Giải và khai thác những bài toán phương trình và bất phương trình đa thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM PHƯỢNG GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành Sư phạm Toán Phú Thọ, 2019 i TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ KIM PHƯỢNG GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành Sư phạm Toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN TIẾN MẠNH Phú Thọ, 2019 ii Lời cảm ơn Trong suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp ngồi nỗ lực lực thân, tơi cịn nhận giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, giáo khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại Học Hùng Vương Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Tiến Mạnh – Trưởng khoaGiáo dục tiểu học, trường Đại học Hùng Vương Thầy dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp, đồng thời thầy cịn người giúp tơi lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo khoa Khoa học tự nhiên, tới gia đình, bạn bè người ln sát cánh bên tơi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tơi suốt q trình học tập tơi thực hồn thành khóa luận Mặc dù, cố gắng xong khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý thầy giáo, giáo bạn để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Việt trì, ngày 07 tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Phượng iii MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ CÁC BƯỚC GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT BÀI TỐN 1.1 Tìm hiểu sơ đề toán 1.2 Khai thác đề toán 1.3 Tìm tịi lời giải 1.4 Trình bày lời giải 1.5.Kiểm tra, đánh giá lời giải khai thác toán KẾT LUẬN CHƯƠNG CHƯƠNG 2: GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 10 2.1 Giải khai thác phương trình đa thức bậc 10 2.2 Giải khai thác phương trình đa thức bậc 20 2.3 Giải khai thác phương trình đa thức bậc 37 KẾT LUẬN CHƯƠNG 50 CHƯƠNG : GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TỐN BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 51 3.1 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 51 3.2 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 56 3.3 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 61 3.4 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 66 KẾT LUẬN CHƯƠNG 71 iv KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 ` PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Phương trình bất phương trình đa thức chủ đề phổ biến quen thuộc tốn phổ thơng, khơng cịn chủ đề trọng tâm xun suốt lĩnh vực Đại số sơ cấp tảng để người học tiếp cận với kiến thức toán học phức tạp Tuy nhiên phổ thông người giáo viên bước đầu hướng dẫn học sinh giải tập mà thường bỏ qua công đoạn cuối giải tốn khai thác tốn Việc tìm lời giải tốn nhiều khơng phải q khó sau tốn cịn bao điều lí thú chưa khám phá Có thể thấy khai thác toán giúp phát triển tính sáng tạo người học người dạy Đó yêu cầu quan trọng thể khác biệt người thiết kế tổ chức trình dạy học – giáo viên với người thực hoạt động học tập – học sinh Do đó, giải tốn khơng dừng lại bước hiểu lời giải mà cần phát triển khả tư cho học sinh Phát triển kĩ thực hành giải khai thác toán cho học sinh, sinh viên Hiện có tài liệu viết việc giải khai thác tốn phương trình bất phương trình đa thức : “Đại số sơ cấp Thực hành giải tốn” Hồng Kỳ trình bày nhiều dạng tốn phương trình bất phương trình đa thức (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, ), dạng tốn bất đẳng thức, bất phương trình hệ bất phương trình, ; “Phương pháp giải phương trình bất phương trình” Nguyễn Văn Mậu; “Chuyên đề phương trình bất phương trình” Mẫn Ngọc Quang trình bày phương pháp giải phương trình bất phương trình, hay khóa luận tốt nghiệp Phan Thị Quyên – K34C Toán (ĐHSP Hà Nội II) nghiên cứu đề tài “Dạy học phương trình bất phương trình trường phổ thơng” Tuy nhiên hầu hết tài liệu trọng việc giải toán, việc khai thác tốn cịn hạn chế Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung để có nhìn hệ thống cụ thể đồng thời muốn nghiên cứu để làm rõ thêm phương pháp giải tốn có sở cải tiến đề xuất thêm điểm chủ đề Phương trình bất phương trình đa thức Nên chọn đề tài “Giải khai thác tốn phương trình bất phương trình đa thức” Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho học sinh trường phổ thông, sinh viên nghành đặc biệt ngành sư phạm Toán Giúp họ hiểu thêm phương trình, bất phương trình, biết cách khai thác số dạng tốn Đồng thời rèn luyện thói quen phân tích tìm hiểu mối quan hệ vấn đề q trình giải tốn cho học sinh Mục tiêu nghiên cứu Phân loại, đưa lời giải khai thác cho toán phương trình bất phương trình đa thức theo hướng : tương tự hóa, khái quát hóa đặc biệt hóa Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu kiến thức sở liên quan phương trình bất phương trình đa thức  Phân loại tập xây dựng lời giải dạng tốn  Nghiên cứu quy trình giải khai thác toán, tập trung vào ba hướng khai thác: tương tự hóa, khái quát hóa đặc biệt hóa  Đưa hướng khai thác dạng toán từ toán cho trước dạng Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận : Tổng hợp, phân tích tài liệu, sách báo, số cơng trình nghiên cứu có liên quan  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu giải toán  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia : Với tham gia góp ý hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Tiến Mạnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng : Phương trình bất phương trình  Phạm vi nghiên cứu : Giải khai thác phương trình bất phương trình bậc tới bậc 4 CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ CÁC BƯỚC GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT BÀI TỐN Thơng thường để giải tốn, cần qua nhiều cơng đoạn khác Trong [1] đưa số cơng đoạn sau: Tìm hiểu sơ lược đề, khai thác đề bài, tìm tịi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải, đề xuất toán Tất nhiên khơng phải tốn trải qua đủ cơng đoạn đó, xong chúng giúp ích nhiều việc giải toán tốn chọn lọc điển hình nên phân tích kỹ theo trình tự để rèn luyện thao tác tư 1.1 Tìm hiểu sơ đề tốn Khi chọn tốn, khơng nên chọn q khó, mà khơng nên chọn q dễ Cần trình bày tốn cho tự nhiên gợi hứng thú cho người học Để giải toán trước hết ta phải đọc kĩ đề tốn để thấy “tồn cảnh” tốn, sáng sủa, rõ ràng hay, không vội vào chi tiết chi tiết rắc rối Cần cố gắng khoanh vùng phạm vi kiến thức đề toán: toán thuộc vùng kiến thức nào? Sẽ cần có kiến thức, kĩ gì? Nếu giải giải vấn đề gì? 1.2 Khai thác đề toán Nếu toán tìm tịi cần xác định rõ đâu ẩn? Cần phải tìm gì? Đâu kiện? Đã cho biết gì? Mối tương quan cần tìm, chưa biết (Các điều kiện ràng buộc) Nếu tốn chứng minh cần nêu rõ giả thiết, kết luận Nếu tốn cần có hình vẽ phải vẽ hình Đối với tốn đại số số học, đồ thị, đoạn thẳng hình học Cảm nhận trực giác hình vẽ giúp nắm bắt dễ dàng nội dung ghi đề tốn 1.3 Tìm tịi lời giải Đây bước quan trọng việc giải tốn Khơng có thuật toán tổng quát để giải toán, mà đưa lời khuyên, kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tịi lời giải hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi có nhiều khả dẫn tới thành cơng Tùy trường hợp cụ thể mà vận dụng kinh nghiệm đó, linh hoạt nhuần nhuyễn dễ tới thành cơng Càng giải nhiều tốn chúng trở thành mình, thành kinh nghiệm sống dẫn khô khan 1.3.1 Nhận dạng tập hợp kiến thức Như nói bước tìm hiểu đề tốn, cần khoanh vùng toán vùng khoanh hẹp tốt, giúp ta nhận dạng toán thuộc loại Khi nhận dạng, phân loại tốn óc phải nhanh chóng huy động tổ chức kiến thức học, biết từ trước; phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng loạt yếu tơ cần thiết để giải loại tốn Q trình “tự phát” quen với việc giải toán 1.3.2 Phân tích tốn để đưa tốn đơn giản Một toán, toán tổng hợp, tốn khó xây từ tốn đơn giản Cần phải xem phân tích toán xét thành toán đơn giản khơng, giải tốn nhỏ ấy, sau kết hợp chúng lại để có lời giải toán cho 1.3.3 Liên hệ sử dụng tốn giải Thật khó mà đặt tốn hồn tồn mới, khơng giống tốn nào, khơng liên quan tới tốn khác Vì gặp tốn, ta cố gắng nhớ lại xem gặp toán tương tự gần giống với toán cần giải chưa nhớ lại đường đến lời giải tốn biết Điều giúp ta rút ngắn việc tìm tịi lời giải tốn tạo thêm nhiều thuận lợi 60 Vậy (*) thoả mãn  m  4 b) Tương tự câu a)yêu cầu toán trở thành : x   0;   : m  y  Ta có 4  y  3x  x2  (***) 1 , x   0;    (***)  m  2 Bài tốn 2: Tìm m để hàm số y  x  2mx  2m2  đồng biến 1;  xm Lời giải: Tập xác định: D = Ta có : y '  \ m x  2mx   x  m 2  y '  0, x  1;   Hàm số đồng biến 1;    m  1;    x  2mx   x2  2mx   0, x  1;    0, x  1;        x  m m   m   x2  m  , x  1;    2x m   (*) x2  2x  Xét hàm số f ( x)  1;  có f '( x)  2x x2 f’(x) =  x  Bảng biến thiên: 61 x f’(x) - f(x) + + +  m  Từ bảng biến thiên ta có (*)    m  Vậy với m  hàm số đồng biến 1;  3.3 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 3.3.1 Giải biện luận Ví dụ 3.3.1: Giải biện luận f ( x)  ( x  3)( x  2m)( x  1)  Lời giải: TH1: 2m < -1  m   Ta có bảng xét dấu x  2m -1  x - 2m - + | + | + x+1 - | - + | + x–3 - | - | - + f(x) - + - + Tập nghiệm : S = (2m; -1) TH2: 2m = -1  m    3;  Thế vào bất phương trình ta có  x  1 ( x  3)  Đặt f ( x1 )   x  1 ( x  3) 62 Bảng xét dấu:  x x  1 -1 + x– - f  x1  -  + + - + - + Tập nghiệm S =  3;   m    TH3: -1 < 2m <   m   Ta có bảng xét dấu: x  -1 2m  x - 2m - | - + | + x+1 - + | + | + x–3 - | - | - + f(x) - + - + Tập nghiệm S:  1;2m  TH4: 2m =  m   3;   Thế vào bất phương trình ta có:  x  1 ( x  3)  Đặt f ( x2 )   x  1 ( x  3) Lập bảng xét dấu: 63  x  x - 3 -1 +  + x+ - + f  x2  - + + + + Tập nghiệm S =  1;   \ 3 TH5: 2m >  m  Ta có bảng xét dấu:  x -1  2m x - 2m - | - | - + x+1 - + | + | + x–3 - | - + | + f(x) - + - Tập nghiệm S:  1;3  2m;   Kết luận : m   ,S = (2m; -1)  3;  m   ,S =  3;   m   , S=  1;2m  2 m , S =  1;   \ 3 m ,S:  1;3  3;    2m;   + 64 Khai thác Bài tốn 1: Tìm m để hàm số y  x3  (m  1) x  (m2  4) x  đồng biến Lời giải y '  3x  2(m  1) x  (m2  4) Để hàm số đồng biến  y '  0, x  g ( x)  3x  2(m  1) x  (m2  4)    ' g ( x)   (m  1)2  3(m2  4)   2m2  2m  13   1  3 m    1  3 m    1  3  Vậy m   ;     1  3  ;   hàm số đồng biến    3.3.2 Tìm điều kiện m để bất phương trình có nghiệm Ví dụ 3.3.2: Cho bất phương trình : x3  (2m  1) x2  3(m  4) x  m  12  (1) Tìm giá trị m để bất phương trình nghiệm với x  1 Lời giải Ta có (1)  ( x  1)( x2  2mx  m  12)  Vì x > nên (1)  x2  2mx  m  12  (2) Đặt f(x) = x2  2mx  m  12 (1) với x > (2) với x >1  '      '     af (1)    S     m  m  12    m  m  12    13  m    m   3  m  m <  m  3  65 Vậy giá trị cần tìm m < Khai thác: Thay tham số m tham số a, b, c ta lại tốn Bài tốn : Tìm a, b, c để bất phương trình sau với x thỏa mãn x  x + ax  bx  c  Lời giải | Giả sử x + ax  bx  c  với x   1,1 Ta có: x3  bx  ((4 x3 + ax  bx  c)  (4 x3 + ax  bx  c)) nên với x   1;1 x3  bx  ( x3 + ax  bx  c  4 x3 + ax  bx  c )   4x  bx  (1) với x   1;1 Trong (1) thay x = 1, ta có  b   + b   b  3 Trong (1) thay x  ta có: b 1 b  1  b  3  1  2 Vậy điều kiện cần b = -3 Từ ta có: x + ax  x  c  (2) với x   1;1 Trong (2) thay x =  4+ a   c   a  c  x = -1  4+ a +  c   a  c   a  c  (*) Thay x  x a a     c 1  c  2 1 a a      c 1   c  2 66  a  c  (**) Từ (*), (**)  a  c  Vậy điều kiện cần b = -3 a = c = | Khi b = -3 a = c = x3 + ax  bx  c  x3  3x Do 1  x  nên đặt x = cos  x3 + ax  bx  c  4cos3  3cos  cos3  x  x  với x   1;1 Vậy điều kiện cần đủ để bất phương trình x + ax  bx  c  với x   1;1 a  c  b = -3 3.4 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 3.4.1 Giải biện luận Ví dụ3.4.1: Giải bất phương trình sau x  x  3x  32 x   Hướng dẫn: Phân tích vế tráibất phương trình cho dạng tích nhị thức , tam thức bậc Cách 1: Tách nhóm số hạng cho hợp lý Ta có: x  x3  3x  32 x   x  x  x3  32 x  x            x2 x2   8x x2   x2   x2  x  8x  Cách 2:Xét nghiệm đa thức g ( x)  x  8x3  3x  32 x  , có nghiệm hữu tỷ x  p  p ước (kể âm ) 4; q ước  nghiệm hữu tỷ q có g ( x ) 2; 4 Dùng lược đồ Hoocne ta thấy x  2 , chia g ( x ) cho  x  2 x  2 ta g ( x)   x   x    x  x  1 Cách 3: Dùng phương pháp hệ sốbất định, ta đưađược    g ( x)  x  x  x  67 BPT   x   x  x  1  Vậy bất phương trình Ta có bảng xét dấu: x  4 -2 x2  + - x2  8x  + | g  x +0 - | + 0+0 0+ | | -0 -  4 + + + BPT : x   ; 2  4  15;2  4  15;  Vậy nghiệm bất phương trình  Khai thác: Ta đưa toán dạng tổng qt từ học sinh có nhìn tổng quan Bài tốn :Giải bất phương trình sau ( tham số a  ) a x  6a x  x  9a   (4 '') Hướng dẫn: * Nếu a   (4 '')  x  4 2 *Nếu a  , nhân hai vế  4'' với a  (4'')  a x  6a x  ax  9a  3a  BPTphương trình trở thành: t  6at  t  9a  3a  Đặt t  ax  bất    9a  2t  a  t  t  (4 ''') Xét  a   2t  1  4.9  t  t    4t  4t  1   2t  1 , VT (4 ''') có hai nghiệm ẩn a là: a  t2  t 1 t  t ; a 3 t2  t 1 t  t  VT (4 ''')  9(a  )(a  )  t  t   3a t  t  3a 3       2  Thay t  ax , ta có (4 ''') trở thành: ax  x  a x  ax  3a   Mặt khác ta có  a x + ax + 3a+1  x  (4'')  ax  x   Đáp số : *a   (4 '')  x  *0  a  1   12a   12a  (4'')  x  ;x  12 2 68 *a   (4 '')  x  R 12 Ví dụ 3.4.2: Giải bất phương trình ( x  3)4  ( x  5)4  (1) Lời giải Đặt t  x  35  x4 x t4  (1) trở thành:  t  1   t  1  4  t  6t   t  3  10  t  3  10 (t   ) Từ t  3  10   x    10   x  x  19  10   x  4    x  4   10  10  Vậy nghiệm bất phương trình cho x  4  10  3; x  4  10  Ví dụ 3.4.3: Xác định m cho x  x3  mx  x≥1 Lời giải x  x3 m    m  x  x x  x  mx  x2 Ta có : Mà x  x =  x    = f(x)  m  f(x) =f(1) = – =  m  5 x 1 2 Ví dụ 3.4.4: Giải bất phương trình x (2 x  3x  1)  (1) 69 Lời giải x  x    x   x  x        x   x 1  (1)  Vậy nghiệm bất phương trình cho : x x  Khai thác Đưa toán dạng tổng quát Bài toán : 2 f ( x ) g ( x )  f Giải bất phương trình có dạng: dạng ( x) g ( x)   f ( x)  f ( x) g ( x)     g ( x)  Cách giải :  f ( x)  f ( x) g ( x)     g ( x)  3.4.2.Điều kiện tham số lập thành cấp số cộng Ví dụ 3.4.5: Cho cấp số cộng u1 , u2 , u3 , u4 Chứng minh nếu: u1u4  u2u3  biểu thức A =  x  u1  x  u2   x  u3  ( x  u4 )  có nghĩa với x ? Lời giải: Theo tính chất cấp số cộng, ta có u1  u4  u2  u3 Do đó:  x  u1  x  u2   x  u3  ( x  u4 ) =  x  (u1  u4 ) x  u1u4   x  (u2  u3 ) x  u2u3  (*) Đặt t = x  (u1  u4 ) x = x  (u2  u3 ) x Khi (*)  f  t  = (t  u1u4 )(t  u2u3 )  = t  (u1u4  u2u3 )t  u1u2u3u4  70 Với  t = (u1u4  u2u3 )2  4.u1u2u3u4  36 = (u1u4  u2u3 )2  36 Rõ ràng u1u4  u2u3    t < nên f(t) > với x Vậy A có nghĩa với x Khai thác : Bài tốn:Cho cấp số cộng a, b, c, d Chứng minh nếu: ad  bc  2m  x  a  x  b  x  c  ( x  d )  m  với x ? 71 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương 3, khóa luận đưa số hướng khai thác thông qua dạng tập bất phương trình Qua việc giải khai thác bất phươn trình góp phần phát triển khả tư duy, sáng tạo học sinh q trình giải tốn 72 KẾT LUẬN Khóa luận hệ thống hóa kiến thức phương trình bất phương trình giúp người học hình dung lại kiến thức số dạng tốn Khóa luận phân loại số dạng tập phương trình bất phương trình đa thức.Thơng qua dạng tốn, khóa luận đưa hướng khai thác toán khác ví dụ2.1.5, ví dụ2.2.3, ví dụ 2.3.3, ví dụ 3.4.4, Việc khai thác tốn địi hỏi sáng tạo tư không ngừng học sinh Mặt khác dạng tốn cịn kích thích cho việc hình thành tư tốn học kĩ trình bày, giải vấn đề học sinh Tơi tin khóa luận mang lại nhiều bổ ích cho bạn đọc 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Kỳ (2005), Hoàng Thanh Hà, Đại số sơ cấp thực hành giải toán, NXBĐại học Sư phạm [2] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình [3] Phan Thị Quyên, Dạy học phương trình bất phương trình trường phổ thơng, khóa luận tốt nghiệp, trường Đại học Sư phạm Hà Nội II [4] Vũ Tuấn (1994), Đại số sơ cấp, NXBĐại học Sư phạm Hà Nội I [5] Phan Huy Khải (1997) , Điều kiện cần đủ để biện luận phương trình bất phương trình chứa tham số, NXB Giáo dục 74 XÁC NHẬN CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN Giảng viên hướng dẫn Ts Nguyễn Tiến Mạnh ... THÁC NHỮNG BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 10 2.1 Giải khai thác phương trình đa thức bậc 10 2.2 Giải khai thác phương trình đa thức bậc 20 2.3 Giải khai thác phương trình. .. đa thức bậc 51 3.2 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 56 3.3 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 61 3.4 Giải khai thác bất phương trình đa thức bậc 66 KẾT LUẬN... 10 CHƯƠNG 2: GIẢI VÀ KHAI THÁC NHỮNG BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 2.1 Giải khai thác phương trình đa thức bậc 2.1.1.Kiến thức: Phương trình đa thức bậc ẩn trường số K phương trình có dạng