Hướng dẫn giải bài tập tích phân từng phần

Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: D-2010: Tính tích phân: ∫       −= e xdx x xI 1 ln 3 2 Giải: ∫ ∫∫ −=       −= e ee dx x x xdxxxdx x xI 1 11 . ln 3ln2ln 3 2 • ðặt      == = ⇒    = = ∫ 2 2 2 ln xxdxv x dx du xdxdv xu ( ) 2 1 1 2 1 lnln2 2 1 1 2 22 + =−=−=⇒ ∫ ∫ e e x exdx e xxxdxx e e • ∫ ∫ === e e e xxxddx x x 1 2 1 2 1 1 ln 2 1 )(lnln ln Vậy 1 2 2 −= e I Bài 2: B-2009 : Tính tích phân sau: ∫ + + = 3 1 2 )1( ln3 dx x x I Giải: ðặt:        + −= = ⇒      + = += 1 1 )1( ln3 2 x v x dx du x dx dv xu ∫ + + + + −=⇒ 3 1 )1( 1 3 1 ln3 xx dx x x I ∫ ∫ + −++ + −= 3 1 3 1 12 3 4 3ln3 x dx x dx       +=+−+ − = 16 27 ln3 4 1 1 3 1ln 1 3 ln 4 3ln3 xx Bài 3: D-2008: Tính tích phân sau: ∫ = 2 1 3 ln dx x x I Giải: BÀI GIẢNG 09. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ( HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN ) Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - ðặt:        −= = ⇒      = = 2 3 2 1 ln x v x dx du x dx dv xu Khi ñó: 1 2 4 1 8 2ln 2 1 2 2 ln 2 2 1 32 xx dx x x I −−=+= ∫ 16 2ln23 − = Bài 4 : 2 1 3 0 x I x e dx = ∫ Giải: Ta có 2 2 1 1 1 3 2 2 0 0 0 1 1 ( ) (1) 2 2 x x t I x e dx x e d x te dt = = = ∫ ∫ ∫ ðặt ; t t u t du dt dv e dt v e = ⇒ = = ⇒ = ∫ Vậy 1 1 0 0 1 1 ( 1) 1 0 0 t t t t te dt te e dt e e e e = − = − = − − = ∫ ∫ Vậy thay vào (1) và ta có 1 2 I = Bài 5 : 1 2 2 0 (4 2 1) x I x x e dx = − − ∫ Giải: Ta có 1 2 2 2 2 0 0 1 1 (2 ) 2 1 (2 ) ( 1) (1) 2 2 x t I x x e d x t t e dt   = − − = − −   ∫ ∫ ðặt 2 1 (2 1) ; t t t u t t du t dt dv e dt v e dt e = − − ⇒ = − = ⇒ = = ∫ Vậy 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 ( 1) ( 1) (2 1) 1 (2 1) (2) 0 t t t t t t e dt t t e t e dt e t e dt − − = − − − − = + − − ∫ ∫ ∫ Lại ñặt 2 1 2 ; t t t u t du dt dv e dt v e dt e = − ⇒ = = ⇒ = = ∫ Do ñó 2 2 2 2 2 0 0 2 (2 1) (2 1) 2 3 1 2( 1) 3 (3) 0 t t t t e dt t e e dt e e e− = − − = + − − = + ∫ ∫ Thay (3) vào (2) và có 2 2 0 ( 1) 2 (4) t t t e dt− − = − ∫ Thay (4) vào (1) và có I = -1 Bài 6 : 2 3 0 sin 5 x I e xdx π = ∫ Giải: Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - ðặt 3 3 1 3 ; sin 5 sin 5 os5 5 x x u e du e dx dv xdx v xdx c x = ⇒ = = ⇒ = = − ∫ Ta có 2 3 3 0 1 3 os5 os5 2 5 5 0 x x I e c x e c xdx π π = − + ∫ 2 3 0 1 3 os5 (1) 5 5 x I e c xdx π = + ∫ ðặt 3 3 1 3 ; os5 os5 sin 5 5 x x u e du e dx dv c xdx v c xdx x = ⇒ = = ⇒ = = ∫ Vậy 3 2 2 3 3 3 2 0 0 1 3 1 3 os5 sin 5 sin 5 (2) 2 5 5 5 5 0 x x x I e c xdx e x e xdx e I π π π π = = − = − ∫ ∫ Thay (2) vào (1) ta có 3 2 1 3 1 3 5 5 5 5 I e I π   = + −     3 3 3 2 2 2 34 1 3 5 3 5 3 25 5 25 34 34 34 e I e I e π π π + ⇒ = + ⇒ = + = Bài 7 : 2 1 1 ln e x I xdx x + = ∫ Giải: Ta có 1 1 ln ln (1) e e xdx I x xdx x = + ∫ ∫ Ta thấy 2 1 1 ln 1 1 ln (ln ) ln (2) 1 2 2 e e e xdx xd x x x = = = ∫ ∫ ðặt 2 ln ; 2 dx x u x du dv xdx v xdx x = ⇒ = = ⇒ = = ∫ Do vậy 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 1 2 2 2 4 2 4 4 4 4 e e e e x xdx x x xdx e x e e e = − = − = − + = + ∫ ∫ Thay vào (1) ta có 2 3 4 e I + = Bài 8 : 2 2 1 ln e I x xdx = ∫ Giải: ðặt 3 2 2 2 2ln ln ; 3 xdx x u x du dv x dx v x dx x = ⇒ = = ⇒ = = ∫ Vậy 3 2 2 3 2 1 1 1 2 1 2 ln ln . ln (1) 1 3 3 3 3 e e e I x x x x dx e x xdx= − = − ∫ ∫ ðặt 3 2 2 ln ; 3 dx x u x du dv x dx v x dx x = ⇒ = = ⇒ = = ∫ Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Vậy 2 3 2 1 1 1 1 ln ln 1 3 3 e e e x xdx x x x dx = − ∫ ∫ 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2 1 . (2) 1 3 3 3 3 9 9 9 9 e x e e e e= − = − + = + Thay (2), (3) vào (1) ta có: 3 3 3 3 3 3 1 2 2 1 1 4 2 5 2 1 (5 2) 3 3 9 9 3 27 27 27 27 27 I e e e e e e   = − + = − − = − = −     Bài 9 : 2 2 1 ln(1 ) x I dx x + = ∫ Giải: ðặt 2 2 1 ln(1 ) ; 1 2 dx dx dx u x du dv v x x x = + ⇒ = = ⇒ = = − + ∫ Ta có 2 2 1 1 2 ln(1 ) ln3 (1 ) ln 2 1 ( 1) 2 ( 1) x dx x x I dx x x x x x + + − = − + = − + + + + ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 1 8 3 3 3 ln ln ln ln ln ln ln 1 1 1 3 2 9 3 3 2 x x = + = + − = = + Bài 10 : 2 0 1 sinx 1 cos x I e dx x π + = + ∫ Giải: ðặt 2 1 sinx 1 cos sinx ; 1 cos (1 cos ) x x x x u du dx dv e dx v e dx e x x + + + = ⇒ = = ⇒ = = + + ∫ Ta có 2 2 0 1 sinx 1 cos sinx 2 1 cos (1 cos ) 0 x x x I e e dx x x π π + + + = − + + ∫ 2 2 2 2 0 0 1 sin x 2 (1) 2 1 cos (1 osx) x x e dx e dx e x c π π π = − − − + + ∫ ∫ Với tích phân 2 2 0 inxdx (1 cos ) x e s x π + ∫ ðặt x x u e du e dx = ⇒ = 2 2 2 sin x sin x (1 cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 1 cos dx dx d x dv v x x x x + = ⇒ = = − = + + + + ∫ ∫ Vì thế 2 2 2 2 0 0 0 sin x 1 (2) 2 (1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 2 (1 cos ) 0 x x x x e dx e e dx e dx e x x x x π π π π = − = − − + + + + ∫ ∫ ∫ Thay (2) vào (1), ta có 2 2 2 1 1 2 2 2 I e e e π π π = − − + = Khóa học LTðH môn Toán - Thầy Trần Phương Chuyên ñề 04 - Tích phân và ứng dụng Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Bài 11 : 1 7 4 2 0 (1 ) x dx I x = + ∫ Giải: ðặt 3 4 4 3 4 2 4 2 4 1 (1 ) 1 4 ; (1 ) 4 (1 ) 4(1 ) x dx d x u x du x dx dv v x x x + = ⇒ = = ⇒ = = − + + + ∫ Ta có 3 4 4 4 4 1 1 1 (1 ) 0 4(1 ) (1 ) 8 4 (1 ) x x dx d x I x x x + = − + = − + + + + ∫ ∫ 4 1 1 1 1 1 2ln 2 1 ln(1 ) ln 2 0 8 4 4 8 8 x − = − + + = − = Bài 12 : 3 2 2 ln( ) I x x dx = − ∫ Giải: ðặt 2 2 2 1 ln( ) ; x u x x du dx dv dx v x x x − = − ⇒ = = ⇒ = − Vậy 3 3 2 2 2 3 (2 1) 2( 1) 1 ln( ) 3ln6 2ln 2 2 ( 1) ( 1) x x x I x x x dx dx x x x − − + = − − = − − − − ∫ ∫ 3 3 2 2 3 3ln 6 2ln 2 2 3ln 6 2ln 2 2 ln( 1) 2 1 dx dx x x = − − − = − − − − − ∫ ∫ 3ln 6 2ln 2 2 ln 2 3ln6 3ln 2 2 3ln3 2 I = − − − = − − ⇒ = − Bài 13 : 1 2 0 ( 2) x I x e dx = − ∫ Giải: ðặt 2 2 2 1 2 ; 2 x x x u x du dx dv e dx v e dx e = − ⇒ = = ⇒ = = ∫ Ta có 1 2 2 0 1 1 1 ( 2) 0 2 2 x x I x e e dx = − − ∫ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 5 3 ( 2) 1 0 2 4 2 4 4 4 4 x e e e e I e = − + − = − + − + ⇒ = − Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn . e e xxxddx x x 1 2 1 2 1 1 ln 2 1 )(lnln ln Vậy 1 2 2 −= e I Bài 2: B-2 009 : Tính tích phân sau: ∫ + + = 3 1 2 )1( ln3 dx x x I Giải: ðặt:        + −= = ⇒      + = += 1 1 )1( ln3 2 x v x dx du x dx dv xu . 3: D-2008: Tính tích phân sau: ∫ = 2 1 3 ln dx x x I Giải: BÀI GIẢNG 09. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ( HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN ) Khóa