Số học - Bà chúa của toán học

Hoàng Chúng SO HOC ðà Chúa Của Toan Hoc (Xuất lần thứ năm) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 997 511(083) ~ens7 214/849 - 97 PTK25n7 LỜI NÓI ĐẦU Số bọc, ngành lâu đời uà đầy hấp dẫn toán học, toán học ” nhà toán học tiếng goi ” bà chúa ” Các toán số học làm say mê nhiều người, từ nhà toón học lỗi lạc thời đại đến đông đảo bạn yêu toán Thế giới số, quen sống hàng ngày, thuậc 0uới giới kì lạ, đầy bi ẩn : lồi người phát biế t bao tính chất hay, nhiều quy luật đẹp úà có bất ngờ, đồng thời chịu bó tay trước nhiều hiện, nhiều dự đốn Điều lí thú nhiều mệnh đề khó số học phát biểu đơn giản, cứng hiểu được; nhiều tốn khó giải sáng tạo uới hiến thức số học phổ thông Không đâu số học, lại lần theo dấu uết toán cổ xưa để đến uới van dé mdi dang chờ người giải Chính lẽ mà môn số học học 6~ năm đầu trường phổ thơng, tốn số học ln có mặt đề chọn học sinh giỏi toán tất cúc cấp học uà hầu giới Cuốn sách trình bày số uấn đề số học phù gồm độc hợp uới trình độ học sinh giỏi tốn cấp Sách có chương uà phụ lục; sau chương (hoặc phần chương) có nhiều tập từ dễ đến tương đối khó Các chương lập uới nhau, bạn đọc chương trước cúng (bỏ qua chỗ in chữ nhỏ) Phần “Gợi ý giải tập” chí giúp bạn gặp khó khăn, tác giả ln hi uọng bạn đọc có ý hay , sông tạo So uới in lần thứ (1991), in lần thứ hai có số sa chữa nhỏ, đặc biệt 66 di Phu luc ( Hodn vi va tổ hợp, cơng thức Neuton) nội dung trình bày đầy đủ sóch gióo khoa Giải tích 12, kể từ nănt học 1992-93 Tác giả xin chân thành cắm ơn nhậm xét quý báu cua ban doc Thanh phé Hd Chi Minh, tháng HGÀNG CHÚNG năm 1998 CÁC KÝ HIỆU : Vv Mở đầu phép chứng minh định lí, lời giải tốn oO Kết thúc chứng minh định lí, lời giải tốn Các số nói đến sách này, không ghi chu gi khác, số nguyên ( thuộc Z2 ) Riêng chương chương xét số tự nhiên ( thuộc N Trong LẦN XUẤT BẢN THỨ NĂM ) trang 88 viết lại cho phù hợp với thành tựu ; số sai sót chế in sủa CHUONG PHEP CHIA CO DU DONG THUC VA PHUONG DU TRINH DONG DU Tw Han Tin dén Gauss Trong ruột sách toán Trung Quốc cách khoảng 1500 năm, có giải tốn gọi Hàn Tín điểm binh sau : Bảo lính hàng 3, hàng ð hàng đếm số lẻ hàng cuối Nhân 7, lần số lẻ hàng cho 70, số lẻ hàng õð cho 31, số lẻ hàng cho lỗ cộng lại Lấy số thành thêm bội cúa 105 số lính Thí dụ: hàng lẻ 2,hàng ð lễ 3, hàng lẻ số lính x = 2.70 + 3.21 + 4.15 + k.105 = 263 + k.105 Nếu biết chừng số lính từ 800 đến 900 có x = 893 (lấy k = 6) “Qui tác điểm binh” tóm tắt cho dễ nhớ bốn câu thơ Đến kỉ thứ 13, nhà toán học Trung Quốc Tần Cửu Thiều trình bày đủ phương pháp giải toán tương tự toán Hàn Tín điểm binh, thí dụ tốn Mấy? trộm gao sau day: Có nhà trộn: gạo Nhà có ba thùng gạo đầy nhau, khơng biết Sau médt thi thay thùng bên trái niột hộc, thùng bên phải Bính cịn hộc.Về sau bắt Giáp khơi ban đêm thăng héc, thang ba tên trộm Giáp, At, sờ cói góo cho o đong guo thùng bên trái đồ uào túi, At khai đá phải giầy gỗ cho 0uào thùng gia đong gạo, Bính khai sờ cói bát son cho 0o thiing/phdi đong gạo; lay vé an lau ngay, quén mat khơng biết bao nhiéu.Tim tang vat thấy: gáo đựng thăng hộc, giầy gỗ đựng thăng hộc, bát son thờng hộc Theo tang vat, tim xem tên lấy trộm ? (1 thăng 10 hộc ) Để giải toán Hàn Tín điểm binh ta phải tìm x cho x chia cho 3, dư x chia cho 5, dư x chia cho Tương pháp giải x— chia hết cho 7, du x — chia hét cho x - chia hết cho tự với toán Mất trộn: gạo Với phương toán này, nhà toán học Trung Quốc thời biết sử dụng định lí chia hết, sớm có khái niệm đơng dư thức, giải phương trình đồng dư mà đến đầu kỉ thứ 19, nhà toán học Đức lỗi lạc C.F.Gauss (Gau-xơ, 1777-1855) xây dựng thành lí thuyết tương đối hồn chỉnh m1 - Phép chỉa hết phép chia có dư 1-1-Cho hai số nguyên a b (bồ > 0) Chia a cho b, ta có: a chia hết cho b a không chia hết cho b 1) a chia hết cho b hay a bội b, kí hiệu a : b Ta nói: b chia hết œ hay b ước q kí hiệu bla a :b (hay bịa ) có số nguyên q cho a = bq a:bs®a =bq Thí dụ : 18 = 3.6 œ 18 : hay 3| 18 2) a không chia hết cho b.Trong trường hợp này, chia cho b, ta thương gần q số dư r (0r= 0, 0: b b ) —] +1,+2, , _ 1.3 - Ước chung lớn bội chung nhỏ Cho hai số nguyên dương a b Ước chung lớn œ 0à b kí hiệu ƯCLN (a,b) (a,b).Một số d ước chung a b d ước ƯCLN (a,b); dla va d|b « d] (a,b) Bội chung nhỏ a va b ki hiéu 1A BCNN [a,b] Một số m bội chung m bội BƠNN m (ab) a b : : a m : b œ© (ab) m : [a,b] ... thiếu, (-8 ) = -4 0 -~ 36, ta có số dư -? ?? Coi số dư số âm - Khi chia trên, ta có: số cho số dư 1, số nguyên có dạng 2k (bội 2, số chắn) 2k + (số. .. lớn b— Khi chia số nguyên qa cho số nguyên b>0 số dự b số từ đến b — Thí dụ :- Chia số cho số dư hai số: - Chia số cho số dư ba số: 0,1 - Chia số cho thi số dư năm số: 0,1,2,3 1.2 - Trong trường... mơn số học học 6~ năm đầu trường phổ thơng, tốn số học ln có mặt đề chọn học sinh giỏi toán tất cúc cấp học uà hầu giới Cuốn sách trình bày số uấn đề số học phù gồm độc hợp uới trình độ học