DA THUC NOI SUY
Thông thường, một hàm số có hai dang biéu dién: dang thir nhat la bằng
biểu thức giải tích; dạng thứ hai la bằng bảng số Ta chú ý đến dạng thứ
hai Giả sử hàm số ý = ƒ(x) không thể cho đưới đạng biểu thức giải tích,
nhưng bằng cách nào đó ta có thể nhận được giá trị của 1/ tại một vài giá trị
khác nhau của x (chẳng hạn bằng đo đạc, quan trắc hoặc ghi chép thông kê) và ta lập được bảng số sau: x XO X1 x2 3 8P Xy Ự Yo Y1 Y2 see Yn
Các giá trị x0, X1, ., Xn duoc goi la cic méc ™ Một vẫn đề thực tiền thường
nay sinh la nếu ta có hàm số ở dạng bảng thi bằng cách nào ta có thể xác
định tại giá trị x không trùng với một trong các mốc xu,xị, ,x„ Thuật
toán tìm giá trị / như vậy được gọi là phép nội su V1 vay, ta co thể nói phép nội suy là phép chèn các giá trị của hàm s6 tại các giá trị của biến số không trùng với các mốc
Một ứng dụng khác của phép nội suy là xấp xỉ một hàm cho trước bằng một hàm số khác nhằm mục đích đơn giản hóa cách tính giá trị của hàm ban đầu Ta hình dung trường hợp sau: trong một thuật toán nào đó ta
phải tính nhiều lần giá trị của một hàm số với một biểu thức giải tích rất
phức tạp Dể tiết kiệm thời gian tính toán nhưng vẫn đảm bảo độ chính
xác đã đặt ra, ta sẽ chia miền biến đổi của biến số bằng các mốc, và tiến
hành tính các giá trị của hàm tại các mốc đó để thu được một bảng số Khi
đó, để tính giá trị của hàm ban đầu tại các giá trị khác nhau của biến sé, ta
Trang 290 Đa thức nội suy
41 Đa thức nội suy dạng Lagrange
4.1.1 Đa thức nội suy dạng Lagrange với mốc bắt kì Cho ham sé y = f(x) voix € [a;b], các mốc {x;};_
trong [a;b] Dat y; = f (x;),i = 0,n, ta sé tién hành xây đựng một đa thức, ký hiệu L„(x), thỏa mãn các điều kiện sau: đeg Lạ (x) < 1 { Lu (x7) = f (xi) = yn Vi = On et ø; phân biệt và chứa Xét các đa thức
coy 3 se W— đu) cá: LÝ St es1) ( TH sa ÔŠ = Ấn) vi = U7
(x; — xo) w (x; — #i~1) (x; = Xi 41) wis (Xj ¬ Nig ) Ta thay degw; (x) =nva O khi ifj đi (Xj) = 8 = { 1 khi i=ƒ HH Dat Ly (x) = 0 yi; (x) Khi do, L, (x) thoa diéu kién (4.1) ¡ :0 Đa thức L„ (x) được xây dựng như trên được gọi là đa thức nội si dạng Lagrange O ; i : : i Xu =1 X1 ` 4⁄2 Ấm 2 Xu 1 Xu =b
Hình 4.1 Minh họa đường đi của L,,(x) so voi f(x)
Sự tồn tại của đa thức nội suy dạng Lagrange L„(x) là duy nhất Thật
Trang 34.1 Da thitc néi suy dang Lagrange 91 Vi du 4.1 Cho ham sé y = f(x) co bảng giá trị x 0 1 2 y 1 0 2 1 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Lagrange của hàm s6 f(x) 2) Tính gần đúng f (3) Giải (x—1)(x—2)(x— 3) 2 wo) = Gay = 2) (0-4)
+ ents) = God ya)
Da thức nội suy đạng Lagrange của hàm số 1 = f(x) 1a
L3 (x) = yowo (x) + yi@y (x) + 22 (X) + a(03 (X) = 7 (—7x3 + 39x? — 44x 4+ 12) 2) Áp dụng kết quả câu 1) ta được f (3) = L3 (3) = 5- Ví dụ 4.2 Xét hàm sỐ f (x) = / 1 giá trị của hàm s6 y = f(x) tai nhtrng méc đặc biệt ˆ sinf dt Bang s6 sau day cho ta biết được x 1 1,2 1,4 1,6 y 0 0,161964 | 0,310144 | 0,443097
1) Xây dựng da thức néi suy dang Lagrange cua ham sé f(x)
2) Tinh gan dung f(1,5)
Giải mm
1) Trước hết, ta xây dựng các da thurc w(x),i = 0,3 (x — 1,2) (x — 1,4) (x — 1,6)
Trang 492 , Da thue noi suy (x ~ 1) (x — 1,4) (x 1,6) © w(x) = (1,2 1) (1,2 — 1,4) (1,2 - 1,6) ` (x=1)(x-1/2)(x 1,6) © w(x) = (1,4 -1)(1,4- 1,2) (1,4 1, 6) © w(x) = 1) 1 1) (1,6 ~ 1) (1,6 — 1,2) (1,6 — 1,4)’
Da thức nội suy dang Lagrange cua ham sé y — f(x) 1a
la (x) = YoWwy (x) + YG (x) + Y2W2 (x) + Y303 (x)
= Ow (x) + 0, 1619640 (x) + 0,310144W2 (x) +0, 443097003 (x)
2) Từ 1) ta được ƒ (1,5) = 0,378614 Ey
$ Ước lượng sai số của phép nội suy
Ta tiền hành đánh giá sai số của đa thức nội suy dạng ae tai gia tri x bất kì khác các mốc xọ,x, ,x„, tức đánh giá |ƒ(4) - IL„()l Dé don
> adj s
giản cho việc trình bày, ta giả sử ƒ € Cu WA Ry <<a << Wy Dat
® /„¡¡ (X) = (X— xo)(X — XI) (X— Anỳ,
°c (x) =f (x) — Ez (x) — KRzaa (x) với k = Ê€) sỉ G0), tJ„ịi (Ä)
Trang 54.1 Da thức noi suy dang Lagrange Vi du 4.3 Cho ham s6 y = f(x) = sin2x c6 bang gia tri x 1 I I 1 8 6 4 2 _ y 0, 247404 | 0,327195 | 0,479426 | 0,841471 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Lagrange của hàm so f(x) 2) Tính gần đúng sin $, đánh giá sai số kết quả vừa tìm được Giải
1) Đa thức nội suy dạng Lagrange của hàm sô ƒ(+x) là
Ls (x) = yotwo (x) + yim (x) 202 (X) + ysws (x),
Trang 694 Đa thức nội suy My = max Fie (x)| = TH [16 sin 2x] = 13, 841471 e[h xe[bi f (4) ~ Es (4)| <9 x 10-6 3.84 Hinh 4.2
Để thấy sự chính xác của đa thức nội suy Lạ(x) (đường đứt) khí xap xi hàm sin 2x (đường liên), ta quan sát hình 4.2 Trong doan [4; 3] dé thi cua hai hàm số gẦn như trùng nhau Điều này chứng tỏ La(x) là một xấp xỉ tốt
của sin 2x x
Công thức (4.3) chỉ giúp ta đánh giá sai số của phép nội suy tại một
điểm mà không cho ta cái nhìn tồn thể nên đơi khi dẫn tới những nhận
định sai Chẳng hạn, khi đánh giá sai số tại điểm đang xét thì thây kết quả thu được là rất tốt, từ đó ta kết luận đa thức nội suy tìm được là một xấp xỉ tốt, nhưng thực ra kết quả đó chưa dủ độ tin cậy Để khắc phục nhược
điểm đó, đồng thời giúp ta có cái nhìn tổng quan về sự phân bó các diểm
Trang 74.1 Đa thức nội suy dang Lagrange 95
nhỏ nên đồ thị của hàm số = |ƒ(%) — L„(x)| gần như trùng với trục OÖ+ Chính vì thế chúng ta cần khảo sát hàm số 1 = log | f(x) — Ln(x)]
Trở lại Ví dụ 4.3, với bảng số liệu đã cho ta tìm được đa thức nội suy La(x) Ta sẽ vẽ đồ thị của hàm số 1 = log |ƒ(x) = La(x)| để tìm phân bố các điểm tốt và xâu của phép nội suy
ca t4 oo 2 ^ ‘ © 2
Hình 4.3
Dựa vao dé thi cua ham y = log | f(x) — L3(x)| trong hinh 4.3, ta cé thé khẳng định là sai số tại mỗi điểm nội suy không vượt quá 10” 3, điều này chứng tỏ Lạ(x) là một xấp xỉ tốt của hàm sô 1 = sin2x
Trong công thức ước lượng sai số (4.3) chỉ có đại lượng ÿ„,1(x) là phụ
thuộc vào cách chọn + 1 mỗc nội suy nên ta có thể đặt ra bài toán ([2]): ton
tại hay không cách bồ trí các mốc nội suy (khi # có định) để bê lf„+1(*)| nhỏ nhất f)? Câu trả lời là khẳng định Các mốc nội suy đó chính là nghiệm của đa thức Chebysev T;,+ (x) Sau đây, ta sẽ tìm hiểu về đa thức Chebysev
với phép đổi biến £ = _ thì đoạn |a; b] sẽ chuyển thành đoạn [~ 1; 1], chính vì thé
Trang 896 Đa thức nội suy @ Da thức Chebysev Xét hàm số T„ (x) = cos (né arccos x) với |x| < 1 Ứng với = 1,4 ta duoc n (x) =x Ty (x) = -2x2 —]1 T3 (x) = 4x3 — 3x Ty (x) = 8x? — 8x2 + 1 Từ biểu thức tường minh của hàm T, (x) ta thu được hệ thức truy hồi Feo ed = FT — The YR BD
Vậy T„(x) là một đa thức có deg T;,(x) =- m và hệ số bậc cao nhất là 2"~1, Đa thức T;„(x) dược gọi là đa thức Chebseo
Định lý 4.1 Với đa thức Chebusco T,,(x) ta luôn có
1 T„(x) có n nghiệm thực phân biệt trong | =1; 1| là 21+ 1 ee _ Xx; == cos (A) „ pis 0,n —1 2n 2 max | | Tu (X}| xej~ 1 £^ 1 Khi x == x; = cos tà ,i = 0,11 H 1 3 max |2„-†Ï„(4)| < max IP(x)| øới P(x) là một da thức bậc " xel- 1⁄11 2"- xe|~11| oà hệ số bậc cao nhất là 1
Chứng trinh Việc chứng minh kết quả 1 và 2 khá đơn giản, xin đành cho bạn đọc như một bài tập Ta se chứng minh kết quả 3
Theo kết quả 2 ta được 1 ep 1 vey tt] Du 2n.TÍ „(%)| = 2n—]1 xe TH [Tn (x)| = 2n- el”
Gia sur ias ee P(x)| (x)| < spay: Dat Q (x) = z7-T Tu (3) < —4 Dat 1 r(x) — P (x), ta thay x), ta thay Q(x) Q(x
là một đa thức có đeg Q(x) < — 1 va khac da thuc khéng Hon nwa,
Trang 94.1 Da thức noi suy dang Lagrange 97
Vi Q (cos (“)) > 0 nếu ¡ chẵn và Q (cos (“)) < 0 nếu ¿ lẻ nên theo định lý giá trị trung gian ({11[13]), phương trình Q(x) = 0 có nghiệm phân biét trong [~ 1,1] Ta suy ra Q (x) = 0 (vô lý)
Vay _l max [P(x aw
—11| *)| > zT
Tir Dinh ly 4.1 ta thu được kết qua: néu chọn các mốc nội suy chính là các nghiệm của đa thức Chebysev T„.+(x) thì ® „.1(X)= aly 1 (Xx), Se RS = My 1 | 1 M,, 1 °« J/() - Lu(x)|< (n- tì) aun 111 (X)| < F Zfm + TI 2x „
Vi du 4.4 Cho ham s6 y = f(x) = sin(1 + 3) với x € [—1;1] Với hàm số này ta lập hai bảng giá trị, một bảng có mốc được chọn tùy ý, một bảng lay mộc là nghiệm của đa thức Chebysev 7(x) (số lượng mộc của hai bảng này là như nhau) Cụ thể hơn, ta có hai bảng số sau: x oan —0,5 0,5 1 y 0,926100 | 0,964427 | 0,968024 | 0,705020 77t kín 37 7E x cos 8 cos `8_ COs 8” cos § Ụ 0,931490 | 0,973716 | 0,986857 | 0,772056
Với bảng số thứ nhất ta xây dựng được đa thức nội suy Lạ(x), với bảng số thứ hai ta xây đựng được đa thức nội suy MIa(x) Tiếp theo, ta vẽ đô thị các hàm số La(x), Ma(x) và ƒ(x) trên cùng hệ trục tọa độ (hình 4.4)
Trang 114.1 Da thitc néi suy dang Lagrange 99
4.1.2 Đa thức nội suy dạng Lagrange với mốc đều
Bây giờ ta thêm giả thiết các mốc zọ, x1, , x„ cách đều trong [a; b], tức Xo = a,Xy = Ù, _— _ _ _ Xn — Xo X1 — X0 = XD TH St SeXy Xp -1 = 3 = h, xj; = Xo + hi,Vi = 0,n Thực hiện phép đổi biến x = xọ + hí, ta được w(x) = w; (xo + th) ; ; (—1)""' — t(t—1) (t—n) (=1)"'Cỉ n! (t-i) ` Khi do, n! L, (x) = (=D = 2) (yy =N,(t) (44) Ví dụ 4.5 Cho hàm số 1 = ƒ(x) có bảng giá trị x 1 2 3 4 y 1 5 21 55 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Lagrange với mốc đều của f(x) 2) Tính ƒ(3,5) Giải
1) Theo công thức (4.4), bằng cách đổi biến x = xy + ht = 1+ ¢t ta được
Trang 12100 Đa thức nội suy
$@ Ước lượng sai số
Theo phần ước lượng sai số của đa thức nội suy dạng Lagrange ta co Mạ lui (x)| với M¡, = max | ford (x): (1 tn+ DI xe ja;b| | Dat x = xo +ht, khi do If (x) -— En (x) Š W431 (xX) = (X — Xo) (x—x1) (X—=x¿} =h*!*t(f— 1) (F— n) Từ đây ta có ước lượng M,, Ant! If (x) — Nu(t)| S Ei |t(f—1) (f n)] (4.5) với Ml,,¡ = max ford (x)| xela;b| x Ví dụ 4.6 Xét ham s6 y = f (x) = / edt Bang s6 sau day cho ta biết giá - 0 trị của hàm tại một vải mộc % 0,25 0,50 0,75 1,00 1 0,255307 | 0,544987 | 0,917916 | 1,462652
1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Lagrange với mốc đều của hàm số f(x) cho bai bang trên
Trang 134.2 Da thitc n6i suy dang Newton 101
Ta tiến hành đánh giá sai số kết quả trên Lf (0,7) — NM (1,8)| < Ms(0,25)" [1,8 (1,8 —1) (1,8 —2) (1,8—3)| với MS max fo (x)| = max ex (16x4 + 48x? + 12) | = 206, 589419 Ta suy ra |ƒ (0,7) — Ma (1,8)| < 0,011621
4.2 Da thức nội suy dang Newton
4.2.1 Đa thức nội suy đạng Newton với mốc bắt kì
$ Tỷ sai phân
Định nghĩa 4.1 Xét hàm số ý = f(x) vii x © |a;b], các mốc {X¡}, g„ phân biệt oà chứa trong [q; bỊ Dat y; = f (x;),i = 0,n
f[Xi+12 Xi+27 -2Xixk] — ƒ [Xi Xi XE 1]
- _ ÄXi+k — 3i -
phan cap k (viet tat TSPk) ctia ham sô = ƒ(*) tại các mỐC X¡; Xịt 17 -;X¡Lk 0ởi k = 1,1 † = Ö,f1Ú — K„ ký liện ƒ[Xui E41 sôj đ th]
Ta qui wdc cdc gid tri y;,i = 0,n la cdc ty sai phan cap 0
Tỷ số được gọi là tỷ sai
Để tính tỷ sai phân các cấp của hàm số ƒ(x) một cách thuận tiện, ta thường dùng sơ đồ tử sai phân Sau đây là một minh họa cho so dé nay (áp dung
Trang 14102 Đa thức nội suy Sơ đồ tỷ sai phân đôi khi được trình bày ở dạng bảng (được gọi là bang ty sai phan) x y TSP1 TSP2 TSP3 xo_| f (xo) f x0; x1] x, | f(x1) ƒ[xo; x1; xa] ƒ|#i;3a| Ff [x03 Xu X2; Xa] x2 | ƒ(2) f [x15 X2; x3] ƒ[xa; xa] x3 | ƒ(3) Ví dụ 4.7 Cho hàm số 1 = ƒ(x) có bảng giá trị x 1] 2]3 /4 y | 0 | 5 | 22 | 57 Lap bang ty sai phan cua ham s6 f(x) Từ đó suy ra gia tri ty sai phan f (x1; X2; x3] Giai Ta lap bang ty sai phan x TSPI 1 0 5 2 5 17 3 22 35 4 57 Từ bảng tỷ sai phân ta tính dugc f (x1; x2; x3] = 9 "
Trang 154.2 Da thitc noi suy dang Newton 103+
P |; #a| — P eos Xa}
X—X1
Băng phép qui nạp ta chứng tỏ được
Tương tự, P |x; xo; X1] = là một đa thức có bậc m — 2
P [55 Koj 109 Xe—a] — P [Ropers + Mel
xX — Xz
?? [Ä7 ấu? Xu : + ##w| =
là một đa thức có bậc — k — 1 với k = 0,m — 1 Cho k = 7m — 1, ta suy
ra PÏ[X;xo;%4; ;X„—1] là một đa thức bậc 0, tức P.{Z;xo;xX1; ;X„_1] =
const Khi do, ae LNG RO} ws Fim —1| = P {X? XỊƒ « «Xp | P|X/gui XU «: si Xuẹ| SE —— =0 A Am với mọi x € JR\{X¡}; g7:
Vay P [5x6 Xo} Xo « FX,| —= 0 với x6 IX\4M;} i=0,n"
$ Biểu thức tường minh của đa thức nội suy dạng Newton
Xét hàm số = ƒ(x) với x € [a;b], các mốc {x¡},_g„ phân biệt và chứa trong [a;b] Dat y; = ƒ (x¡),„¡ = 0,n, ta xét lại bài toán tìm đa thức nội suy
thỏa mãn điều kiện (4.1) Trong phần trước ta đã tìm được đa thức L„(x)
ở dạng Lagrange Sau dây, ta sẽ biểu diễn L„(x) theo một dạng khác có sử
dụng khái niệm tỷ sai phân Theo Định nghĩa 4.1 ta có Ly (x) — Ly (x Le (x) — Ly [x; xo] — en ) = x (xo) _ nr) —* Ta suy ra Lạ (x) = 0o + Lạ [X; xo] (x — xo) Sử dụng Định nghĩa 4.1 lần nữa ta được Ly [x; Xo] — Ln [07 x1] Ln [x; #0; #1] EE EE i % | Khi d6, Ly [x; x0] = Ln [x07 X41] + Ln [x7 xo; xi] (X — xi) Vậy Ln (X) = Yo + Een [X02 x1] (% — Xo) + Ln [x7 x0; X41] (% — x0) (% — 11)
Lập luận tương tự ta được
Ln (x) = yo + En [x03 41] (X — Xọ) + La [Ao; Xi; X2} (X — Xo) (XT— Xi) +
of Ly [55 Ho) Map pM ga] (Km Fo) ÉÝ = ae (RE “ấn TÌ:
Vi deg L,,(x) < n nén theo Dinh ly 4.2 ta co
Trang 16104 Đa thức nội suy Mặt khác, * = * “ 7 “ * * ¬ - I ox (H} Xpi Fa jy] = g8 š Đế, 8 — Lun [X;X0;X1; -7Xu-1Ì — Lg [Xo; X17 -7Xø- 17 Xa] f= Yom Xp
Tal Sy eet Len, (RO OR Fa Fea] =< Gy [Bol tele EE, 4) | De ds,
Ln (x) = Yo bạ [Xo;Xi| (X — Xe) + Lạ [XozXl;Xa] (XS: Xa) (X Xị) ĐÓ + [Xu;X1/ -7Xu 12Xn](X — Xo) (X ¬ XỊ) (X — Xn TỦ
Ta đã biết L„ (x;) = f (x;) = yi = Ủ,n nên
Lụ [Xo;X1;X27 ;Xy] = ƒ [Xu;Xl;Xa; ;AXk|,k == 1n
Viết lại đa thức „(x) như sau:
Trang 174.2 Da thitc noi suy dang Newton 105
Da thức nội suy đạng Newton của hàm số ƒ(x) là la(x) =0+(x—0)+3(x—0)(x—1)+(x—0)(x—1)(x~ 2) me a Khi đó, ƒ(3) + Lạ(3) = 27 Vi du 4.9 Cho ham s6 f(x) c6 bang giá trị - | 5 0 | 30- TƑ 4
1) Xây dựng da thức nội suy dạng Newton của hàm số ƒ(x)
2) ‘Tinh gan dung ƒ(2,5) — ls | i | i i) 1 9; mị Giải 1) Ta lập bảng tỷ sai phân “x | y | TSP1 | TsP2 | TSP3 TSP4 1 2 2 2 5 Ị si mm aam— 43 " ~ nae fe oe Ö_6 we a fp = a - - "v1, 51 Ao Da thurc néi suy dang Newton cua ham số ƒ(x) là La(x) -517x 2v(x- 1)+x(x-=l)(x 2) l1 L2ix(x—1)(x-2)(x 3) 2) Ta c6 f(2,5) © L4(2,5) = 6,601563 lời
4.2.2 Đa thức nội suy dạng Newton với móc đều
Trang 18106 Đa thức nội suy
$ Sai phân
Dịnh nghĩa 4.2 Xét hàm số = ƒ(%) 0ới x € [a; b], các tộc Xu, Xị, -„Xn
cách đều trong [a;b] Dat y; = f (x;),i = 0,n
Hiệu 6 yiy1 — yi duoc goi là sai phân cấp 1 (SP1) của hàm số ƒ(x) tại mốc
x; VOLT = O,n — 1, ký hiệu AV¡
Hiệu số AW¡,ì — Aw¡ được sọi là sai phân cấp 2 (SP2) của hàm số f(x) tai
moc x; vdi i = 0,n — 2, ky hiéu A?y;
Tong quat, hiéu s6 AK~1y;,, — Ak1y; ditoc goi là sai phân cấp k (SPk) của
ham s6 f(x) tai méc x; vdi i = 0,n —k, ký hiệu AXụ, Ss
Dé tinh sai phân các cấp của hàm số một cách thuận tiện, ta thường dùng
Trang 194.2 Da thitc noi suy dang Newton 107
Lập bảng sai phân của hàm số trên và tính A'o
Trang 20108 Đa thức nội suy
Điều này chứng tỏ (4.6) cũng đúng với k = 7m + 1 Theo nguyên lý qui nạp, ta chứng minh được sự đúng đắn của công thức (4.6)
$ biểu thức tường minh của đa thức nội suy dạng Newton với mốc đều Cho hàm số y = f(x),x © [a;b] cé bang gia tri xX Xv xy tet M Xy | y | Yo | va | - | Yn Như đã trình bày, đa thức nội suy đạng Newton của hàm số ƒ(x) có biểu thức tường minh In (x) = öðt f|Xo;#i] (X — X*o) -E ƒ [Xo;Xi;3a] (X — *o) (X = Xi) + +-ƒ [Xo;X17. 7Xn—1;#Xn] (* — Xô) (X — XL)-.-(X — Xn-1)- Bây giờ ta giả thiết các mốc xọ, xị, , x„ đều trong [ø; b] Khi đó, theo Định lý 4.3, ta có Myo — Xo;X1/ 7Xgk| = soe, ko 1 ƒ [ 0 1 XK] kph Tu day ta suy ra Alyo A* yo Ộ Ln (x) Yor Tất (X — Xụ) + ie (x oe Hy) (x = 0) Kase A" Yo j= (= Ko) (FR — ayia: (EE By a)
Trang 214.3 Da thitc noi suy Hermite 109 x 0 1 | 2 7,3 | 47 y 4 | 8 | 13 | 16 | 20 1) Xây dựng đa thức nội suy đạng Newton với mốc đều của f(x) 2) Tinh f (3,5) Giải 1) Ta lập bảng sai phân y SP1 SP3 16 20 Da thức nội suy đạng Newton với mốc déu cua ham sé f(x) cho boi bảng trên là AP yo 2 Ayo, , à W0, (F—1) + “ge (t-1) (#2) N4a(t) = yor Git 2" 5 rụ=1)0=2)Œ =9) = 4+AE+ 21(F—1) = 2Ht— 1) (f— 2) +74 (f=-1) (¢-2) (1-3) 2) Ta có ƒ(3,5) ~ La(3,5) = Ng(24=2) = Ny(3,5) = 17,453125
4.3 Da thuc noi suy Hermite
Trong phan trên, ta đã xây dựng da thức nội suy của hàm số ƒ(x) khi biết giá trị của hàm tại một số mốc cụ thể Bây gid, ta di dén van dé xa hon, tiến hành xây dựng đa thức nội suy của hàm ƒ(+x) khi biết giá trị của hàm và giá trị đạo hàm (các cấp) của hàm ƒ(x) tại một số mốc có định Đa thức nội suy như thế được gọi là đa thức nội su Hermite Sau đây, ta sẽ đi vào
Trang 22110 Đa thức nội suy
4.3.1 Đa thức nội suy Hermite dạng Lagrange Trước hết, ta tìm hiểu kết quả sau đây:
Định lý 4.4 Cho hàm sô ƒ(x) thuộc tập Cae các mốc {X¡};_ gạ phân biệt oà chứa trong [a;b] Dat ¡ = ƒ (x¡),z¡ = f'(x;),i = Ôn Khi đó, tôn tại diy nhất một đa thức Von41(x) théa cic diéu kién sau: { deg H2„+1 (x) < 2n + 1, (4.7) Hon41 (x;) = Vi, Hy, L1 (x;) = Zi, i= 0, H Chitng minh Ta xét các đa thức (x — xo) (X — X¡-1) (X — i11) (X — Xn) ¬ (xi — Xa) (8 nn) (BF aoe (B= Hn) Ôn 0 khi iFj 1 khi i=/ CƯ; (x) == Ta thay deg w; (x) =n va w; (x;) = Oj = { Voi i = 0,n, ta dat Aj (x) = œ2 (x) [1 — 2 ! (x¡) (x — x¡)]}, B, (ey = aor (2) — Xi): Rõ ràng các đa thức 4;(x), B;(x) đều có bậc 2# + 1 và 1ml, „ ` =—— A; (x;) ={ v1 ái Ai) = 01, = 8y, 1,7 =1, B; (x;) = 0, Bi (xj) == \ 0, j oi LG # (), 91 Xét đa thức Hlạ„,+(x) được xây dựng như sau: H Fl2„._1 (x) = » [A; (x) Yi + B; (x) eae (4.8) icxO Ta thay đa thức H„ ¡ 1(x) thỏa mãn điều kiện (4.7) Hơn nữa, sự ton tại của đa thức Hz„;1(x) là duy nhất
Trang 234.3 Da thitc noi suy Hermite 111 lý Roll, đa thức R'(x) c6 it nhat nghiệm x/ € (x¡;#¡,1) với ¡ = 0,1” — T1 Mặt khác, R'(x) = H„,1(x) — Q2„,¡(x) nên đa thức R/(x) có ứ + 1 nghiệm x¡,¡ = 0,n Do đó, đa thức R/(x) có ít nhất 2n + 1 nghiệm thực phân biệt, ta suy ra R’ (x) = 0 Từ đây ta kết luận Hp,,1(x) = Qonj1(x), diéu nay
chứng tỏ sự tồn tại duy nhat cla Ho,41(x) Hy
Trang 24
112 ; s SỐ Da thức nội SUY 1 « Ba(x) = (2 (x)(x— x2) = 1# (x — 1) (x -2) Da thurc ndi suy Hermite dang Lagrange cua ham số f(x) la Hs (x) = Ao(x) yo + Ar (xX) 1 + Az (x) 2 +-Bo (x) Zo + By (x) 21 + Bo (xX) 22 = +4+4x+1 Khi đó, ta tinh duoc f(1,5) = 14,5938 va f’(1,5) == 29,3125 Ed
Định lý 4.5 Nếu hàm số ƒ(x) thuộc tập Cảm ”) thì oới mọi x © [a;b], lần | |
fai Cy € (a;b) sao cho | | | fae 0B) Ấy} H 3 “ ƒ(X)~ Han (x) = Saat T] (> xi 4.9) i 0 Chứng mình Lây tùy y x © [a;b] \{x;}; -ø„„ ta dat soy) = Il yx),
© 9 (y) = f(y) — Hania (y) ~ Aw () với À = ch HH,
Ta thấy hàm số ø(/) cũng thuộc tập Com ? và có ít nhất 0 + 2 nghiệm trong [a;b] : (X,Xo, , Xu)- Ap dụng định lý Roll, ta suy ra hàm ø/() có it nhất + 1 nghiệm khác các nghiệm (%,, , Xu)
Mặt khác, 9’ (y) = f’ (y) — H3,,,4 (y) ~— Aw’ (y) nén cac gia tri xj,1 = 0,n cũng là nghiệm của ø() Vậy ø'() có ít nhất 2w + 2 nghiệm phân biệt, Tiếp tục áp dung dinh ly Roll, ham ø”(/) có ít nhất 2ø -L 1 nghiệm phân biệt thuộc (a;b) Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng tỏ dược hàm (2+2) (u) có ít nhất một nghiệm thuộc (2; b), giả sử nghiệm đó là ếy Khi đó, ta có
Oh prt?) (ếx) = for (ếx)}— HỆ"? (E.) — Aco("+2) (2,)
Vi He" 12) (ấy) = 0 và œ(2“+2) (ếy) = (2n 3-2)! nên từ đẳng thức trên ta
(2n12) -
fen (8x) Do đó,
duoc we A = (2n +2)!
Trang 254.3 Da thitc néi suy Hermite 113 Với x € {x¡}; gạ thì với mọi ếy € (a;b) ta luôn có đẳng thức (4.9) " Hệ quả 4.1 Với mọi x € [a; b} ta có đánh giá Lƒ (x) — Hạ„yi (x)| < ne aid be ~ 265 trong đó Ma,ya = max |ƒŒ**2) (x) | xela;b} Định lý (4.4) chỉ giúp ta xây dựng đa thức nội suy Elermite khi biết đạo hàm cấp 1 của hàm ƒ(x) tại các mốc Ta sẽ cô gắng mở rộng kết quả trên với đạo hàm cấp tùy ý cho trước fÙ,
Trang 26114 Đa thức nội suy Khi đó, ta suy ra được đeg L„j < #0 = (mm + 1)p —~ 1 và (k) _f 1 néui=hvaj =k, Li (x1) = { 0_ các trường hợp khác trong đó ¡ = 0,m,j = 0,p— 1và k= 0,7 — 1 Xét đa thức m pm] H (x) = Yo Yo fF (xi) Li (2) ¡07 0
Ta thấy H(x) thỏa mãn điều kiện (4.10) Hơn nữa, sự tồn tại của đa thức H(z) là duy nhất Thật vậy, giả sử có đa thức Q(x) cũng thỏa mãn điều kién (4.10) Dat R(x) = H(x) — Q(x), ta suy ra R(x) la mét đa thức có bậc không vượt quá ( + 1)p — 1 và có ít nhat m +- 1 nghiệm #o,#X1, „ X¡¡-
Ap dung dịnh lý Roll, đa thức R/(x) có ít nhất ú nghiệm phân biệt
0x1, -;m—1 Về Xụ < Yo <1 € UỊ €+'' Š Vm—1 S Xá:
Hơn nữa, R/(x) = H/(x) — Qƒf(x) nên R/(x) nhận các giá trị Xụ, X1, - -„Xm là nghiệm, vậy R'(x) có ít nhất 2m + 1 nghiệm phân biệt Áp dụng liên tiếp định lý Roll và sử dụng dang thite R(x) = PY) (x) — QW (x), tasuy ra da thirc R(P-) (x) c6 it nhat mp +- 1 nghiệm phân biệt
Vì đa thức R(x) có bậc không quá ( + 1)p ~ 1 nên đa thức RỈ*)(x) có bậc không vượt quá 0p Ta suy ra RỮ”~1) (x) = 0 Vậy R'?~2)(x) la hàm hằng Vì RỮ~”)(x) cũng có nghiệm nên R(P-2) (x) = 0 Lập luận tương tự, ta cũng nhận được R(x) = 0 Điều này chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của H(x) am Vi dụ 4.13 Xây dung đa thức nội suy Hermite dang Lagrange của hàm sỐ ƒ(z) cho bởi bảng x 0 1 2 f(x) 1 3 35 f'(x) 1 6 81 f" (x) 0 20 160 từ đó suy ra giá tri gan dung cua f (1,5); f’(1,5) va f"(1,5)
Giải Trước hết ta xây dung cac da thie w;j(x) vii, j = 0,2
_ (e=m)* @- Xa) — (x—zi)ỳ (X-#*2) _ l/,_ +w3/x_ 233
© woo (x) Gao) Oe 2a) sứ 1} (xX=2),
(x—x1)` (x—)Ì
Trang 28116 Đa thức nội suy 3 105 29 © Lo (x) = (x -1)° (ấy — 1gx‡ 7) | Đa thức nội suy Hermite đạng Lagrange ctia ham số ƒ(x) là H(x) = 3 Š` /0) (xj) Lij (x) = xe 4tx+1 i Oj 0 Khi đó, ta được H (1,5) = 10,9; H (1,5) = 26,31;H” (1,5) = 67,5 E
Định lý 4.7 Nếu hàm số ƒ(x) thuộc tập ch thì uới x G [a; b, tồn tại ếy € (a;b) sao cho
lữ31)PÌ (ấy)
ƒ(x)— H(x)= (m+) pli tt (x - x;)? (4.11)
Chitng minh Lay tay y x € [a;b] \{xi};_ gy Ta dat
© wy) = H (y— xi)”,
f(x) -H(x)
w (x)
© oly) =f ly) —H(y) —Aw (y) voiA =
Ta thấy hàm số ø(/) cũng thuộc tập GÀ vh và có ít nhất m + 2 nghiệm
Xu, X1, +,Xm,xX trong doan [a;bỊ Ap dung dinh ly Roll, ham số ø'(0)
có ít nhất m+ 1 nghiệm 1o,1/⁄i, ,1„ phân biệt khác với các nghiệm
Xg,X, ,X„„x Hơn nữa, Ø (0) = ƒ'(0)T— H (0) — Aw’ (y) nén ø (0) có thêm ít nhất ø + 1 nghiệm xo,x1, ,X„ Do do, g’(y) có ít nhất 27m + 2 nghiệm thực phân biệt Áp dụng liên tiếp định lý Roll và sử dụng đẳng
thức ø (y) = ƒ9) (y)— HÚ) (y) — Aw) (y) véi j = 0, p — 1, ta suy ra hàm
số @(P~1)() có ít nhất mp + 2 nghiệm thực phân biệt Áp dụng định lý Roll lần nữa, ta suy ra hàm số @Œ~1++1)() = @l0“+1)PÌ(w) có ít nhất một nghiệm ếy € (ø;b) Vì deg H < (m + 1)p — 1,degœ = (m + 1)p và hệ số cao nhất của w(y) 1a 1 nên
HI0£1)PÌ (y) = 0;@l0fPl(y) = {ứm + 1)p|l:
Do đó, ta nhận được
Trang 294.3 Da thitc noi suy Hermite 117
hay
f(x) — H(a) = Aw (x) =" Gd PY x) — H(x) = Aw (x =o x—
[(m +1) pl! 9
V6i x € {xj}; Hm thi vi moi Cy € (a; b) ta luén c6 (4.11) a Từ đẳng thức (4.11) ta được kết quả quan trong sau: Hệ quả 4.2 Với mọi x € |a;b] ta có đánh giá ý 6= Hữ) <1] L]Œ~ x”" v6i Myim41)p) = ma [flomt Del (x) |
4.3.2 Da thirc noi suy Hermite dang Newton
Khái niệm tỷ sai phân là công cụ chính để xây dựng đa thức nội suy đạng Newton Tuy nhiên, để xây dựng đa thức nội suy Hlermite thì Định nghĩa
4.1 là chưa đủ mạnh, ta cần phải mở rộng khái niệm này Van dé dat ra la
ta sẽ mở rộng như thé nao dé đạt kết quả như ý muốn Để làm điều này,
trước hết, ta tìm hiểu kết quả sau:
Định lý 4.8 Cho hàm số ƒ(x) thuộc tập oc các mốc {X¡}; qạ tăng 0à chứa trong |a; b Khi đó, tôn tại Êy € (xo; xu) sao cho
ƒ0) (ấy)
ƒ [Xq;X1; ;Xn] = al
Chứng minh Định lý 4.8 không phức tạp nhưng dung nhiều tính chất
Trang 30118 Đa thức nội suy
Bổ để 4.1 Cho hàm số ƒ(x) xác định trong |a;b], các mốc {X¡}, gạ phân biệt 0à chứa trong [a;b]| Giả sử bộ (io,it,ia, ,in) là mmột hoán vi cia b6
(Õ, 12x «: 8} Khi-đủ,
Ff [07 X15 X27 7 Xn] = f [Xiu? Xi? Xi? c c7 Xu]
Chitng minh Vi (io,i1,12, -,in) la mot hoán: vị cua BE (6,1, Dees 25 HE) nên da thức nội suy của hàm ƒ(x) với các mộc (MgpX11 bi x: s2 Sam)
trùng với đa thức nội suy của ƒ(x) với các mốc (X¡„;X¡/;X¡;; -7%i,)- Ta gọi da thức đó là L„(x) Theo công thức xác định đa thức bl ®) dang Newton, đối với các mốc (xo;#1;#z; ;Xn), L(x) có hệ số của x” là ƒ[xo;xizxa; ;xø] Còn đối với các mốc (X¡;x¡,;Xi;; -7Xi,), La(X) có hệ số của x" 1 [Xu ilifpJ:a.fEu To đồ, ƒ [xu 8 .- 7%] = [EezXizibr- - - 38] - m Chứng mình Định lú 4.8 Với mọi x £ {X¡},.g„=ị ta có f(x) =f (x0), x — XQ f (x; x0] = Ta suy ra f (x) = f (xo) +f [x:xo0] (x — xo) Ap dung định nghĩa tỷ sai phân cấp 2 ta được f [xi x0] = f [x07 x1] + f [x; x0; x1] (X — #1) Ta suy ra
f (x) = f (xo) +f [x0 x1] (x — #o) + ƒ [X2 Xo; Xi] (X — Xo) (X — #1):
Trang 314.3 Đa thức nội su Hermite 119
Ta suy ra
ƒ(x) — Lạ-1 (X) = ƒ Í[X;Xú;XA7 -7Xn—1] (X — #o) (X — XI) (X — #Xn-1): Theo công thức đánh giá sai số của đa thức nội suy ta được (m) Ƒ(#) — Lạ_1 (4) = pe ey) (x — #o) (X — #1) (X — Xn-1)- Từ đây, ta nhận được (1) yf [x X07 X17 cBấ0m=1l = ial Cho x = x„ và sử dụng Bổ đề 4.1 ta được (n) ƒ [Xo;X1; -;Xn-17nÌ = ae (4.12) vGi fy € (Xo; Xn) a Từ đẳng thức (4.12) ta suy ra kết quả đặc biệt sau (n) (1) ( lim ƒfjxo;xi; ;x„]Ì = lim FO (Gn) — 7 0u) mt xp Xn xy TỊ Ị H1 t Kết quả này giúp ta mở rộng Định nghĩa 4.1 như sau ([7}): Định nghĩa 4.4 Xét hàm số y = f(x) uới x € |a;b], các mốc {%X¡};_gp không giảm 0à chứa trong |a;b] Đặt ¡ = ƒ (x¡),¡ = 0,m Khi đó, tỷ sai phân cấp k của hàm sô = f(x) tai các mốc x¡; X¡41; -; Xị+k được cho bởi công thức
fix "—— zznx#g=il Xin & Xi f [xi Xik17 -;Xi+k] = fi) (x;)
—, k! rXigk = Xi
voik =1,nvai=O0,n—k
Trang 32
120 Đa thức nội suy Ví dụ 4.14 Cho hàm số = ƒ(x) có bảng giá trị x 0 1 2 f(x) i, 6 41 £@) 4 9 84 Lập bảng tỷ sai phân của hàm số ƒ(+) Từ đó suy ra giá trị các tỷ sai phân ƒ[Xu; xu; xì], f [X15 X15 X27 x2] Giải Ta lập bảng tỷ sai phân như sau: x y TSP1 TSP2 TSP3 TSP4 0 1 0 35 2 41 84 2 41
Từ bảng tỷ sai phân ta được f[xo; x0; x1] = 1, f [x17 x1; X2; X2] == 23 BÍ
$ Biểu thức của đa thức nội suy Hermite dạng Newton
Xét hàm số 1 = f(x) voix € |a;b], các mốc {3¡}; gạ; tăng và chứa trong
[a; b] Ta trở lại bài toán tìm đa thức Ƒ7(x) thỏa mãn các điều kiện (4.10)
Trang 334.4 Phép nội suy Spline Lai Đa thức ?1(x) được xác định bởi (4.13) được gọi là đa tuc nội su Her- mite dang Newton
Ví dụ 4.15 Xây dung da thttc néi suy Hermite dang Newton ctia ham sé f(x) cho boi bang trong Vi du 4.14
Giải Từ bảng tỷ sai phân được lập trong Ví dụ 4.14 ta suy ra
H (x) = 14+ 4x + x7 43x? (x —1) +4x?(x — 1)? +.x7(x — 1)? (x — 2)
Don gian biéu thirc trén ta duge H(x) = x° +4x41 aw
4.4 Phép nội suy Spline
Việc xây đựng một đa thức đi qua các điểm nội suy trong trường hợp sô móc lớn là một công việc rất khó khăn và khó ứng dụng Một trong những cách khắc phục là trên từng đoạn liên tiếp của các cặp điểm nội suy ta nối chúng bằng những đường đơn giản và đơn giản nhất là đường thẳng
Tuy nhiên, tại các điểm mốc, hàm xấp xỉ sẽ mất tính khả vi Dựa vào hình Ya Xo 8 Ot Hinh 4.6
4.6 ta thay duong gap khúc 444i 14„ không khả vi tại các mốc x; (tức không tồn tại tiếp tuyến nào của đề thị nhận các đỉnh Ao, Ay, , Ay, lam
Trang 34122 Đa thức nội suy
Định nghĩa 4.5 Cho hàm số ƒ (x) xác định trên đoạn |a;b] oà một phép phân hoạch xạ < x1 < < Xy VOixX9 = a; Xn = b Mét spline bac ba g (x) noi suy ham f (x) trén [a;b] la ham théa cdc điều kiện: (2 1 ø(x) thuộc tập Ấn 2 Trên mỗi đoạn con [x;; x1] hàm số g (3) = 9; (x) la mot (se Kia đa thức bậc ba oới ¡ = 0,n — 1 3 g (xi) = f (41) = yi = On
4 Một trong hai điều kiện sau được thỏa:
a Ø” (xo) = @" (Xn) = 0 (điều kiện biên tự nhiên)
b g' (xo) = ƒ! (xo): 8! (Xu) = ƒ! (xn) (điều kiện biên ràng buộc)
Một spline bac ba thỏa điều kiện biên tự nhiên được gọi là spline tự
nhiên Còn nêu thỏa mãn điều kiện biên ràng buộc thì được goi la spline
ràng buộc Sau dây, ta tiên hành xay dung spline bac ba g(x)
XQ X1 X2 Xn-2 Xn-1 Xn
Hinh 4.7
Trang 36124 Đa thức nội suy Do đó, để xác định M1, N;, ta chỉ cần xác định các số múm;,¡ = 0,n Sử dụng điều kiện 1 lần nữa, ta thay ham g’ (x) liên tục trong [z;b] Khi đó, gi (H1) = 8 (X¡,1) = Qi HN Hản Ta suy ra hị + H¡¿1 H1 — it2— Vi+t —— i‡1 — Đị hị ik, ; = 4.1 m;— j + Mj 44 3 “+ PHị:2 j ina h, (4.15)
với ¡ = 0,1 — 2 Hệ phương trình (4.15) gồm ñú — 1 phương trình với m + 1 ấn mj, = 0,n Dé thu duge day du ta phai dung thém diéu kién 4a hoac 4b O day ta chi xét diéu kién quan trọng nhat 1a 4a, điều kiện 4b bạn doc
xem như một bài tập
$ Trường hợp dùng điều kiên 4
Từ hệ phương trình (4.15) và điều kiện 4z ta được hệ phương trình
h; + he HAT ag, h; EU "-: " ¡i1 — Ưi+1 của — Ty Yi 3 6 hia h; (4.16) hj 4 WL; M44 6 Mg = in, = 0
với ¡ = Ủ,n — 2 Để chứng mình hệ phương trình (4.16) có nghiệm duy nhất ta sử dụng kết quả quan trọng sau: Dinh ly 4.9 Cho ma tran A =; (aij) © IMMụ(R) thỏa tính chất đường chéo trội, tức iW |#¡| > )_ j 1/71 b= Ln Khi đó, hé phuong trinh Ax = Ogn chi cd nghiém tain thường Từ đó suụ ra detA £0
Giải Giả sử hệ Phương trình Ax = g» có nghiệm không tầm thường
x= (X %2 Xp ) Khi đó, tổn tại /› € {1,2, ,m} sao cho
|xi,| = max {|xì| ; |x2] l}: Phương trình thu ig cua hé Ax = On c6 dang
Trang 374.4 Phép nội suy Spline 125 Kết hợp (4.17) với tính chất đường chéo trội của ma trận A ta được Hn lx|< }, OPAL Qigj Lipj lofo - “Lolo |Xig | < |Xig| - n [Xig| = » j 1/j//1o Điều này chứng tỏ hệ phương trình Ax = 0g» chỉ có nghiệm tâm thường Vậy det 1 zZ 0 | Hé phuong trinh (4.16) có ma trận hệ số 1 0 0 0 0 0 fo — o 0 0 Ö 0 „ “3 “ 7 | Đ lạ T†Ì1 i ‡ ° " ° 0 ° 0 6 0 B =“<= I G ° 0 * " - Ny ] e = 6 0 0 0 0 0 1 Ta thay ma tran A thỏa tính chất đường chéo trội Thật vậy, với ¡ = 1 hoặc i=n+1,tacd n+] jan] =1> )) aj] = 0; j=2 i đữn+1)(0m3 9) =a kB » |#œ+ 1| = 0 jal Với n > ¡ > 2 ta có n+l laz| = Hie Fel > lay = Bông, Hộ, J>1j/i Vậy hệ phương trình (4.16) có duy nhất nghiệm hay tổn tại duy nhất một spline bậc ba tự nhiên
Tóm tắt thuật toán tìm spline bậc ba tự nhiên nội suy hàm số ƒ (x) trong đoạn [a; b]
Trang 38
126 Đa thức nội suy Bước 3: Tính M1;,N; theo công thức h2 ee Mi = yi- mii =On-1 2
Ni = Wi+1 — Hi+1 ,i=On—1
Bước 4: Xây dựng ham noi suy spline bac ba tự nhiên g (x) theo công thức (x) = ¡(X) = mj (eax) yy Gin =x) + MS _ GV” BID Me 6h Th, +N,Š_— hy , x € [xx 4a), = 0,m — 1
Vi du 4.16 Tim mét spline bậc ba tự nhiên nội suy hàm số 1 = 3% trong đoạn [0;4] với các mốc nội suy lần lượt là xạ = 0; xị = 1;xạ = 3;xa = 4
Trang 40128 Da thức nội suy Bài tập chương 4 Bài tập 4.1 Xây dựng da thức nội suy dạng Lagrange của hàm số = ƒ(x) có bảng số liệu: 1 x 0 2 3 : y 2 4 10 2 a 1,1 đu 1,3 , y 0 4 8 3 x 1 2 3 5 y 1 3 6 8 4 ¥ 1,0 1,2 1,4 1,6 : y 2 3 4 5
Bài tập 4.2 Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton của hàm = ƒ(*) có bảng số liệu trong Bài tập 4.1
Bài tập 4.3 Cho hàm số 1 = ƒ(x) = vx + 2 có giá trị tại các mốc nội suy
xq = O; x) = 1; x2 = 2;x3 = 4 dugc cho bdi bảng sau: x 0 i 2 4 y 1,4142 | 1,7321 2 2,2361 1 Xây dựng đa thức nội suy dang Lagrange ctia ham sé f(x)
2 Tính gần dúng ƒ(3) và đánh giá sai số kết quả tìm được
Bai tap 4.4 Cho ham sé y = f(x) = cosx có giá trị tại các mốc nội suy
Xo = 0,698; x; = 0,733; x2 = 0,768; x3 = 0,803 dugc cho bdi bang sau: x 0,698 0,733 0, 768 0,803 y 0,7661 | 0,7432 | 0,7193 | 0, 6946 |
1 Xay dung da thurc néi suy dang Newton ctia ham sé f(x)
2 Tinh gan dung f(0,750) và đánh giá sai số kết quả tìm được
Bài tập 4.5 Hàm lối (error function) được cho bởi công thức
erf (x) = = Je Pat 0
Giá trị của hàm erf (x) tại các mốc nội suy x;¡ = 0,2i;/ = 0,5 được cho bởi