Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm.
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC LÊ VIẾT CƯỜNG BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH HĨA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG ƠTƠNƠM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2022 LÊ VIẾT CƯỜNG BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH HĨA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG ƠTƠNƠM CHUN NGÀNH: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN MÃ SỐ: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Đoàn Thái Sơn HÀ NỘI - 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn cán hướng dẫn khoa học Các kết viết chung nhận trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ NCS Lê Viết Cường LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thiện Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình PGS TSKH Đồn Thái Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Trong suốt trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thông qua giảng, hội nghị sinh hoạt học thuật, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp q báu thầy viện Toán học Việt Nam Tác giả xin chân thành cám ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu Toán học, Viện Toán học hỗ trợ kinh phí cho tác giả thơng qua đề tài nghiên cứu sinh trung tâm Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Xây dựng tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn thầy cơ, anh, chị em trong phịng Phương trình vi phân phịng Xác suất thống kê, Viện Tốn học bạn bè đồng nghiệp ln bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Luận án q tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân u với lịng biết ơn, yêu thương trân trọng Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến tính 1.2 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình sai phân tuyến tính 15 1.3 Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian 18 1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục 18 1.3.2 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc 20 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian 2.1 22 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục 23 2.1.1 Đặt tốn kết 24 2.1.2 Một số kết chuẩn bị .25 2.1.3 Chứng minh kết 29 2.2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc 32 2.2.1 Đặt toán kết 32 2.2.2 Một số kết chuẩn bị 33 2.2.3 Chứng minh kết .42 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm 47 3.1 Đặt toán phát biểu Định lý Sternberg cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm 49 3.2 Làm phẳng đa tạp bất biến loại bỏ thành phần không cộng hưởng 52 3.3 Hệ sai phân liên kết 57 3.3.1 Khái niệm hệ sai phân liên kết số tính chất 3.3.2 C k tương đương hệ sai phân liên kết .59 3.3.3 Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc Ok t 57 (A) 63 3.4 Phương pháp đường cho phương trình sai phân .66 3.5 Chứng minh Định lý Sternberg 71 Kết luận 80 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án Bảng thuật ngữ 81 82 Mở đầu Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Trong thập niên gần hệ động lực khơng ơtơnơm, hệ có yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian, dùng để mơ hình hóa nhiều tượng thực tế lĩnh vực khác sinh học, kinh tế, (xem [21, 22]) Khi nghiên cứu hệ này, thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Ở đây, số khía cạnh quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực khơng ơtơnơm lý thuyết tuyến tính, lý thuyết ổn định, lý thuyết đa tạp bất biến tuyến tính hóa, lý thuyết dạng chuẩn tắc lý thuyết rẽ nhánh (xem [21]) Năm 1978, R Sacker G Sell phát triển lý thuyết phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân không ôtônôm hay gọi phổ Sacker - Sell (xem [34, 36]) Cho đến phổ nhị phân mũ công cụ quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân không ôtônôm Cụ thể, lý thuyết ổn định, nghiệm tầm thường phương trình phi tuyến ổn định mũ phổ nhị phân mũ phương trình tuyến tính tương ứng âm (xem [7]) Điều kiện tách phổ phù hợp hệ tuyến tính kéo theo tồn đa tạp bất biến trơn hệ phi tuyến tương ứng (xem [2]) Trong [26], Palmer mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm với điều kiện đủ không thuộc phổ nhị phân mũ hệ tuyến tính Sử dụng cấu trúc phổ nhị phân mũ xây dựng điều kiện cộng hưởng phù hợp, Siegmund xây dựng định lý dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm [37] Gần dựa hiểu biết thay đổi cấu trúc phổ nhị phân mũ vào tham s, cỏc tỏc gi Păotzsche v Rasmussen [30, 32] xây dựng phân tích nhiều tượng rẽ nhánh khác cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm Cuối cùng, phương pháp số để tính tốn số mũ nhị phân phát triển (xem [14, 24]) tài liệu tham khảo liên quan Do quan trọng phổ nhị phân mũ lý thuyết định tính phương trình vi phân khơng ơtơnơm nên chúng tơi chọn nghiên cứu số khía cạnh liên quan đến phổ nhị phân mũ Cụ thể, trước hết chúng tơi nghiên cứu tốn gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm Ở hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm cho hai dạng sau: Dạng vi phân: x˙ (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ R, với A(t), B(t) hàm ma trận liên tục khúc u(t) hàm điều khiển Trong trường hợp hàm điều khiển xây dựng có dạng u(t) = F (t)x(t) , F (t) hàm ma trận liên tục khúc, thu phương trình vi phân tuyến tính có dạng x˙ (t) = (A(t) + B(t)F (t))x(t) Một câu hỏi quan trọng đặt là: Câu hỏi 1a: Đối với hệ điều khiển vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm liệu ta tìm hay khơng điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Dạng sai phân: xn+1 = Anxn + Bnun, n ∈ Z, với (An) dãy ma trận bị chặn khả nghịch bị chặn, (Bn) dãy ma trận bị chặn (un) dãy điều khiển Trong trường hợp dãy điều khiển xây dựng có dạng un = Unxn, thu phương trình sai phân tuyến tính xn+1 = (An + BnUn) xn Một câu hỏi quan trọng đặt là: Câu hỏi 1b: Đối với hệ điều khiển sai phân tuyến tính khơng ơtơnơm liệu ta tìm hay khơng điều khiển phản hồi tuyến tính phù hợp để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Song song với toán gán phổ nhị phân mũ nghiên cứu ứng dụng phổ nhị phân mũ lý thuyết tuyến tính hóa Nhắc lại rằng, định lý quan trọng lý thuyết tuyến tính hóa Định lý Hartman Grobman mở rộng cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm (xem [26]) Nội dung định lý nói xung quanh điểm cân hyperbolic dịng sinh phương trình vi phân không ôtônôm tương đương động lực với phương trình tuyến tính Cụ thể, xét phương trình vi phân không ôtônôm x˙ (t) = A(t)x(t) + f (t, x), t ∈ R, A(t) ma trận hàm liên tục hàm f (t, x) liên tục, bị chặn thỏa mãn f (t, 0) = ||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||, với t, x, x1, x2 Giả sử phương trình tuyến tính x˙ (t) = A(t)x(t), hyperbolic (có tính nhị phân mũ), tồn đồng phôi H(t, x) lân cận điểm cân tầm thường x = cho x(t) nghiệm phương trình H(t, x(t)) nghiệm phương trình tuyến tính x˙ (t) = A(t)x(t) Câu hỏi đặt là: Câu hỏi 2: Tính trơn phép biến đổi H nào? Mục tiêu nghiên cứu Trong luận án này, tập trung nghiên cứu chủ điểm sau lý thuyết phương trình vi phân không ôtônôm: (i) Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian (ii) Định lý Sternberg tuyến tính hóa trơn cho hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục tiêu đặt trên, luận án nghiên cứu nội dung sau: fla t ... để gán phổ nhị phân mũ cho hệ này? Song song với toán gán phổ nhị phân mũ nghiên cứu ứng dụng phổ nhị phân mũ lý thuyết tuyến tính hóa Nhắc lại rằng, định lý quan trọng lý thuyết tuyến tính hóa. .. (A + BF ) phổ nhị phân mũ hệ (2.4) (xem Định nghĩa ED 1.2) Sau đưa khái niệm gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục Định nghĩa 2.1 (Gán phổ nhị phân mũ) Phổ nhị phân mũ (A+BF... sau nói cấu trúc phổ nhị phân mũ cho phương trình sai phân tuyến tính Định lý 1.13 (Định lý phổ nhị phân mũ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính) Phổ nhị phân mũ ΣT ED (A) hệ (1.8) hợp tối