Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Viết phương trình các tiếp tuyến của C vuông góc với IA.. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp C.ADC’.. PHẦN RIÊNG 3
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 2
1
x y x
(1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)
2 Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C), đường thẳng ( ) : d x 2y 5 0cắt ( )C tại hai điểm A, B với A có hoành độ dương Viết phương trình các tiếp tuyến của ( )C vuông góc với IA.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 4sin 3xsin 5x 2sin cos 2x x0
x y
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 2 2
0 cos sin
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, tâm O và góc BAD 600;
D’O vuông góc với (ABCD), cạnh bên tạo với đáy một góc = 60o Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích
khối chóp C.ADC’.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm , , a b c có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2 9
2
abc
P a b c
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại (1; 2) A có góc ABC 300, đường thẳng : 2d x y 1 0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các điểm B
và C.
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng( ) :P x1 2y2z 3 0 , 2
( ) : 2P x y 2z 4 0 và đường thẳng d:
3
4 2
1
x
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)
Câu 9.a (1,0 điểm) Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 4 ; (1 )(1 2 ); 2 6
phẳng phức Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp
2 2
25 9
E với hai tiêu điểm F F 1, 2 (hoành độ của F âm) Điểm 1 P thuộc elíp sao cho góc 0
1 2 120
PF F Tính diện tích tam giác PF F 1 2
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (1;2; 1), ( 2;1;3) A B Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox để tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.
Câu 9.b (1,0 điểm) Một hộp đựng 4 viên bi xanh , 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên ra hai viên bi
Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu
- HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2Câu Đáp án Điểm 1
(2,0 điểm) a (1,0 điểm) + Tập xác định D R \ 1
+ Sự biến thiên
Đt y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
0.25
2
4
1
x
Hàm số nghịch biến trên ;1 , 1;
Hàm số không có cực trị
0.25
Bảng biến thiên:
x 1
'
y + 0 || 0
b.(1,0 điểm)
Ta có I1,2, 5
:
2
x
d y
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là 2 2 5
x
0.25
3
3;4
x
A
x loai
Hệ số góc của IA là 3 1
1
4 2
k
0.25
Gọi x là hoành độ tiếp điểm Do tiếp tuyến vuông góc với IA nên0
Tiếp tuyến có hệ số góc 2 0
0 0
3 4
1
1
x x x
Từ đó, ta xác định được các tiếp tuyến là: yx7,yx 1 0.25
2
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với: 4sin 3xsin 5x sin 3x sinx 0 0.25
3sin 3x sin 5x sinx 0 3sin 3x 2sin 3 cos 2x x 0 sin 3 (3 2cos 2 ) 0x x
sin 3x 0
; 3
k
3
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
2
2
Trang 32 2
3 3
1
x y
y x y xy x
x y
Trường hợp x = y thay vào phương trình: (x 4 )(2y x y 4)36
ta được phương trình: 2 4 12 0 6
2
x
x
Hệ có nghiệm ( 6; 6);(2; 2)
0.25
Trường hợp
x y
Do y2xy y 2 0 với x y, 0 nên nếu ( ; )x y là nghiệm thì xy 0
0.25
Mặt khác (x 4 )(2y x y 4)36 2x24y2 9xy4x16y36
2(x1)24(y 2)2 9xy18 (*)
Do xy 0 nên PT(*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( 6; 6);(2; 2)
0.25
4
(1,0 điểm) (1,0 điểm)
2
0 0
0.5
3
x
5
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
O
A B
D'
A' C'
B'
H
0.25
Từ giả thiết: 0
D ' DO 60
Tam giác ABD đều, AC 2AO 2.a 3 a 3 v ODà ODBD; DD'=a 1BD a; DD'=a
Gọi O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’ Ta có: OO ' a DD ' và OO 'AC
(do ACBDD B' '), nên diện tích tam giác ACC’ là:
2 ACC ' ACC ' A '
0.25
Diện tích tam giác ACD là
2 ACD
S
4
0.25
Trang 4Kẻ OH vuông góc với CD thì D ' HCD v OD'H à ODBD; DD'=a vuông tại O Do đó DH a
4
4
Diện tích tam giác C’CD là SC ' CD 1SCDD 'C ' 1CD.D ' H 1a.a 15 a2 15
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp C.ADC’ là:
xq ACC ' ACD CDC '
Thể tích
' '.
1 3
'
6
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
2 2 2 9
2
abc
2
abc
2
a
2
a
0.25
Không mất tình tổng quát giả sử a min a b c ( , , )nên [0; ]1
3
a
Khi đó hàm ( ) (9 2) 2 2 2 1
2
a
f t t a a là hàm nghịch biến
9
2
a
0.25
Từ đó ta lại khảo sát hàm f(0) 2 a2 2a1 với [0; ]1
3
Khi đó ta có MaxP 1 khi a1;b c 0 và các hoán vị 0.25
7.a
(1,0 điểm) (1,0 điểm) cho tam giác ABC vuông tại (1; 2) A có góc
0 30
ABC , đường thẳng : 2d x y 1 0 là
tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các điểm B và C.
Gọi H là hình chiếu của A trên d là 7 9;
5 5
H
, AH d A d( ; ) 1
5 Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm BC
d vuông góc BC nên BC//AH suy ra ABH 600
tan 60 15
AH
0.25
Gọi tọa độ của ( ; 2 1)B t t
2
15
BH t t t t
0.25
TH1: 7 3 9 2 3;
Phương trình BC qua B vuông góc với d là 2 5 1 0
3
1
3
C BC C a a
0.25
Trang 531 2 3 13 3 31 2 3
TH2: 7 3 9 2 3;
Phương trình BC qua B vuông góc với d là 2 5 1 0
3
1
3
C BC C a a
0.25
8.a
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Giả sử I( ) :d
3
4 2
1
x
( 2 ; 2 ; 4 3 )
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) d (I, (P1)) = d (I ; (P2))
1
13 16
10 3
1 3 9 3
1
t
t t
I1(11; 26; 35); ( 1; 2;1) I2
Vậy có hai mặt cầu cần tìm:
1 ( ) : (S x11) (y 26) (z35) 38 , 2 2 2
2 ( ) : (S x1) (y 2) (z1) 4 0.25
9.a
(1,0 điểm) (1,0 điểm)
4
2 2
i i i
i
có điểm biểu diễn A= (2; -2)
1 i 1 2 i 3 i có điểm biểu diễn B= (3; 1)
2 6
2
i
i
có điểm biểu diễn C= (0; 2)
0.5
Xét
7.b
(1,0 điểm) (1,0 điểm)
2 2
25 9
2
2 2 2 2
1 2
25
16 9
a
b
0.25
Theo định nghĩa elip và định lí cô sin ta có:
2
10
2 10
0.25
1
2
9 7 61 7
PF
PF
0.25
1 2
0
1 1 2
.sin120 8
PF F
8.b
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Trang 6Khi đó, AM t 1; 2;1 ; AB 3; 1; 4 AM AB; 7; 4 1; t t 5
0.25
2
ABM
0.25
Hàm số f t( ) 17t22t75đạt GTNN tại 1
17
t Vậy 1;0;0
17
M
là điểm cần tìm 0.25
9.b
(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
Gọi A là biến cố “ Chọn được 2 viên bi xanh”, B là biến cố “ Chọn được 2 viên bi đỏ”, C là
biến cố “ Chọn được 2 viên bi vàng”, và H là biến cố “ Chọn được 2 viên cùng màu ”
Ta có: H A B C và các biến cố A , B , C đôi một xung khắc
0.25
Vậy theo quy tắc cộng xác suất ta có:
2
3
5 18
C
Biến cố “ Chọn được hai viên bi khác màu” chính là biến cố H Suy ra,
18 18
