0

Giáo trình Đại số (Dành cho hệ đại học ngành Điện tử, Viễn thông và Công nghệ thông tin)

239 9 0
  • Giáo trình Đại số (Dành cho hệ đại học ngành Điện tử, Viễn thông và Công nghệ thông tin)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/06/2022, 22:25

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG ĐẠI SỐ Dành cho hệ đại học ngành Điện tử, Viễn thông Công nghệ thông tin Biên soạn: PGS.TS Lê Bá Long LỜI NĨI ĐẦU Tốn cao cấp A1, A2, A3 chương trình tốn đại cương dành cho sinh viên nhóm ngành tốn nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật Nội dung toán cao cấp A1, A3 chủ yếu phép tính vi tích phân hàm nhiều biến, cịn tốn cao cấp A2 giới thiệu cấu trúc đại số đại số tuyến tính Có nhiều sách giáo khoa tài liệu tham khảo viết chủ đề Tuy nhiên xuất phát từ đặc thù ứng dụng toán học ngành điện tử viễn thông công nghệ thông tin nhu cầu có tài liệu phù hợp với chương trình đào tạo Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng nên chúng tơi biên soạn giáo trình Giáo trình biên soạn theo chương trình qui định năm 2007 Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thông Nội dung sách tổng kết từ giảng tác giả nhiều năm có tham khảo giáo trình trường đại học kỹ thuật khác Chính thế, giáo trình dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên trường, ngành đại học cao đẳng kỹ thuật Giáo trình gồm chương: Chương I: Lơ gích tốn học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số Chương II: Không gian véc tơ Chương III: Ma trận Chương IV: Định thức Chương V: Hệ phương trình tuyến tính Chương VI: Ánh xạ tuyến tính Chương VII: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương Ngồi vai trị cơng cụ cho ngành khoa học khác, tốn học cịn xem ngành khoa học có phương pháp tư lập luận xác chặt chẽ Vì việc học tốn giúp ta rèn luyện phương pháp tư Các phương pháp giảng dạy cung cấp bước q trình học tập phổ thơng, chương I vấn đề hệ thống hoá lại Nội dung chương I xem sở, ngơn ngữ tốn học đại Một vài nội dung chương học phổ thông với mức độ đơn giản Các cấu trúc đại số hồn tồn trừu tượng địi hỏi học viên phải đọc lại nhiều lần tiếp thu Các chương lại giáo trình đại số tuyến tính Kiến thức chương liên hệ chặt chẽ với nhau, kết chương cơng cụ chương khác Vì học viên cần thấy mối liên hệ chương Đặc điểm mơn học tính khái quát hoá trừu tượng cao Các khái niệm thường khái quát hoá từ kết hình học giải tích phổ thơng Khi học ta nên liên hệ đến kết Giáo trình trình bày theo cách thích hợp người tự học Trước nghiên cứu nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu chương mục đích chương để thấy mục đích ý nghĩa, u cầu chương Trong chương, nội dung, người đọc tự đọc hiểu cặn kẽ thông qua cách diễn đạt chứng minh rõ ràng Đặc biệt bạn đọc nên ý đến nhận xét, bình luận để hiểu sâu mở rộng tổng quát kết Hầu hết toán xây dựng theo lược đồ: Đặt toán, chứng minh tồn lời giải lý thuyết cuối nêu thuật tốn giải tốn Các ví dụ để minh họa trực tiếp khái niệm, định lý thuật tốn, giúp người đọc dễ dàng tiếp thu học Cuối chương có tập xếp từ dễ đến khó Các tập dễ kiểm tra trực triếp nội dung vừa học tập khó địi hỏi phải sử dụng kiến thức tổng hợp Một số nội dung sách dạy dạy phần phổ thông Chẳng hạn giải tích tổ hợp, đường níc có chương trình phổ thơng Tuy nhiên tác giả muốn trình bày lại giải tích tổ hợp theo ngôn ngữ ánh xạ Minh họa ứng dụng số qn tính dạng tồn phương để phân loại đường bậc mặt phẳng mặt bậc không gian Tuy tác giả cố gắng, song thiếu sót cịn tồn giáo trình điều khó tránh khỏi Tác giả mong đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp, học viên xa gần xin cám ơn điều Tác giả xin chân thành cám ơn GS Đoàn Quỳnh, PGS TS Nguyễn Xuân Viên, PGS TS Nguyễn Năng Anh, Ths.GVC Nguyễn Tiến Duyên, Ths.GVC Đỗ Phi Nga có Cuối chúng tơi bày tỏ cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thơng, Khoa Cơ bạn bè đồng nghiệp khuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành tập tài liệi Hà Nội, 2008 PGS TS Lê Bá Long Khoa Học Viện Công nghệ Bưu Viễn thơng CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢPÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CHƯƠNG I MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Toán học ngành khoa học lý thuyết phát triển sở tuân thủ nghiêm ngặt qui luật lập luận tư lơ gich hình thức Các qui luật lơ gich hình thức phát triển từ thời Aristote (Arít-xtốt ) (thế kỷ thứ trước công nguyên) với phát triển rực rỡ văn minh cổ Hy Lạp Tuy nhiên đến kỷ 17 với cơng trình De Morgan (Đờ Mocgan), Boole lơ gích hình thức có cấu trúc đại số đẹp đẽ với lý thuyết tập hợp giúp làm xác hố khái niệm tốn học thúc đẩy toán học phát triển mạnh mẽ Việc nắm vững lơ gich hình thức khơng giúp sinh viên học tốt mơn tốn mà cịn vận dụng thực tế biết lập luận cách xác Học tốt môn lô gich sở để học tốt đại số Boole, vận dụng để giải tốn sơ đồ cơng tắc rơle, kỹ thuật số công nghệ thông tin Yêu cầu phần phải nắm vững khái niệm mệnh đề toán học, phép liên kết mệnh đề tính chất chúng Khái niệm tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số khái niệm bản: vừa cơng cụ vừa ngơn ngữ tốn học đại Vì vai trị tảng nên khái niệm tập hợp đưa sớm vào chương trình tốn phổ thơng (tốn lớp 6) Khái niệm tập hợp Cantor (Căng-to) đưa vào cuối kỷ 19 Sau xác hố hệ tiên đề tập hợp Có thể tiếp thu lý thuyết tập hợp theo nhiều mức độ khác Chúng ta tiếp cận lý thuyết tập hợp mức độ trực quan kết hợp với phép tốn lơ gich hình thức "và", "hoặc", phép kéo theo, phép tương đương, lượng từ phổ biến, lượng từ tồn Với phép tốn lơ gích ta có tương ứng phép toán giao, hợp, hiệu tập hợp tập hợp Trên sở tích Descartes (Đề-các) hai tập hợp ta có khái niệm quan hệ hai mà hai trường hợp đặc biệt quan hệ tương đương quan hệ thứ tự Quan hệ tương đương dùng để phân tập thành lớp không giao nhau, gọi phân hoạch tập Quan hệ đồng dư mơđulơ p (modulo) quan hệ tương đương tập số nguyên Tập thương tập p số ngun mơđulơ p Tập p có nhiều ứng dụng lý thuyết mật mã, an toàn mạng Quan hệ thứ tự dùng để xếp đối tượng cần xét theo thứ tự dựa tiêu chuẩn Quan hệ ≤ tập hợp số quan hệ thứ tự Khái niệm ánh xạ mở rộng khái niệm hàm số biết Khái niệm giúp ta mô tả phép tương ứng từ tập đến tập thoả mãn điều kiện phần tử tập nguồn cho ứng với phần tử tập đích CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢPÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ phần tử tập nguồn cho ứng với phần tử tập đích Ở đâu có tương ứng ta mơ tả ngôn ngữ ánh xạ Sử dụng khái niệm ánh xạ tập hợp ta khảo sát vấn đề giải tích tổ hợp, phương pháp đếm số phần tử tập hợp Giải tích tổ hợp áp dụng để giải toán xác suất thống kê toán học rời rạc Chúng ta thực phép tốn: cộng số, hàm số, đa thức, véc tơ nhân số, hàm số, đa thức Như ta thực phép toán đối tượng khác Cái chung cho phép toán cộng hay nhân tính chất giao hốn, kết hợp, phân bố Một tập hợp có phép tốn thoả mãn điều kiện gọi có cấu trúc đại số tương ứng Các cấu trúc đại số quan trọng thường gặp nhóm, vành, trường, khơng gian véc tơ Đại số học ngành toán học nghiên cứu cấu trúc đại số Lý thuyết Nhóm Evarist Galois (Galoa) đưa vào đầu kỉ 19 cơng trình "Trong điều kiện phương trình đại số giải được?", Galoa vận dụng lý thuyết nhóm để giải Trên sở lý thuyết nhóm người ta phát triển cấu trúc đại số khác Việc nghiên cứu cấu trúc đại số giúp ta tách khỏi đối tượng cụ thể mà thấy chung cấu trúc để khảo sát tính chất, đặc trưng chúng Chẳng hạn, tập ma trận vuông cấp, tự đồng cấu tuyến tính, đa thức có cấu trúc vành khơng ngun nên có tính chất chung Các cấu trúc đại số có tính khái qt hố trừu tượng cao người ta nghĩ khó áp dụng vào thực tiễn Tuy nhiên thực tế cho thấy đại số Boole ứng dụng hiệu việc giải toán sơ đồ mạch điện, công nghệ thông tin kỹ thuật số Lý thuyết nhóm ứng dụng vào học lượng tử Lý thuyết vị nhóm vành ứng dụng lý thuyết mật mã, lý thuyết Ơtơmát Chương trình bày cách sơ lược cấu trúc: Nhóm, vành, trường đại số Boole Các chương cịn lại sách liên quan đến đại số tuyến tính 1.1 SƠ LƯỢC VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ 1.1.1 Mệnh đề Lơ gích mệnh đề hệ thống lơgích đơn giản nhất, với đơn vị mệnh đề mang nội dung phán đoán, phán đốn giả thiết có giá trị chân lý định sai Để mệnh đề chưa xác định ta dùng chữ p, q, r gọi chúng biến mệnh đề Nếu mệnh đề p ta cho p nhận giá trị p sai ta cho nhận giá trị Giá trị gọi thể p CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢPÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Mệnh đề phức hợp xây dựng từ mệnh đề đơn giản phép liên kết lơgích mệnh đề 1.1.2 Các phép liên kết lơgích mệnh đề Phép phủ định (negation): Phủ định mệnh đề p mệnh đề ký hiệu p đọc không p Mệnh đề p p sai p sai p Phép hội (conjunction): Hội hai mệnh đề p, q mệnh đề ký hiệu p ∧ q (đọc p q ) Mệnh đề p ∧ q p q Phép tuyển (disjunction): Tuyển hai mệnh đề p, q mệnh đề ký hiệu p ∨ q (đọc p q ) p ∨ q sai p q sai Phép kéo theo (implication): Mệnh đề p kéo theo q , ký hiệu p ⇒ q , mệnh đề sai p q sai Phép tương đương (equivalence): Mệnh đề ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) gọi mệnh đề p tương đương q , ký hiệu p ⇔ q Một công thức gồm biến mệnh đề phép liên kết mệnh đề gọi công thức mệnh đề Bảng liệt kê thể công thức mệnh đề gọi bảng chân trị Từ định nghĩa phép liên kết mệnh đề ta có bảng chận trị tương ứng sau p q p∨q p∧q 1 0 1 0 1 p p 0 p q p⇒q p q p⇒q q⇒ p p⇔q 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢPÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Như p ⇔ q mệnh đề hai mệnh đề p q sai mệnh đề p ⇔ q sai trường hợp ngược lại Một công thức mệnh đề gọi ln nhận giá trị với thể biến mệnh đề có cơng thức Ta ký hiệu mệnh đề tương đương " ≡ " thay cho " ⇔ " 1.1.3 Các tính chất Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng mệnh đề sau: luật phủ định kép 1) p ≡ p 2) ( p ⇒ q ) ≡ ( p ∨ q ) 3) p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p luật giao hoán 4) p ∧ (q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r luật kết hợp 5) [ p ∧ (q ∨ r ) ] ≡ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) ] ; [ p ∨ (q ∧ r )] ≡ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )] 6) Mệnh đề p ∨ p p ∧ p sai luật phân phối luật trung luật mâu thuẫn 7) p ∨ q ≡ p ∧ q ; p ∧ q ≡ p ∨ q luật De Morgan 8) p ⇒ q ≡ q ⇒ p luật phản chứng 9) p ∨ p ≡ p ; p ∧ p ≡ p luật lũy đẳng 10) p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p ; p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p luật hấp thu 1.2 TẬP HỢP 1.2.1 Khái niệm tập hợp Khái niệm tập hợp phần tử khái niệm tốn học, khơng thể định nghĩa qua khái niệm biết Các khái niệm "tập hợp", "phần tử" xét mối quan hệ phần tử tập hợp lý thuyết tập hợp giống với khái niệm "đường thẳng", "điểm" quan hệ điểm thuộc đường thẳng xét hình học Một cách trực quan, ta xem tập hợp tụ tập vật, đối tượng mà vật hay đối tượng phần tử tập hợp Tập hợp đặc trưng tính chất phần tử thuộc khơng thuộc tập hợp Có thể lấy ví dụ tập hợp có nội dung tốn học khơng tốn học Chẳng hạn: tập hợp CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢPÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ số tự nhiên tập hợp mà phần tử số 0, 1, 2, 3, tập hợp sách thư viện Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thông tập hợp mà phần tử sách Ta thường ký hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, X , Y , phần tử chữ thường x, y, Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu x ∈ A , x không thuộc A ta ký hiệu x ∉ A Ta nói tắt "tập" thay cho thuật ngữ "tập hợp" 1.2.2 Cách mô tả tập hợp Ta thường mô tả tập hợp theo cách sau: a) Liệt kê tất phần tử tập hợp dấu ngoặc nhọn Ví dụ 1.1: Tập số tự nhiên lẻ nhỏ 10 {1,3,5,7,9} Tập hợp nghiệm phương trình x − = {−1,1} b) Nêu đặc trưng tính chất phần tử tạo thành tập hợp Có tập hợp liệt kê phần tử chúng, ta mơ tả tập hợp cách đặc trưng tính chất phần tử tạo nên tập hợp Ví dụ 1.2: Tập hợp số tự nhiên chẵn P = {n ∈ n = 2m, m ∈ } Tập hợp mơ tả cách nêu tính chất đặc trưng phần tử thông qua khái niệm hàm mệnh đề Hàm mệnh đề xác định tập hợp D mệnh đề S ( x) phụ thuộc vào biến x ∈ D Khi cho biến x giá trị cụ thể ta mệnh đề lơgích (mệnh đề nhận hai giá trị hoặc sai) Giả sử S ( x) mệnh đề xác định tập hợp D , ta gọi tập hợp phần tử x ∈ D cho S ( x) miền hàm mệnh đề S ( x) ký hiệu { x ∈ D S ( x)} Ví dụ 1.3: i) Xét hàm mệnh đề S ( x) xác định tập số tự nhiên : " x + số nguyên tố" S (1), S (2) S (3), S (4) sai ii) Mỗi phương trình xem hàm mệnh đề có miền tập nghiệm { x∈ } x − = = {−1, 1} c) Giản đồ Venn: Để có hình ảnh trực quan tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp miền phẳng giới hạn đường cong khép kín khơng tự cắt gọi giản đồ Venn CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢPÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1.2.3 Các tập hợp số thường gặp - Tập số tự nhiên N = {0, 1, 2, } - Tập số nguyên = {0, ± 1, ± 2, } - Tập số hữu tỉ = { p q q ≠ 0, p, q ∈ } - Tập số thực R (gồm số hữu tỉ vô tỉ) { } - Tập số phức C = z = x + iy x, y ∈ R ; i = −1 1.2.4 Tập Định nghĩa 1.1: Tập A gọi tập B phần tử A phần tử B , ta ký hiệu A ⊂ B B ⊃ A Khi A tập B ta cịn nói A chứa B hay B chứa A hay B bao hàm A Ta có: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C Định nghĩa 1.2: Hai tập A, B nhau, ký hiệu A = B : A = B A ⊂ B B ⊂ A Như để chứng minh A ⊂ B ta cần chứng minh x ∈ A ⇒ x ∈ B Do để chứng minh A = B ta cần chứng minh x ∈ A ⇔ x ∈ B Định nghĩa 1.3: Tập rỗng tập không chứa phần tử nào, ký hiệu ∅ Một cách hình thức ta xem tập rỗng tập tập hợp { } Ví dụ 1.4: Xét X = x ∈Z x = 4, x lỴ X = ∅ Tập hợp tất tập X ký hiệu P ( X ) Vậy A ∈ P ( X ) A ⊂ X Tập X tập nó, X phần tử lớn ∅ phần tử bé P ( X ) A∈ P (X ) ⇔ A ⊂ X Ví dụ 1.5: X = {a, b, c} có (1.1) P ( X ) = {∅,{a} ,{b} ,{c} ,{a, b} ,{b, c} ,{c, a} , X } P ( X ) có 23 = phần tử Ta chứng minh X có n phần tử P ( X ) có 2n phần tử (bài tập 19) Ta thấy X có phần tử tổng quát 10 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢPÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1.2.5 Các phép toán tập hợp Phép hợp: Hợp hai tập A B , ký hiệu A ∪ B , tập gồm phần tử thuộc hai tập A, B ( x ∈ A ∪ B ) ⇔ ( ( x ∈ A) ∨ ( x ∈ B ) ) (1.2) Phép giao: Giao hai tập A B , ký hiệu A ∩ B , tập gồm phần tử thuộc đồng thời hai tập A , B ( x ∈ A ∩ B ) ⇔ ( ( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B ) ) (1.3) Hiệu hai tập: Hiệu hai tập A B , ký hiệu A \ B hay A − B , tập gồm phần tử thuộc A không thuộc B ( x ∈ A \ B ) ⇔ ( ( x ∈ A) ∧ ( x ∉ B ) ) (1.4) Thông thường giả thiết tất tập xét tập tập cố định gọi tập phổ dụng U Tập U \ B gọi phần bù B U ký hiệu CUB B Ví dụ 1.5: Xét tập A = {a, b, c, d } , B = {b, d , e, f } , U = {a, b, c, d , e, f , g , h} A ∪ B = {a, b, c, d , e, f } , A ∩ B = {b, d } , A \ B = {a, c} , Ta có : CUA = {e, f , g , h} , CUB = {a, c, g , h} Ta minh họa phép toán với tập tương ứng phần gạch chéo giản đồ Venn: A A∩ B A∪ B A\ B CUB Áp dụng lơgích mệnh đề (tính chất 1.3) ta dễ dàng kiểm chứng lại tính chất sau: A ∪ A = A , A ∩ A = A tính lũy đẳng A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A tính giao hốn A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C tính kết hợp 11 y z = a + ib z ϕ O x Tính chất: ⎛z ⎞ z 1) z1 + z = z1 + z , z1 ⋅ z = z1 ⋅ z , ⎜⎜ ⎟⎟ = ; ⎝ z2 ⎠ z2 2) Re z = z−z z+z ; z∈ , Im z = 2i ⇔ z = z = Re z ; 3) Giả sử p ( z ) = a0 + a1 z + + an z n , a1 , , an ∈ đa thức với hệ số thực (xem Phụ lục 2) p ( z ) = a0 + a1 z + + an z n = p ( z ) Vì z0 nghiệm phương trình p ( z ) = z0 nghiệm p ( z ), q ( z ) hai đa thức với hệ số thực 4) ∀z ∈ , z ≥0 ; p( z ) ⎛ p( z ) ⎞ ⎟ =⎜ q ( z ) ⎜⎝ q ( z ) ⎟⎠ z = ⇔ z = 0; 5) z1 + z ≤ z1 + z ; z1 z = z1 z ; z1 − z ≤ z1 − z ; 6) z z1 = ; z = zz ; z2 z2 z =1 7) Arg ( z1 z ) = Arg z1 + Arg z ; ⇔ =z ; z ⎛z ⎞ Arg ⎜⎜ ⎟⎟ = Arg z1 − Arg z ; ⎝ z2 ⎠ 8) z = z ; Arg z = −Arg z Công thức Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ (8.9) Công thức (6.1) viết lại z = z eiϕ gọi dạng mũ số phức 263 1.4 Luỹ thừa số phức - Công thức Moivre Cho số phức z = z eiϕ Tích n lần  z ⋅ ⋅ z gọi luỹ thừa bậc n z , ký n lÇn hiệu z n áp dụng phương pháp quy nạp tính chất 4), 6) ta có n z n = z (cos nϕ + i sin nϕ) Khi z = ta có cơng thức Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ) n = (cos nϕ + i sin nϕ) (8.10) Ví dụ 8.1: Tìm số thực x, y cho: 3i ( x + iy ) + (1 + 2i )( x + y ) = + i Khai triển đồng phần thực phần ảo ta được: ⎧x = ⎧x − y = ⇒ ⎨ ⎨ ⎩ y = −1 ⎩5 x + y = ⎧2 z + iw = Ví dụ 8.2: Giải hệ phương trình vói ẩn số phức z, w : ⎨ ⎩3 z + w = − 2i Nhân i vào hai vế phương trình thứ xong cộng vào phương trình thứ hai ta − 29 1+ i i = + ⇒ w= − i z = + 2i 13 13 13 13 Ví dụ 8.3: a) Quỹ tích điểm z cho z − 2i = đường tròn tâm 2i bán kính b) Quỹ tích điểm z cho z − 2i = z − đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm 2i c) Quỹ tích điểm z cho z + + z − = 10 đường ellípse có tiêu điểm F1 (−3,0), F2 (3,0) độ dài trục lớn 2a = 10 Ví dụ 8.4: Theo (6.3): (cos ϕ + i sin ϕ)3 = (cos3ϕ + i sin 3ϕ) Mặt khác (cos ϕ + i sin ϕ)3 = cos3 ϕ − i sin ϕ + 3i cos ϕ sin ϕ − 3cos ϕ sin ϕ ⎧⎪cos3ϕ = cos3 ϕ − 3cos ϕ sin ϕ = 4cos3 ϕ − 3cos ϕ Vậy ⎨ 3 ⎪⎩sin 3ϕ = 3cos ϕ sin ϕ − sin ϕ = 3sin ϕ − 4sin ϕ 264 Ví dụ 8.5: Tính ( −1 + 3i ) 10 ( −1 + 3i ) 10 10 ⎡ ⎛ 2π 2π ⎞ ⎤ = ⎢ ⎜ cos + i sin ⎟ 3 ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎝ 2π 2π ⎛ = 210 ⎜ cos + i sin 3 ⎝ 20π 20π ⎞ ⎛ = 210 ⎜ cos + i sin ⎟ 3 ⎠ ⎝ 3⎞ ⎞ 10 ⎛ ⎟ = −1 + 3i ⎟ = ⎜− +i 2 ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 1.5 Căn bậc n số phức Căn bậc n số phức z số phức w cho w n = z Ký hiệu w = n z hay w= zn Cho z = z ( cos ϕ + i sin ϕ ) = z eiϕ *) Nếu z = w = n z = ∀n = 1,2, **) Nếu z ≠ Xét w = w ( cos ψ + i sin ψ ) = w eiψ ⎧⎪ w n = z n ⇔ w =z ⇔ ⎨ ⎪⎩nψ = ϕ + k 2π ⎧w = n z ⎪ ⎨ ϕ + k 2π ; k = 0,1, , n − ⎪ψ = n ⎩ (8.11) Vậy có n bậc n z ứng với giá trị k = 0,1, , n − Các bậc n đỉnh n giác nội tiếp đường trịn tâm O bán kính n z Ví dụ 8.6: Tính bậc n đơn vị Ta có = cos + i sin Vậy bậc n là: i k 2π k 2π ε k = cos + i sin =e n n Ví dụ 8.7: Tính k 2π n ; k = 0,1, , n − (8.12) (− + 2i ) 3π ⎞ 3π ⎛ Ta có − + 2i = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎠ ⎝ Vậy (− + 2i ) = ⎛ 3π ⎛ 3π ⎛ ⎞ ⎞⎞ + k 2π ⎟ + i sin ⎜ + k 2π ⎟ ⎟ ; ⎜ cos ⎜ 3⎝ 3⎝ ⎠ ⎠⎠ ⎝ 265 k = 0: π π⎞ ⎛ w0 = ⎜ cos + i sin ⎟ = + i ; 4⎠ ⎝ k = 1: 11π ⎞ 11π ⎛ + i sin w1 = ⎜ cos ⎟ ; 12 ⎠ 12 ⎝ k = 2: 5π ⎞ 5π 19π ⎞ 19π ⎛ ⎛ w2 = ⎜ cos + i sin − i sin ⎟ ⎟ = ⎜ cos 12 ⎠ 12 12 ⎠ 12 ⎝ ⎝ ω0 ω1 ω2 266 PHỤ LỤC ĐA THỨC Đa thức vành nguyên Cho K tập số: K = Với dãy (a0 , a1, , an , ) , , , hay p phân tử an ∈ K Biểu thức p( x) = a0 + a1 x + + an x n , an ≠ gọi đa thức bậc n biến (hay ẩn) x Các số a0 , a1, , an gọi hệ số đa thức Nếu a0 = a1 = = an = ta đa thức khơng ký hiệu Tập hợp đa thức biến x với hệ số thuộc K ký hiệu K [x ] Các đa thức ký hiệu p ( x), q ( x) Hai đa thức p( x) = a0 + a1 x + + an x n , an ≠ ; q( x) = b0 + b1 x + + bm x m , bm ≠ Hai đa thức p ( x), q ( x) ký hiệu định nghĩa sau: ⎧m = n p( x) = q( x) ⇔ ⎨ ⎩a0 = b0 , , an = bn (8.13) Vành đa thức Trong tập K [x ] , giả sử p( x) = a0 + a1 x + + an x n , an ≠ q ( x) = b0 + b1 x + + bm x m , bm ≠ Ta định nghĩa tổng p ( x) + q ( x) tích p ( x)q ( x) hai đa thức p (x) , q (x) sau: p ( x) + q ( x) := (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + (a2 + b2 ) x + k p( x)q( x) := c0 + c1 x + + cn + m x n + m , ck = ∑ a j bk − j , k = 0,1, , n + m (8.14) j =1 Với quy ước a j = j > n b j = j > m Ta chứng minh (K [x ] ,+,⋅) vành nguyên bËc ( p ( x) + q ( x ) ) ≤ max ( bËc p ( x ), bËc q ( x) ) bËc( p ( x)q ( x) ) ≤ bËc p ( x) + bËc q ( x) (8.15) (8.16) 267 Phép chia đa thức - Nghiệm Định lý 1: Với hai đa thức p ( x), q ( x) ; q ( x) ≠ tồn hai đa thức s ( x), r ( x) cho p ( x) = q ( x) s ( x) + r ( x) r ( x) ≠ bËc r ( x) < bËc q ( x) Ví dụ 8.8: x + x = ( x + x + 5)(2 x − x − x + 27) − 44 x − 135 Định nghĩa 1: r ( x) gọi dư phép chia p ( x) cho q ( x) Nếu r ( x) = ta nói p ( x) chia hết cho q ( x) hay q ( x) ước p ( x) Định nghĩa 2: Số c ∈ K thoả mãn p (c) = a0 + a1c + + an c n = gọi nghiệm đa thức p ( x) = a0 + a1 x + + an x n Định lý 2: Dư phép chia p ( x) cho x − c p (c) Hệ 3: c nghiệm đa thức p (x) x − c ước p (x) , nghĩa p ( x) = ( x − c) k s ( x) Nếu p ( x) = ( x − c) k s ( x) ( k nguyên, k ≥ ) s (c) ≠ c gọi nghiệm bội k đa thức p (x) Định nghĩa 3: Đa thức p ( x) ∈ K [x ] gọi bất khả quy bËc p ( x) ≥ p ( x) = q ( x) s ( x) hai đa thức q ( x) , s ( x) số khác K , nghĩa p (x) chia hết cho kp(x) , với k ∈ K \ {0} Chẳng hạn: Mọi đa thức bậc bất khả quy Đa thức bËc ≥ bất khả quy vơ nghiệm K Định lý 4: Mọi đa thức bËc ≥ trường số phức có nghiệm Hệ 5: Mọi đa thức p( x) = a0 + a1 x + + an x n ∈ [x] phân tích thành p ( x) = an ( x − x1 ) ( x − xn ) , số phức xk trùng Hệ 6: Mọi đa thức hệ số thực p ( x) = a0 + a1 x + + an x n ∈ [x ] phân tích thành tích đa thức bất khả quy đa thức bậc hay đa thức bậc có biệt thức ∆ âm: p ( x) = an ( x + b1 x + c1) k1 ( x + bm x + cm ) k m ( x − x1 ) l1 ( x − xs ) l s với b j − 4c j < , j = 1, , m ; 2k1 + + 2k m + l1 + + l s = n Ước chung lớn nhất, nguyên tố Định nghĩa 4: Nếu hai đa thức p (x) , q (x) chia hết cho đa thức d (x) d (x) gọi ước chung p (x) , q (x) Ngoài ước p (x) , q (x) ước d (x) d (x) gọi ước chung lớn p (x) , q (x) Ký hiệu: 268 d ( x) = UCLN ( p( x), q( x)) Nếu d (x) số khác khơng p (x) , q(x) gọi ngun tố Ký hiệu ( p ( x), q ( x)) = Chú ý d ( x) = UCLN ( p ( x), q ( x)) xác định sai khác số khác Nghĩa d ( x) = UCLN ( p ( x), q ( x)) ⇔ kd ( x) = UCLN ( p ( x), q ( x)) , với k ∈ K \ {0} Để tìm UCLN ( p ( x), q ( x)) ta thực phép chia Euclide sau: ¾ Giả sử bËc p ( x) ≥ bËc q ( x) p ( x) = q ( x) s1 ( x) + r1 ( x) , bËc r1 ( x) < bËc q ( x) ¾ Nếu r1 ( x) = q ( x) = UCLN ( p ( x), q ( x)) ; ¾ Nếu r1 ( x) ≠ lặp lập trình q ( x) r1 ( x) q ( x) = r1 ( x) s2 ( x) + r2 ( x) ; ¾ Nếu r2 ( x) ≠ ≠ bËc r2 ( x) < bËc r1 ( x) rk − ( x) = rk −1 ( x) sk ( x) + rk ( x) , ¾ Tiếp tục rk −1 ( x) = rk ( x) sk +1 ( x) + c ƒ UCLN ( p ( x), q ( x)) = UCLN (q ( x), r1 ( x)) = = UCLN (rk ( x), c) ƒ Nếu c = rk ( x) = UCLN ( p( x), q( x)) ; ƒ Nếu c ≠ ( p( x), q( x)) = Định lý 7: 1) d ( x) = UCLN ( p ( x), q ( x)) tồn đa thức u ( x), v( x) cho p ( x)u ( x) + q ( x)v( x) = d ( x) 2) ( p( x), q ( x)) = tồn đa thức u ( x), v( x) cho p ( x)u ( x) + q ( x)v( x) = Định lý 8: 1) Hai đa thức p ( x), q ( x) ∈ [x] trường số phức nguyên tố khơng có nghiệm chung 2) Hai đa thức p( x), q( x) ∈ [x] trường số thực nguyên tố chúng khơng có nghiệm thực hay nghiệm phức chung 269 Hệ 9: p( x), q( x) hai đa thức trường số thực hay số phức thì: ( p( x), q( x) ) = Chú ý: ⇔ (p m ) ( x), q n ( x) = , với số nguyên dương m, n Các đa thức bất khả qui với hệ số ứng với bậc cao 1(ví dụ: x − c; x + px + q, p − 4q < ) đóng vai trị số nguyên tố vành Vì ta chuyển cách tương tự kết vành số nguyên sang vành nguyên đa thức K [x ] Chẳng hạn để tìm d ( x) = UCLN ( p ( x), q ( x)) ta phân tích p (x) thành tích đa thức bất khả qui Khi d (x) tích đa thức bất khả qui có mặt đồng thời p (x) q (x) Ví dụ 8.9: ( ) q ( x) = ( x − 3) ( x + 1) (x + x + 3) ⇒ d ( x) = ( x + 1) (x + x + 3) p ( x) = ( x − )3 ( x + 1)2 x + x + 2 270 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (chủ biên); Đại số tuyến tính hình học giải tích; ĐHQG-HN [2] Kin Cương; Tóan cao cấp - Tập 1- Đại số- NXB ĐH-GDCN, Hà Nội, 1990 [3] Lê Đình Thịnh, Phan Văn Hạp, Hồng Đức Ngun; Đại số tuyến tính, NXB KH-KT, Hà Nội 1998 [4] Ngô Thúc Lanh; Đại số tuyến tính, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1970 [5] Ngơ Việt Trung; Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội 2001 [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên); Tốn cao cấp tập một; NXB GD 1996 [7] Nguyễn Đình Trí (chủ biên); Bài tập toán cao cấp tập một; NXB GD 1997 [8] Trần Văn Hãn; Đại số tuyến tính kỹ thuật, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1978 [9] Bellman R ; Mở đầu lý thuyết ma trận Bản dịch tiếng Việt: Nguyễn Văn Huệ, Hoàng Kiếm, NXB KH&KT Hà Nội 1978 [10] B A Cadobnitri ; Tuyển tập tốn vơ địch sinh viên (tiếng Nga) NXB ĐH Maxcơva 1987 [11] Carroll Wilde; Linear Algebra, 1987 [12] Edwin F Beckenbach: Toán học đại cho kỹ sư, dịch tiếng Việt, Hồ Thuần, Nguyễn Lâm, Lê Thiệu Phố, Phạm văn Ất, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1978 [13] J M Monier ; Algèbre 1, 2, dịch tiếng Việt NXB GD, 1999 [14] Lipshutz S ; Linear Algebra, Mc Graw-Hill, 1987 [15] Lipshutz S ; Theory and problems of Linear Algebra, Schaum's Outline Series Mc Graw-Hill, 1968 [16] Poznyak E G & Ilrin V A.; Linear Algebra, Mir Pub Moscow 1986 [17] Proskuryakov I U.; Problems in Linear Algebra, Mir Pub Moscow 1978 [18] R Sikorski; Boolean Algebras, Springer-Verlag 1969 271 MỤC LỤC CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SƠ LƯỢC VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ 1.1.1 Mệnh đề 1.1.2 Các phép liên kết logic mệnh đề 1.1.3 Các tính chất TẬP HỢP 1.2.1 Khái niệm tập hợp 1.2.2 Cách mô tả tập hợp 1.2.3 Các tập số thường gặp 10 1.2.4 Tập 10 1.2.5 Các phép toán tập hợp 11 1.2.6 Lượng từ phổ biến lượng từ tồn 12 1.2.7 Phép hợp giao suy rộng 13 TÍCH DESCARTES VÀ QUAN HỆ 13 1.3.1 Tích Descartes tập hợp 13 1.3.2 Quan hệ hai 14 1.3.3 Quan hệ tương đương 15 1.3.4 Quan hệ thứ tự 16 ÁNH XẠ 18 1.4.1 Định nghĩa ví dụ 18 1.4.2 Phân loại ánh xạ 19 1.4.3 Ánh xạ ngược song ánh 22 1.4.4 Hợp (tích) hai ánh xạ 23 1.4.5 Lực lượng tập hợp 23 1.5 GIẢI TÍCH TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON 24 1.5.1 Sơ lược phép đếm 24 1.5.2 Hoán vị, phép 25 1.5.3 Chỉnh hợp 26 1.5.4 Tổ hợp 27 1.5.5 Nhị thức Newton 29 1.1 1.2 1.3 1.4 272 1.6 CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 30 1.6.1 Luật hợp thành 30 1.6.2 Nhóm 31 1.6.3 Vành 32 1.6.4 Trường 34 1.7 ĐẠI SỐ BOOLE 35 1.7.1 Định nghĩa tính chất đại số Boole 35 1.7.2 Công thức Boole, hàm Boole nguyên lý đối ngẫu 36 1.7.3 Phương pháp xây dựng hàm Boole thỏa mãn giá trị cho trước 39 1.7.4 Ứng dụng đại số Boole vào mạng chuyển mạch 40 BÀI TẬP CHƯƠNG I 43 CHƯƠNG II: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 49 2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ 50 2.1.1 Định nghĩa ví dụ 50 2.1.2 Tính chất 51 2.2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON 52 2.2.1 Định nghĩa ví dụ 52 2.2.2 Không gian sinh họ véc tơ 54 2.2.3 Tổng họ không gian véc tơ 55 2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 57 2.4 HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ 58 2.4.1 Hệ độc lập tuyến tính tối đại 58 2.4.2 Hạng hệ hữu hạn véc tơ 59 2.5 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ 60 BÀI TẬP CHƯƠNG II 65 CHƯƠNG III: MA TRẬN 71 3.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN 72 3.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN 73 3.2.1 Phép cộng 73 3.2.2 Phép nhân ma trận với số 73 3.2.3 Phép nhân ma trận 75 3.2.4 Đa thức ma trận 77 3.2.5 Ma trận chuyển vị 77 273 3.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ 78 3.3.1 Định nghĩa ma trận hệ véc tơ 78 3.3.2 Ma trận chuyển sở 79 3.4 HẠNG CỦA MA TRẬN 80 3.4.1 Định nghĩa cách tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp 80 3.4.2 Các ma trận tương ứng với phép biến đổi sơ cấp 81 BÀI TẬP CHƯƠNG III 83 CHƯƠNG IV: ĐỊNH THỨC 87 4.1 HOÁN VỊ VÀ PHÉP THẾ 88 4.2 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC 90 4.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC 94 4.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC 96 4.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột 96 4.4.2 Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột) 98 4.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 102 4.5.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo 102 4.5.2 Điều kiện cần đủ để tồn ma trận nghịch đảo 103 4.5.3 Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp Gauss-Jordan 105 4.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC 106 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 108 CHƯƠNG V: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 115 5.1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 116 5.1.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính 116 5.1.2 Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính 117 5.1.3 Dạng véc tơ hệ phương trình tuyến tính 117 5.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM 118 5.3 PHƯƠNG PHÁP CRAMER 118 5.3.1 Hệ Cramer cách giải 118 5.3.2 Giải hệ phương trình tuyến tính trường hợp tổng quát 119 5.4 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 121 5 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS 122 5.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 125 274 BÀI TẬP CHƯƠNG V 129 CHƯƠNG VI: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 133 6.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 134 6.1.1 Định nghĩa ví dụ 134 6.1.2 Các tính chất 135 6.1.3 Các phép tốn ánh xạ tuyến tính 136 6.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 138 6.3 TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU 140 6.3.1 Toàn cấu 140 6.3.2 Đơn cấu 141 6.3.3 Đẳng cấu 142 6.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN 143 6.4.1 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 143 6.4.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác 147 6.4.3 Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 149 6.4.4 Ánh xạ tuyến tính hệ phương trình tuyến tính 150 6.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN 153 6.5.1 Không gian bất biến 153 6.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng 153 6.5.3 Đa thức đặc trưng 155 6.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá 158 6.5.5 Thuật toán chéo hoá 159 BÀI TẬP CHƯƠNG VI 165 CHƯƠNG VII: KHƠNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG 173 7.1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 175 7.4.1 Định nghĩa dạng song tuyến tính 175 7.4.2 Ma trận biểu thức toạ độ dạng song tuyến tính 176 7.4.3 Biểu thức toạ độ dạng song tuyến tính sở khác … 176 7.2 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 177 7.2.1 Định nghĩa dạng toàn phương 177 7.4.2 Dạng cực dạng toàn phương 178 7.4.3 Ma trận biểu thức toạ độ dạng toàn phương 179 7.4.4 Biểu thức toạ độ dạng tắc dạng toàn phương 179 275 7.4.5 Đưa biểu thức toạ độ dạng tắc theo phương pháp Lagrang 180 7.4.6 Đưa biểu thức toạ độ dạng tắc theo phương pháp Jacobi 182 7.4.7 Luật quán tính 186 7.3 TÍCH VƠ HƯỚNG 189 7.1.1 Các định nghĩa vơ hướng tính chất 189 7.1.2 Trực giao - trực chuẩn hoá Gram-Shmidt 190 7.1.3 Cơ sở trực chuẩn 191 7.1.4 Không gian trực giao, phần bù trực giao 192 7.4 MA TRẬN TRỰC GIAO VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO 194 7.4.1 Ma trận trực giao 194 7.4.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao 196 7.4.3 Ma trận tự đẳng cấu trực giao 197 7.5 CHÉO HOÁ TRỰC GIAO MA TRẬN – TỰ ĐỒNG CẤU ĐỐI XỨNG 197 7.5.1 Bài toán chéo hoá trực giao 197 7.5.2 Tự đồng cấu đối xứng 198 7.5.3 Ma trận tự đồng cấu đối xứng sở trực chuẩn 198 7.5.4 Thuật toán chéo hoá trực giao 200 7.5.5 Đưa biểu thức toạ độ dạng toàn phương dạng tắc phương pháp chéo hóa trực giao 202 7.6 ĐƯỜNG BẬC TRONG MẶT PHẲNG VÀ MẶT BẬC TRONG KHÔNG GIAN 202 7.6.1 Hệ toạ độ trực chuẩn mặt phẳng 202 7.5.1.1 Toạ độ véc tơ toạ độ điểm mặt phẳng 202 7.5.1.2 Các đường bậc mặt phẳng 203 7.5.1.3 Phân loại đường bậc mặt phẳng 204 7.6.2 Hệ toạ độ trực chuẩn không gian 207 7.6.2.1 Toạ độ véc tơ toạ độ điểm không gian 207 7.6.2.2 Một số mặt bậc thường gặp không gian 207 7.6.2.3 Phân loại mặt bậc 210 BÀI TẬP CHƯƠNG VII 214 HƯỚNG DẪN, ĐÁP ÁN 221 PHỤ LỤC 261 TÀI LIỆU THAM KHẢO 271 MỤC LỤC 272 276 277 ... với chương trình đào tạo Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng nên chúng tơi biên soạn giáo trình Giáo trình biên soạn theo chương trình qui định năm 2007 Học viện Cơng nghệ Bưu Chính Viễn Thông Nội... thiệu cấu trúc đại số đại số tuyến tính Có nhiều sách giáo khoa tài liệu tham khảo viết chủ đề Tuy nhiên xuất phát từ đặc thù ứng dụng toán học ngành điện tử viễn thông công nghệ thông tin nhu... có tham khảo giáo trình trường đại học kỹ thuật khác Chính thế, giáo trình dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên trường, ngành đại học cao đẳng kỹ thuật Giáo trình gồm chương:
- Xem thêm -

Xem thêm: Giáo trình Đại số (Dành cho hệ đại học ngành Điện tử, Viễn thông và Công nghệ thông tin),

Từ khóa liên quan