1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ThS Phạm Thị Hải Châu GIÁO TRÌNH TOÁN CƠ SỞ (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non) Vinh 2011 2 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn giáo trình này được biên soạn theo chương trình đào tạo giáo viên mầm non có trình độ đại học (hệ đào tạo từ xa) của khoa Giáo dục, trường Đại học Vinh Giáo trình cung cấp một số kiến thức cơ bản của toán học, được dùng như một tài liệu tham khảo cho người dạy và người học Nội dung giáo trình gồm có ba chương Chương I Tập hợp Quan hệ Ánh xạ Chương này giới[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ThS Phạm Thị Hải Châu GIÁO TRÌNH TỐN CƠ SỞ (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non) Vinh 2011 LỜI NĨI ĐẦU Cuốn giáo trình biên soạn theo chương trình đào tạo giáo viên mầm non có trình độ đại học (hệ đào tạo từ xa) khoa Giáo dục, trường Đại học Vinh Giáo trình cung cấp số kiến thức toán học, dùng tài liệu tham khảo cho người dạy người học Nội dung giáo trình gồm có ba chương Chương I: Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ Chương giới thiệu khái niệm tập hợp phép toán tập hợp, quan hệ tập hợp, khái niệm liên quan đến ánh xạ Bên cạnh đó, chương cịn đưa số tính chất quan trọng khái niệm Chương II: Số tự nhiên Chương đưa khái niệm tính chất liên quan đến số tự nhiên như: số, tập hữu hạn, tập vô hạn, tập hợp số tự nhiên, Sau đưa khái niệm đó, chương giới thiệu quan hệ thứ tự phép toán tập hợp số tự nhiên Chương III: Các hình hình học Chương giới thiệu khái niệm hình hình học, hình hình học mặt phẳng khơng gian số tính chất chúng Bên cạnh việc trình bày lý thuyết, giáo trình có đưa ví dụ minh họa tập nhằm củng cố khắc sâu nội dung lý thuyết Tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp giúp đỡ góp ý để tác giả hồn thành giáo trình Giáo trình cịn có thiếu sót Tác giả mong nhận dẫn góp ý bạn đọc Tác giả Chương I : TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ A NỘI DUNG BÀI GIẢNG §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP 1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp thuật ngữ dùng rộng rãi tốn học Chúng ta thường nói tập hợp số tự nhiên, tập hợp điểm mặt phẳng, tập hợp nghiệm phương trình, tập hợp học sinh lớp, tập hợp đồ chơi lớp mẫu giáo, Tập hợp (thường nói gọn tập) khái niệm tốn học, dùng làm sở để định nghĩa nhiều khái niệm khác thân không định nghĩa qua khái niệm đơn giản Ta hiểu tập hợp tạo thành cá thể (các đối tượng), cá thể tạo thành tập hợp gọi phần tử tập hợp Ví dụ: Tập hợp nghiệm phương trình (x-1) (x-4) = tập hợp tạo thành hai phần tử 4; tập hợp số tự nhiên có chữ số tập hợp tạo thành mười phần tử 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Một tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa : A, B, C, X, Y, ; phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ thường: a, b, c, x, y, Để a phần tử tập A ta viết a A (đọc a thuộc A), a không phần tử tập A ta viết a A (đọca khơng thuộc A) Ví dụ: 1) Ở chương trình tốn phổ thơng ta biết: N tập hợp số tự nhiên, Z tập hợp số nguyên, Q tập hợp số hữu tỉ, R tập hợp số thực Thế thì: 5N; 5Z; 5Q; 5R; -3N; -3Z; -3Q; -3R; 2,5N; 2,5Z; 2,5Q; 2,5R; N; Z; Q; R 2) Nếu A tập hợp tất số tự nhiên lẻ 3A, 4A 1.2 Sự xác định tập hợp Một tập hợp coi xác định ta biết phần tử có thuộc tập hợp hay không Để xác định tập hợp ta thường dùng hai phương pháp sau: a) Phương pháp liệt kê phần tử tập hợp Ta liệt kê đầy đủ tất phần tử tập hợp, tập hợp thường có khơng nhiều phần tử Khi phần tử viết {}, phần tử cách phần tử dấu phẩy Ví dụ: Nếu A tập hợp ước số dương ta viết A = {1, 2, 4} Tuy nhiên, có tập hợp có vơ số phần tử ta liệt kê số phần tử đại diện đủ để nhận biết phần tử có thuộc tập hợp hay khơng Ví dụ: Nếu B tập hợp số tự nhiên chia hết cho B = {0, 3, 6, 9, } b) Phương pháp rõ tính chất đặc trưng Chỉ thuộc tính phần tử mà dựa vào thuộc tính ta nhận biết đối tượng có thuộc tâp hợp hay khơng (các thuộc tính gọi tính chất đặc trưng) Nếu A tập hợp tất phần tử x có tính chất đặc trưng P ta viết A ={x x có tính chất P} hay A ={x P(x)} Ví dụ: 1)Nếu A tập hợp số nguyên chẵn ta viết A = {nZn chẵn} 2) Nếu B tập hợp số tự nhiên có hai chữ số mà tổng hai chữ số 10 B = {xNx có hai chữ số, tổng hai chữ số 10}, nhờ tính chất đặc trưng này, ta biết phần tử có thuộc B hay khơng, chẳng hạn 37 B 52 B 1.3 Tập rỗng, tập đơn tử a) Tập rỗng Ta gọi tập rỗng tập hợp không chứa phần tử nào, ký hiệu Ví dụ: Tập hợp nghiệm dương phương trình x + = tập rỗng b) Tập đơn tử Tập hợp có phần tử gọi tập đơn tử, tập đơn tử có phần tử a ta viết {a} Ví dụ: Tập hợp nghiệm (thực) phương trình x + = 0, tập hợp đường thẳng qua hai điểm cho trước, … tập đơn tử 1.4 Minh hoạ tập hợp hình vẽ Một tập hợp thường minh hoạ đường cong khép kín Mỗi phần tử thuộc tập hợp bx biểu diễn dấu gạch chéo bên x đường cong, phần tử không thuộc tập hợp a biểu thị dấu gạch chéo bên ngồi đường A xc cong Trên hình bên, ta có : a, b A; c A BÀI TẬP Hãy liệt kê phần tử tập hợp sau: a) A tập hợp số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị b) B tập hợp số tự nhiên có hai chữ số mà tổng hai chữ số 12 a)Hãy tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp sau: A = {3, 6, 9, 12, 15}, B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, C = {1, 4, 9, 16, 25} b) Hãy thêm vào tập hợp phần tử mà không làm thay đổi tính chất đặc trưng phần tử tập hợp Hãy liệt kê phần tử tập hợp A gồm chữ số x cho số tự nhiên 17 x chia hết cho §2 QUAN HỆ BAO HÀM GIỮA CÁC TẬP HỢP 2.1 Quan hệ bao hàm - Tập Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Ta nói A tập (hay phận) B phần tử A phần tử B, ký hiệu A B Khi A B ta nói A bao hàm B (hay A B) B bao hàm A (hay B chứa A) Quan hệ A B gọi quan hệ bao hàm Ví dụ: 1) Nếu A tập hợp học sinh nữ lớp B tập hợp học sinh lớp A B 2) Giả sử C tập hợp nghiệm phương trình x - = D tập hợp nghiệm phương trình x2 - 5x + = 0, ta có C D 3) Gọi T tập hợp tứ giác V tập hợp hình vng mặt phẳng, V T Chú ý: - Khơng phải hai tập có quan hệ bao hàm, chẳng hạn hai tập hợp A = {a, b, c, d} B = {a, b, e, f, g} khơng có quan hệ bao hàm - Ta quy ước tập tập hợp 2.2 Hai tập hợp Định nghĩa Hai tập hợp A B gọi A B B A, ký hiệu A = B Nói cách khác, hai tập hợp A B phần tử A phần tử B ngược lại Như vậy, để chứng minh A = B ta phải chứng minh: x A xB x B x A Ví dụ: 1) Nếu A tập hợp nghiệm phương trình x2 - 3x + = B={1, 2} A = B 2) Cho A = {n N n 6} B = { n N n n 3} Ta thấy: - Nếu n A tức n mà ước 6, n n Điều có nghĩa n B - Nếu n B, tức n n Ta thấy nguyên tố nên n chia hết cho tích chúng, nghĩa n 6, hay n A Theo định nghĩa A = B 2.3 Một số tính chất quan hệ bao hàm Định lý Quan hệ bao hàm có tính chất sau: a) Với tập A ta có A A (tính chất phản xạ), b) Nếu A B B A A = B (tính chất phản xứng), c) Nếu A B B C A C (tính chất bắc cầu) Chứng minh Tính chất a) suy trực tiếp từ định nghĩa tập Tính chất b) có từ định nghĩa hai tập hợp Bây ta chứng minh tính chất c) Giả sử x phần tử tùy ý thuộc A Vì A B nên x B, mặt khác B C nên ta lại có x C Vậy với x A ta suy x C, tức A C Tính chất a) chứng tỏ tập hợp tập Như tập hợp khác ln có hai tập nó, hai tập gọi tập tầm thường, tập không tầm thường gọi tập thực 2.4 Tập hợp tập tâp hợp Cho tập hợp A Ký hiệu P(A) tập hợp tất tập A, nghĩa P(A) = {X X A} Ví dụ: 1) Nếu A tập hợp học sinh lớp P(A) = {X X tập hợp nhóm học sinh lớp} 2) Cho B = {1,2} P(B) = {, {1}, {2}, {1, 2}} BÀI TẬP Viết tất tập tập hợp sau đây: a) A = {a} b) B = {1, 2, 3} Hãy xét quan hệ tập hợp A, B đây: a) A = {n Nn + 10 15}, B = {n Nn2 9} b) A tập hợp bội tự nhiên 3, B tập hợp bội tự nhiên Chứng minh đẳng thức A = B với: A tập hình bình hành có hai đường chéo nhau, B tập hình bình hành có góc vng §3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN CÁC TẬP HỢP 3.1 Phép hợp Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Hợp A B tập hợp tất phần tử thuộc hai tập đó, ký hiệu A B Ta viết: A B = {x x A x B} hay x A B x A x B B Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A A B Ví dụ: 1) Nếu A = {a, b, c, d} B = {a, b, e} A B = {a, b, c, d, e} 2) Gọi A tập hợp số tự nhiên lẻ, B tập hợp số tự nhiên chẵn, A B = N 3) Nếu A tập hợp nghiệm phương trình x2- = B tập hợp nghiệm phương trình x2- 5x + = A B = {-2, 1, 2, 4} Chú ý: Theo định nghĩa, x A B x A x B Do xAB x không thuộc tập số hai tập A B, tức x A B x A x B 3.2 Phép giao Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Giao A B tập hợp tất phần tử đồng thời thuộc A B, ký hiệu A B Ta viết: B A B = {x x A x B} hay x A B x A x B A Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A B Ví dụ: 1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} B tập hợp số tự nhiên lẻ, AB = {1, 3, 5} 2) Gọi A tập hợp nghiệm phương trình f(x) = B tập hợp nghiệm phương trình g(x) = A B tập hợp nghiệm hệ phương f( x) trình g( x) 3) Nếu A tập hợp bội tự nhiên B tập hợp bội tự nhiên A B tập hợp bội chung tự nhiên 3, tức bội chung tự nhiên Chú ý: - Nếu A B khơng có phần tử chung (phần tử vừa thuộc A B), tức A B = , ta nói A B rời - Theo định nghĩa, x A B x A x B Do x A B x không thuộc đồng thời A B, nghĩa x khơng thuộc hai tập A B, hay x A x B Như x A B x A x B 3.3 Một số tính chất phép hợp, phép giao Định lý Với tập A, B, C tùy ý ta ln có: 1) Tính giao hốn: A B = B A (của phép hợp), A B = B A (của phép giao) 2) Tính kết hợp: ( A B ) C = A ( B C ) (của phép hợp), ( A B ) C = A ( B C ) (của phép giao) Các tính chất chứng minh đễ dàng cách sử dụng trực tiếp định nghĩa phép hợp, phép giao tập hợp Chú ý: - Từ tính chất kết hợp phép hợp phép giao ta dùng ký hiệu A B C (gọi hợp ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A B ) C A ( B C ), dùng ký hiệu A B C (gọi giao ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A B ) C A ( B C ) - Tương tự, ta mở rộng tính chất cho hợp giao nhiều tập hợp 3.4 Liên hệ phép hợp phép giao Định lý Với tập A, B, C tùy ý ta có: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) (1), A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) (2) Chứng minh (1) Giả sử x A ( B C ), tức x A x B C Do x B C có nghĩa x B x C nên ta có: x A x B x A B, x A x C x A C Điều có nghĩa x A B x A C, tức x ( A B ) ( A C ) Ngược lại, giả sử x ( A B ) ( A C ) Theo định nghĩa phép hợp suy x A B x A C Mặt khác, theo định nghĩa phép giao ta có: x A B x A x B, x A C x A x C Như ta có x A x thuộc hai tập B, C, hay xA x B C Điều có nghĩa x A ( B C ) Tương tự ta chứng minh đẳng thức (2) Công thức (1) cho thấy phép giao phân phối phép hợp, công thức (2) cho thấy phép hợp phân phối phép giao 3.5 Phép trừ Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Hiệu A B tập hợp tất phần tử thuộc A không thuộc B, ký hiệu A\ B A – B Ta viết: A\ B = {x x A x B} hay x A\ B x A x B B Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A\ B Ví dụ: A 1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {x N x ước 30} A\B = {4} B \ A = {6, 10, 15, 30} 2) Nếu A tập hợp tam giác vng, B tập hợp tam giác cân A\ B tập hợp tam giác vuông mà không cân, B \ A tập hợp tam giác cân mà không vuông Chú ý: 10 ... ĐẦU Cuốn giáo trình biên soạn theo chương trình đào tạo giáo viên mầm non có trình độ đại học (hệ đào tạo từ xa) khoa Giáo dục, trường Đại học Vinh Giáo trình cung cấp số kiến thức toán học,... thuyết, giáo trình có đưa ví dụ minh họa tập nhằm củng cố khắc sâu nội dung lý thuyết Tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp giúp đỡ góp ý để tác giả hồn thành giáo trình Giáo trình cịn có... phép toán tập hợp số tự nhiên Chương III: Các hình hình học Chương giới thiệu khái niệm hình hình học, hình hình học mặt phẳng khơng gian số tính chất chúng Bên cạnh việc trình bày lý thuyết, giáo