Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
451,88 KB
Nội dung
ChươngtrìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
1 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
GIẢI PHÁPTHƯƠNGLƯỢNGNASH
2.1 Dẫn nhập
Một giải phápthươnglượng có thể được diễn giải như một công thức xác định một
kết quả duy nhất cho từng tình huống thươnglượng của một lớp các tình huống
thương lượng nào đó. Trong chương này, tôi sẽ nghiên cứu giải phápthươnglượng do
Nash đề xuất.
1
Giải phápthươnglượngNash được định nghĩa bằng một công thức
tương đối đơn giản, và có thể được áp dụng cho một lớp tình huống thươnglượng
rộng lớn – và những đặc điểm này tạo nên tính hấp dẫn cho giải phápNash trong các
ứng dụng. Tuy nhiên, lý do quan trọng nhất khiến chúng ta nghiên cứu và áp dụng
giải phápthươnglượngNash là bởi nó có những nền tảng chiến lược vững chắc; một
số mô hình thươnglượng trong lý thuyết trò chơi đã nghiêng về việc sử dụng giải
pháp này. Các mô hình thươnglượng chiến lược này sẽ được nghiên cứu trong những
chương sau, trong đó tôi sẽ đề cập đến những lý do tại sao, khi nào, và làm thế nào sử
dụng giải phápthươnglượng Nash.
Mặt khác, mục đích chính của chương này là tìm hiểu thấu đáo về định nghĩa
giải phápthươnglượng Nash, mà trong bối cảnh cụ thể, sẽ giúp chúng ta có thể dễ
dàng mô tả đặc điểm và sử dụng giải pháp này trong các ứng dụng khác.
Trong phần kế tiếp, tôi sẽ định nghĩa và mô tả giải phápthươnglượngNash
của một tình huống thươnglượng cụ thể, trong đó có hai người tham gia thương
lượng về việc phân chia một ổ bánh (hay “thặng dư”) có độ lớn cố định. Mặc dù trong
thực tế loại tình huống thươnglượng này không hiếm nhưng mục đích chính của phần
này là giới thiệu một vài khái niệm chính có liên quan trong việc định nghĩa giải pháp
thương lượngNash trong một bối cảnh cụ thể và tương đối đơn giản. Phần 2.3 bao
gồm hai ứng dụng của giải phápthươnglượng Nash. Ứng dụng thứ nhất là hối lộ và
kiểm soát tội phạm, và ứng dụng thứ hai là sự sở hữu tài sản tối ưu (phần này không
dịch – ND).
Sau khi đã hiểu các khái niệm và kết quả trong phần 2.2, chúng ta sẽ có thể
hiểu phần 2.4 một cách tương đối dễ dàng; trong phần này, tôi định nghĩa và mô tả
giải phápthươnglượngNash dưới dạng tổng quát hơn và tương đối trừu tượng. Phần
2.5 bao gồm ba ứng dụng sâu hơn của giải phápthươnglượngNash - một là thương
lượng giữa công ty và công đoàn, hai là sản xuất tập thể trong tâm lý ỷ lại, và ba là
mở rộng ứng dụng về tình huống hối lộ và kiểm soát tội phạm đã nghiên cứu trong
phần 2.3.1.
Phần 2.6 chứng minh rằng giải phápthươnglượngNash là giải phápthương
lượng duy nhất khả dĩ thỏa mãn bốn thuộc tính. Cho dù những thuộc tính này thường
được gọi là các tiên đề, nhưng người ta vẫn có thể tranh luận liệu một thuộc tính nào
đó trong những thuộc tính này có thật sự có tính chất tiên đề hay không. Bất luận
trong trường hợp nào, các nền tảng “tiên đề” đều thú vị và mang lại những ý nghĩa
nhất định cho giải phápthươnglượng Nash. Một ý nghĩa then chốt là: giải pháp
1
Giải phápthươnglượngNash và khái niệm về trạng thái cân bằng Nash là những khái niệm không
liên quan gì với nhau, ngoại trừ sự kiện là cả hai khái niệm này đều là thành quả sáng tạo của cùng một
người.
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
2 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
thương lượngNash có thể bị tác động bởi thái độ đối với rủi ro của những người tham
gia.
Trong phần 2.7, tôi chỉ ra rằng định nghĩa về giải phápthươnglượngNash
trình bày trong phần 2.2 và phần 2.4 không thể mang lại một cách diễn giải tự nhiên
cho giải pháp này. Một định nghĩa khác (tương đương) sẽ được trình bày trong phần
2.7, cho thấy rằng giải phápthươnglượngNash có thể được diễn giải như một thông
lệ thươnglượng ổn định.
Phần 2.8 định nghĩa và mô tả các giải phápthươnglượngNash bất cân xứng.
Các dạng khái quát hoá của giải phápthươnglượngNash này tạo điều kiện thuận lợi
để chúng ta xem xét đến những yếu tố bổ sung của một tình huống thương lượng, có
thể được xem là phù hợp với kết quả thương lượng. (Các phần 2.6, 2.7, và 2.8 không
dịch – ND).
2.2 Thươnglượng chia bánh
Hai người A và B thươnglượng về việc phân chia một ổ bánh có độ lớn π, trong đó
π
> 0. Tập hợp các thỏa thuận có thể có là x = {(x
A
, x
B
) : 0 ≤ x
A
≤
π
và x
B
=
π
- x
A
},
trong đó x
i
là phần bánh dành cho người tham gia i (i = A, B). Đối với mỗi i
∈
[0,
π
],
U
i
(x
i
) là độ thoả dụng của người tham gia i khi thu được phần bánh x
i
trong ổ bánh,
trong đó hàm thỏa dụng của người tham gia i là U
i
: [0,
π
]
→
ℜ
. Hàm này có tính
tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lồi. Nếu những người tham gia không đạt được thỏa
thuận, thì người tham gia i sẽ đạt được độ thoả dụng d
i
trong đó d
i
≥
U
i
(0). Có một
thỏa thuận x
∈
X sao cho U
A
(x) > d
A
và U
B
(x) > d
B
, điều này đảm bảo rằng có một
thỏa thuận giúp đôi bên cùng có lợi.
Cặp độ thỏa dụng d = (d
A
, d
B
) được gọi là điểm bất đồng (disagreement point).
Để định nghĩa giải phápthươnglượngNash của tình huống thươnglượng này, trước
tiên ta cần định nghĩa tập hợp Ω bao gồm những cặp độ thỏa dụng có thể có (possible
utility pairs) mà đôi bên có thể đạt được thông qua thỏa thuận. Ứng với tình huống
thương lượng vừa mô tả trên đây,
Ω
= {(u
A
, u
B
) : có một x
∈
X sao cho U
A
(x
A
) = u
A
và
U
B
(x
B
) = u
B
}.
Chọn một độ thỏa dụng u
A
tuỳ ý cho người tham gia A, trong đó u
A
∈
[U
A
(0,
U
A
(
π
)]. Từ tính đơn điệu nghiêm ngặt của U
i
, có một phần bánh x
A
∈
[0,
π
] sao cho
U
A
(x
A
) = u
A
; nghĩa là, x
A
=
1−
A
U(u
A
), trong đó
1−
A
U là ký hiệu hàm nghịch đảo của
U
A
.
2
Vì vậy:
))(()(
1
AABA
uUUug
−
−≡
π
Trong đó, g(u
A
) là độ thỏa dụng mà người tham gia B sẽ đạt được khi người tham gia
A đạt được độ thỏa dụng u
A
. Ngay lập tức, ta suy ra rằng
Ω
= {(u
A
, u
B
) : U
A
(0) ≤ u
A
≤
U
A
(
π
) và u
B
= g(u
A
)}; nghĩa là, Ω là đồ thị của hàm số g : [U
A
(0),
U
A
(
π
)]
→
ℜ
.
2
Ta nên lưu ý rằng hàm nghịch đảo
1−
A
U là một hàm số có tính tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lõm,
miền xác định của hàm số này là đoạn [U
A
(0), U
A
(π)] và miền giá trị của hàm số này là đoạn [0, π].
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
3 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
Giải phápthươnglượngNash (NBS – Nash bargaining solution) của tình
huống thươnglượng mô tả trên đây là một cặp độ thỏa dụng duy nhất, ký hiệu
(
N
B
N
A
uu , ), là nghiệm của bài toán tối đa hoá sau đây:
max (u
A
– d
A
)(u
B
– d
B
)
(u
A
, u
B
)
∈
Θ
trong đó,
Θ
≡
{(u
A
, u
B
)
∈
Ω
: u
A
≥
d
A
và u
B
≥
d
B
}
≡
{(u
A
, u
B
) : U
A
(0)
≤
u
A
≤
U
A
(
π
), u
B
= g(u
A
), u
A
≥
d
A
và u
B
≥
d
B
}.
Bài toán tối ưu vừa phát biểu trên đây có một nghiệm duy nhất, vì (u
A
– d
A
)(u
B
– d
B
), thường được gọi là tích số Nash (Nash product), thì liên tục và gần như có dạng
lồi nghiêm ngặt (lồi về phía gốc tọa độ - ND), hàm số g giảm dần nghiêm ngặt và có
dạng lồi (như được phát biểu dưới đây trong Bổ đề 2.1), và tập hợp Θ là một tập hợp
không rỗng.
3
Hình 2.1 minh họa giải phápthươnglượng Nash. Vì
N
A
u> d
A
và
N
B
u>
d
B
, cho nên trong giải phápthươnglượng Nash, những người tham gia đạt được thỏa
thuận về phần bánh được chia cho mỗi bên là: ))(),(),(
11 N
BB
N
AA
N
B
N
A
uUuUxx
−−
= .
Bổ đề 2.1. Hàm số g có tính giảm dần nghiêm ngặt và có dạng lồi.
Chứng minh: Xem phần Phụ lục.
3
Thật ra, có một thể liên tục của các cặp độ thỏa dụng (u
A
, u
B
)
∈
Θ
sao cho u
A
> d
A
và u
B
> d
B
.
Hằng số
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
4 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
Hình 2.1: u
N
là giải phápthươnglượngNash của tình huống thươnglượng mà trong
đó tập hợp Ω của các cặp độ thỏa dụng khả dĩ có thể đạt được thông qua thỏa thuận là
đồ thị của hàm số g, và d là điểm bất đồng.
2.2.1 Mô tả đặc điểm
Định đề 2.1. Trong tình huống thươnglượng mô tả trên đây, nếu đạo hàm của hàm số
g tồn tại (differentiable), thì giải phápthươnglượngNash là nghiệm duy nhất của hệ
phương trình sau:
AA
BB
A
du
du
ug
−
−
=− )('
và u
B
= g(u
A
),
trong đó, g’ là ký hiệu đạo hàm của g.
Chứng minh: Vì giải phápthươnglượngNash là giải pháp sao cho
N
A
u> d
A
và
N
B
u>
d
B
, giải pháp này có thể được mô tả bằng cách tìm giá trị của u
A
mà làm cho (u
A
–
d
A
)(g(u
A
) – d
B
) đạt giá trị tối đa. Định đề được suy ra ngay lập tức bằng đạo hàm bậc
nhất.
Hình 2.2: Khi đạo hàm của hàm số g tồn tại, giải phápthươnglượngNash là điểm
duy nhất trên đồ thị g có độ dốc của đường thẳng L
N
bằng với giá trị tuyệt đối của độ
dốc của tiếp tuyến duy nhất T
N
.
Điều cần lưu ý trong một số ứng dụng là đặc điểm hình học sau đây của giải
pháp thươnglượngNash – đặc điểm này có giá trị khi hàm số g có thể lấy đạo hàm và
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
5 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
được suy ra từ Định đề 2.1. Giải phápthươnglượngNash là điểm u
N
duy nhất trên đồ
thị có đặc điểm là độ dốc của đường thẳng nối giữa điểm u
N
và d bằng với giá trị tuyệt
đối của độ dốc tiếp tuyến với đồ thị g tại u
N
. Điều này được minh hoạ trong hình 2.2.
Ta hãy xem một điểm u bất kỳ về phía bên trái của u
N
. Độ dốc của đường L nối các
điểm d và u tăng lên so với độ dốc của đường L
N
, trong khi giá trị tuyệt đối của độ
dốc tiếp tuyến T với đồ thị g tại u giảm xuống so với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp
tuyến T
N
. Do đó, độ dốc của đường L lớn hơn so với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp
tuyến T. Bằng lập luận đối xứng, ta suy ra rằng độ dốc của đường nối điểm d với một
điểm trên đồ thị g về phía bên phải giải phápthươnglượngNash sẽ nhỏ hơn giá trị
tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến với đồ thị g tại điểm đó.
Kết quả trong hệ quả sau đây của Định đề 2.1 có thể hữu ích trong việc ứng
dụng.
Hệ quả 2.1. Trong tình huống thươnglượng mô tả trên đây, nếu hàm số g có thể lấy
đạo hàm, thì phần bánh
N
A
x mà người tham gia A được hưởng trong ổ bánh theo giải
pháp thươnglượngNash là nghiệm duy nhất của phương trình:
)('
)(
)('
)(
AB
BAB
AA
AAA
xU
dxU
xU
dxU
−
−−
=
−
π
π
,
và phần bánh của người tham gia B trong giải phápthươnglượngNash là
N
A
N
B
xx −=
π
.
Chứng minh. Kết quả được suy ra ngay lập tức từ Định đề 2.1 sau khi lấy đạo hàm
của hàm số g (theo u
A
) và lưu ý rằng U
i
(x
i
) = u
i
và x
i
=
1−
i
U(u
i
).
Bây giờ tôi sẽ mô tả đặc điểm của giải phápthươnglượngNash khi không giả
định rằng hàm số g có thể lấy đạo hàm. Tuy nhiên, vì g có dạng lồi, cho nên nó có thể
lấy đạo hàm “gần như tại mọi điểm”. Nhưng cũng có thể giải phápthươnglượng
Nash nằm chính xác tại điểm mà
g không thể lấy đạo hàm.
4
Vì g có dạng lồi, cho nên
đạo hàm về phía bên trái và bên phải của điểm đó đều tồn tại. Gọi
g’(u
A
-) và g’(u
A
+)
lần lượt là đạo hàm bên trái và bên phải của hàm số g tại u
A
. Vì g có dạng lồi, nên
g’(u
A
-)
≥
g’(u
A
+). Kết quả sau đây có thể dễ dàng được chứng minh, và được minh
họa trong hình 2.3.
Định đề 2.2. Trong tình huống thươnglượng mô tả trên đây, nếu hàm số g không thể
lấy đạo hàm tại giải phápthươnglượng Nash, thì sẽ tồn tại một số k, trong đó,
g’
(
N
A
u-)
≥
k
≥
g’(
N
A
u +), sao cho giải phápthươnglượngNash là nghiệm duy nhất
của hệ phương trình sau đây:
AA
BB
du
du
k
−
−
=−
và u
B
= g(u
A
),
Như minh họa trong hình 2.3, giải phápthươnglượngNash là điểm u
N
duy
nhất trên đồ thị g có đặc điểm là độ dốc của đường L
N
nối điểm u
N
và d bằng với giá
trị tuyệt đối (tức là -k) của độ dốc tiếp tuyến T
N
nào đó với đồ thị g tại u
N
.
4
Trong chương 8, chúng tả sẽ nghiên cứu một mô hình thươnglượng ứng với trường hợp này.
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
6 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
Hình 2.3. Khi hàm số g không thể lấy đạo hàm, giải phápthươnglượngNash
là điểm duy nhất trên đồ thị g có độ dốc đường L
N
bằng với giá trị tuyệt đối của độ
dốc tiếp tuyến T
N
nào đó.
Nhận xét 2.1 (So sánh tĩnh – comparative-statics). Ta có thể chứng minh được
những kết quả sau đây bằng cách sử dụng các đặc điểm hình học của giải phápthương
lượng Nash, như minh họa trong hình 2.2 và 2.3. Vì giải phápthươnglượngNash của
tình huống thươnglượng mô tả trên đây phụ thuộc vào điểm bất đồng, tôi nhấn mạnh
điều này bằng cách viết giải phápthươnglượngNash là
N
A
u(d),
N
B
u (d)). Gọi d và d’ là
hai điểm bất đồng khác nhau sao cho
d’
i
> d
i
và d’
j =
d
j
(j
≠
i). Nếu hàm số g có thể lấy
vi phân tại
N
A
u(d), thì
N
i
u (d’) >
N
i
u(d) và
N
j
u (d’) <
N
j
u (d). Mặt khác, nếu hàm số g
không thể lấy vi phân tại
N
A
u(d), thì
N
i
u(d’)
≥
N
i
u(d) và
N
j
u (d’)
≤
N
j
u (d).
2.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 2.1. (Qui tắc chia phần còn lại). Giả sử U
A
(x
A
) = x
A
đối với mọi x
A
∈
[0,
π
] và
U
B
(x
B
) = x
B
đối với mọi x
B
∈
[0,
π
]. Điều này có nghĩa là đối với mỗi u
A
∈ [0,
π
],
g(u
A
) =
π
- u
A
và d
i
≥
0 (i = A, B). Áp dụng Định đề 2.1, ta suy ra:
)(
2
1
AB
N
A
ddu +−=
π
và
)(
2
1
BA
N
B
ddu +−=
π
Như vậy,
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
7 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
)(
2
1
BAA
N
A
dddx −−+=
π
và )(
2
1
BAB
N
B
dddx −−+=
π
,
vốn có thể được gán cho cách diễn giải sau đây. Trước tiên những người tham gia
đồng ý cho mỗi người tham gia i (i = A, B) được hưởng một phần bánh d
i
trong ổ
bánh (phần bánh này mang lại cho người tham gia đó một độ thỏa dụng bằng với độ
thỏa dụng mà người này đạt được nếu không có thỏa thuận), rồi sau đó họ chia đều
phần bánh còn lại
π
– d
A
– d
B
. Lưu ý rằng phần bánh
N
i
x
của người tham gia i tăng
dần một cách nghiêm ngặt theo
d
i
và giảm dần nghiêm ngặt theo d
j
(j
≠
i).
Ví dụ 2.2 (Ghét rủi ro). Giả sử U
A
(x
A
) =
γ
A
x đối với mọi x
A
∈
[0,
π
] , trong đó 0 <
γ
< 1, U
B
(x
B
) = x
B
đối với mọi x
B
∈
[0,
π
] và d
A
= d
B
= 0. Điều này có nghĩa là đối với
mỗi u
A
∈
[0,
π
], g(u
A
) =
π
-
γ
/1
A
u. Áp dụng Hệ quả 2.1, ta suy ra:
γ
γ
π
+
=
1
N
A
x và
γ
π
+
=
1
N
B
x.
Khi γ tăng dần,
N
A
x giảm dần và
N
B
x tăng dần. Ở mức giới hạn, khi γ → 0,
N
A
x
→
0 và
N
B
x
→
1. Người tham gia B có thể được xem là một người trung tính với rủi ro (vì
hàm thỏa dụng của B là hàm tuyến tính), trong khi người tham gia A là người ghét rủi
ro (vì hàm thỏa dụng của A có dạng lồi nghiêm ngặt), trong đó mức độ ghét rủi ro của
A giảm dần trong γ. Ứng với cách diễn giải theo hàm thỏa dụng này, ta thấy phần
bánh của người tham gia A giảm dần khi A trở nên ghét rủi ro hơn.
2.3 Các ứng dụng
2.3.1 Hối lộ và kiểm soát tội phạm
Một cá nhân C quyết định xem có nên đánh cắp một số tiền nhất định π hay không,
trong đó
π
> 0. Nếu C đánh cắp số tiền, thì xác suất xảy ra tình huống C bị viên cảnh
sát P bắt được là ζ. Viên cảnh sát này có thể bị mua chuộc, và thươnglượng với tội
phạm về số tiền hối lộ
b mà C sẽ trao cho P để đổi lấy việc P không báo cáo vụ đánh
cắp của C với chính quyền.
Tập hợp những thỏa thuận có thể có giữa hai người là tập hợp những cách
phân chia số tiền đánh cắp có thể đạt được giữa hai người (giả định rằng số tiền đánh
cắp có thể được phân chia một cách hoàn hảo); tập hợp những cách phân chia này là :
{(
π
- b, b) : 0
≤
b
≤
π
}. Viên cảnh sát sẽ báo cáo vụ đánh cắp với chính quyền khi và
chỉ khi họ không thể đạt được thỏa thuận. Trong trường hợp đó, kẻ phạm tội sẽ phải
nợp một khoản tiền phạt. Điểm bất đồng
(d
C
, d
P
) = (
π
(1 – v), 0), trong đó v
∈
(0, 1] là
tỷ lệ nộp phạt. Độ thỏa dụng đối với mỗi người tham gia nhờ thu được
x đơn vị tiền tệ
là
x.
Tình huống thươnglượng mô tả trên đây là một trường hợp đặc biệt của ví dụ
2.1, và như vậy, ngay lập tức ta suy ra rằng giải phápthươnglượngNash là
N
C
u =
π
[1
– (v/2)],
và
N
P
u=
π
v/2. Số tiền hối lộ gắn liền với giải phápthươnglượngNash là b
N
=
π
v/2. Lưu ý rằng, cho dù tiền phạt không bao giờ được nộp cho chính quyền, tỷ lệ
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
8 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
nộp phạt vẫn ảnh hưởng đến số tiền mua chuộc mà kẻ phạm tội trao cho viên cảnh sát
ăn hối lộ.
Ứng với kết quả này của tình huống thươnglượng trên đây, bây giờ tôi sẽ đề
cập đến vấn đề liệu kẻ phạm tội có nên thực hiện hành vi phạm tội hay không. Độ
thỏa dụng kỳ vọng đối với kẻ phạm t
ội khi đánh cắp được số tiền trên là
ζπ
[1 – (v/2)]
+ (1 –
ζ
)
π
, vì với xác suất ζ, kẻ phạm tội sẽ bị cảnh sát bắt (trong trường hợp đó, độ
thỏa dụng của kẻ phạm tội là
N
C
u, và với xác suất 1 -
ζ
, kẻ phạm tội sẽ không bị cảnh
sát bắt (trong trường hợp đó, hắn sẽ giữ toàn bộ số tiền đánh cắp được). Vì độ thỏa
dụng của kẻ phạm tội khi không đánh cắp số tiền là bằng không (0), vụ đánh cắp sẽ
không xảy ra nếu và chỉ nếu
π
[1 – (
ζ
v/2)]
≤
0. Nghĩa là, vì π > 0, hành vi phạm tội sẽ
không xảy ra nếu và chỉ nếu
ζ
v
≥
2. Vì
ζ
< 1 và 0 < v < 1 có nghĩa là
ζ
v < 1, ứng với
tỷ lệ nộp phạt bất kỳ
v
∈
(0, 1], và xác suất bị bắt bất kỳ
ζ
< 1, hành vi phạm tội sẽ
xảy ra. Vì vậy, phân tích này khẳng định nhận thức thông thường rằng
nếu người ta
trốn được khoản tiền phạt thông qua hành vi hối lộ, thì tiền phạt không có vai trò
gì trong việc ngăn ngừa tội phạm.
5
2.3.2 Sở hữu tài sản tối ưu (không dịch)
2.4 Định nghĩa tổng quát
Một vấn đề thươnglượng là một cặp (
Ω
, d), trong đó
Ω
⊂
ℜ
2
và d
∈
ℜ
2
. Tôi diễn
giải Ω là một tập hợp những cặp độ thỏa dụng khả dĩ mà hai bên có thể đạt được
thông qua thỏa thuận, và
điểm bất đồng d = (d
A
, d
B
) là cặp độ thỏa dụng có thể đạt
được nếu những người tham gia không thể đi đến thỏa thuận.
6
Chúng ta chỉ giới hạn
sự chú ý trong phạm vi những vấn đề thươnglượng thỏa những điều kiện được trình
bày dưới đây trong các giả định 2.1 và 2.2.
Giả định 2.1 Biên giới Pareto Ω
e
của tập hợp Ω là đồ thị của một hàm số có dạng
lồi, được ký hiệu là h, mà miền xác định của hàm số này là một đoạn
I
A
⊆
ℜ
. Ngoài
ra, có một độ thỏa dụng
u
A
∈
I
A
sao cho u
A
> d
A
và h(u
A
) > d
B
.
7
Giả định 2.2. Tập hợp Ω
w
của các cặp độ thỏa dụng có hiệu quả Pareto yếu là một
tập hợp đóng.
8
Lưu ý rằng (theo định nghĩa biên giới hiệu quả Pareto), h có tính giảm dần
nghiêm ngặt. Tập hợp tất cả những vấn đề thươnglượng thỏa Giả định 2.1 và Giả
định 2.2 được ký hiệu là ∑. Nghĩa là, ∑ ≡ {(Ω, d) : Ω ⊂ ℜ
2
, d ∈ ℜ
2
, và cặp (Ω, d)
thỏa Giả định 2.1 và Giả định 2.2}.
Định nghĩa 2.1. Giải phápthươnglượngNash (NBS) là một hàm số f
N
: ∑ → ℜ
2
,
được định nghĩa như sau: Đối với mỗi vấn đề thươnglượng (Ω, d) thỏa Giả định 2.1
5
Ứng dụng nghiên cứu ở đây sẽ được mở rộng trong phần 2.5.3.
6
Nếu (u
A
, u
B
)
∈
Ω
, thì điều này có nghĩa là có một thỏa thuận giúp mang lại cho người tham gia i (i =
A, B) một độ thỏa dụng u
i
∈
ℜ
.
7
Một cặp độ thỏa dụng (u
A
,
u
B
)
∈
Ω
e
nếu và chỉ nếu (u
A
,
u
B
)
∈
Ω
và không tồn tại một cặp độ thỏa
dụng khác (u’
A
,
u’
B
)
∈
Ω
sao cho u’
A
≥
u
A
,
u’
B
≥
u
B
và đối với một i nào đó, u’
i
> u
i
.
8
Một cặp độ thỏa dụng (u
A
,
u
B
)
∈
Ω
w
nếu và chỉ nếu (u
A
,
u
B
)
∈
Ω
và không tồn tại một cặp độ thỏa
dụng khác (u’
A
,
u’
B
)
∈
Ω
sao cho u’
A
> u
A
,
u’
B
> u
B
. Lưu ý rằng Ω
e
⊆ Ω
w
.
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
9 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
và Giả định 2.2, giải phápthươnglượngNash f
N
(
Ω
, d)
≡
N
A
f(
Ω
, d),
N
B
f(
Ω
, d) là
nghiệm duy nhất của bài toán tối đa hoá sau đây:
max (u
A
– d
A
)(u
B
– d
B
)
(u
A
, u
B
)
∈
Θ
trong đó,
Θ
≡
{(u
A
, u
B
)
∈
Ω
e
: u
A
≥
d
A
và u
B
≥
d
B
}
≡
{(u
A
, u
B
) : u
A
∈
I
A
, u
B
= h(u
A
), u
A
≥
d
A
và u
B
≥
d
B
}.
Bài toán tối đa hoá trên đây có một nghiệm duy nhất, vì (u
A
– d
A
)(u
B
– d
B
),
thường được gọi là tích số Nash, thì liên tục và gần như có dạng lồi nghiêm ngặt (về
phía gốc tọa độ - ND), và vì Giả định 2.1 ngụ ý rằng hàm số h có tính giảm dần
nghiêm ngặt và có dạng lồi, và tập hợp Θ là một tập hợp không rỗng. Ta cũng nên lưu
ý rằng giải phápthươnglượngNash có đặc điểm là
N
i
f(
Ω
, d) > d
i
(i = A, B).
Chọn một vấn đề thươnglượng tuỳ ý (
Ω
, d)
∈
∑
. Giải phápthươnglượng
Nash của vấn đề thươnglượng này sẽ nằm trên đồ thị
h. Gọi I
A
≡
[
A
A
uu , ], trong đó,
A
A
uu ≥ . Miền giá trị của hàm số h là h(I
A
) = {u
B
∈
ℜ
: có một u
A
∈
I
A
sao cho u
B
=
h(u
A
)}. Từ Giả định 2.1, ta suy ra rằng h(I
A
) = [
B
B
uu , ], trong đó, h(
A
u) =
B
u
≥
B
u
= h(
A
u ). Ngoài ra, Giả định 2.1 ngụ ý rằng d
A
<
A
u , và d
B
<
B
u . Tuy nhiên, đối với
một i nào đó (i = A hoặc i = B hoặc i = A, B), Giả định 2.1. không loại trừ khả năng
xảy ra
d
i
≤
i
u .
Nếu d
A
∈
I
A
và d
B
∈
h(I
A
) – từ thảo luận trên đây, điều này có nghĩa là d
i
≥
i
u (i = A, B) – thì giải phápthươnglượngNash được minh họa trong hình 2.1 với g
được thay bằng
h.
9
Một cách cụ thể, giải phápthươnglượngNash nằm bên trong của
đồ thị h; nghĩa là,
N
A
f(
Ω
, d)
∈
(
A
A
uu , ) và
N
B
f(
Ω
, d)
∈
(
B
B
uu , ). Tuy nhiên, nếu đối
với một i nào đó, (
i = A, hoặc i = B, hoặc i = A, B), d
i
≤
i
u , thì giải phápthương
lượng Nash có thể (nhưng không nhất thiết) là một trong hai góc của đồ thị
h; nghĩa
là, giải phápthươnglượngNash
N
A
f(
Ω
, d) có thể bằng (
B
A
uu , ) hoặc (
B
A
uu , ), như
được minh họa trong hình 2.5.
Hình 2.5. Nếu d
B
<
B
u, thì giải phápthươnglượngNash có thể nằm ở góc
bên phải của đồ thị
h, nghĩa là u
N
= (
B
A
uu ,
).
Nhận xét 2.2. Vấn đề thươnglượng (Ω, d), mà từ đó chúng ta định nghĩa giải pháp
thương lượng Nash, là một khái niệm trừu tượng. Dù vậy, vấn đề này có giá trị trong
một vài khía cạnh nhất định, nó giúp làm tăng khả năng ứng dụng của giải pháp
thương lượng Nash, và hữu ích trong việc diễn giải khái niệm về vấn đề thương
lượng theo những yếu tố cơ bản sau
đây của một tình huống thương lượng: (i) Tập
hợp X của các thỏa thuận vật chất có thể có, (ii) Kết quả “bất đồng” D, là kết quả hay
9
Ta nên lưu ý rằng trong tình huống thươnglượng cụ thể được nghiên cứu trong phần 2.2, biên giới
Pareto Ω
e
= Ω, tập hợp các cặp độ thỏa dụng có thể đạt được thông qua thỏa thuận, và vì thế, Ω
e
là đồ
thị hàm số g. Ngược lại, trong một vấn đề thươnglượng tuỳ ý (
Ω
, d)
∈
∑
, biên giới Pareto Ω
e
⊆ Ω,
nghĩa là, biên giới Pareto không nhất thiết phải bằng Ω.
Vuihoc24h.vn
Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải phápthươnglượngNash
10 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Vũ Thành Tự Anh
biến cố xảy ra nếu những người tham gia không đạt được thỏa thuận, và (iii) Các hàm
thỏa dụng của những người tham gia i, U
A
: X
∪
{D}
→
ℜ
và U
B
: X
∪
{D}
→
ℜ
.
Khi đó, một vấn đề thươnglượng (Ω, d) có thể được suy ra từ những yếu tố này như
sau: Ω = {(u
A
,
u
B
) : có một x
∈
X sao cho U
A
(x) = u
A
và U
B
(x) = u
B
} và d = (U
A
(D),
U
B
(D)).
2.5. Các ứng dụng
2.5.1. Thươnglượng giữa công ty và công đoàn
Một công ty và công đoàn thươnglượng về mức lương w và mức lao động L. Tập hợp
các thỏa thuận có thể có là tập hợp các cặp tiền lương và mức lao động (w, L) sao cho
w
≥
w
u
, R(L) – wL
≥
0 và L
≤
L
0
, trong đó, w
u
≥
0 là mức phúc lợi thất nghiệp, R(L) là
doanh thu công ty đạt được nếu tuyển dụng L người lao động, và L
0
là qui mô của
công đoàn. R(0) = 0, hàm R có tính tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lồi nghiêm ngặt.
Điều kiện w
≥
w
u
diễn tả sự việc là không một người lao động nào làm việc với mức
lương thấp hơn mức phúc lợi thất nghiệp, trong khi điều kiện R(L) – wL
≥
0 diễn tả sự
việc là công ty thà đóng cửa doanh nghiệp hơn là nhận được lợi nhuận âm, trong đó
lợi nhuận của công ty ứng với một cặp (w, L) là R(L) – wL. Ta giả định rằng công ty
không thể tuyển dụng nhiều hơn L
0
người lao động. Như vậy, tập hợp những thỏa
thuận có thể có là x = {(w, L) : w
≥
w
u
, L
≤
L
0
, và R(L) – wL
≥
0}. Nếu những người
tham gia không đạt được thỏa thuận, thì công ty phải đóng cửa và L
0
người lao động
sẽ trở nên thất nghiệp. Nếu những người tham gia đạt được thỏa thuận về (w, L)
∈
X,
thì lợi nhuận của công ty là
∏
(w, L) = R(L) – wL, và độ thỏa dụng của công đoàn là
U(w, L) = wL + (L
0
– L)w
u
, tạo thành tổng thu nhập mà các thành viên công đoàn sẽ
nhận được. Vì R(0) = 0, lợi nhuận của công ty nếu các bên không đạt được thỏa thuận
cũng bằng không. Độ thỏa dụng của công đoàn trong trường hợp này là w
u
L
0
, vì L
0
thành viên công đoàn sẽ trở nên thất nghiệp. Vì vậy, điểm bất đồng d = (w
u
L
0
, 0).
Ta có thể suy ra biên giới Pareto Ω
e
của tập hợp các cặp độ thỏa dụng khả dĩ
có thể đạt được thông qua thỏa thuận bằng cách giải bài toán tối đa hoá sau đây:
max
(w, L)
∈
X
∏
(w, L), phụ thuộc vào điều kiện U(w, L)
≥
u , trong đó u là một hằng số
nào đó lớn hơn hoặc bằng w
u
L
0
. Tại nghiệm số duy nhất của bài toán này, L = L*,
trong đó L* là mức lao động tốt nhất trước tiên, nghĩa là R’(L*) = w
u
.
10
Như vậy, một
cặp độ thỏa dụng (u, π) ∈ Ω
e
chỉ khi mức lao động L = L*. Do đó, biên giới Pareto Ω
e
là đồ thị của hàm số h được định nghĩa như sau: Đối với mỗi mức thỏa dụng của công
đoàn u ∈ [w
u
L
0
, s], h(u) = s – u, trong đó s ≡ R(L*) + (L
0
– L*)w
u
.
Áp dụng Hệ quả 2.2, ta suy ra rằng giải phápthươnglượngNash là
π
N
= (s -
w
u
L
0
)/2 và u
N
= w
u
L
0
+ (s - w
u
L
0
)/2. Bây giờ ta suy ra cặp tiền lương-lao động (w
N
,
L
N
) gắn liền với giải phápthươnglượng Nash. Trên đây, ta đã thấy rằng ứng với giải
pháp thươnglượng Nash, mức lao động L
N
= L*. Tiền lương w
N
có thể được suy ra từ
π
N
= R(L*) – w
N
L*. Sau khi thay thế π
N
và s, ta suy ra rằng w
N
= [w
u
+ (R(L*)/L*)]/2.
Do đó, tiền lương bằng với bình quân của mức trợ cấp thất nghiệp và doanh thu bình
quân. Tuy nhiên, vì R’(L*) = w
u
, cho nên tiền lương bằng với bình quân của doanh
thu biên và doanh thu bình quân.
10
Ta giả định rằng L*
≤
L
0
và R(L*) – w
u
L* > 0.
Vuihoc24h.vn
[...].. .Chương trìnhGiảngdạyKinh tế Fulbright Niên khoá 2006-2007 Kinh tế vi mô Bài đọc Giải phápthươnglượngNash 2.5.2 Tâm lý ỷ lại trong tập thể (adverse selection in team) (không dịch) 2.5.3 Hối lộ và kiểm soát tội phạm: phần mở rộng Một giả định ngầm ẩn... h(uC ) = π - uC Điểm bất đồng (dC, dP) = (π(1 – v), 0) n v h 4 2 Áp dụng Bổ đề 2.2, lưu ý rằng u C = –∞ và u P = 0, ta suy ra rằng giải pháp N N thươnglượngNash là u C = π[1 – (v/2)] và u P = πv/2 Khoản tiền hối lộ là bN = πv/2 Cho dù đây cũng là giải phápthươnglượngNash thu được trong phần 2.3.1, nhưng bây giờ không có giới hạn đối với v, nghĩa là nếu v > 2, thì số tiền C được hưởng có giá trị âm . Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khoá 2006-2007
Kinh tế vi mô
Bài đọc
Giải pháp thương lượng Nash
1 Biên dịch:. huống thương lượng của một lớp các tình huống
thương lượng nào đó. Trong chương này, tôi sẽ nghiên cứu giải pháp thương lượng do
Nash đề xuất.
1
Giải pháp