Tài liệu Bài tập giải tích - Tập 1 pdf

Môc lôc i ii Lời nói đầu Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo chúng tôi) hay nhất thế giới . Trớc đây, hầu hết những ngờilàmtoáncủaViệtNamthờngsửdụnghaicuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đ đợc dịch ra tiếng Việt): 1. Bài tập giải tích toán học của Demidovich ( B. P. Demidoviq; 1969, Sbornik Zadaq i Upraẳneniái po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo "Nauka", Moskva ) và 2. Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập của Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach ( I. I. Lxko, A. K. Boquk, . G. Ga á , G. P. Golobaq; 1975, Matem- atiqesk i á Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom 1, 2, Izdatel~stvo Vixa Xkola ). để giảng dạy hoặc học giải tích. Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác. Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đ đợc dịch ra tiếng Anh): 3. Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, Dãy số và Chuỗi số (W.J.Kaczkor,M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze s c Pierwsza, Liczby Rz eczy- wiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), iii iv Lời nói đầu 4. Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi phân (W.J.Kaczkor,M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze s c Druga, Funkcje Jednej ZmiennejRachunek R ozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998). để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giải tích. Khi biên dịch, chúng tôi đ tham khảo bản tiếng Anh: 3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series , AMS, 2000. 4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation ,AMS,2001. Sáchnàycócácuđiểmsau: Các bài tập đợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay. Lời giải khá đầy đủ và chi tiết. Kết hợp đợc những ý tởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại. Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh, American Ma themati- cal Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta (tiếng Balan) . Vìthế,sáchnàycóthểdùnglàmtàiliệuchocáchọcsinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh cho các sinh viên đại học ngành toán. Cáckiếnthứccơbảnđểgiảicácbàitậptrongsáchnàycóthểtìmtrong 5. Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000. 6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis ,McGraw-HilBook Company, New York, 1964. Tuyvậy,trớc mỗi chơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong chơng tơng ứng. Lời nói đầu v Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không gian metric trong tập II). Kaczk or, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến và phép tính tích phân. Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản. Chúng tôi rất biết ơn : -Giáos Phạm X uân Yêm (Pháp) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I của sách này, -Giáos Nguyễn Hữu Việt H ng (Việt Nam) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng AnhtậpIIcủasáchnày, -Giáos Spencer Shaw (Mỹ) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sách nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976, -TSDơng Tất Thắng đ cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch cuốn sách này. Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Trờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đ đọc kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên. Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đợc đông đảo bạn đọc đón nhận và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong nhận đợc sự ch ỉ giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, trờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội. Xinchânthànhcảmơn. Hà Nội, Xuân 2002. Nhóm biên dịch Đoàn Chi [...]... (x) 1. 1 .11 Giả sử f : R ! R là hàm đơn điệu sao cho lim f (cx) x !1 f (x) minh rằng lim = 1 Chứng = 1 với mọi c > 0 1. 1 .12 Chứng minh rằng nếu a > 1 và đ 2 R thì (a) ax = +1; x !1 x lim (b) ax = +1: x !1 xđ lim ln x đ x !1 x 1. 1 .13 Chứng minh rằng nếu đ > 0, thì lim = 0 .- 1. 1 .14 Cho a > 0, chứng minh lim ax = 1 Dùng đẳng thức này để chứng x!0 minh tính liên tục của hàm mũ 1. 1 .15 Chứng minh rằng à ảx 1 =... ảx 1 = e; (a) lim 1 + x !1 x (c) (b) 1 lim x! 1 à 1 1+ x ảx = e; lim (1 + x) x = e: x !1 1 .1. 16 Chứng minh rằng lim ln (1 +x) = 0 Dùng đằng thức này, suy ra hàm x!0 logarit liên tục trên (0; 1) 1. 1 .17 Tính các giới hạn sau : (a) (c) ln (1 + x) lim ; x!0 x (1 + x)đ Ă 1 lim ; đ 2 R: x!0 x ax Ă 1 ; a > 0; (b) lim x!0 x 1. 1 .18 Tìm (a) (c) (e) 1 lim (ln x) x ; x !1 1 lim (cos x) sin2 x ; x!0 1 lim (sin x) ln... Trường hợp = 1 + + x!0 x!0 hoặc = 1, ta giả sử e1 = 1 và e 1 = 0 1. 1.22 Biết rằng lim f (x) = 1 và lim g(x) = 1 Chứng minh rằng nếu x!0 x!0 lim g(x)(f (x) Ă 1) = , thì lim f(x)g(x) = e x!0 x!0 1. 1.23 Tính Ă Â p p 1 x (a) lim 2 sin x + x sin x , + x!0 Ă 1 x2 (b) lim 1 + xe x!0 Ă (c) lim 1 + e x!0 1 x2 1 sin x4 arctg e x12 1 x2 , + xe Ă 1 x2 sin 1 x4 e x12 1. 1.24 Cho f : [0; +1) ! R là hàm sao... (x +1) Ăf (x) tồn tại, thì xk x! +1 f (x) 1 f (x + 1) Ă f (x) lim = : k +1 x! +1 x k + 1 x! +1 xk lim 1. 1. 31 Cho f xác định trên (a; +1) , bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn (a; b) ; a < b và giả sử f(x) á c > 0 với x 2 (a; +1) Chứng minh rằng nếu 1 lim f (x +1) tồn tại, thì lim f(x) x cũng tồn tại và f (x) x! +1 x! +1 1 lim (f (x)) x = lim x! +1 1 .1. 32 Giả thiết rằng lim f x!0 không ? x! +1 Ê Ô 1 1 x f(x + 1) ... (b) (d) lim xsin x; x!0+ 1 lim (ex Ă 1) x ; x !1 Chương 1 Giới hạn và tính liên tục 6 1. 1 .19 Tìm các giới hạn sau: sin 2x + 2 arctg 3x + 3x2 ; x!0 ln (1 + 3x + sin2 x) + xex p p 1 Ă eĂx Ă 1 Ă cos x p ; lim x!0+ sin x (a) (b) lim (c) (d) ln cos x ; x!0 tg x2 lim lim (1 + x2 )cotg x : x!0 1. 1.20 Tính (a) lim (tg x !1 ẳx 1 )x ; 2x + 1 (b) x x lim x(ln (1 + ) Ă ln ): x !1 2 2 1. 1. 21 Giả sử rằng lim g(x) = 0... trên (0; +1) ; 1 (c) f (x) = eĂ x trên (0; +1) : 1. 5.9 Giả sử f liên tục đều trên (0; 1) Hỏi các giới hạn lim f (x) và + x! 0 lim f(x) có tồn tại không ? x !1 1.5 .10 Chứng minh rằng mọi hàm bị chặn, đơn điệu và liên tục trên khoảng I ẵ R là liên tục đều trên I 1. 5 .11 Giả sử f liên tục đều và không bị chặn trên [0; 1) Phải chăng hoặc lim f(x) = +1 , hoặc lim f (x) = 1 ? x !1 x !1 1.5 .12 Hàm f : [0; 1) ! R... hạn chữ số 1 Tiếp đó, gọi hàm f : (0; 1) ! [0; 1] được xác định bởi n 1X f (x) = lim ai : n !1 n i =1 Chứng minh rằng f gián đoạn tại mọi x 2 (0; 1) , tuy nhiên, nó có tính chất giá trị trung gian 1. 4 Hàm nửa liên tục Định nghĩa 4 Hệ thống số thực mở rộng R bao gồm hệ thống số thực và hai kí hiệu +1, 1 với các tính chất sau : (i) Nếu x thực, thì 1 < x < +1, và x + 1 = +1; x Ă 1 = 1; x 1 x +1 = = 0 (ii)... x !1 f bị chặn trên [a; 1) 1. 2 .18 Cho f là hàm liên tục trên R và đặt fxn g là dy bị chặn Các bất đẳng thức sau lim f (xn ) = f ( lim xn ) và lim f (xn ) = f( lim xn ) n !1 n !1 n !1 n !1 có đúng không ? 1. 2 .19 Cho f : R ! R là hàm liên tục, tăng và gọi fxn g là dy bị chặn Chứng minh rằng Chương 1 Giới hạn và tính liên tục 12 (a) lim f(xn ) = f ( lim xn ); n !1 (b) n !1 lim f(xn ) = f ( lim xn ): n !1 n !1 1.2.20... n k 1 X k n lim n ( 1) f ( ) = 0: n !1 2 k n k=0 Chương 1 Giới hạn và tính liên tục 14 1. 2.32 Giả sử f : (0; 1) ! R là hàm liên tục sao cho f (x) f(nx) với mọi số dương x và mọi số tự nhiên n Chứng minh rằng lim f (x) tồn tại (hữu x !1 hạn hoặc vô hạn) 1. 2.33 Hàm f xác định trên khoảng I ẵ R được gọi là lồi trên I nếu f (áx1 + (1 Ă á)x2 ) áf (x1 ) + (1 Ă á)f(x2 ) với mọi x1 ; x2 2 I và á 2 (0; 1) Chứng... thực 1. 3.9 Giả sử f và g có tính chất giá trị trung gian trên [a; b] Hỏi f + g có tính chất giá trị trung gian trên khoảng đó không ? 1. 3 .10 Giả sử f 2 C([0; 2]) và f (0) = f (2) Chứng minh rằng tồn tại x1 và x2 trong [0; 2] sao cho x2 Ă x1 = 1 và f(x2 ) = f (x1 ): Giải thích ý nghĩa hình học kết quả trên 1. 3 .11 Cho f 2 C([0; 2]) Chứng minh rằng tồn tại x1 và x2 trong [0; 2] sao cho 1 x2 Ă x1 = 1 và . rằng nếu a> ;1 và đ 2 R thì (a) lim x !1 a x x = +1; (b) lim x !1 a x x đ = +1: 1. 1 .13 . Chứng minh rằng nếu đ>0,thì lim x !1 ln x x đ =0 1. 1 .14 . Cho a>0,. âm k , lim x! +1 f(x +1) Ăf(x) x k tồn tại, thì lim x! +1 f(x) x k +1 = 1 k +1 lim x! +1 f(x +1) Ă f(x) x k : 1. 1. 31. Cho f xác định trên (a; +1) , bị chặn trên