Mô phỏng, xem hình dạng của điện trường và từ trường liên quan đến phương trình Maxwell – Faraday và dạng phân cực quay (dạng ellip) của sóng phẳng

Tiểu Luận Pro(123docz.net) PHỤ LỤC 1: TRANG BÌA TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH Tên thành viên: Đỗ Minh Khang – Phạm Trọng Hữu TIỂU LUẬN TÊN ĐỀ TÀI: Mơ phỏng, xem hình dạng điện trường từ trường liên quan đến phương trình Maxwell – Faraday dạng phân cực quay (dạng ellip) sóng phẳng Giảng viên hướng dẫn: Trần Văn Thọ Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2022 Tiểu Luận Pro(123docz.net) Mục lục Chương 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN I PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL – FARADAY 1 Phương trình Maxwell – Faraday Phương trình Maxwell – Ampère HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL Hệ phương trình Maxwell thứ II Hệ phương trình Maxwell thứ hai SÓNG ĐIỆN TỪ ĐƠN SẮC Định nghĩa: Thiết lập phương trình: Các đặc trưng sóng III Sự phân cực sóng phẳng: a Sóng điện từ phẳng: Sóng điện từ phẳng sóng điện từ có mặt đồng pha mặt phẳng, phương truyền sóng phẳng nơi vng góc với mặt phẳng xác định b Sự phân cực sóng phẳng: IV Thực đề tài, mô phổng Matlab Tiểu Luận Pro(123docz.net) Chương 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN Phân tích tượng từ định luật chi phối chúng, Maxwell nhận thấy từ trường điện trường có mối quan hệ chặt chẽ Trên sở đó, Maxwell nêu lên lý thuyết điện trường Theo lý thuyết này, điện trường từ trường có mối quan hệ biện chứng, chúng chuyển hóa lẫn Mọi biến đổi điện trường làm xuất từ trường ngược lại Thuyết Maxwell giúp ta hiểu khái quát tượng điện từ biết trước tượng điện từ Trên sở quan niệm tồn điện trường, Maxwell đề phương trình diễn tả điện từ trường trường hợp tổng quát môi trường I PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL – FARADAY Phương trình Maxwell – Faraday Qua thực nghiệm, Maxwell thấy xuất suất điện động mạch không phụ thuộc vào trạng thái, chất điều kiện vật lý vật dẫn cấu tạo nên mạch Ðiều chứng tỏ rằng, xuất sức điện động cảm ứng, hay nói khác đi, điện trường xốy khơng có liên quan đến vật dẫn cấu tạo nên mạch, mà định từ trường.   Tổng quát ta xét trường hợp "mạch" đường cong kín đặt từ trường Mỗi từ trường biến thiên, từ thơng qua diện tích mạch biến thiên Khi đó, điểm đường cong xuất điện trường xoáy, mà lưu số điện trường theo đường cong kín mạch cho ta sức điện động cảm ứng mạch Từ nhận xét đây, Maxwell rút kết luận quan trọng có tính tổng quát sau: "Mọi từ trường biến thiên theo thời gian làm xuất điện trường xoáy" Kết luận diển tả cách định lượng, dựa định luật hiện tượng cảm ứng điện từ: Thế điện động cảm ứng xuất mạch có giá trị tốc độ biến thiên từ thơng qua điện tích giới hạn mạch: 𝑑ϕ 𝑑𝑡 ξ𝐶 =− → → Trong ϕ = 𝐵𝑑𝑆 từ thơng qua diện tích S giới hạn bớt mạch L Ở ta xét, mạch đứng yên, từ trường biến thiên nên: 𝑑ϕ 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 ( ) → → ∫ 𝐵𝑑𝑆 = ∫ 𝑆 𝑆 ( ) 𝑑𝑆 ∂𝐵 ∂𝑡 Mặt khác, điện trường, ta biết sức điện động mạch có giá trị lưu →* số vector trường lực lạ 𝐸 dọc theo mạch: →* → ξ = ∮𝐸 𝑑𝑙 Trong trường hợp sức điện động cảm ứng mà ta xét, nói, vector trường →* →* → lực lạ vector điện trường xốy 𝐸 𝐸 = 𝐸 Do đó, từ biểu thức trên, ta có: Tiểu Luận Pro(123docz.net) →* → ξ = ∮𝐸 𝑑𝑙 =− 𝑑ϕ 𝑑𝑡 =− ∫ 𝑆 ( ) 𝑑𝑆 (*) ∂𝐵 ∂𝑡 Biểu thức nêu lên mối quan hệ định lượng tốc độ biến thiên từ thơng ϕ điện trường xốy, hay nói khác nêu lên mối quan hệ từ trường biến thiên điện trường Biểu thức diễn tả đặc tính xốy điện trường Thật vậy, từ trường biến thiên, nên ∂𝐵 ∂𝑡 →* → ≠0 , ξ = ∮𝐸 𝑑𝑙≠0 →* Lưu số 𝐸 theo đường cong kín có giá trị khác khơng thể tính chất xốy điện trường, ta kết luận đường sức điện trường xoáy đường cong khép kín Hình bên đường sức điện → trường xoáy cảm ứng từ 𝐵 hướng từ lên có giá trị tăng theo thời gian Phương trình (*) cho ta biết mối quan hệ tốc độ biến thiên từ thông qua diện tích giới hạn mạch lưu số cường độ điện trường xoáy mạch, tức mối quan hệ điện trường từ trường điểm khác trường Ðể diễn tả mối quan hệ điện trường từ trường điểm, ta cần thiết lập phương trình dạng vi phân Muốn thế, ta áp dụng phương trình (*) cho mạch vơ bé → Nếu ta viết vector 𝐴 hệ tọa độ Descartes: → → → → 𝐴 = 𝐴𝑋𝑥1 + 𝐴𝑌𝑥2 + 𝐴𝑍𝑥3 → sử dụng định lý lưu số vector 𝐴 dọc theo đường cong kín c bao phủ diện tich S hình dưới, ta viết: → → → ( ) → → → → ∮ 𝐴𝑑𝑙 = ∫ 𝑟𝑜𝑡𝐴 𝑑𝑆 = ∫(∇𝑥𝐴) 𝑑𝑆 𝑆 𝑆 → → Vector 𝑑𝑆 có phương vectror đơn vị theo phương pháp tuyến 𝑛 diện tích dS →* → Kết hợp phương trình (*) thay vector 𝐴 vector 𝐸 ta viết phương trình Maxwell – Faraday dạng vi phân là: →* → ( ) →* ( ) →* → ( ) 𝑑𝑆 → → ∮ 𝐸 𝑑𝑙 = ∫ 𝑟𝑜𝑡𝐸 𝑑𝑆 = ∫ ∇𝑥𝐸 𝑑𝑆 =− ∫ 𝐶 𝑆 𝑆 𝑆 ∂𝐵 ∂𝑡 → Tiểu Luận Pro(123docz.net) →* → →* → 𝑟𝑜𝑡𝐸 = ∇𝑥𝐸 =− → ∂𝐵 ∂𝑡 Phương trình Maxwell – Ampère Theo giả thuyết Maxwell, dịng điện dịch gây từ trường Chiều từ trường xác định theo qui tắc vặn nút chai giống với dịng điện dẫn Hình vẽ đường sức trường gây dòng điện dịch hai tụ điện tụ tích điện (a) phóng điện (b) Trong trường hợp tổng quát, từ trường sinh dịng tồn phần, gồm dịng điện dẫn dịng điện dịch Ta biểu diễn mối quan hệ định lượng từ trường dịng điện tồn phần nhờ định lý Ampère lưu số vectơ cường độ từ trường Xét vật dẫn, có dịng điện biến thiên, ta vẽ mặt phẳng S, giới hạn đường cong kín L Ứng dụng định lý Ampère nhưng ý trường hợp tổng quát dòng điện biến thiên, từ trường xác định dịng tồn phần, ta có: → → ∮ 𝐻𝑑𝑙 = 𝐼𝑡𝑝 𝐿 với 𝐼𝑡𝑝 cường độ dòng tồn phần qua điện tích S giới hạn đường cong L → → Ta lại có: 𝐼𝑡𝑝 = ∫ 𝑗𝑡𝑝𝑑𝑆 = ∫(𝑗 + 𝑆 𝑆 → → → ( → Do đó: ∮ 𝐻𝑑𝑙 = ∫ 𝑗𝑡𝑝𝑑𝑆 = ∫ 𝑗 + 𝐿 𝑆 𝑆 → ∂𝐷 ∂𝑡 )𝑑𝑆 → ∂𝐷 ∂𝑡 )𝑑𝑆 (**) Biểu thức nêu lên quan hệ định lượng dịng điện tồn phần từ trường, hay nói khác đi, nêu lên quan hệ từ trường điện trường biến thiên Ðó phương trình thứ hai thuyết Maxwell Phương trình đưọc rút từ định lý Ampère lưu số cường độ từ trường, nên gọi phương trình Maxwell-Ampère Trong biểu thức này, ta dùng qui ước dấu dòng điện lưu số nêu chương điện trường từ trường Tiểu Luận Pro(123docz.net) Ðể diễn tả quan hệ định lượng cường độ từ trường dịng điện tồn phần điểm, ta chuyển phương trình trình từ dạng tích phân (**) sang dạng vi phân Muốn ta làm phần I, áp dụng định lý vể lưu số véctơ dọc theo đường cong kín ta viết gọn hệ phương trình dạng vectơ: → → → 𝑟𝑜𝑡𝐻 = 𝑗 + II ∂𝐷 ∂𝑡 → → → ∂𝐷 ∂𝑡 ℎ𝑎𝑦 ∇𝑥𝐻 = 𝐽 + HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL Ðể diễn tả trường điện từ cách định lượng, Maxwell thiết lập nên hệ phương trình mang tên Maxwell Trong phần I phần II, nghiên cứu hai phương trình hệ phương trình Các phương trình Maxwell ghép thành hai hệ phương trình Hệ phương trình Maxwell thứ Hệ phương trình Maxwell thứ thiết lập sở phương trình Maxwell – Ampère bên trên: → → → → ( → → ∮ 𝐻𝑑𝑙 = ∫ 𝑗𝑡𝑝𝑑𝑆 = ∫ 𝑗 + 𝐿 𝑆 𝑆 ∂𝐷 ∂𝑡 ) → 𝑑𝑆 (1) Để diễn tả liên hệ từ trường với dòng điện dẫn điện trường biến thiên, ta → cần thêm vào phương trình liên hệ vector điện dịch 𝐷 với điện tích tự do, tức phương trình định lý Ostrogradski – Gaus: → → ∫ 𝐷𝑑𝑆 = 𝑞 (𝑞 𝑙à đ𝑖ệ𝑛 𝑡í𝑐ℎ 𝑡ự 𝑑𝑜 𝑐ó 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑚ặ𝑡 𝑘í𝑛 𝑆) (2) 𝑆 → → Đồng thời ý vector điện dịch 𝐷 vector cường độ điện trường 𝐸 liên hệ với → → hện thức: 𝐷 = εε0𝐸 (3) Nếu mơi trường ta xét dẫn điện, tồn dòng điện dẫn, liên hệ với cường → → → độ điện trường 𝐸 hệ thức định luật Ohm: 𝑗 = σ𝐸 (4) Từ (1)_(2)_(3)_(4) lập thành hệ phương trình Maxwell thứ dạng tích phân, cịn dạng vi phân hệ phương trình Maxwell thứ là: → → → 𝑟𝑜𝑡𝐻 = 𝑗 + ∂𝐷 ∂𝑡 → → → ℎ𝑎𝑦 ∇𝑥𝐻 = 𝐽 + → → ∂𝐷 ∂𝑡 → 𝑑𝑖𝑣𝐷 = ρ ℎ𝑎𝑦 ∇𝑥𝐷 = ρ → → 𝐷 = εε0𝐸 Tiểu Luận Pro(123docz.net) → → 𝑗 = σ𝐸 Hệ phương trình Maxwell thứ hai Hệ phương trìng Maxwell thứ hai thiết lập sở phương trình Maxwell-Faraday (*): →* → ( ) 𝑑𝑆 (5) ∂𝐵 ∂𝑡 ∮𝐸 𝑑𝑙 =− ∫ 𝑆 diễn tả liên hệ điện trường từ trường biến thiên, cần thêm vào phương trình diễn tả tính chất xốy từ trường, tức phương trình định lý Ostrogradski – → → Gauss cho từ trường: ∮ 𝐵𝑑𝑆 = (6) 𝑆 → → Và hệ thức cảm ứng từ cường độ từ trường: 𝐵 = μµ0𝐻 (7) Hệ phương trình Maxwell thứ hai dạng vi phân thu từ dạng vi phân phương trình (5)_(6)_(7) ta có: → → 𝑟𝑜𝑡𝐸 =− ∂𝐵 ∂𝑡 → → → ℎ𝑎𝑦 ∇𝑥𝐸 =− → → ∂𝐵 ∂𝑡 → 𝑑𝑖𝑣𝐵 = ρ ℎ𝑎𝑦 ∇ 𝑥𝐵 = ρ → → 𝐵 = μµ0𝐻 Hệ phương trình Maxwell hệ phương trình tổng quát điện trường, giúp ta →* xác định đại lượng vật lý trường điện từ (Lưu ý ta thay ký hiệu điện trường xoáy 𝐸 → điện trường tổng quát 𝐸) Các phương trình hệ phải giải đồng thời Nhờ hệ phương trình thứ nhất, ta xác định từ trường dòng điện điện trường biến thiên gây nên Nhờ hệ phương trình thứ hai, ta xác định điện trường xoáy từ trường biến thiên gây nên III SÓNG ĐIỆN TỪ ĐƠN SẮC Định nghĩa: Tiểu Luận Pro(123docz.net) Thiết lập phương trình: Các đặc trưng sóng Tiểu Luận Pro(123docz.net) Sự phân cực sóng phẳng: a Sóng điện từ phẳng: Sóng điện từ phẳng sóng điện từ có mặt đồng pha mặt phẳng, phương truyền sóng phẳng nơi vng góc với mặt phẳng xác định Chú ý: Trên thực tế khơng tồn sóng phẳng tuyệt đối Tuy nhiên nguồn sóng có kích thước nhỏ tạo nên sóng có mặt đồng pha mặt cầu, sóng gọi sóng cầu Song người ta khảo sát phần nhỏ không gian xa nguồn phần khơng lớn mặt cầu coi phẳng b Sự phân cực sóng phẳng: Tiểu Luận Pro(123docz.net) IV Thực đề tài, mô phổng Matlab Để thấy điện trường từ trường, nhóm em thực mơ liên quan đến phương trình Maxwell – Faraday nhìn hình dạng phân cực quay (dạng ellip) sóng phẳng Code clear all; close all; clc; x=linspace(-4,4,100); Tiểu Luận Pro(123docz.net) y=linspace(-4,4,100); z=linspace(-4,4,100); [X, Y, Z]=meshgrid(x,y,z); Ex = sin(2*pi*Z/3); Ey=0*X; Ez=0*X; [Bx, By,Bz]=curl(X, Y, Z, Ex, Ey, Ez); for k=1:100 E(k)= mean(mean(Ex(:,:,k),1),2); B(k)= mean(mean(By(:,:,k),1),2); end plot3(0*x,y,E,'red','Linewidth',2); hold on quiver3(0*x(1:3:100),y(1:3:100),0*z(1:3:100),0*x(1:3:100), 0*y(1:3:100), E(1:3:100),0, 'r', 'Linewidth',1.5); hold on plot3(B,y,0*z,'g','Linewidth',2); quiver3(0*x(1:3:100),y(1:3:100),0*z(1:3:100),0*x(1:3:100), 0*y(1:3:100), 0*z(1:3:100),0, 'r', 'Linewidth',1.5); grid on, axis square set(gca,'FontSize', 15 ,'Linewidth',2); xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') legend('Electric field ','Electric field vector','Magnetic field','Magnetic field vector') Tiểu Luận Pro(123docz.net) Code: clear; close all clc % define variables c0 = 3e8; f = 200e12; lambda = c0/f; k = 2*pi/lambda; w = 2*pi*f; % create the time step Nt = 1000; dt = 1/f/50; % create the vectors for x, y, and z x = linspace(0,4*lambda,1000); y = linspace(0,4*lambda,1000); z = linspace(0,4*lambda,1000); fig = figure; for nt=1:Nt %Wipe the slate clean so we are plotting with a blank figure clf % plot the data hold on plot3(x,cos(k*x-nt*dt*w),z,'b-','LineWidth',3); plot3(x,y,2*sin(k*x-nt*dt*w),'b-','LineWidth',3); plot3(x,cos(k*x-nt*dt*w),2*sin(k*x-nt*dt*w),'r-','LineWidth',1.5); % set up the graph 10 Tiểu Luận Pro(123docz.net) axis([0 4*lambda -2.5 2.5 -2.5 2.5]); xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z'); title('Elliptical Polarization'); set(gca,'box','on') grid on if nt < view([90 0]) else nt>=3 && nt