BÁO cáo bài t p l n ậ ớ môn h i s TUY n TÍNH ọc đạ ố ế tên đề tài PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN HỌC: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GVHD: Hà Văn Hiếu Lớp: L03 Nhóm: Tp.HCM, 19/4/2021 Lớp: L03 Nhóm: Danh sách thành viên STT Họ Tên MSSV Dương Thuận Phát 2014073 Lưu Đặng Đình Tú 2014973 Phạm Mai Huyên 2013342 Lê Đức Tài 2014409 Lê Hoàng Thu Ánh 2010885 Võ Minh Quân 2011927 Võ Thanh Trường 2012329 Võ Huỳnh Mai Thy 2014701 Trần Văn Kiên 2013552 10 Bùi Bài Bổng 2012701 11 Phan Thị Quế Minh 2013781 12 Nguyễn Trình Thức 2014694 13 Lê Văn Tuấn 2012338 LỜI CẢM ƠN Trong suốt q trình thực đề tài này, nhóm chúng em biết ơn nhận nhiều quan tâm giúp đỡ tận tình thầy bạn bè Nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Hà Văn Hiếu giảng viên hướng dẫn cho đề tài mơn học Nhờ có giúp đỡ, bảo tận tình thầy, giúp cho nhóm chúng em tìm cách giải vướng mắc gặp phải hoàn thiện đề tài cách tốt Sự hướng dẫn thầy kim nam cho hành động nhóm phát huy tối đa mối quan hệ hỗ trợ thầy trị mơi trường giáo dục Lời cuối, xin lần gửi lời biết ơn sâu sắc đến cá nhân, thầy cô dành thời gian dẫn cho nhóm Đây niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm đạt kết TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO Báo cáo tìm hiểu chuyên sâu ứng dụng trị riêng vecto riêng hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp Bằng kiến thức (ma trận, phép nhân ma trận,…), khái niệm chuyên sâu (trị riêng, véctơ riêng, phép đổi biến, chéo hố ma trận,…) để giải tốn tìm số lượng cá thể, tìm lượng muối thời điểm t ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực: hố học, vật lý, xây dựng, kinh tế, mơi trường, khoa học máy tính, lượng tử, lý thuyết đồ thị, trí tuệ nhân tạo,… Có thể thấy phương trình vi phân mang lại cho nhiều lợi ích Mục lục Phần 1: Trị riêng véctơ riêng………………………………………………6 I Trị riêng véctơ riêng ma trận vng…………… ……….6 II Chéo hố ma trận…………………….………………… …….10 Phần 2: Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính………….……13 Phần 1: Trị riêng véctơ riêng I 1.1 Trị riêng véctơ riêng ma trận vuông Cho ví dụ sau: Cho ma trận A = ( −3) hai véctơ X = ( ) , Y = ( 1) Tính 1 −4 AX, AY biểu diễn véctơ X, Y, AX, AY lên hệ trục Oxy Lời giải 3 −3 ) ( )=( ) AX = ( −4 −3 ) ( )=( ) AY = ( −4 −2 Từ hình vẽ ta thấy AX phương với véctơ X, cụ thể AX= 2X AY không phương với véctơ Y Không tồn hệ số thực k để AY= kY Số λ= gọi giá trị riêng ma trận A véctơ X gọi véctơ riêng ma trận A tương ứng với giá trị λ= Định nghĩa 1: Cho A ∈ Mn(K) Số λ0 ∈ K gọi giá trị riêng ma trận A, tồn véctơ X0 ≠ cho AX0 = λ0X0 Véctơ X0 gọi véctơ riêng ma trận A tương ứng với λ0 Tập hợp tất giá trị riêng ma trận A gọi phổ ma trận A ký hiệu 𝛿(A) Tìm trị riêng véctơ riêng A Theo định nghĩa, tồn X0 ≠ để AX0 = λ0X0⇔ AX0 - λ0X0 = ⇔ (A - λ0I)X0 = Suy X0 nghiệm ≠ hệ phương trình (A - λ0I)X = (1) Hệ (1) có nghiệm khác khơng định thức ma trận hệ số Tức det(A - λ0I) = Vậy λ nghiệm ≠ phương trình det(A - λI) = 0(phương trình đặc trưng A) Định nghĩa 2: 1/ Số λ trị riêng cảu A λ nghiệm phương trình đặc trưng 2/ Véctơ X0 véctơ riêng A ứng với λ X0 nghiệm ≠ hệ phương trình (1) 1.2 Các bước tìm giá trị riêng véctơ riêng ma trận A Bước (Tìm giá trị riêng) - Lập phương trình đặc trưng - Tính định thức, giải phương trình - Tất nghiệm phương trình tất trị riêng A Bước (Tìm véctơ riêng) - Tương ứng với λ Giải hệ phương trình (A – λ1I)X = - Tất nghiệm khác hệ tất véctơ riêng A ứng với trị riêng λ - Tương tự tìm véctơ riêng A ứng với trị riêng lại Định nghĩa 3: Cho λ k ∈ 𝛿(A) Bội đại số λ k số bội phương trình đặc trưng Ký hiệu: BĐS(λ k) Định nghĩa 4: Không gian nghiệm hệ phương trình (A – λkI)X = gọi không gian riêng ứng với λk Ký hiệu: Eλk Định nghĩa 5: Số chiều khơng gian riêng Eλk gọi bội hình học λk ký hiệu BHH(λk) Định lý 1: Hai ma trận đồng dạng có đa thức đặc trưng Chứng minh Ta có PB(λ) = det(B - λI) = det(P-1AP - P-1IPλ) = det(P-1(A - λI)P) = det(P-1)det(A – λI)det(P) = det(A - λI) = có PA(λ) Định l 2: Cho 𝜆𝑘 ∈ 𝛿(𝐴) Bội hình học trị riêng 𝜆𝑘 ln nh bội đại số Chứng minh Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐾) giá trị riêng 𝐴 𝜆0 Giả sử 𝐵 𝐻 𝐻 (𝜆0 ) = 𝑟 Khi tồn sở khơng gian riêng 𝐸𝜆0 có 𝑟 véctơ 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , …, 𝑒𝑟 } Bổ sung vào 𝐸 để sở 𝐾 𝑛 𝐸1 = {𝑒1 , 𝑒2 , …, 𝑒𝑟 , 𝜐𝑟+1 , 𝜐𝑟+2 , …, 𝜐𝑛 } Gọi 𝑃 = (𝑒1 |𝑒2 |…|𝑒𝑟 |𝜐𝑟+1 |𝜐𝑟+2|…|𝜐𝑛 ) ma trận có cột véctơ E1 Khi 𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝑃−1 A(𝑒1 |𝑒2 |…|𝑒𝑟 |𝜐𝑟+1|𝜐𝑟+2|…|𝜐𝑛 ) = 𝑃−1(𝐴𝑒1 |𝐴𝑒2 |…|𝐴𝑒𝑟 |𝐴𝜐𝑟+1|𝐴𝜐𝑟+2 |…|𝐴𝜐𝑛 ) = 𝑃−1(𝜆0 𝑒1 |𝜆0 𝑒2 |…|𝜆0 𝑒𝑟 |𝐴𝜐𝑟+1|𝐴𝜐𝑟+2 |…|𝐴𝜐𝑛 ) = (𝑃−1 𝜆0 𝑒1|𝑃−1 𝜆0 𝑒2 |…|𝑃−1 𝜆0 𝑒𝑟 |𝑃−1𝐴𝜐𝑟+1 |𝑃−1 𝐴𝜐𝑟+2 |…|𝑃−1 𝐴𝜐𝑛 ) = (𝜆0 𝑃−1 𝑒1|𝜆0 𝑃−1 𝑒2 |…|𝜆0 𝑃−1𝑒𝑟 |∗|∗|…|∗) Ta có 𝐼 = 𝑃−1 𝑃= 𝑃−1(𝑒1 |𝑒2 |…|𝑒𝑟 |𝜐𝑟+1 |𝜐𝑟+2 |…|𝜐𝑛 ) = (𝑃−1 𝑒1|𝑃−1 𝑒2 |…|𝑃−1 𝑒𝑟 |∗|∗|∗) 0 Từ ta có: 𝑃−1 𝑒1= ( ), 𝑃−1 𝑒2 = ( ), …, 𝑃−1 𝑒𝑟 = ⋮ ⋮ 0 𝜆0 ⋯ ∗ ⋯ ∗ 𝜆0 ⋯ ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Vậy 𝑃−1 𝐴𝑃 = 0 ⋮ 𝜆0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (0 ⋯ ∗ ⋯ ∗ ) 0 ⋮ ⋮ (0) Suy phương trình đặc trưng 𝑃−1 𝐴𝑃 (𝜆 − 𝜆0 )𝑟 g(𝜆) = dạng ó 𝐴𝑃 ặc trưng Suy ranên mach trúậng n 𝑃c−1 cóđa mộthứ t trcị đriêng có bội đa số ≥ 𝑟 Vì 𝐴 𝑃−1𝐴𝑃 hai ma trận đồng Tóm lại bội đa số trị riêng 𝜆0 ma trận 𝐴 lớn 𝑟 Định l 3: Cc vctơ riêng ca 𝐴 tương ng vi cc tr riêng khc th đc lp tuyn tnh 1.3 Tnh cht trị riêng, véctơ riêng 1/ Tổng tất trị riêng 𝐴 với vết ma trận 𝐴, tức với tổng phần tử đường chéo 𝐴 2/ Tích tất trị riêng 𝐴 với det (𝐴) 3/ Tổng tất bội đại số trị riêng với cấp 𝐴 4/ Tổng tất bội hình học trị riêng với số véctơ độc lập tuyến tính cực đại 5/ Nếu 𝜆0 trị riêng 𝐴, 𝜆0 𝑚 trị riếng ma trận 𝐴𝑚 , 𝑚 𝜖 ℕ Chứng minh Giả sử 𝜆0 trị riêng 𝐴 Khi tồn véctơ 𝑋0 ≠ 0, cho 𝐴𝑋0 = 𝜆0 𝑋0 Suy 𝐴𝑚 𝑋0 = 𝐴𝑚−1 (𝐴𝑋0 ) = 𝐴𝑚−1 𝜆0 𝑋0 = 𝜆0 𝐴𝑚−1 𝑋0 = 𝜆0 𝐴𝑚−2 (𝐴𝑋0 ) = 𝜆0 𝐴𝑚−2 𝜆0 𝑋0 = (𝜆0 )2 𝐴𝑚−2 𝑋0 = ⋯ = (𝜆0 )𝑚 𝑋0 Vậy 𝐴𝑚 𝑋0 = (𝜆0 )𝑚 𝑋0 Suy (𝜆0 )𝑚 trị riêng 𝐴𝑚 𝑋0 véctơ riêng 𝐴𝑚 ứng với trị riêng (𝜆0 )𝑚 6/ Ma trận vuông 𝐴 khả nghịch khơng có trị riêng Nếu 𝜆0 trị riêng 𝐴, 𝜆0 −1 trị riêng ma trận 𝐴−1 Chứng minh Thật vậy, giả sử ∈ 𝛿(𝐴) Phương trình đặc trưng 𝐴 det(𝐴 − 𝜆𝐼) = Thế 𝜆 = vào phương trình ta det(𝐴 − 0𝐼) = ⟺ det(𝐴) = ⟺ 𝐴 không khả nghịch Giả sử 𝜆0 trị riêng 𝐴 𝐴 khả nghịch Khi tồn véctơ 𝑋0 ≠ 0, cho 𝐴𝑋0 = 𝜆0 𝑋0 ⟺ 𝐴−1𝐴𝑋0 = 𝐴−1 𝜆0 𝑋0 ⟺ 𝜆0 𝐴−1 𝑋0 = 𝑋0 ⟺ 𝐴−1𝑋0 = 𝜆0 𝑋0 ⇒ 𝜆 trị riêng 𝐴−1 𝑋0 véctơ riêng 𝐴−1 ứng với 𝜆0 II Chéo hoá ma trận 1.1 Định nghĩa - Ma trận vuông A gọi chéo hóa tồn ma trận chéo D ma trận khả nghịch P để A = PDP −1 ❖ Chú ý: ➢ Không phải ma trận chéo hóa Giả sử A chéo hóa được, ta có: p11 p ⇔ A ( ⋯21 pn1 𝐀 = 𝑷𝑫𝑷−𝟏 ⇔ 𝑨𝑷 = 𝑷𝑫 p11 p12 p1n p21 p22 p2n ⋯ ⋯ ⋯ )=( ⋯ pnn pn1 pn2 p12 p1n α1 p22 p2n α2 ⋯ ⋯ ⋯ )( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ) pnn pn2 αn 0 ➢ Cột thứ ma trận AP AP∗1 𝑝11 𝛼1 𝑝11 𝛼1 𝑝21 𝑝21 ➢ Cột thứ ma trận PD ( ) = 𝛼1 ( ) = 𝛼1 𝑝∗1 𝛼1 𝑝𝑛1 𝑝𝑛1 Vì AP = PD ⇒ AP∗1 = α1 P∗1 α trị riêng A Ma trận P khả nghịch ⇔ P∗1 ≠ ⇒ { P∗1là vecto riêng A Tương tự, ta có αk trị riêng A { Tất cột P vecto riêng A ❖ Lưu : P khả nghịch nên họ vecto cột P họ độc lập tuyến tính ❖ Định lý: Ma trn vng A cấp n cho hóa tồn n vecto riêng đc lp tuyn tính ca A 10 ❖ Hệ quả: ➢ Ma trận A cấp n có n trị riêng phân biệt A chéo hóa ➢ A chéo hóa ⇔ Bội hình học = Bội đại số cho tất trị riêng ⇒ Đây điều kiện để ma trận A chéo hóa 1.2 Các bước chéo hóa ma trận ❖ Bước 1: Tìm giá trị riêng ➢ Lập phương trình đặc trưng det(A-  )=0 ➢ Nghiệm phương trình trị riêng A ➢ Với k 𝜖 𝛿(𝐴) , tìm bội đại số BĐS (k ) ❖ Bước 2: Tìm sở không gian riêng ➢ Tương ứng với trị riêng k Giải hệ phương trình (A-  k).X=0 ➢ Tìm nghiệm tổng quát, suy sở không gian riêng Ek ➢ Xác định bội hình học k : BHH (k)=dim(Ek ) ❖ Bước 3: Kết Luận ➢ Nếu tồn trị riêng( k ) mà bội hình học (BHH) NHỎ HƠN bội đại số (BĐS) ma trận A KHƠNG chéo hóa ➢ Nếu với trị riêng, bội hình học BẰNG với bội đại số nó, ma trận A chéo Tức A=PDP-1 , ma trận P có cột sở khơng gian riêng tìm BƯỚC ma trận D có phần tử đường chéo giá trị riêng A −3 Cho ma trận A =( ) −4 ❖ Ví dụ Bước 1: Tìm trị riêng −3 )=0  |3 −  Phương trình đặc trưng det(A-  |=0 −4 −  11 λ1 = 2 ={−3 ⇔ (3 − λ)(−4 − λ) − (−3).2 = 0λ⇔ 𝜆 = 𝑐ó BĐS (𝜆 ) = ⇒Ma trận A có trị riêng là{𝜆2 1= −3 𝑐ó BĐS (𝜆12 ) = Bước 2: Tìm vecto riêng   3𝛼 Vecto riêng ứng với 𝜆1 = X=( ) với α ≠ 𝛼 BHH (1)=1, sở không gian riêng E1 ( ) β Vecto riêng ứng với 2 X = ( ) 2β BHH (2)=1, sở không gian riêng E2 ( ) Bước 3: Kết luận Ta có BĐS ()=BHH (1)=1; BĐS ()=BHH (2)=1 ⇒ A chéo hóa ⇔ A = PDP −1 với ) D=( ) P =( −3 12 Phần 2: Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính I.Vật Lý Tính mức độ tan rã ngun tố Ví dụ : Chu kì bán rã radium 1600 năm, điều có nghĩa khoảng 1600 năm khối lượng radium giảm nửa Nếu ban đầu mẫu radium có khối lượng 50 gram sau khối lượng 45 gram? • Gọi y(t) khối lượng radium sau khoảng thời gian t ( năm ) • Ta biết y(t) = ky(t) ( k số ) • Giải ptvp ta y’(t) = ∁ ekt • Ta có y(0) = 50 y(1600) = 25 ta tìm ∁ = 50, k = • Vậy sau t = ) ln(45⁄ 50 k ≈ 243.2 (năm) −ln 1600 Một toán thú vị vật lý xác định vận tốc ban đầu nh để tàu vũ trụ ngồi từ trường Trái Đất để vào không gian Để giải tốn ta cần số kí hiệu sau : • R bán kính Trái Đất ( R ≈ 6350 km ) ⁄2 ) • g gia tốc Trái Đất ( g ≈ 9.8 ms • x (t) độ cao tàu vũ trụ thời điểm t −g x ′′ (t) = x (1 + )2 R Theo định luật vạn vật hấp dẫn Newton, ta có : II.Hóa Học - Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính hóa học : + Có nhiều vấn đề hóa học phản ứng hóa học dẫn đến hệ phương trình vi phân Phản ứng đơn giản hóa chất A biến thành hóa chất B Điều xảy với hiệu suất định (k>0) Phản ứng thể cơng thức : Kí hiệu [A], [B] nồng độ (concentration) mole/l A B.Ta : 13 Từ cấu trúc ta hiểu chuỗi phản ứng sau: Ở có ba nồng độ hai tỷ lệ thay đổi Hệ thống phương trình điều chỉnh phản ứng : Tốc độ thay đổi phức tạp [B] tăng từ [A] thay đổi thành [B] giảm [B] thay đổi thành [C] Do đó, có hai thuật ngữ tốc độ phương trình thay đổi nồng độ [B] Ta xem xét thêm phản ứng có phản ứng ngược Do đó, khái quát hóa xảy cho phản ứng Tỷ lệ phản ứng ngược góp phần vào phương trình phản ứng cho [A] [B] Hệ phương trình kết là: 14 Ta có ví dụ sau : Cho chuỗi phản ứng sau: A⇌B→C Trong hóa chất A, B, C Trong chuỗi phản ứng giai đoạn có hiệu suất riêng (A→B K1, B→C K2 B→A K3) Theo thời gian nồng độ mol/l ba chất thay đổi [A](1), [B](1), [C](1), với K1= 0.4, K2=0.1, K3= 0.1 Ta có pt theo định nghĩa đưa ra: d[A]/dt= -0.4[A] + 0.1[B] d[B]/dt= 0.4[A] - 0.1[B] - 0.1[B] d[C]/dt= 0.1[B] ⟺ d[A]/dt= -0.4[A] + 0.1[B] d[B]/dt= 0.4[A] - 0.2[B] d[C]/dt= 0.1[B] Biết [A](0)= (mol/l) [B](0)= (mol/l) [C](0)= (mol/l) Tính nồng độ mol hóa chất thời điểm t: Giải *Hệ pt viết lại dạng ma trận: d[A] dt (d[B]) = ( dt [𝐴]t −0.4 0.1 ) ⇔ X’=A.X )( [𝐵]t 0.4 −0.2 Dùng phép đổi biến X=PY, ta PY’= APY  Y’= P-1APY 15 Tìm ma trận P cho P-1AP ma trận chéo D (Cấu trúc đơn giản có nghĩa chéo hóa ma trận A, ta A=PDP-1, với −3−√5 10 D= ( −3+√5 10 Hệ pt cho đổi thành Y’= DY d[A]𝑦 dt ⇔ (d[B]𝑦) = dt ( −√5−1 ); P= ( −3 − √5 10 −√5−1 [𝐴]𝑦 𝑡 ( ) [B]𝑦 𝑡 −3 + √5 10 ) −3 − √5 𝑑[𝐴]𝑦 𝑑[𝐴]𝑦 −3 − √5 = 𝑑𝑡 [𝐴]𝑦𝑡 = [𝐴]𝑦 10 10 𝑑𝑡 ⟺ ⟺ 𝑑[𝐵]𝑦 −3 + √5 𝑑[𝐵]𝑌 −3 + √5 [𝐵]𝑦𝑡 = 𝑑𝑡 = 10 { 𝑑𝑡 { [𝐵]𝑌 10 ⟺ ∫ 𝑑[𝐴]𝑦 −3 − √5 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 [𝐴]𝑦 10 −3 + √5 𝑑[𝐵]𝑌 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 10 { [𝐵]𝑌 ∫ −3 − √5 𝑡 + 𝛿1 10 ⟺ −3 + √5 𝑙𝑛|[𝐵]𝑦𝑡 | = 𝑡 + 𝛿2 10 { 𝑙𝑛|[𝐴]𝑦𝑡 | = [𝐴]𝑦𝑡 = 𝑒 −3−√5 10 𝑡+𝛿1 [𝐴]𝑦𝑡 = 𝑐1 𝑒 −3−√5 10 𝑡 ⟺ { ⟹{ −3+√5 −3+√5 𝑡+𝛿2 [𝐵]𝑦𝑡 = 𝑐2 𝑒 10 𝑡 [𝐵]𝑦𝑡 = 𝑒 10 Từ: X=PY ⟺ [𝐴] = ⟺{ [𝐴 ] ([𝐵] ) = −√5−1 √5−1 [𝐴]𝑦 ( 4 ) ([𝐵] ) 1 𝑦 −3−√5 −3+√5 −√5 − √5 − 𝑡 𝑐1 𝑒 10 + 𝑐2 𝑒 10 𝑡 4 [𝐵] = 𝑐1 𝑒 −3−√5 𝑡 10 + 𝑐2 𝑒 −3+√5 𝑡 10 16 ) −√5−1 Với [A]t = 0,42 𝑒 −3−√5 𝑡 10 [B]t = 0,42 𝑒 𝑡 −3− 10√5 + 7,58 𝑒 [C]t = 0,1.[B]t = 0,042 𝑒 + √5−1 −3+√5 𝑡 10 −3−√5 𝑡 10 7,58 𝑒 + 0,758 𝑒 𝑡 −3+ 10√5 −3+√5 𝑡 10 III Tốc độ tăng dân số - P(t) dân số thời điểm t (năm) Chúng ta có mơ hình tốc độ tăng dân số dP dx = kP , P(0) = P0 k số tốc độ tăng dân số, P0 dân số thời điểm t = - Ví dụ : Với bảng số liệu trên, ước lượng dân số giới vào năm 2020? • Giải ptvp, ta P(t) = P0 ekt • Từ bảng số liệu ta ước lượng giá trị k k = 0.017 • Do P = 4454 e0.017t 17 Vậy đến năm 2020, tức t = 40 , dân số giới P ≈ 8.791 tỷ IV Mơi trường sinh thái Mơ hình thú mồi (predator-prey model) hay mơ hình Lotka-Volterra mơ hình dùng để giải thích cân sinh thái hệ sinh thái thú săn mồi mồi Ta xét mơ hình quần thể có hai lồi động vật thú săn mồi (sói,hổ,…) mồi (th, hươu, nai,…) Giả sử: • • • • Khi khơng có thú săn mồi, mồi tăng trưởng không giới hạn (luật Malthus) ˆ Thú ăn mồi tốc độ mồi bị ăn thịt tỉ lệ với tốc độ thú mồi gặp ˆ Khơng có mồi, lồi thú săn mồi suy giảm tỉ lệ với dân số ˆ Tốc độ sinh trưởng loài thú săn mồi tỉ lệ với lượng mồi bị ăn thịt Qua trình quan sát, người ta đưa mơ hình phát triển hai lồi là: Giải thích tốn: • • • S ′ = 0.5S(t) + 0.3T(t) {′ T = −0.2S(t) + 1.2T(t) (1) (2) S’, T’ tốc độ tăng trưởng loài thú săn mồi mồi đơn vị thời gian (trong toán ta lấy đơn vị thời gian con/năm) Tại phương trình (1), khơng có mồi số lượng thú săn mồi sau năm bị giảm 0.5S(t) Nếu có mồi số lượng thú săn mồi tăng thêm 0.3T(t) Tại phương trình (2), khơng có thú săn mồi số lượng mồi tăng thêm 20% hay 1.2T(t) Nếu có thú săn mồi số lượng mồi giảm thể qua -0.2S(t) Tại thời điểm ban đầu nghiên cứu (t=0), số lượng cá thể tương ứng loài là: S(0) = 2000,T(0) = 1000 Từ kiện trên, tìm số lượng cá thể lồi thời điểm t, tức tìm S(t), T(t) Lời giải: Ta viết phương trình dạng ma trận: S′ S(t) ( ) = ( 0.5 0.3) ( ) ⇔ X ′ = AX −0.2 1.2 T(t) T′ Lập phương trình đặc trưng det(A − λ I) = 0.5 − λ 0.3 | = ⇔| −0.2 1.2 − λ 18 ⇔ (0.5 − λ)(1.2 − λ) − 0.3(−0.2) = λ = 1.1 ⇔ {λ21= 0.6 Tìm sở không gian riêng: Với λ1 = 1.1: (A − λ1 I)X = −0.6 0.3 ⇔( )X = −0.2 0.1 ⇔ X = (2αα) với 𝛼 ≠ Với λ2 = 0.6: (A − λ2 I)X = −0.1 0.3 ⇔( )X = −0.2 0.6 ⇔ X = (β3β) với 𝛽 ≠ Chéo hóa A ta A = PDP −1, với: 0.6 ),P = ( D=( ) 1.1 Dùng phép biến đổi biến X=PY, ta có hệ Y’=DY : y1 (t) y1 y′ = 0.6y1 0.6 )( ⇔( )=( ) ⇔ ′{ y2 = 1.1y2 1.1 y2 y2 (t) y′ = C1 e0.6t ⇔ { ′1 y2 = C2 e1.1t S(t) y1 X = PY ⇔ ( ) = ( )( ) T(t) y2 S(t) = 3C1 e0.6t + C2 e1.1t ⇔{ T(t) = C1 e0.6t + 2C2 e1.1t 2000 = 3C1 e0 + C2 e0 Với x1 (0) = 2000, x2 (0) = 1000, ta có hệ { 1000 = C1 e0 + 2C2 e0 C = 600 S(t) = 1800e0.8t + 200e1.1t ⇔{ ⇔{ C2 = 200 T(t) = 600e0.8t + 400e1.1t 19 V.Kinh Tế Ở ao ni cá có lồi cá sống lồi có ảnh hưởng đến tốc độ sinh trưởng lồi khác ăn loại thức ăn Số lượng cá loài thời điểm t x1(t) x2(t).Sau quan sát người ta đưa mơ hình phát triển lồi x1′ = 3x1(t) − 2x2(t) {x2′ = −3x1(t) + 8x2(t) Ban đầu người ta vào ao loài 1: 4200 con, loài 2: 1400 Biết giá bán loài 50000/con, giá cùa loài 35000/con Tại thời điểm người chủ bán thu số tiền nhiều thời gian nuôi? −2 x1(t) x1′ Viết lại hệ dạng ma trận: ( ) = ( )  X’=AX ) ( x2(t) x2′ −3 Dùng phép biến đổi X=PY ta PY’=APY  Y’=P-1 APY Tìm ma trận P cho P-1 AP ma trận chéo D Chéo hóa ma trận A ta được, A=PDP-1 với: 2 ) D= ( ), P= ( −3 Hệ phương trình cho trờ thành Y’=DY y1′ y1 y1′ = 2y1(t)  ( ) = (2 0) ( )  { ′ y2 y2 = 9y2(t) y2′ = 2dt dy1 y1 {dy2 y2 = 9dt { ∫ dy1 dt = ∫ 2dt y1 dy2 ∫ y2 dt = ∫ 9dt ln( y1(t)) = 2t + C1 y1(t) = C1 e2t  { { ln(y2(t)) = 9t + C2 y2(t) = C2 e9t x1(t) y1 x1 = 2C1 e2t + C2 e9t ) = ( ) ( y2)  { X=PY  ( −3 x2(t) x2 = C1 e2t − 3C2 e9t x1(0) 200 C1 = 2000 )=( ){ Mà ban đầu: ( x2(0) 300 C2 = 200 2t 9t  {x1 = 4000 e2t + 200 e9t x2 = 2000 e − 600 e Số tiền thu bán hết cá ao: T=50 x1+35x2 (ngàn đồng) =50.( 4000 e2t + 200 e9t ) + 35 (2000 e2t − 600 e9t ) (ngàn đồng) T’= 540000e2t -99000e9t =0  e7t = 60 11  t = ln( 60 ) 11 Khi T= 340974.375 (ngàn đồng) = 340.974.375 (đồng) 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách Đại Số Tuyến Tính tác giả Đặng Văn Vinh (nhà xuất ĐHQG TP Hồ Chí Minh) xuất năm 2019 Một vài ứng dụng Hệ phương trình vi phân tham khảo từ Google 21 22 ... su? ?t trình thực đề t? ?i n? ?y, nhóm chúng em bi? ?t ? ?n nh? ?n nhiều quan t? ?m gi? ?p đỡ t? ? ?n t? ?nh thầy b? ?n bè Nhóm chúng em xin g? ?i l? ? ?i cảm ? ?n ch? ?n thành đ? ?n thầy H? ? V? ?n Hiếu giảng vi? ?n h? ?ớng d? ?n cho đề t? ?i. .. T? ? ?T B? ?I BÁO CÁO Báo cáo t? ?m hiểu chuy? ?n s? ?u ứng dụng trị riêng vecto riêng h? ?? phương trình vi ph? ?n tuy? ? ?n t? ?nh c? ?p Bằng ki? ?n thức (ma tr? ?n, ph? ?p nh? ?n ma tr? ?n, …), kh? ?i niệm chuy? ?n s? ?u (trị riêng,... Có nhiều v? ?n đề h? ?a h? ??c ph? ?n ứng h? ?a h? ??c d? ?n đ? ?n h? ?? phương trình vi ph? ?n Ph? ?n ứng đ? ?n gi? ?n h? ?a ch? ?t A bi? ?n thành h? ?a ch? ?t B ? ?i? ??u xảy v? ?i hiệu su? ?t định (k>0) Ph? ?n ứng thể cơng thức : Kí hiệu