Giới hạn hàm số, dãy số chọn lọc lớp 11 - Giáo viên Việt Nam

Giới hạn dãy số, hàm số Giaovienvietnam com Ñaïi soá 11 Dương Văn Đông Giaovienvietnam com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN ĐỀ LỚP 11 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN Giáo viên Nguyễn Thị Thoa THPT Nhị Chiểu Hải Dương I Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1 Giới hạn đặc biệt ; ; 2 Định lí a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì ( lim (un + vn) = a + b ( lim (un – vn) = a – b ( lim (un vn) = a b ( (nếu b ( 0) b) Nếu un ( 0, (n và lim un= a thì a ( 0 và lim c) Nếu ,(n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim[.]

Giaovienvietnam.com TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG CHUYÊN ĐỀ LỚP 11 CHƯƠNG IV GIỚI HẠN Giáo viên: Nguyễn Thị Thoa - THPT Nhị Chiểu- Hải Dương I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1  lim  ; lim k  (k  ¢ ) n n n n Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: lim n   lim nk   (k  ¢  ) n n lim q   (q  1) lim qn  ( q  1) ; lim C  C n n n n Định lí: Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a  lim n  (nếu b  0) b a)Nếu lim un   lim 0 un b) Nếu lim un = a, lim =  lim un =0 c) Nếu lim un =a  0, lim = u u a.vn    nế lim n =  b) Nếu un  0, n lim un= a a  lim u a.vn    neá un  a d) Nếu lim un = +, lim = a  neá u a lim(un.vn) =  nế u a  c) Nếu un  ,n lim = lim un = 0 d) Nếu lim un = a lim un  a * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: , Tổng cấp số nhân lùi vô hạn  ,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vô định u1 q  1 S = u1 + u1q + u1q + … =   1 q Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số:  Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n 1 n 1  lim n  VD: a) lim 2n  2 n n2  n  3n b) lim  lim 1 2n 1 3 n 1 2 n 1 2 c) lim(n  4n  1)  limn  1      n n   Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức  a  b  a  b  a  b;  a  b  a2  ab  b2   a  b   VD: lim n2  3n  n = lim   n2  3n  n   n2  3n  n  n2  3n  n Giaovienvietnam.com = lim 3n n  3n  n 2  Dùng định lí kẹp: Nếu un  ,n lim = = lim un = sinn n sinn 1 sinn  lim  nên lim Vì  0 n n n n 3sinn  4cosn b) Tính lim 2n2  VD: a) Tính lim Vì 3sinn  4cosn  (32  42)(sin2 n  cos2 n)  nên  3sinn  4cosn  2n2  3sinn  4cosn  nên lim 0 Mà lim 2n  2n2  2n2  Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:  Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn  Nếu bậc tử bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu  Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +  hệ số cao tử mẫu dấu kết –  hệ số cao tử mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung tử, mẫu riêng) Bài 1: Tính giới hạn sau: (Chia tử mẫu cho na với số mũ a cao Hoặc đặt nhân tử chung) 1) lim(n2  n + 1) ĐS: + 2n2  n  12) ĐS: 2/3 lim 2) lim(n + n + 1) ĐS: - 3n2  2n  3) lim 2n2  3n  ĐS: + 3n3  2n2  n 3 13) ĐS: lim 4) lim 1 2n  n ĐS: - n3  5) lim(2n + cosn) ĐS: + n4 14) lim ĐS: 6) lim( n  3sin2n + 5) ĐS: + (n  1)(2  n)(n2  1) 15)lim ĐS: -1/2 3n  7) un = n ĐS: + 16)lim ĐS: 2 1 2n  n n 8) un =  ĐS: -  17)lim 3 ĐS: n  2n  2n  9) lim ĐS: 2n4  n2  n  4n2  18) lim ĐS: + 3n3  2n2  n2  10) lim ĐS: 3n3  2n2  n 2n4  n  19) ĐS: - lim n2   n 11) lim ĐS: 2n  n  4n2  2n  20) lim ĐS: - 3n  Baøi 2: Tính giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có số lớn nhất) 1) lim 1 3n  3n ĐS: 2) lim 4.3n  7n1 2.5n  7n ĐS: Giaovienvietnam.com 4n1  6n2 1 2.3n  7n 5) lim ĐS: -1/2 5n  8n 5n  2.7n 2n  5n1 1 2.3n  6n 4) lim ĐS: lim 6) ĐS: 1/3 1 5n 2n(3n1  5) Bài 3: Tính giới hạn sau: (Tử dạng vô ±vô cùng; Mẫu dạng vô + vô ;bậc tử mẫu ta chia cho số mũ cao tử mẫu) k k Chú ý: nk có mũ ; nk có mũ 3) lim ĐS: 4n2   2n  1) lim n2  4n   n n2   n  2) lim n2   n ĐS: ĐS: 3) lim n2  1 n6 ĐS: 4n2   2n 4) lim 5) lim n2  4n  1 n ĐS: (2n n  1)( n  3) ĐS: (n  1)(n  2) 6) lim n2  4n  4n2  ĐS: -1/(  1) 3n   n n4  1 n2 Baøi 4: Tính giới hạn sau: Nếu tốn có dạng: + Vơ – vơ khơng có mẫu (hệ số n bậc cao giống nhau) + Cả tử mẫu dạng: Vô cùng- vô (hệ số bậc cao giống nhau) Thì ta nhân liên hợp có bậc 2,3 chia cho lũy thừa có số mũ cao Nếu tốn dạng vơ + vơ kq vơ ta đặt nhân tử chung có mũ cao tính giới hạn Hoặc hệ số n bậc cao khác ta chia đặt nhân tử chung   1) lim( n2  3n  n) ĐS: + 9) lim 1 n  n  3n  1 ĐS:   2) lim( n2  2n  n  2013) ĐS: 2012 n2  4n  4n2  10) lim ĐS: -1/(  1) 3) lim n2  n  n ĐS: -1/2 3n2   n 4) lim( n2   n  5) ĐS: lim 11) ĐS: - 5) lim( n2  2013  n 5) ĐS: n2   n2    4n2   2n  6) lim  n  2n  n  1 ĐS: lim 12) ĐS: -1/2   n  4n 1 n   7) lim n  n  n   ĐS: 1/2   n2  1 n6 13) lim ĐS:   n  1 n 8) lim  2n  n  n  1 ĐS: -1   Bài 5: Tính giới hạn sau: (Giới hạn kẹp hai biểu thức có kết quả)  1) lim  2cosn2 n2  3) lim ĐS: 3sin6 n  5cos2(n  1) n2  3sin2(n3  2)  n2 ĐS: (1)n sin(3n  n2) 4) lim ĐS: -1/3 ĐS: 3n  2 3n2 Bài 6: Tính giới hạn sau: (Rút gọn tính giới hạn)    1 1    1) lim  4) lim    ĐS: 1/2 ĐS: (2n  1)(2n  1)  n(n  1)   1.3 3.5  1.2 2.3 2) lim  1      ĐS: 3/2 n(n  2)   1.3 2.4 2) lim  3) lim 1   1 1    32   1 1  ĐS: 1/2  n  1   n 5) lim ĐS: 1/2 n2  3n 1  22   2n 6) lim ĐS: 1 3 32   3n Giaovienvietnam.com   1  1 Cho dãy số (un) với un =  1 1  1 ,với n     n  a) Rút gọn un.ĐS: (n+1)/2n b) Tìm lim un ĐS: 1/2 1   Baøi 8: a) Chứng minh: (n  N*) n n   (n  1) n n n 1 1    b) Rút gọn: un =  2 3 n n  (n 1) n c) Tìm lim un ĐS : u1   Baøi 9: Cho dãy số (un) xác định bởi:  un1  un  n (n  1)  a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un ĐS: u  0; u2  Baøi 10: Cho dãy số (un) xác định bởi:  2un  un1  un, (n  1) Baøi 7: a) Chứng minh rằng: un+1 =  un  1, n  2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un ĐS: 2/3 u1  2012 u u u  (    n ) (HSG lạng sơn 2011) Cho dãy số (un) xác định  ; nN* Tìm nlim  u u3 u n 1  u n 1  2012.u n  u n ĐS: - CM dãy tăng : u n 1  u n  2012u n  n - giả sử có giới hạn a : a  2012a  a  a   2012 Vô Lý nên limun =  un u n2 (u  u n ) 1   n 1  (  ) - ta có : u n 1 u n 1u n 2012u n 1u n 2012 u n u n 1 1 1 lim(  ) Vậy : S  2012 n  u1 u n 1 20122 Baøi 11: Cho dãy (xn) xác định sau:  x1  ( n  N *)  x  x  3x   n 1 n n 1    Đặt Sn  ( n  N * ) Tìm LimSn (HSG lạng sơn 2012) x1  x  xn  Bài 12: Tổng Dãy cấp số nhân lùi vơ hạn: 1 1 ( 1)n a S = + + + … b S = +    n  ĐS: a b.12/11 10 10 10 Baøi 13: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số: a 0,444 Baøi 14: L = lim b 0,2121 c 0,32111 ĐS: a.4/9 b.21/99 c.289/900 n 1 a  a   a , với a, b < ĐS: (1-b)/(1-a)   bn n  1 b  b2 II Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giaovienvietnam.com Giới hạn đặc biệt: lim x  x0 ; Giới hạn đặc biệt: nế u k chẵ n lim xk   ; lim xk    x u k leû x  neá x x0 lim c  c (c: số) x x0 Định lí:  lim f (x)  L  x x0 a) Nếu  lim g(x)  M  x x0 thì: * lim  f ( x)  g( x)  L  M x x0  f (x)  g(x)  L  M * xlim x  f (x).g(x)  L.M * xlim x f (x) L  (nếu M  0) x x0 g(x) M  f(x)  b) Nếu  lim f (x)  L  x x0 * lim * L  * xlim x f (x)  L f (x)  L c) Nếu xlim x lim f (x)  L x x0 Giới hạn bên: lim f (x)  L x x0 f (x)  lim f ( x)  L  xlim x  x x lim c  c ; x c 0 xk lim   x0 x lim x   ; x0 x 1 lim  lim   x0 x x0 x Định lí:  lim f (x)  L   x x0 a) Nếu  thì: * lim g(x)    x x0 u L lim g(x)   neá  x x0 lim f (x)g(x)   uL lim g(x)  x x0  neá x x0 f (x) 0 * lim x x0 g(x)  lim f (x)  L   x x0 b) Nếu  thì: lim g(x)   x x0 f (x)  neá u L g(x)  lim   neá u L g(x)  x x0 g(x) lim  Khi tính giới hạn có dạng vơ định: 0. phải tìm cách khử dạng vô định Một số phương pháp khử dạng vô định: Dạng P (x) a) L = lim với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0)= x x0 Q(x) Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn x3  (x  2)(x2  2x  4) x2  2x  12 VD: lim  lim  lim  3 x2 x2  x2 x2 (x  2)(x  2) x P (x) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x x0 Q(x) Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu  2 4 x  2 4 x 2 4 x 1  lim  lim  x0 x0 x0   x x x   x  P (x) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêu thức chứa không đồng bậc x x0 Q(x) VD: lim Giả sử: P(x) = m u(x)  n v(x) Ta phân tích P(x) = vớ i mu(x0)  n v(x0)  a  mu(x)  a   a  n v(x)   , ,  – ,  Giaovienvietnam.com  x   1 1 x  x   1 x  lim    x0 x0 x x x    1 1      = xlim 0 3    x  (x  1)  x  1  P (x)  Dạng : L = lim với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa x Q(x)  – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp 2  2x  5x  x x2  lim 2 VD: a) lim x x  6x  x 1  x x2 VD: lim b) xlim  2x  x  1 x 2  lim x  1 1 x2 Dạng  –  : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu VD: lim  1 x  x  lim x   1 x 1 x  x  1 x  x 1 x  x x  lim x 1 x  x 0 Dạng 0. : Ta thường sử dụng phương pháp dạng x x  x  lim  0 VD: lim (x  2) 2 x2 x x  x2 Bài 1: Tìm giới hạn sau: + Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác giới hạn f(a) + Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu tử khác giới hạn  1) lim x (x + x) ĐS: 12 x 2) lim ĐS: ± x 1 x  1 x  x  x ĐS: x0 1 x 3) lim 4) 5) 3x  1 x ĐS: -3/2 x1 x1   sin x     ĐS: /  lim  x x lim x1 lim 6) x1 7) x4  x  ĐS:-2/3 x2  x  ĐS: x1 lim x2 x2  2x  ĐS: x1 x x  ĐS: lim x1 x 8) lim 9) 3 2/ 2 10) lim 3x   3x  ĐS: x2 x 1 11) lim x2 sin ĐS: x0 Bài 2: Tìm giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn nhân tử thay tiếp tới mẫu khác xong) mẫu =0 tử khác kq  x2 1 ĐS: x 1 x  1) lim 1    ĐS: -1 2) xlim  0x  x Giaovienvietnam.com x  3) xlim ĐS: 2 x  3x2  4x  4) lim ĐS: x x 2x  3x  ĐS: x x 5) lim x4  16 6) lim x2 x3  2x2 ĐS: -8 x3  x2  x  7) lim ĐS: x2  3x  x  3x  5x  8) lim ĐS:1 x x2  1  x  x  x3 9) lim ĐS: x 1 1 x x  x  3x  10) lim ĐS: x x  8x  x5  11) lim ĐS: 5/3 x1 x3  x  5x5  4x6 12) lim ĐS: 10 x1 (1 x)2 Bài 3: Tìm giới hạn sau: (Một bậc 2) x1 4x   1) lim x2  x2 ĐS:1/6 2) lim 1 x  ĐS:0 x0 x x 5  ĐS: -1/6 4 x 3) lim x 4) xlim 9 x 9x  x2 ĐS:-1/54 x  5x  x ĐS: x1 x2  1    14) lim  ĐS: -1/2 x1 x  x  1     15) lim  ĐS: -1 x1  1 x 1 x  13) lim  x2  x4  16) lim  ĐS: 2 x 1 x  5x  3(x  3x  2)   x1992  x  17) lim 1990 ĐS: 1993/1992 x 1 x x2 xm  18) lim ý tổng CSN ĐS: m/n x1 xn  (1 5x)(1 9x)  ĐS: 14 lim x0 x (1 x)(1 2x)(1 3x)  19) lim ĐS: x0 x x  x2   xn  n 20) lim ĐS: n(n+1)/2 x1 x1 x n  nx  n  21) lim ĐS: n(n-1)/2 x 1 (x  1)2 2 x  ĐS: -1/56 x  x  49 5) lim 2x   x  ĐS: -4/15 x1 x  4x  x  3x  7) lim ĐS: 9/4 x x2  6) lim x   x  3x ĐS:1/2 x 8) lim x Baøi 4: Tìm giới hạn sau: (Hai Bậc 2) 1 x  1 x 1) lim ĐS: x x x1 2) lim ĐS:2 x1 x 3  x2  x 3) lim x ĐS:-3/4 4x   4) lim x2 5) lim x  2x   3 5x 1 5 x 9) lim x  x2   x  10) lim x  ĐS:3/2 11) lim x ĐS:-4/3 12) 2 x 3 x2  x 6) lim ĐS:3 x x1 7) lim x x1 x x  x 2x   3x  ĐS:-1/4 x1 2x   x  ĐS:1/6 3x  8) lim ĐS:-1/3 x1 3 lim x 13) lim x0 14) lim x3 2x  2x 3 x x2   x2  16  x  3 2x x2  3x ĐS:-3/4 x2 x  1 ĐS: ĐS:-1/4 ĐS:4 ĐS:-2/9 Giaovienvietnam.com 15) lim x0 x   x  16  ĐS: 7/24 x x 16) lim x a 17) lim x Baøi 5: a x a x2  a2 x x2   x3  3x , với a> ĐS: 1/ 2a ĐS:2 Tìm giới hạn sau: (Một Bậc 3) 3 5) lim  x2  ĐS:1/3 4x  1) lim ĐS :1/3 x x 2x   2) lim ĐS:2/3 x1 x1 x 6) lim x 1 x 3) lim x 3 x x 1 4x   ĐS:1 ĐS:3 5x   7) xlim ĐS:1 1 x  0 x x5  x3  4) xlim ĐS:24 1 x 1 Bài 6: Tìm giới hạn sau: (Hai khác bậc) 1 x  1 x ĐS :1/6 x 1) lim x0 2) lim x 3) lim x 1 x1 2x   1 x  x0 1 x1 sinx x ĐS:7/162 x 6  x 2 ĐS:-1/24 x2  1 4x 1 6x  ĐS:5 x0 x  x  x 1 15) lim ĐS:7/3 x 0 x (1  n x ) 16) lim ĐS: 1/n x 1 (1  x) 14) lim (1  x )(1  x )(1  x )(1  x ) ĐS:1/120 x 1 (1  x) 17) lim x  1 1 x ĐS:5/6 x0 x x 19) lim ĐS:-6 x0 8 x  8 x 18) lim 8) lim x 2x   x2  3x  x   x2  x  sinx tanx  1; lim =1) x x x sin5x ĐS:5/3 x  3x 5) lim 2) lim ĐS:1 x cos x tan x  sin2x 3) lim ĐS: x cos x tgx 4) lim   x ĐS:4/3 x 6) lim x 2x2  5x  x2 13) lim 1) lim x ĐS: 2/ x 8x  11  x  ĐS:3/2 Tìm giới hạn sau: ( lim x0 3 12) lim 5 x  x  ĐS:-11/24 x1 x2  ĐS:4/3 x 1 1 x   x 4) lim ĐS:13/12 x0 x x4  x 5) lim ĐS:-1/18 x  x  5x  2x  10  x  6) lim ĐS:-7/72 x  x2   4x  1 6x 7) lim ĐS:0 x 0 x 10  x  x  8) lim ĐS:-1/3 x x 8x  11 x  9) lim ĐS:7/54 x2 x2  3x   8x2   6x2 10) lim ĐS:2 x0 x2 Baøi 7: lim 11) sin x sin 3x sin x ĐS:1/3 45 x 1 cos2x ĐS:2 x0 xsinx 1 cos4x 8) lim ĐS:4 x0 2x2 sin2x 9) lim ĐS:4 x0 x   7) lim ĐS:0 1 cos2x 10) lim x0 11) lim x 12) xlim 0 Giaovienvietnam.com ĐS: x cosx  cos7x ĐS:12 33) lim x ĐS:2 (1  cos x ) tgx 34) xlim   sin x x0 16) x 18) lim x  cos x 1 cos x  cos x 35) lim x x ĐS:1/  sin x  sin x  ĐS:-1/2 cos x  x   sin x 17) lim x sin   x   36) lim x ĐS:1/9 sin x cos x  sin x x ĐS:0 sin lim ĐS:0 sinx 13) lim ĐS:1/2 x tan2x  cos x cos x cos 3x 14) lim ĐS:14 x  cos x 15) lim x   2x ĐS:-7/4 tan( x  1) x cosx  cos3x sin2 x  x  2 sin ĐS:3 32) lim x  ĐS:3 ĐS:0 37) lim ĐS:0  x  cos x  tan x sin( x  1) ĐS:-1/2 x  4x    sin   x   ĐS:1 39) lim   x  sin x 38) lim x sin x  1 cos3x 19) lim ĐS:9/25 x0 1 cos5x 40) lim ĐS:-1/2  x  cos x  20) lim x 41) lim 1 cos2 2x ĐS:4 xsinx 21) lim x sin2x  sin x ĐS:1 3sin x sin2x  tan3x ĐS:5 x 22) lim x 1 sin x  cos2x ĐS: -1 sin x 23) lim x x 42) lim x sin x  cos x  tgx  tgx  cot gx 43) lim ( x sin  ) x x  ĐS:  2 ĐS: -1 ĐS:  x 8 tanx  sinx ĐS:1/2 x3 cos4x  cos3x.cos5x 25) lim ĐS: 18 x x2  cos( cosx) 26) lim ĐS: BĐ góc phụ chéo x x sin2 sin 3x 27) lim ĐS: Đặt ẩn phụ π x   2cos x 44) xlim ĐS:12   tan( x  2) - x2 28) x®2 px cos 1 2x   sinx 48)(ĐHGTVT-98): lim ĐS:0 x 24) lim x lim ĐS:16/ 29) lim cos x  x 1 x 31)  x  tgx  sin( x  )  1 sin2x  cos2x 22) lim ĐS:-1 x 1 sin2x  cos2x tan(a  x).tan(a  x)  tan2 a ĐS:tan4a-1 46) L  lim x x2 47) xlim  (a  x)sin(a  x)  a sin a ĐS: (a+1)sina x 3x    x 49) lim x   x  ĐS:1 x0 ĐS:0   tan x tan  x  ĐS: 1/2 30) lim  x 4  lim   45) lim  x ĐS: x   sinx sin3x  50) lim x® 2- sin x + cos x tan x ĐS: /8 51) lim 1 sin x  cosx ĐS:1 sin2 x px ( 1- x) tan 52) lim x®1 x0 ĐS: -2 ĐS:2/ Giaovienvietnam.com 2 53) lim x - + x +1 ĐS:4 1- cos x x2 lim 54) x®0 ĐS:4/3 + x sin x - cos x x ®0 59) lim x 0  cos x.cos 2x.cos3x cos nx ĐS:n(n+1)(2n+1)/12 x2   cos x  cos   60) lim   ĐS:0 x 0 sin  tan x  + sin x - 1- sin x ĐS:2  sin x   sin x 61) lim ĐS:1 x® x x 0 tan x cos x - cos x  cot x 56) lim ĐS:-1/12 lim 62) x ®0 ĐS:-3/4 sin x x    cot x  cot x 2sin x  sin x  57) lim ĐS:-1  cos x cos 2x cos3x x 0 2sin x  3sin x  63) lim ĐS:3/2 x 0  cos 2x  cos x.cos 2x.cos 3x 58) lim ĐS:7 x 0 x2 Bài 8: Tìm giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân tử, dấu giá trị tuyệt đối) x 1) xlim  (3x 5x + 7) ĐS: - 18) lim  x  5 ĐS:1 55) lim x  3x) ĐS:±  3) xlim(2  x 5 6) xlim ĐS:+   x 1 11) 12) x2  x   1 3x  5x ĐS:-1/5 x   (5x  1)(x  2x) x x 1 lim ĐS:6/5 ĐS:0 x2  x  4x  13) lim ĐS:-2/3; 2/3 x  3x  x   x  x2  x x  16) lim x 17) lim x   x  10 ĐS:-1;1 x  x   3x  4x   1 x 2x  1  ĐS:-   (x  1) 2x  3 25) lim ĐS:-  x1 (x  1)(x2  3x  2) 1 1   ĐS:-  26) lim x  x x   24) lim x1  27) lim  x1 x4  x3  2x2  x ĐS: +    28) xlim  ĐS:-  2   x  x  4 29) ĐS:-2 x2  3x  2x ĐS:1/3 3x  x2   14) lim x  x ĐS:+  x 1 2x 15) lim 1 2x x2 x3  2x2  x ĐS:1 x 2x  x  2x 23) lim ĐS: ± x   x  4x  23) lim  3x(2x  1) lim x4  ĐS:- x4 22) xlim  2x  x ĐS:+  x  x  2x  8) lim ĐS:2 x   x  7) lim lim 20) lim 2x4  x2  ĐS:-  21) xlim   10) 2x  7x  12 ĐS: / 3 | x | 17 x  x2  3x  ĐS:±  5) xlim  3x  2x ĐS:+ 5x  x  19) lim x  4) xlim 2x4  3x  12 ĐS:+   9) xlim  x3 1 x  (2 x  x) ĐS:+  2) xlim   ĐS:4; -2/3 lim x2  ĐS:1/2 2x2  x  2x2  x  30) lim ĐS:-;+  x x 2x2  31) lim ĐS:0 x x3  3x2  32) x lim x x2  2x   4x  4x2    x ĐS:-1;5 Giaovienvietnam.com 33) 34) 35) 4x2  2x    x lim x 9x2  3x  2x 2x  x  10 37) xlim ĐS:0   ĐS:3;1/5  3x x  x3  11 38) xlim ĐS:+    (2x  1) x  ĐS:2/5 x x  5x2 lim lim x x2  2x  3x 4x   x  2x  (1 x)(1 x)2(3  x)2 39) xlim ĐS:1  (2  x)(3  x)2(4  x)2 ĐS:4 40) lim x6  4x2  x  x  (x3  2)2 ĐS:1 x2  5x  ĐS:+  x x  Bài 9: Tìm giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp)   14) lim (3x   9x  12x  3) ĐS:- ;0 1) lim  x  x  x ĐS:1/2 x    x     15) lim  2x  1 4x  4x  3ĐS:0 2) lim ( x  x  x) ĐS:+  x   x   36) lim ( x  3x   x) ĐS:-3/2 3) xlim   ( x  3x   x  2) ĐS:+  16) xlim   ( x  x   x) ĐS:+  4) xlim   ( x  3x   x  2) ĐS:-1/2 17) xlim   5) xlim    x2  3x   x  1) ĐS:1/2;+  18) xlim(  x   x ĐS:0   x2  2x   x) ĐS:+ ;-1 6) xlim(  x  x  x  x  x ĐS:0 19) xlim   ( x2  7) xlim   20) lim  x2   x3  1ĐS:0     21) lim  x  x  x  x ĐS:1/2 x   x  ) ĐS:0 2 8) lim ( x  4x   x  3x  2) ĐS:1/2;-1/2 x   9) xlim   10) xlim   x2  x   x ĐS:2 22)  2x   x ĐS:+  23) x( x   x) ĐS:-1/2; + 11) xlim  12) xlim   13) Cho f(x) = x  2x  - x  2x  Tính giới hạn lim f(x) lim f(x), từ nhận lim x 1 x  b lim  3x3  1 x  lim (  x  2x) c lim x  1  x  ĐS:2   3 x3  x2 1  26) lim x  x  x 5  x2  ĐS:-   x  xét tồn giới hạn lim x  f(x).ĐS :-2 ;2 Bài 10: Tìm giới hạn sau: a  2x  1 2x  1 ĐS:0 3 25) lim x  x  x ĐS:2 x  lim x x x   24) xlim    x   x  ĐS:-1 x x x d lim x  1 x x  x  x  ĐS:2/3 e xlim  1 1 x  x  x2  x3 ĐS:a b 10 c.+ d - e Bài 11: Tìm giới hạn sau có a lim |3x  | x x 2 b lim |3x  | x x 2 |3x  | x ĐS: a b -3 c.Ko xđ Bài 12: Tìm giới hạn sau: (Để ý đến dấu biểu thức tử mẫu tính giới hạn này) x  15 x  15 1) lim ĐS:-  2) lim ĐS:+  x2 x  x2 x  c lim x Giaovienvietnam.com 3) lim  x3 1 3x  2x2 ĐS:-  x x2  ĐS:+  lim x2 x  2 x 5) lim ĐS:1/3 x2 2x  5x  2 x 6) lim ĐS:-1/3 x2 2x  5x  x2  2x 7) lim ĐS:0 x2 3x  3x  8) lim ĐS:5/2 x2 x1 9) lim ĐS:1 x1 x  x1 10) lim ĐS:-1 x1 x  4) x2  x3 ĐS:1/2 2x 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) lim x  0 2x ĐS:-1;1 4x  x x  3x  ĐS:-  lim x x x  3x  ĐS:+  lim x x x lim ĐS:- ;+ x x  x  3x  ĐS:+  lim x  x  x  x  3x  ĐS:-  lim x   2 x  x  lim x 1 x  3x  x  5x  ĐS: /3  1 x  lim  x ĐS:0;0 x  x  0   x2  x  ĐS:+ x  0 x 1 x 1 Bài 13: Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: (Giới hạn bên tiến tới số)  9 x2  taïi x  ĐS:-6;-2; ko xđ 1) f (x)   x  x  1 x x  11) lim 20) lim  x2  2x x    8 x3 taïi x  2ĐS:-1/6; 32; K xđ 2) f (x)    x  16 x   x   x2  3x  x   x  f ( x )  taïi x  1ĐS:-1/2; -1/2; -1/2 3)  x  x    1 x  x    x  f ( x )  taïi x  ĐS:3/2;3/2;3/2 4)   x   Bài 14: Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:  x3   taïi x  1ĐS:m=1 1) f (x)   x  x  mx  x  x m x   taïi x  ĐS:m=1 2) f (x)   x  100x  x   x  x  3m x  1 taïi x  1  x  x  m x  1 ĐS: m=2 3) f (x)   Giaovienvietnam.com 4)   x   taïi x  1ĐS:m=1;m=2 EMBED Equation.DSMT4 f (x)   x  x  m2x2  3mx  x   III Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm: f (x)  f (x0) y = f(x) liên tục x0  xlim x  Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) ) x x0 x x0 x x0 f (x) với f(x0) rút kết luận B3: So sánh xlim x Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục khoảng lim f (x)  f (a), lim f ( x)  f (b) xa (a; b) xb  Hàm số đa thức liên tục R  Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f (x)  Hàm số y = liên tục x0 g(x0)  g(x) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c  (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b) Mở rộng: f (x) ,M = max f (x) Khi với T  (m; M) tồn Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m =  a;b  a;b số c  (a; b) cho f(c) = T Bài 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:  x  x  3x  x   x  taïi x  1 6) f(x) =  xo = 1ĐS:K Lt 1) f (x)   x  ĐS: LT 2x  x 1   1 x   x  x   x  f ( x )  taïi x  1ĐS:Lt 2)   x    x3  x   x  x 3) f(x) =  11   x  xo = ĐS: Lt x 2 1  2x  x   4) f(x) =   x xo = ĐS:Lt 1 x    2 7x  5x2  x3  x  taïi x  5) f (x)   x2  3x  ĐS:Lt 1 x     x2 x   7) f(x) =  x  1  2x khix   xo = ĐS:K Lt  x  x   8) f(x) =  xo = ĐS: Lt  x   x    x   x x   taïi x  ĐS:Lt 9) f (x)   2x   (x  5)  x   1 cos x x  10) f (x)    x  x  taïi x  ĐS:K Lt Giaovienvietnam.com  x1 x   taïi x  ĐS:Lt 11) f (x)   2 x   2x x  Bài 2: Tìm m, n,a để hàm số liên tục điểm ra:  3x  2x   x  x2  2x   4) f(x) =  x  taïi x  1) f (x)   ĐS:m=0 x1  2x  a 3x  m x   x  2x  x 1  2) f(x) =  x  a x 1  x  x0 = 1ĐS:a=2 x 1  1 x  1 x x   x 5) f(x)=  xo= ĐS:a=-3 a   x x    x  x  taïi x  3) f (x)   x ĐS:m=2 2mx  x   3x   x   6) f(x)=  x  x0 = ĐS:a=0 ax + x   Baøi 3: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng:  x2   x  3x  x   x   1) f(x) =  Lt / R 5) f (x)   x  ĐS: Lt / R x  1  x  x  2  x2  3x  x    x2  3x  10 2) f (x)  5 x  ĐS:K Lt x=2 x   2x  x   x2  x0 = ĐS:a=5/2   x3  x   2x   x  ĐS:K Lt x=5 6) f(x)=  x    x  x  3) f (x)   ĐS:Lt/ R x   3x  4 x  1      x2   x  2 4) f (x)   x  ĐS:Lt/ R 4 x  2 Bài 4: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng:  x2  x   x3  x2  2x    x  x  1) f (x)   x  ĐS:m=3 3) f (x)   ĐS:m=0 x1  m  x  x  3x  m  x2  x2  x x  x   4) f (x)   ĐS: m=2 2) f (x)  2 x  ĐS: m=1 2mx  x   mx  x  Bài 5: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x – 2x – = ĐS: f(x) liên tục R f(0).f(3)