C¸c ®Ò tù luyÖn thi §¹i häc - Cao ®¼ng n¨m 2012 -2013
GV: NguyÔn Ngäc Chi
Trêng THPT Kinh M«n
1
ĐỀ THAM KHẢO SỐ 01
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt
Cõu I (2 điểm)
Cho hàm số
3 2
6 9 3
y x x x
có đồ thị là (C) và hai điểm
A( 1;3), B(1; 1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tỡm cỏc điểm M thuộc (C) sao cho tam giỏc ABM cõn tại M
Cõu II (2 điểm) 1. Giải phương trỡnh
2
2sin cos cos cos2 1
4
x x x x
2. Giải bất phương trỡnh:
3
3 2
x 3x 2 x 2 6x 0 (x )
¡
.
3. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số
m
để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm:
3 3 2
2 2 2
x 12x y 6y 16 0
(x,y )
4x 2 4 x 5 4y y m 0
¡
.
Cõu III (1 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đáy ABCD là hỡnh thoi cạnh 2a;
SA SB SC 2a
. Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường
thẳng SD và mặt phẳng (MBC). Gọi
1
V, V
lần lượt là thể tớch của cỏc khối chúp
S.ABCD và S.BCNM.
a) Tớnh tỷ số
1
V
V
.
b) Chứng minh
3
V 2a
.
Cõu IV (1 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa món x + y + z = xyz và x > 1, y > 1, z > 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
x 1 y 1 z 1
P
y z x
.
Cõu V (1 điểm) Tỡm hệ số của
6
x
trong khai triển thành đa thức của
5 7
2
( ) 2 1 3 3 1 2
P x x x x x
Cõu VI. (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1). Đường
phân giác trong của các góc B và C lần lượt có phương trỡnh
x 2y 1 0
;
x y 3 0
. Viết phương trỡnh đường thẳng BC.
Cõu VII (1 điểm) . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P) 01
zyx và đường thẳng: d:
3
1
1
1
1
2
zyx
Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trỡnh của đường thẳng
nằm trong (P),
vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến
bằng 23
Cõu VIII.(1 điểm) Giải phương tŕnh
3 3
2 2 4 8 4 4
4 2 16.2 2 ( )
x x x x x x
x
¡
============== Hết =============
C¸c ®Ò tù luyÖn thi §¹i häc - Cao ®¼ng n¨m 2012 -2013
GV: NguyÔn Ngäc Chi
Trêng THPT Kinh M«n
2
Cõu 1.Tam giỏc ABM cõn tại M suy ra MA = MB
M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
Pt trung trực của đoạn AB là
2
2 2 0
2
x
x y y
Do M thuộc (C) nờn tọa độ M thỏa món hệ pt
3 2
3 2 3 2
6 9 3
2
6 9 3 2 12 17 4 0
2
2
2
y x x x
x
x x x x x x
x
y
Cõu 2. 1
sin 1 cos 2 cos cos2 1
2
x x x x
sin 1 sin 2 cos cos2 1 sin cos 1
x x x x x x
1
2sin 1 sin
4 4
2
x x
2
2
4 4
2
2
2
4 4
x k
x k
x k
x k
Cõu 2. 2.Điều kiện xác định:
x 2
. Đặt
y x 2
, điều kiện
y 0
.
Bất phương trỡnh trở thành:
3 2 3
x 3xy 2y 0
2
x y
x y x 2y 0
x 2y 0
Với x = y thỡ
2
x 0
x 2 x x 2
x 2 x
Với x + 2y ≥ 0 thỡ
2
x 0
x 0
x 0
2 x 2 x
2 2 3 x 0
4(x 2) x
x 2 2 3
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là
T 2 2 3;
Cõu 2.3Ta cú hệ:
3 3 2
2 2 2
x 12x y 6y 16 0 (1)
4x 2 4 x 5 4y y m 0 (2)
Điều kiện xác định:
2 x 2
0 y 4
Ta cú
3
3
(1) x 12x y 2 12 y 2
Xột hàm số
3
f(t) t 12t, t 2;2
2 2
f '(t) 3t 12 3 t 4 0, t 2;2
Suy ra hàm số
f(t)
nghịch biến trờn
2;2
(3)
Ta cú
x
và
y 2
cùng thuộc đoạn
2;2
và
f (x) f(y 2)
nờn kết hợp (3) suy ra
x y 2
Thay vào (2) ta có phương trỡnh
2 2
3 4 x 4x m (4)
Do đó hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm khi và chỉ khi phương trỡnh (4) cú nghiệm x thuộc đoạn [-
2;2].
Đặt
2 2
g(x) 3 4 x 4x , x [ 2;2]
2 2
3x 3
g'(x) 8x x 8
4 x 4 x
C¸c ®Ò tù luyÖn thi §¹i häc - Cao ®¼ng n¨m 2012 -2013
GV: NguyÔn Ngäc Chi
Trêng THPT Kinh M«n
3
g'(x) 0 x 0
.
g(0) 6; g( 2) g(2) 16
.
x [ 2;2]
x [ 2;2]
min g(x) 16; max g(x) 6
.
Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm khi và chỉ khi
16 m 6
.
Cõu 3. 1
S.ABC S.ACD
V
V V
2
=>
S.MBC
S.MBC
S.ABC
V SM V
V
V SA 4
=>
S.MCN
S.MCN
S.ACD
V SM SN V
. V
V SA SD 8
Suy ra
1 S.MBC S.NCM
3V
V V V
8
Vậy
1
V 3
V 8
.
2. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Dễ thấy
SOC BOA SO BO BSD
vuụng tại S.
Do đó
2 2 2 2
1
BD 4a SD OB 4a SD
2
.
Mà
2 2
OA BC OB
.Suy ra
2 2 2
1
OA 4a 4a SD
4
.
Vỡ AO (SBD) nờn
2 2
S.ABCD S.ABD SBD
2 a
V 2V OA.S .SD. 12a SD
3 3
Mà
2 2 2
2 2
SD 12a SD
SD. 12a SD
2
=6a
2
. Vậy
3
V 2a
Cõu 4.
2 2 2
x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
P
y z x
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
(1).
Mà
2 2 2
x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
y z x
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x 1 y 1 z 1
x y y z x z
2 2 2
x 1 y 1 z 1
xy yz xz
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P 2
x y z x y z xy yz zx
(3).
Từ giả thiết ta cú
1 1 1
1
xy yz zx
(4).
Mà
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1
x y z xy yz zx
(5).
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3
x y z xy yz zx x y z
(6).
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra
P 3 1
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x y z 3
.
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là
3 1
.
Cõu 6.Gọi BE, CF lần lượt là đường phân giác trong của các góc B và C của tam giác ABC.
Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua BE và CF.
Đường thẳng AM có phương trỡnh
2x y 3 0
.
C¸c ®Ò tù luyÖn thi §¹i häc - Cao ®¼ng n¨m 2012 -2013
GV: NguyÔn Ngäc Chi
Trêng THPT Kinh M«n
4
Tọa độ giao điểm I của AM và BE là nghiệm của hệ phương trỡnh
2x y 3 0 x 1
x 2y 1 0 y 1
.
Do đó I(1;1). Vỡ I là trung điểm của đoạn thẳng AM nên M(0;3). Tương tự N(-2;-5).
Đường thẳng BC đi qua M và N nên có phương trỡnh
4x y 3 0
.
Cõu 5.Số hạng tổng quỏt của
5
1 3
x
là
5
( 3)
k k k
C x
Số hạng tổng quỏt của
7
1 2
x
là
7
2
m m m
C x
Số hạng chứa
6
x
trong
( )
P x
là
2 4 4 4 5 5 5
5 7
2 ( 3) 3 2
x C x xC x
Suy ra hệ số của
6
x
trong
( )
P x
là
4 4 5 5
5 7
2 ( 3) 3 2 1206
C C
Cõu 7.• (P) có véc tơ pháp tuyến )1;1;1(
)(
P
n và d có véc tơ chỉ phương
)3;1;1(. u
)4;2;1()( IPdI
• vỡ
dP);( có véc tơ chỉ phương
)2;2;4(;
)(
unu
P
• Gọi H là hỡnh chiếu của I trờn
)(QmpH
qua I và vuụng gúc
Phương trỡnh (Q): 0420)4()2()1(2
zyxzyx
Gọi
11
)()( dQPd
có véctơ chỉ phương
)1;1;0(3)3;3;0(;
)()(
QP
nn và
1
d qua I
tz
ty
x
ptd
4
2
1
:
1
Ta cú
);;0()4;2;1(
1
ttIHttHdH
•
3
3
23223
2
t
t
tIH
• TH1:
1
7
1
5
2
1
:)7;5;1(3
zyx
ptHt
TH2:
1
1
1
1
2
1
:)1;1;1(3
zyx
ptHt
Cõu 8. Với x 2. PT
3
2 2 4 4 4 4
4 (2 1) 2 (2 1) 0
x x x x
3
4 4 2 2
(2 1)(4 2 ) 0
x x x
TH1:
4 4
2 1 4 4 0 1
x
x x
TH2:
3
4 2 2
2 2
x x
3
2 2 4
x x
3
8 2( 2 2)
x x
2
2( 2)
( 2)( 2 4)
2 2
x
x x x
x
x=2. Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x = 2.
. 2
1
OA 4a 4a SD
4
.
Vỡ AO (SBD) nờn
2 2
S.ABCD S.ABD SBD
2 a
V 2V OA.S .SD. 12a SD
3 3
Mà
2 2 2
2 2
SD 12a SD
SD. 12a SD
2
. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
D thấy
SOC BOA SO BO BSD
vuụng tại S.
Do đó
2 2 2 2
1
BD 4a SD OB 4a SD
2
.
Mà
2 2
OA BC