a.b  891  3k 3m  891  k m  32.11 TH1: k  11, m   a  33; b  27 TH2: k  99 , m   a  297 ; b  Bài Tìm số tự nhiên n để biểu thức A  15 có giá trị số tự nhiên 2n  Lời giải Để A số tự nhiên 2n  phải ước 15 Ta có Ư 15  1;3;5;15 Do đó: + Với 2n    n  , A  15 + Với 2n    n  1, A  + Với 2n    n  , A  + Với 2n   15  n  , A  Bài Tìm số tự nhiên x , y a)  x  1 y  5  b)  x  1 y  1  15 Lời giải a)  x  1 y  5   2.3  3.2  6.1  1.6 Ta có bảng sau: x 1 y 5 x y 3 2 Vậy  x; y   1;8 ,  2;7  ,  5;6  ,  0;11 b)  x  1 y  1  15  1.15  3.5  5.3  15.1 Ta có bảng sau: 1 6 11 2x 1 y 1 x 15 y Vậy  x; y    0;8 , 1;3 ,  2;2  ,  7;1 5 15 2 1 Dạng Bài tốn có lời văn đưa tìm ƯCLN I.Phương pháp giải Bước 1: Phân tích đề bài; suy luận để đưa việc tìm ƯCLN hai hay nhiều số; Bước 2: Áp dụng quy tắc bước để tìm ƯCLN II.Bài tốn Bài Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 24 vở, 48 bút bi 36 gói bánh thành số phần thưởng để trao dịp sơ kết học kì Hỏi chia nhiều phần thưởng? Khi phần thưởng có vở, bút bi gói bánh Lời giải Gọi a số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao dịp sơ kết học kì (a  * ; a  24) Để số phần thưởng nhiều a phải số lớn cho 24  a ; 48 a ;36  a Tức a  ƯCLN  24, 48,36  Ta có 24  23.3 , 48  24.3 , 36  22.32 Từ ƯCLN  24, 48,36   22.3  12  a  12 Vậy chia nhiều 12 phần thưởng Trong có vở, bút bi, gói bánh Bài Một hình chữ nhật có chiều dài 150m chiều rộng 90m chia thành hình vng có diện tích Tính độ dài cạnh hình vng lớn cách chia ? (số đo cạnh số tự nhiên với đơn vị m ) Lời giải Để chia hình chữ nhật thành hình vng có diện tích độ dài cạnh hình vng phải ước chung 150 90 Do độ dài cạnh hình vng lớn ƯCLN  90,150   30 Vậy độ dài cạnh hình vng lớn 30m Dạng Chứng minh hai hay nhiều số số nguyên tố I.Phương pháp giải Bước 1: Gọi d ƯCLN số Bước 2: Dựa vào cách tìm ƯCLN tính chất chia hết tổng (hiệu) để chứng minh d  II.Bài toán Bài Chứng minh 22 hai số nguyên tố Lời giải Phân tích số thừa số nguyên tố 22  2.11.1,  1.5 Từ ƯCLN  22,5   Vậy 22 hai số nguyên tố Bài Chứng minh với số tự nhiên n , số sau số nguyên tố a) n  n  b) 2n  2n  c) 2n  n  d) n  3n  Lời giải a) n  n  Gọi d  ƯCLN  n  1, n     n  2 d   n     n  1  d  1 d  d  n  1 d Từ ƯCLN  n  1, n    Vậy n  n  số nguyên tố với n   b) 2n  2n  Gọi d  ƯCLN  2n  2, 2n     n  2 d   2n  3   2n    d  1 d  d  2n  3 d Từ ƯCLN  2n  2, 2n    Vậy 2n  2n  số nguyên tố với n   c) 2n  n  Gọi d  ƯCLN  2n  1, n      n  1 d 2(n  1) d   2n     2n  1  d  1 d  d   2n  1 d 2n  1 d Từ ƯCLN  2n  1, n    d) n  3n  Gọi d  ƯCLN  n  1,3n      n  1 d 3(n  1)  d   3n     3n  3  d  1 d  d   3n   d 3n   d Từ ƯCLN  n  1,3n    10 C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Dạng Tìm bội chung nhỏ số cho trước I.Phương pháp giải Bước Phân tích số thừa số nguyên tố Bước Chọn thừa số nguyên tố chung thừa số nguyên tố riêng Bước Với thừa số nguyên tố chung riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn Bước Lấy tích lũy thừa chọn, ta nhận BCNN cần tìm II.Bài tốn Bài Tìm: a) BCNN 15,18  c) BCNN  33, 44,55 b) BCNN  84,108 d) BCNN  8,18,30  Lời giải a) Ta có: 15  3.5 ; 18  2.32 BCNN 15,18  2.32.5  90 c) Ta có: 33  3.11 ; 44  4.11 ; 55  5.11 BCNN  33, 44,55   3.4.5.11  660 b) Ta có: 84  2.3.7 ; 108  2.33 d) Ta có:  23 , 18  2.32 , 30  2.3.5 BCNN  84,108  22.33.7  756 BCNN  8,18,30  23.32.5  240 Bài Tìm: a) BCNN 10,12  c) BCNN  4,14, 26  b) BCNN  24,10  d) BCNN  6,8,10  Lời giải a) Ta có: 10  2.5 ; 12  22.3 c) Ta có:  22 ; 14  2.7 ; 26  2.13 BCNN 10,12   23.3.5  60 BCNN  4,14, 26   2.7.13  364 b) Ta có: 24  23.3 ; 10  2.5 d) Ta có:  2.3 ,  23 , 10  2.5 BCNN  24,10   23.3.5  120 BCNN  6,8,10   23.3.5  120 Dạng Tìm bội chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Bước Tìm BCNN số Bước Tìm bội BCNN Bước Chọn số bội thỏa mãn điều kiện cho II.Bài tốn Bài Tìm bội chung 10 thơng qua BCNN Lời giải 11 Ta có BCNN  8,10   40 Vậy BC  8,10   0; 40;80;120  Bài Tìm bội chung 8; 12 15 thông qua BCNN Lời giải Ta có BCNN  8,12,15   120 Vậy BC  8,12,15   0;120; 240;360  Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x ; x  x  50 Lời giải Vì x ; x nên x  BC  4,6   0;12; 24;36; 48;60;  Mà  x  50 nên x  0;12; 24;36; 48 Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x 20 ; x 35 x  500 Lời giải Vì x 20 ; x 35 nên x  BC  20,35  0;140; 280; 420;560;  Mà x  500 nên x  0;140; 280; 420 Bài Tìm bội chung 7; thơng qua BCNN Lời giải Ta có BCNN  7,9,   122 Vậy BC  7,9,   0;122; 244;366  Dạng Tim số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước I.Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa BCNN Khi tìm hai số biết ƯCLN BCNN tích hai số tích BCNN ƯCLN II.Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên a,b biết a) a  b  BCNN  a, b   60 b) ƯCLN  a, b   BCNN  a, b   60 Lời giải a) BCNN  a, b   60  60  a , 60  b Hay a, b ước tự nhiên 60 Các ước tự nhiên 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Vì a  b  nên a  b Ta xét bảng sau 12 a b BCNN  a, b  6 Loại Vậy cặp số tự nhiên cần tìm 20 15 10 5 15 10 30 20 15 60 Loại Loại Nhận b) ƯCLN  a, b    a  5a1; b  5b1  a1, b1   Ta có a.b  5.60  300  a1.b1  12 Ta có bảng sau: a1 a b1 b Vậy cặp số tự nhiên  a, b  cần tìm là: 12 12 60 15 20 60 20 15  5, 60  ;  60,5 ; 15, 20  ;  20,15 Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) a  b  BCNN  a, b   60 b) ƯCLN  a, b   BCNN  a, b   150 Lời giải a) BCNN  a, b   60  60  a , 60  b Hay a, b ước tự nhiên 60 Các ước tự nhiên 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Vì a  b  nên a  b Ta xét bảng sau a b BCNN  a, b  5 6 Loại Loại Vậy khơng tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn đề 10 30 Loại b) ƯCLN  a, b    a  5a1; b  5b1  a1, b1   Ta có a.b  5.150  750  a1.b1  30 Ta có bảng sau: a1 a 10 15 25 30 15 10 b1 b 150 75 50 30 Vì vai trị a, b nên ta có cặ đảo ngược vị trí Vậy cặp số tự nhiên  a, b  cần tìm là:  5,150  ; 150,5  ; 10,75 ;  75,10  ; 15,50  ;  50,15 ;  25,30  ;  30, 25 13 Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) ab  180 BCNN  a, b   60 b) a  BCNN  a, b   140 b Lời giải a) Gọi ƯCLN  a, b   k  a  ka1; b  kb1 với  a1, b1   Ta có: ab  k a1b1  180 Mà BCNN  a, b   ka1b1  60 Suy k  3; a1b1  20 Ta có bảng sau: a1 a b1 b Vậy cặp số tự nhiên  a, b  cần tìm là: b) Gọi ƯCLN  a, b   k Vì 20 20 60 12 15 60 15 12  3; 60 ,  60;3 , 12;15 , 15;12  a  mà  4,   nên a  4k , b  5k b BCNN  a, b   4.5.k  140  k  Vậy a  28, b  35 Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a  b  42 BCNN  a, b   72 Lời giải Gọi ƯCLN  a, b   k Nên a  ka1, b  kb1 Ta có a  b  42  k  a1  b1   42 (1) BCNN  a, b   ka1b1  72 (2) Từ (1) (2) suy 42 k , 72 k hay k  ƯC  42,72   k  1; 2;3;6 Thay k trường hợp ta thấy k = hoăc k = Khi đó: tìm cặp  a, b   6, 36  , 18, 24  Dạng 4: Bài tốn có lời văn I.Phương pháp giải Bước Gọi ẩn, đặt đơn vị, điều kiện cho ẩn Bước Dựa vào đề biểu diễn kiện theo ẩn Bước Tìm ẩn, so sánh điều kiện Bước Trả lời kết luận 14 II.Bài toán Bài Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ Tìm tổng số sách biết số sách khoảng 200 đến 500 Lời giải Gọi số sách cần tìm x quyển, ( x  , 200  x  500 ) Vì xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ nên x10 , x12 , x18 suy x  BC 10,12,18  BCNN 10,12,18  360 BC 10,12,18  0;360; 720;  Suy x  0;360; 720;  , mà 200  x  500 nên x  360 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sách cần tìm 360 Bài Hai bạn A B học chung trường hai lớ khác A 10 ngày lại trực nhật, B 12 ngày lại trực nhật Lần hai bạn trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật Lời giải Do 10 ngày A trực nhật lần nên ngày trực A B 10  Do 12 ngày B trực nhật lần nên ngày trực B B 12  Lần hai bạn trực ngày, để đến lần gần trực BCNN 10,12   60 Vậy sau 60 ngày hai bạn lại trực nhật Bài Số học sinh khối trường khoảng từ 300 đến 400 Biết xếp hàng 5, 8, 12 thiếu em Tính số học sinh khối trường Lời giải Gọi số học sinh khối trường cần tìm x học sinh, ( x  ,300  x  400 ) Vì xếp thành 5, 8, 12 thiếu em nên x  5k  , x  8t  , x  12m  suy x bôi chung 5, 8, 12 trừ BCNN  5,8,12   120 BC  5,8,12   0;120; 240;360; 480; 600  Suy x  1 0;120; 240;360; 480;600  , mà 300  x  400  301  x   401 nên x   360  x  359 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số học sinh khối 359 học sinh Bài Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho dư 2, chia cho dư chia cho 25 dư 24 Lời giải 15 Gọi x số cần tìm Vì x chia dư 2, chia cho dư 6, chia cho 25 dư 24 Nên x  chia hết cho 2, 7, 25 Do x   BCNN  3, 7, 25   525 Vậy số cần tìm 525 – = 524 Bài Có ba hộp hình vng: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao 12cm Người ta xếp thành ba chồng nhau, chồng màu Hỏi chiều cao nhỏ chồng hộp Lời giải Gọi chiều cao nhỏ chồng hộp x (cm) Ta có: x  BCNN  7,8,12   23.3.7  168 Vậy chiều cao nhỏ chồng hộp 168 (cm) Bài Tìm số tự nhiên x Biết số chia hết cho chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho dư x  400 Lời giải Ta có: x   BC  2,3, 4,5,   x   60;120;180; 240;300;360  x  61;121;181; 241;301;361 Do x chia hết x = 301 Bài Một liênđội thiếu niên xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa người Tính số đội viên liên đội biết số khoảng từ 100 đến 150 Lời giải Gọi số đội viên liên đội x (đội viên) Vì xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa nên: x  1 BC  2,3, 4,5 BCNN  2,3,4,5  22.3.5  60 BC  2,3, 4,5  0;60;120;180; 240;  Mà số đội viên khoảng từ 100 đến 150 Nên x   120  x  121 đội viên Bài Một phận máy có hai bánh cửa khớp với nhau, bánh có 18 cưa, bánh xe hai có 12 cưa Người ta đánh dấu “x” vào hai cửa khớp với Hỏi bánh xe phải quay cưa để hai cưa đánh dấu lại khớp với vị trí giống lần trước? Khi bánh xe quay vòng Lời giải Gọi số cưa phải tìm x (răng) 16 Ta có x 12; x 8 Vì x nhỏ nên x BCNN  8,12   2232  36 Vậy bánh xe phải quay 36 cưa để hai cưa đánh dấu lại khớp với vị trí giống lần trước Khi đó:Bánh xe thứ quay 36 : 18 = vòng Bánh xe thứ hai quay 36 : 12 = vòng BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI A ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Dạng Tìm tất ước (bội) số Bài Tìm số tự nhiên x cho a) x  Ư  20  x  b) x  B  8 18  x  72 c) x x  21 d) 20 x x  Bài Tìm tập hợp số tự nhiên vừa ước 220 vừa bội 11 Dạng Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết Bài Tìm số tự nhiên n cho: a)  n b)  (n  1) c) (2n  6)  (2 n  1) d) (3n  7)  (n  2) Dạng Viết tập hợp ước chung (bội chung) hai hay nhiều số Bài Viết tập hợp sau: a) ƯC 15, 27  b) ƯC 15, 22  c) BC  4,7  d) BC  6,15  Bài Viết tập hợp sau: a) Ư  8 , Ư 12  , ƯC  8,12  c) B 12  ; B 18  BC 12,18 b) B 16  , B  24  , BC 16, 24  d) Ư 16  , Ư  24  , ƯC 16, 24  Dạng 5: Bài tốn có lời văn Bài Có 10 bánh trung thu Bạn Ngọc muốn chia số bánh vào hộp Tìm số hộp số bánh hộp, biết số bánh hộp phải nhiều 10 Bài Bạn Ngọc mua cốc trà sữa Số cốc trà sữa cửa hàng bội số số cốc bạn Ngọc mua Tìm số cốc trà sữa cửa hàng, biết số cốc trà sữa lớn 116 nhỏ 123 Bài Tổ I lớp 6A nhận phần thưởng cô giáo chủ nhiệm em nhận phần thưởng Cô giáo chủ nhiệm chia hết 54 45 bút bi Hỏi số học sinh tổ I lớp 6A bao nhiêu? 17 Bài Tính số đồng chí đội văn nghệ bội đội, biết lần xếp hàng , hàng , hàng , hàng vừa đủ hàng số học sinh trường khoàng từ 40 đến 45 Bài 10 Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn, vừa đủ bó Tính số sách đó, biết số sách khoảng 200 đến 500 B ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Dạng Tìm ước chung lớn số cho trước Bài Tìm ƯCLN số a) ƯCLN 14,32  b) ƯCLN  50, 60  c) ƯCLN 14,32, 20  d) ƯCLN  50, 48, 60  Dạng Tìm ước chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài Tìm ước chung 42 30 thơng qua tìm ƯCLN Bài 3: Tìm ƯCLN tìm ƯC số sau: a) 144 420 c) 60 90 b) 60 132 d) 220 ; 240 ; 300 Bài Tìm số tự nhiên x thõa mãn 144  x ; 420 x  x Bài Tìm số tự nhiên x , y biết ƯCLN  x , y   x y  825 Bài 6: Tìm số tự nhiên , x biết: a) 35  x, 105  x x  b) 612  x, 680  x, x  30 c) 144  x, 192  x, 240  x x số tự nhiên có hai chữ số d) 280  x, 700  x, 420  x 40  x  100 e) 148 chia x dư 20 108 chia cho x dư 12 Bài 7: Tìm số tự nhiên x , y biết: a) x  y    b)  x   y  3  26 c)  x  5 y  3  15 d) xy  x  y  Bài Tìm số tự nhiên n để biểu thức saucó giá trị số tự nhiên A 16 n3 B 3n  n 3 18 Dạng Bài toán có lời văn đưa tìm ƯCLN Bài Bạn Hà có 42 viên bi màu đỏ 30 viên bi màu vàng Hà chia nhiều vào túi cho số bi đỏ bi vàng chia vào túi? Khi túi có viên bi đỏ viên bi vàng? Bài 10 Một hình chữ nhật có chiều dài 112m chiều rộng 36m chia thành hình vng có diện tích Tính độ dài cạnh hình vng lớn cách chia ? (số đo cạnh số tự nhiên với đơn vị m ) Bài 11: Ba khối ; ;8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp thành hàng dọc để điều hành cho số hàng dọc khối Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng có lẻ hàng? Khi khối có hàng ngang? Bài 12: Mỗi công nhân hai đội giao nhiệm vụ trồng số (nhiều cây) Đội phải trồng 156 cây, đội phải trồng 169 Hỏi đội công nhân phải trồng đội có công nhân? Dạng Chứng minh hai hay nhiều số số nguyên tố Bài 13 Chứng minh 14 hai số nguyên tố Bài 14 Chứng minh với số tự nhiên n , số sau số nguyên tố a) n  n  b) 3n  10 3n  c) 2n  4n  d) n  4n  Bài 15: Chứng minh số sau nguyên tố nhau: a) 14n  21n  b) 2n  3n  C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Dạng Tìm bội chung nhỏ số cho trước Bài Tìm a) BCNN  8,10, 20  f) BCNN  30,105  b) BCNN 16, 24  g) BCNN  28,30, 20  c) BCNN  60,140  h) BCNN  34,32, 20  d) BCNN  7,9,11 k) BCNN  42, 70,52  e) BCNN  24, 40,162  l) BCNN  9,10,11 Dạng Tìm bội chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: a) x10 ; x15 x  100 b) x14 ; x15 , x 20 400  x  1200 Dạng Tim số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước Bài Tìm số tự nhiên a, b biết 19 a) a  b  BCNN  a, b   140 b) ƯCLN  a, b   BCNN  a, b   84 Dạng 4: Bài tốn có lời văn Bài Một công ty dùng ba ca nô để trở hàng Ca nô thứ ngày cập bến lần, ca nô thứ hai ngày cậ bến lần, ca nô thứ ba ngày cập bến lần Hỏi lần đầu ba ca nô cập bến lúc sau ngày ba ca nô lại cập bến lần thứ hai? Bài Đội đỏ lớp có ba bạn An, Bình, Mai Ngày đầu tháng đội trực ngày Cứ sau ngày An lại trực lần, sau ngày Bình lại trực lần sau ngày Mai lại trực lần Hỏi sau ngày đội lại trực vào ngày lần tiếp theo? Khi bạn trực lần ĐÁP ÁN BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI A ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Bài a) x  10; 20 c) x  0;8;16  b) x  24;32; 40; 48;56; 64;72 d) x  5;10; 20  Bài x  11;22; 44;55;110; 220  Bài a) n   1;3 b) n   2;8 c) n   1;3 d) n    Bài a) ƯC 15, 27   1;3 b) ƯC 15, 22   1  c) BC  4,   0; 28;  d) BC  6,15   0;30;  Bài a) Ư    1; 2; 4;8  Ư 12   1; 2;3; 4;6; 12  ƯC  8;12   1; 2;  b) B 16   0;16;32; 48; 64;  B  24   0; 24; 48;72;  BC 16; 24   0; 48;  c) B 12   0;12; 24;36; 48;  B 18  0;18;36;54;  BC 12;18   0;36;  d) Ư 16   1; 2; 4;8;16  Ư  24   1; 2;3; 4;6;8;12; 24  ƯC 16; 24   1; 2; 4;8  Bài Số bánh hộp ;5 tương ứng số hộp 5; Bài Số cốc trà sữa cửa hàng 120 Bài Số học sinh tổ I lớp 6A học sinh Bài Số đồng chí đội văn nghệ 42 đồng chí Bài 10 Số sách 360 20 B ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Bài a) b) 10 c) d) Bài ƯCLN  42,30   6  ƯC  42,30   1; 2;3 ;6  Bài a) ƯCLN 144, 420   12  ƯC 144, 420   1; 2;3; 4;6;12  b) ƯCLN  60,132   12  ƯC  60,132   1;2;3; 4;6;12  c) ƯCLN  60,90   30  ƯC  60, 90   1; 2;3;5; 6;10;30  d) ƯCLN  220, 240,300   60  ƯC  220, 240,300   1; 2;3; 4;5;6;10;12;15; 20;30;60  Bài x   3; 4;6;12  Bài TH1: x  165; y  TH2: x  55; y  15 Bài a) x  7;35 b) x   34;68 c) x  12;16; 48 Bài a) c) d) x  70 e) x  32  x; y   1;6  ,  2;  ,  4;0  b)  x; y    4;5    x; y   10;  ,  0; 0  d)  x; y    0;  ,  2;0  Bài n  0;1;5 n  4;5; 6;9 Bài 9.Có thể chia nhiều túi Trong có bi đỏ, bi vàng Bài 10 m Bài 11 12 hàng, Mỗi hàng khối 25 em Mỗi hàng khối 23 em Mỗi hàng khối 21 em Bài 12 Mỗi công nhân trồng 13 Đội có 12 cơng nhân Đội có 13 cơng nhân Bài 13.14,15 chứng minh tương tự C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Bài a) 40 b) 48 f) 210 g) 420 Bài 2.a) x  0;30;60;90 Bài a) a = 35, b =28 c) 420 h) 2720 d) 693 k) 5460 b) x  420;840 b)  84,3 ;  21,12  Bài 24 ngày Bài lần ngày 21 e) 3240 l) 990 ... chung 24 180 thơng qua tìm ƯCLN Lời giải Phân tích số thừa số nguyên tố 24  23 .3 , 180  22 . 32. 5 Từ ƯCLN  24 ,180   22 .3  12 Mà Ư  12   1; 2; 3; 4;6; 12? ?? Vậy ƯC  24 ,180   1; 2; 3; 4; 6; 12? ??... 22 ; 14  2. 7 ; 26  2. 13 BCNN 10, 12   23 .3.5  60 BCNN  4,14, 26   2. 7.13  364 b) Ta có: 24  23 .3 ; 10  2. 5 d) Ta có:  2. 3 ,  23 , 10  2. 5 BCNN  24 ,10   23 .3.5  120 BCNN ... 84,108  22 .33.7  756 BCNN  8,18,30  23 . 32. 5  24 0 Bài Tìm: a) BCNN 10, 12  c) BCNN  4,14, 26  b) BCNN  24 ,10  d) BCNN  6,8,10  Lời giải a) Ta có: 10  2. 5 ; 12  22 .3 c) Ta có:  22 ;